VÕ GIANG GIAI ERECTA TRONG CAC DE THI TUYEN SINH... VÕ GIANG GIAI TUYỂN TẬP CÁC BÀI TOÁN BAT DANG THUC VA CUC TRI TIRONG CAC BE THI TUYEN SINH BAI HOC & CAO BANG © TẤT CẢ CÁC ĐỀ THỊ Đ
Trang 1ThS VÕ GIANG GIAI
ERECTA TRONG CAC DE THI TUYEN SINH
Trang 2ThS VÕ GIANG GIAI
TUYỂN TẬP CÁC BÀI TOÁN
BAT DANG THUC VA CUC TRI
TIRONG CAC BE THI TUYEN SINH BAI HOC & CAO BANG
© TẤT CẢ CÁC ĐỀ THỊ ĐỀU ĐƯỢC PHÂN LOẠI CHI TIẾT
e LUYỆN THI DAI HOC VA CAO BANG
e NHIỀU BÀI TOÁN ĐƯỢC GIẢI NHIỀU CÁCH HAY VÀ MỚI
e GIỚI THIỆU CÁC ĐỀ THỊ TRẮC NGHIỆM
NHÀ XUẤT BẢN ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
Trang 3CÁC KIẾN THỨC CĂN BẢN CẦN NHỚ
* Bdt dang thite Cauchy
Néu a, a ,a,20(2<ne Z) thi:
n
Dau "=" <> a; = a= = A
Trang 4
* Bất đẳng thức Bunhiacopski
Nếu ay, 8¿, , aạ, Dị, bạ, , bạ cR(2<n e Z) thi:
(aybị + a;bạ + vn anbn)? < (a? + a2 + +a2 bể + bộ + + bổ)
Néu aj, a, ., 27 2-1 (2 <n € Z) va tat cd déu cing đấu thì :
(1 + a¡X1 + aạ) (1- +a,)21+ (a; + ag + + a)
thi: 2 +A, + ta, b, +b + +b, > a,b, + agb, + + a,b,
Trang 5Yx, € (a; b) va Vơ, > 0 thỏa du, =lUi=1,n va2<neZ)
Ca hai bat dang thuic déu co dau"=" <> x, = Xg = = XS
* Bất đẳng thức củu giá trị tuyệt dối
Trang 6DANG 1: AP DUNG CAC TINH CHAT CAN BAN CUA BAT DANG THUC:
A CAC BÀI TOÁN BẤT DANG THUC
1 Cho x, y thỏa : x? + y? = 1 Chung minh rang: -V2 s x+y <2
(Đại học Miễn Bác 19700)
Giải
Ta có: (x+y)? = 2x? + y”)-(x- y)?=2-(x-y)? <2
=> (x+y)? <2 => lx+y| < v2 => -V2<x+y<s 2
Chú ý : Lấy x = sing, y = + cosg thi ta cé ngay bat dang thuc lugrng
gidc |sing + cose | < 2
2 V2
2 Chứng minh rằng : (5 + =) - a(* + x) +1020, vx, y e R\{O} y? x2 y x
(Đại học Sư phạm TP.HCM khối A 19775)
Trang 7Chủ y : Lay x = tana ta - sẽ k- Z2 thị có ngay bất đẳng thức
lượng giác : tana + cota’ S9
4 a) Choa>0 Ching minh ving 1 eas 2va
b) Cho ay, a¿, , aị c0 Chứng mình rang:
(1+ ajHđ1+a20 11 xa c2" vlads Ay -
Dau "=" xay ra khi nào ?
‘Dai hoc Tong hop TP.HCM 1977) (Dat hav Y - Duoe — Nha TP.HCM 1979) Giải
a) Ta có: (1- va)? >0 coo l+a2z2Va
5 a) Ching minh rang : Néu b, c > 0 thi = > ~* n |
b) Từ đó chứng minh rang : Néu ph : thi: b+c2 16abc
Trang 8
6 Cho x, y, z e R Chứng minh rằng : x” + y? + z?-xy-yz—zx20 8 (**)
(Đại học Bách khoa - Tổng hợp TP.HCM 19799) (Đại học Sư phạm TP.HCM khối D uà G 20000)
Giải
Ta có: (x—y)°+(y—z)°+(z—x >0
= x? + y? — Oxy + y? + 2? — Dye + 2% + x? — Qex 20
<> 2x? + Qy? + 22" - 2xy —- 2yz - 9zx >0
o x+y? +2? — xy — yz- 2x20
Dau “=" = x=y=2
Chi y : Lay x = (2) ,y= tải X= (=) (a € R) thi (*) chinh 1] la
dé thi DH va CD, khéi B, nam 2005
Trang 9Theo câu a) suy ra :
Trang 101 Khi đó : chọn xe a
Trang 11— 1+ 2(xy + yz+z2x) y+}yz+/ 2 0 Wiis +y7 42° = 1)
=> ~5 Sey tye ows
fabe = 1
13 Che | a+bt+e>-—+—-+- 11
a bec
a) Chứng minh rang : (a — 1b - Iie - 1) > 0
b) Chứng minh rằng trong ba số a, b, c có đúng một số lớn hơn 1
=> a,b,e>1 => abe>1 = Mau thudn véi abe = 1
se Có đúng một số dương trong ba số a ~ 1, b —~ 1, c — 1 Tức là trong
Trang 13
16 Choa, b, cla ba canh AABC
Chứng mình rằng : a” + D7 + cÍ< Ylab + be + ca)
(Đại hoc Van Lang 1995)
Giai
(a chee ta < ab + ca Cách 1:Ta có: Ìb-c+a › :b + ab+ be
a*(b? — c?) +btc°— a?) + cta°~ b?) <0 (1)
(Đại học Thủy lợi 1995)
Giải
(1) < ab? —c?) + b'(c” - a”) - cl(b°- 7) + (c —a?|<0
© (a® — eb? -— ¢*) + (b° — ec’ - a7) < 0
«© (b-c)(e— a)[(b° + be + c”(e + a) ~ (c? + ca + ab +0)} <0
c© (b—e)(c- a(cb? - ca”) + (ab* ~ ba*)] < 0
= -(b-c)(c- aXa - bab + be + ca) <9
<> (a-bXb- cXc - aXab + be + ca) > 0
ab + be + ca > 0 Luôn đúng vì:0<a<b<c = hàn
c-a>0
18 Cho AABC nhọn Chứng mình rằng : (1 + cosAX1 + cosBX1 + cosC) > 2
(Hoc vién Quan hệ Quốc tế 1995)
Giải
Ta có: (1 + cosAXI + cosBXX1 + cosC)
13
Trang 14
= 1+ (cosA + cosB + cosC) + cosA.cosB + cosB.cosC +
+ cosC.cosA + cosA.cosB.cos¢C
> 1+ (cosA + cosB + cosC) > 2 + 4sin= sin sinc >2
(vi : cosA + cosB + cosC = 1+ asin sin sins (?)))
=> (1 + cosAX1 + cosBX1 + cosC) > 9
(Đạt học Xây dựng Hà Nội 19985)
Giải (1) © 2AsinB + sinC - X3 sinB.sinC) $ sin(B + C)
<= &sinB + sinC - 3 sinB.sinC) < sinB.cosC + sinC.cosB
<= sinB + sinC < snc{ Boos + Sanh] +
+ sina Bosc + Banc)
© siRB +sinC < sinC cos|B - 3) + sinB.ens[C - *|
2 saB|: - cu[C - *)| + sinc - cas|B - *)| <0
Trang 15=> be(b — c) + calc — a) + abla - b)> 0
= belb—c) + calc — a)- abib -c +ec-a)>0
c (be — ab)(b - e) + (€ — a)(ca - aÙ) >0
oS b(c — a)(b — c) + alc - ake — b) > 0
= (e— a)(b—e)\b—a)>0
|c-a<0 Luơn đúng vì A>B> c» a>b>»>c c (¿b-c>0
\jx? +xy+y? + yy? +vz+z” + Vz? +ux + x° > VWBix+y +2), Vx, y,z>0
tHọc uiện Quan hệ Quốc tế 1997)
=> fot app = Bea spy
=> \x? + xy +y? tủy? +yz+ z2 + Ýz? cứ + x? 2
Trang 16
23 Chimg minh rang : trong moi AABC, ta luén cé :
cos”A + cos?B + cos”C < a+ i (cos3A + cos3B + cos3C) (1)
(Dai hoc An ninh khéi C 19977)
Gidi
Do cos3x = 4cos"x — 3cosx
Nén (1) <~ ~~ cos°A + cos"B + cos"C <
< -+ i [4(cos*A + cos"B + cos"C) - 3(cosA + cosB + cosC))]
<= CosA + cosB + cosC < D
_©_ (sinA - sinB} + (cosA + cosB — 1)? 2 0
Trang 17SX EV 4 De YiNy 4 ye 4 2x) 2 Bixy + yz + 2x)
> (X= yr +ty- zr 4 iz xi > 0 luén dung
=> (DPCM)
2?5* Cho AABC có : sim A + sin*B = YsinC Cho A, B nhon Tinh C
Giải
Ta có: sin2A + sinB = ŸSinC > sin’C
=> sin"A + sin“B - simfC LC / 2¿ 33
= a’ +b? >¢ (Đo định h ham sin) S
© a +bf-c>z0 «+ 2abcosC>0 & ~~ cosC 20
0<A, B< > ~ iia Bl <5 cos(A - B) >0
=> sinC 21 => sinC = 1 => Ce 5 (thử lại thỏa đề bài)
2tG Cho a,b,c e R Chứng minh rằng :
ia) a? +b? +c? > ab + be + ca (1) b) (ab + be + ca)? > 3abc(a + b + e)
(Đại học Quốc gia TH HCM 1998) - (Đại học Sư phạm TP.HCM 2000)
Giải
m), (1) << — Qa* + 2b? + 2c" 2 2ab + 2be + 2ca
= (a* +b? - 2aL) + (b? +c? — 2be) + (c7 + a?— 2ca) > 0
= (a—b)’?+(b—c)* + (c— a)’ > 0 ludn ding
Vậy : a“ + b? + c?>ab + bc + ca
b) Theo câu a) :
(ab + be + ca)” = (ab)* + (be)? + (ca)? + 9abe(a + b + €)
2 ab.be + be.ca + ca.ab + 2abe(a + b + c)
> 8abce(a + b +c) => (DPCM)
17
Trang 18
(vi: ham sé: y = flx) = log,x (0 < a < 1) gidm trén (0; +020))
© 4ab<(a+b)? = (a-b)?20 Bất đẳng thức cuối luôn đúng Dấu "=” © a =b
apy = =b
=> a’ + 3b = (œB + By + ya)” — 3apy
= (œB)? + (By)? + (yœ)? + 2œBy(œ + B + y) - 3aPy (a +B + yy)
= (aB)? + (By)? + (ya)? - aByla + B + y)
= site ~ By)” + (By - yœ) + (yœ ~ œB)?
= = (a%B - y)* + By - a)? + ya - B)*] > 0 Vậy : a” + 3b > 0
29" Cho x, y, z € [0; 2] Chimg minh rang : 2(x + y + z) - (xy + yz + zx) << 4
(Đại học An ninh khối G 19998)
Trang 19ab -— cc) + bic = ar +ciathe so a+b te (1)
‘Da hoc Dan lap Van Lang 1998)
(a +b - elec’ — a — b* + 2ab) > 0 (a+b — e)[e* -(a- by} > 0
(a+b—cXec-a+b\(e+a-b)>0
a<b+c (b+c-aJ(e+a-b(a+Ùb~ec)> 0 luôn đúng | vi b<c+a
c<a+b
a[(Œb — e)? — a?l + b[(e — a)’ - bỶ] + cl(a + b)? — e?| >0
a(bŸ + c? - a” - 9be) + b(e” + a” - b”- 2ea) +
19
Trang 20Ta có: xỶ+ yÌ + xyz = (x + yXX? - Xy + y?) + xyz
= (X + YÌÍ(X — y)Ÿ + XyÌ + XyZ > (X + y)XY + xyz
Trang 21
1 — i ~ | ] Suy ra:
a2 +b+vabe be: abe oe? als abe
35 Chứng minh rang: a®- a’ + a°-a+1>0, Vae R
(Đại học Y khoa Hà Nội 1999)
(1) © la+bl(1+ lai + |bl)<(ial + lblj1 + la+bÏ)
c© la+bl + lal.la+bi + Ibl.la + bị
<la|l + lbl + la+bl.lal + 'a+bl.lbị
21
Trang 22
()© (sinA + sinB + sinC) > (cosA + cosB + cosC)?
(Để ý : 2 vế của (1) đều đương)
©_ (cos?A — sin?A) + (cos2B — sin?B) + (cos?C - sin?C) +
+ 2(cosA.cosB — sinA.sinB) + 2(cosB.cosC - sinB.sinC)) +
+ 2(cosC.cosA — sinC.sinA) << 0
© (2cos?A — 1) + (2cos?B — 1) + (2cos2C — 1) +
+ 2cos(A + B) + 2cos(B + C) + 2cos(C + A) << 0
<= (2cos*A ~ 1) + (2cos*B - 1) + (2cos’C — 1) -
- — 2cosC — 2cosA — 2cosB << 0
° 2cosA(cosA — 1) + 2cosB(cosB - 1) + 2cosC(cosC ~ 1) - 3 < 0
38 Cho AABC có ba cạnh là a, b, c và S là diện tích Chứng minh rằng ::
a) 168? = 2(a?b? + bÊc? + c?a?) - (af + bf + c')
2bc
2 b? +c? =) _ 4b?c? - (b? +c? -a?))?
Trang 23= [(b+e) - a} fae -tb— or}
= [2be + (bo + ¢ - aiif2be = tb? + c* — a?)]
=> 16S? < at+b‘'+c' Dau"=" < AABC déu
39 Cho a, b > 0 Ching minh rang : Fe t + >1 + Vb (1)
" (Đạt học Huế 2000)
Giải
Đặt: 4ˆ va > 0
= vb >0
Khi đó: (1) <= OL exes co ox + y® > xy(x + y)
> (x + yx? — xy + y*) > xy(x + y)
Trang 24Chứng minh AABC đều
(Đại học Tài chánh Kế toán Hà Nội 2000))
(Đại học Mở Hà Nội 20011)
s
Giải a) (1) © [2+2]}e+nes = (x+y)? > 4xy
Chứng minh tương tự: + ——~+—— 2 Dau "=" << C = Ak
sinC sinA cos—
Trang 2542 Chứng minh rằng : Vlet +Vl-t-l- V1 Tơ >2—t?, Vte [-l; 1|
(Đại học Quốc gia TP.HCM 2001)
c© vVl+cos2œ + v1- eos2¿ > l+ vÌì- cos” 2a > 2 - cos?2œ
> V2 (cosa + sina) > 1 + sin2u > 1 + sin“2a
Trang 2644* Chứng minh rằng : C? ,r.C?,_y <( 3a) ,Vv te neZ
(Đại học Y Dược TP.HCM 1998, 20011) Giải
"ark “nln +k)! n!
na _ (n-k)! — (Q2n-k\2n-k-1) a-k +1) tu-k “nla —k)! n!
Trang 27Theo bai 44: Ch, Ch, Coe Ook Sp
Lay n = 2001 ta co ngay bat dang thie st)
47 Cho x, y, z > 0 Chứng mình rằng : AY, ey z x y oy +y+2 (1)
(Cao đẳng Hỏi quan 2001)
Giải
(1) <> (xy)? + (yz)? + (zx) > xyzx + y + 2)
©_ (xy — yz)’ + (yz — 2x)? + (zx ~ xy)” > 0 luôn đúng
Dau "=" x= y=z
48 Cho AABC Chứng minh rằng : cosA.cosB.cosC < s:
(Đại học Ngoại ngữ Hà Nội 2001)
Trang 28u 5 cos -C)- 2 cos A — cosA.cos(B ~ C) + ~eos2(B - 0)|
Vay : cosA.cosB.cosC < n Dau “=" < AABC déu
Cách 2 : Trong AABC phải có ít nhất hai góc nhọn, vì vậy ta có thể
cos(B - C) = 1 B= :
40" Chứng minh rằng AABC đều nếu ta có : 2b Le
mạ Mm, mẹ
Ở đây a, b, c theo thứ tự là độ đài các cạnh, đối diện các đỉnh A, B, C;
mạ, nụ, mụ theo thứ tự là độ dài các trung tuyến xuất phát từ các đỉnh
Trang 29= đụ m1 bi>Q = Mâu thuẫn với (*)
Vay phaicé: m,=m, = a=b
Ching minh tuong tu : bse
Khi đó : logi,va + log,,„b + log,u,c > log,ua + log,uub + loguuuc (?)
> log„„,abc > log,.,2ab > logu„u(ab + ab) > log„„u(a + b) = 1 Vậy : logu,„va + log.,„b + loguv,c > 1
Trang 30map tac >3 3 3) ge)
(Hoc vién Cong nghé Buu chinh Vién théng 20011)
Trang 31Chi ý : Bài này có thể giải truc tiep ahi bat dang thức Trêbưsếp như sau :
Qx+yt+z X+2Y+7 X+y+922—ˆ
(Dé thi Dai hoc cù Cao đẳng, khối A năm 2005)
Giải Với a,b> 0, ta có: 4ab <(a + b)
1 1/1 +
> 1 < ath c> “3Í *x) Dấu "=” œa=b
a+b_ 4ab a+b 4\a b
Vậy : i + 1 + 1 <i ii iil =1
axy+zZ Xx+2y+z xt+y+2z 4|x y z won 3
31
Trang 32= 2cos*A + 4V2sin=.cos -1<2cosA + 4Vsin= “4
aft -9sin? =| + 42sin= -l= ~4sin? = + 4vsin= +1
2 Cho AABC bat ki Tim Max của P = V3 cosB + 3(cosC + cosA)
(Đại học Sư phạm II Hà Nội 1998))
32
Trang 33
Ta có: P= V3 cosB © Geos Cosy
Giải B-C
Ta có : 8= 3cosA + 400s tC COS c < 3cosA + sin 1
3 Á fo,
<3 1 - 2sin? 4), 4sin— <3 - 2) asin? S asin 4 2) 43
2 2 \ 2 2 3) 3 S$ Mis Jasin’ 1.) < ~
11
=> < —
q 3 cos——— =1 B=C
Dau "=" © 1 ©Ô J4 A ]1
3sin— = — 3 sm = 2 3
Vay : MaxQ = >
33
Trang 34
A-B A Bì sin—.sin—
2 22
4* Cho AABC c6 C< B< A < 90° Tim Min cua M = cos
(Dai học Kiến trúc Hà Nội 19999)
2 2 2 2 { 2A-B A-B A-+ =|
= —| cos - cos ,COS
9 2 2
= ũ + cos(A — B) — (cosÀ + cosB)]
Ma: sinCcos(A — B) = sin(A + B).cos(A — B) = 5 (sin2a + sin2B)
Dấu "=" © AABC đểu => M2 7
Dau "=" < AABC déu Vay MinM = 7
© 4(a +bXa? + b- ab) >(a + bị)!
© (a+ bX4a? + 4b? —- 4ab - a? - bỶ - 2ab) >0
Trang 35b) Theo caua): (3SinA + ° WsinB: HisinA + sinB)
Ysin€ + Ysina < Wa Dau "=" @C=A
> YsinA + Ysin Be Ysin® < yo = + eos + eos
Dấu "=” AABC déu => P<]
Dau "=" = AABC déu MaxP =1
6 Cho AABC Dat P = cosA + cosB + cosC
a) Tim MaxP b) Chứng mình rằng không tồn tại MinP Chú ý : Trong để thi ĐH Sư phạm khối A chỉ có câu a)
(Đại học Sư phạm Hà Nội II bhối A uà B năm 2001)
Trang 36b) Tac6: P=1+ 4sin= sin sin = > 1, VAABC
7 Cho x, y z0 thay đổi thỏa: (x + y)xy = x? + y’— xy
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A = xŠ + yŠ
(Đề thi Đại học va Cao đẳng bhối A, năm 2006)
Trang 37DANG 2: AP DUNG BAT DANG THUC CAUCHY
A CAC BAI TOAN BAT DANG THUC
1 Cho VABC có a, b, c là độ dài các cạnh Chứng minh rằng :
AABC đầu © laxb+e| xi ve ]=9:
Vì vậy : larbro|2 xi xi] x9 Dau "=" ©a=b=c
Suy ra: (a+b+c) raed =9 © AABC déu
Trang 38b) Cho Chứng minh rằng : b + c > 16abc
Trang 39Dat: t=a-b>0 > tesa +h 2ab = ar+b?=t? +2
va, + b, Mag + b,) (a, +b,) 2 Yajay a, + Wb, by b,
(Đại học Ngoại thương TP.HCM 1991)
Trang 40a) 4r.r, <a” b) r, +r +7, 2h, + hy, + hy
(Đại học Xây dựng Hà Nội 1991)
Giải a) Tacó: S=pr=(p-a)r,= jpp-aXp-bl\p-c)
