www.facebook.com/toihoctoan
Trang 1Van dé1: Sai lầm khi tính tích phân
1 Đổi biến số nhưng không đổi cận
z
VDI: tinh tích phân I= [VI-2? dx
0 Giai:
Loi giải sai: dat x =sint suy ra dx=costdt
1+cos 2t xz |
Vl—sin?t sin’ t.cost.dt = | cos’ t.dt = dt=—+—
Lời giải đúng:
Dat x = sint suy ra dx=costdt
x=0>/=0
x=—>t=arcsin—
arcsin = arcsin— arcsin—
l+cos 2£
=Í[ J1—sin’ t.cost.dt = J cos’ t.dt = Ỉ —s— #
=—arcsin —+—sin| 2 arcsin—
2 Khi đổi biến pone tinh vi phan
VD2:tính I= =
lop
Giải:
Lời giải sai:
dat t=2x+1
x=l>t=3 x=05t=1
f=({—=-— ——| ——-l|=—
Loi giải đúng:
đặt t= 2x+l suy ra dt= 2dx
x=l/=3 x=0>5t=1
r=[4 — 3{ ¥e- “am
CS1: Gan UBND Thi Tran Vinh Dién
CS2: Nha Thay- Th6n Ha Nông Trung-Điên Phuoc-Điên Ban-Quang Nam
Trang 23 Tính nguyên hầm sai, hiểu sai bản chất công thức
2
VDI: Tính I= [xe
0
Giải:
* lời giải sai:
dat ,; =>
2 2
=> I =(xe") g2 k= +]
0
*Lời giải đúng:
dat =>
=> I =(xe") edx=e +1
oo
0 VẤN ĐỀ2: SAI LẦM KHI CHỨNG MINH ĐẲNG THỨC TÍCH PHÂN
2z
VI DU 1: cho ne N; CMR J = Ỉ sin (sỉn x + nx) dx =0
0
* Lời giải sai:
xét f(x)=sin(sinx+nx) trên [0;2z] ta có:
f(x) là hàm liên tục trên [0;2z| và
f(-x) = sin(sin(-x)-nx) = - f(x)
vay f(x) 14 hàm lẻ => I=0
*Neuyén nhân sai lầm: Học sinh hiểu sai dinh ly “ Nếu hàm số f(x) là hàm lẻ,liên tục trên [-a;a] thì [ F(x) dx =0”
# Lời giải đúng: Đặt x= Z+ y
=>[= [ sin (sin x+nx) dx = | sin (sin y+ny+na)dx=(-1)" | sin(ny—sin y) dx
+
Mặt khác ta có: g(y)=sin(ny-siny) xác định trên [—z,Zz| là hàm liên tục va
g(-y)=sin(-ny-sin(-y))=-sin(ny-siny)=-g(y) = g(y) là hàm lẻ
Vậy thì I=0
Vi DU 2: cho hàm số f liên tục trên [0,z | Hãy so sánh
I= [xf (sinx) dx va J = | f (sinx)dx
*Lời giải sai:
Tích phân từng phân: { ˆ ic ừn : > du = ax
P EP dv = f (sin x) dx v=—f (cosx)
7
5 t | f(cosx)ax
0
=> I =-xf (cosx)
CS1: Gan UBND Thi Tran Vinh Dién
CS2: Nha Thay- Th6n Ha Nông Trung-Điên Phuoc-Điên Ban-Quang Nam
Trang 3Do f lién tuc /[0; 7] => f(cosz)= f(0)=0 =1={ f (cosx)dx (1)
` we ny
Mà 7=2]7(sinx)4 (2)
Từ (1) và (2) ta có IzJ
* Nguyên nhân sai lắm:
Học sinh không hiểu về hàm liên tục, tích phân và vi phân
SN 52%
Đặt x= ZzT— ta có:
[= jf (sinx) a = -[œ~9/m(z~))4 = x| r(sinx) deff (sinx) as
=> 21 =a f (sin x) dx =1=>|7(snz)&
0
Vậy ta có I=J
VI DU 3: Cho ham số f liên tục trên [a,b] CMR tồn tại ít nhất 1 diém Ce [a,b] sao cho:
J[Z(2)~/(e)e=][7(2)~/)]+
* Lời giải sai
Do f liên tục trên [a,b] => f(x)-f(c)/ [a,c] bang f(x)-f(c) trén [b,c] vay ta cé:
J[7G)-Z(e)]#=[[7)-7()]= [[Z(6)=7)]a
# Nguyên nhân sai lam:
Không hiểu về hàm liên tục lên tính tích phân sai
* Lời giải đúng:
áp dụng định lí vẻ giá trị trung bình của tích phân — 3ít nhất một điểm C e[a,ð] sao cho:
| /(5)4x=f(2)(z3)=]7(e)«
>Ì[Z)-/)]=Ï[ZG)=/(2)]+Ï[7G)=/(2]=9
Hay ta c6: || f(x)—f(c) #x=[[7(c)— 7(3) ]dx @PCM)
VAN DE: SAI LAM KHI TINH DIEN TICH HINH PHANG BANG TICH
PHAN
I Kiến thức chung
- Cho hàm số y= ƒ(x) khả tích trên |a;b| Khi đó điện tích hình phẳng giới hạn bởi: ox,
b
y=f(x),x=a,x=b là : s=||Z(x)|&
II Những sai lầm thường gặp
1 Sử dụng sai công thức
CS1: Gân UBND Thi Trân Vinh Điên
CS2: Nha Thây- Thôn Ha Nông Trung-Điên Phuoc-Điên Ban-Quang Nam
Trang 4_g_ 2
VDI: tính điện tích hinh phng gidi han boi 47>
y=Ux=l;x=4 Lời giải sai:
Diện tích hình phẳng là:
4
l 4 S=|(9—x’)dx =| 9x-=x? J (9-2”) ; |
Sai lam: ap dụng sai công thứctính diện tích AY
Lời giải đúng:
Diện tích hình phẳng là:
S= Ï-x'k
= j@~x°4+[(+ —9 dx
= tạ» _®& _9_38
2 Xác định không chính xác hình cần tính giới hạn
=7
" „.JJ=0, y=l
VD: tính diện tích hình giới hạn bởi: 4` „
y =x-—l; x=0 Lời giải sai: y =x—l—= y=‡+Ax-—l
y=0>x=l y=lx=2
Vậy diện tích hình phẳng cần tìm là:
2 2
Sai lầm: xác định sai hình cần tính diện tích do không vẽ đường giới hạn
Lời giải đúng:
Vẽ hình giới hạn:
Vậy diện tích hình giới hạn là:
S=S, +S, vor:
S,=V =1
2
={íi-xz=1\œ=|x-2(x-n# =1
s,=J(1 x i)ax =] x (x-1) 173
> s-4
3
3 Xác định sai hình cần tính giới hạn
VD: Từm diện tích hình giới hạn bởi:
CS1: Gân UBND Thi Trân Vinh Điên
CS2: Nha Thây- Thôn Ha Nông Trung-Điên Phuoc-Điên Ban-Quang Nam
Trang 5
À
X=—; x=—
Lời giải sai:
Π1Π=(2;1)
Vậy diện tích của hình giới hạn là:
S= | (x-1) &+ | (x-3Ÿ &
=3(-1) 30-3) 3%
3 24 24 3) 12
Sai lầm: Xác định sai hình cần tính giới hạn y=(x-1Ÿ c(x-3)
Lời giải đúng:
ŒŒ, =(2;1)
Diện tích hình giới hạn là:
S=S,+8,
2
%5
|cht9= (Can cà) =2
= |(-4x+8)4&x=|—2x“ +§x 3 ==
Stage
= | (4x —8) dx = (2x* —8x) 3% _1
2 mm
2 2
VAN DE: DU KIEN SAI LAM KHI TINH THE TiCH KHOI TRON XOAY BANG TIiCH PHAN
I, CONG THUC:
CS1: Gan UBND Thi Tran Vinh Dién
CS2: Nha Thay- Th6n Ha Nông Trung-Điên Phuoc-Điên Ban-Quang Nam
Trang 6
y= F(x) Vox =| f? (x) dx
Cho hình phẳng giới hạn bởi J7 ” => "
X=q
(x= f(y)=x,
#()s()>0
ll, MOT SO SAI LAM THUONG GAP:
1 SU DUNG CONG THUC BO GIA TRI TUYET DOI:
ví DỤ 1: Tính thể tích hình xuyến gây bởi hình tròn x°+(y-b) <a’? (0<a<b) quay quanh trục Ox
Phương trình đường tròn (C): x° +(y—b) =a’ cé thé viet
y=b4+Va -x (C,) ( | < )
Xa
y=b-va'-x’ (C,)
vax=z |[[p+Íe => ) -(b- Na”—x 3} Je 2za?b
* Sai lầm: mặc đù kết quả đúng nhưng sai công thức thể tích:
(y—by =@-x¥ ©
Vox # n{(y? — y3 dx ma Vox = rly? — y;|de
* Lời giải đúng: Vox =n | (5+ Va? =x" | -(b—Va? - 2°]
2 SU DUNG NHAM Voy
dx =2na’b
yÿy>=*
VÍ DỤ: Tính Voy của hình + x = Ì
"
3 |2 _ 3lz
#* Lời giai sai: Voy=7 =
b
* Sai lầm: Đã sử dụng công thttc Voy =z Ỉ yˆäx đây là công thức tính diện tích Vox Vờy lời giải bị saI
* Lời giải đúng
Voy = 2z| x.x°dv =——
1
Z|}
CS1: Gan UBND Thi Tran Vinh Dién
CS2: Nha Thay- Th6n Ha Nông Trung-Điên Phuoc-Điên Ban-Quang Nam