Vấn đề1: Sai lầm khi tính tích phân1.. Đổi biến số nhưng không đổi cận... Tính nguyên hàm sai, hiểu sai bản chất công thứcVD1: Tính 2 0... Những sai lầm thường gặp 1.. Sử dụng sai công t
Trang 1Vấn đề1: Sai lầm khi tính tích phân
1 Đổi biến số nhưng không đổi cận.
VD1: tính tích phân
4
2 0
1
Giải:
Lời giải sai: đặt xsint suy ra dx=costdt
t
Lời giải đúng:
Đặt x = sint suy ra dx=costdt
sin
1 cos 2
2
t
2 Khi đổi biến không tính vi phân
VD2: tính
1
5
0 (2 1)
dx I
x
Giải:
Lời giải sai:
đặt t = 2x + 1
1
1 1
I t
Lời giải đúng:
đặt t= 2x+1 suy ra dt= 2dx
1
1 1
I
t
www.vntoanhoc.com
Trang 23 Tính nguyên hàm sai, hiểu sai bản chất công thức
VD1: Tính
2 0
x
I x e dx
Giải:
* lời giải sai:
2
2 0
2
1 0
*Lời giải đúng:
đặt u x x du x dx
2
2 0
2
1 0
Vấn đề 2: sai lầm khi chứng minh đẳng thức tích phân
ví dụ 1:cho n N ; CMR 2
0
*Lời giải sai:
xét f(x)=sin(sinx+nx) trên 0; 2 ta có:
f(x) là hàm liên tục trên 0; 2 và
f(-x) = sin(sin(-x)-nx) = - f(x)
vậy f(x) là hàm lẻ I=0
*Nguyên nhân sai lầm : Học sinh hiểu sai định lý “ Nếu hàm số f(x) là hàm lẻ,liên tục trên
[-a;a] thì a
a
f x dx
=0”
* Lời giải đúng: Đặt x y
2
0
= 1 n sinny siny dx
Mặt khác ta có: g(y)=sin(ny-siny) xác định trên , là hàm liên tục va
g(-y)=sin(-ny-sin(-y))=-sin(ny-siny)=-g(y) g(y) là hàm lẻ
Vậy thì I=0
Ví dụ 2:cho hàm số f liên tục trên 0, Hãy so sánh
0
sin
0
sin
*Lời giải sai:
Tích phân từng phần:
cos cos
0
www.vntoanhoc.com
Trang 3Do f liên tục /[0;]
0
0
sin 2
Từ (1) và (2) ta có I J
* Nguyên nhân sai lầm:
Học sinh không hiểu về hàm liên tục, tích phân và vi phân
* Lời giải đúng:
Đặt x t ta có:
0
2
Vậy ta có I=J
ví dụ 3:Cho hàm số f liên tục trên [a,b] CMR tồn tại ít nhất 1 điểm C a b, sao cho:
f x f c dx f c f x dx
* Lời giải sai.
Do f liên tục trên [a,b] f(x)-f(c)/ [a,c] bằng f(x)-f(c) trên [b,c] vậy ta có:
f x f c dx f x f c dx f c f x dx
* Nguyên nhân sai lầm:
Không hiểu về hàm liên tục lên tính tích phân sai
* Lời giải đúng:
áp dụng định lí về giá trị trung bình của tích phân ít nhất một điểm C a b, sao cho:
f x dx f c b a f c dx
f x f c dx f c f x dx
Vấn đề: Sai lầm khi tính diện tích hình phẳng bằng tích phân
I Kiến thức chung
- Cho hàm số y f x khả tích trên a b; Khi đó diện tích hình phẳng giới hạn bởi: ox,
y = f(x) , x = a, x = b là : b
a
S f x dx
II Những sai lầm thường gặp
1 Sử dụng sai công thức
www.vntoanhoc.com
Trang 4VD1:tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi
2
9
Lời giải sai:
Diện tích hình phẳng là:
4
1
4 1
1 3
S x dx x x
Sai lầm: áp dụng sai công thứctính diện tích y
Lời giải đúng:
3
2 1
9
S x dx
o 1 3 4 x
2 Xác định không chính xác hình cần tính giới hạn
VD: tính diện tích hình giới hạn bởi: 2 0; 1
Lời giải sai: 2
y x y x
Vậy diện tích hình phẳng cần tìm là:
2
3 1
2
1
S x dx x
Sai lầm: xác định sai hình cần tính diện tích do không vẽ đường giới hạn
Lời giải đúng:
Vẽ hình giới hạn:
Vậy diện tích hình giới hạn là:
1 2
S S S với :
2
2
3 2
1
2
1
4 3
S
3 Xác định sai hình cần tính giới hạn.
VD: Tìm diện tích hình giới hạn bởi:
www.vntoanhoc.com
Trang 5
2
1 2
2
;
y
Lời giải sai:
C C
Vậy diện tích của hình giới hạn là:
5
2
3
2
Sai lầm: Xác định sai hình cần tính giới hạn y=(x-1)2 y=(x-3)2
Lời giải đúng:
C C
Diện tích hình giới hạn là:
1 2
SS S
2
1
3 2
2 3
2
5
2 2 5
2 2
2
2 2
Vậy S = 1 1 1
2 2
Vấn đề: Dự kiến sai lầm khi tính thể tích khối tròn xoay bằng tích phân.
I, công thức:
www.vntoanhoc.com
Trang 61 2
Cho hình phẳng giới hạn bởi
2 0 0
0
2
b
b
y
x a
x b
Nếu hình phẳng giới hạn bởi
1
d
c
f y g y
II, Một số sai lầm thường gặp:
1 Sử dụng công thức bỏ giá trị tuyệt đối:
0
x y b a a b quay quanh trục 0x
Phương trình đường tròn (C): 2 2 2
x y b a có thể viết
2 2
2 2
2
a
a
2 a b
* Sai lầm: mặc dù kết quả đúng nhưng sai công thức thể tích:
2 2
b
a
b
a
Vox y y dx
2
a
a
2 Sử dụng nhầm V oy
ví dụ : Tính Voy của hình
2
1 2
y x x x
* Lời giải sai:
4 1
1
x Voy x dx
* Sai lầm: Đã sử dụng công thức 2
b
a
Voyy dx đây là công thức tính diện tích Vox Vởy lời giải bị sai
* Lời giải đúng
2
2 1
15
2
www.vntoanhoc.com
www.vntoanhoc.com