Đề cương bài giảng phương pháp phần tử hữu hạn trong mô phỏng và tính toán ô tô

0 TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM KỸ THUẬT HƯNG YÊN BÀI GIẢNG PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN TRONG MÔ PHỎNG VÀ TÍNH TOÁN Ô TÔ DÙNG CHO CHƯƠNG TRÌNH CAO HỌC Giáo viên: TS Nguyễn Thanh Quang Hưng Y

0

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM KỸ THUẬT HƯNG YÊN

BÀI GIẢNG

PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN TRONG MÔ PHỎNG VÀ TÍNH TOÁN Ô TÔ

DÙNG CHO CHƯƠNG TRÌNH CAO HỌC

Giáo viên: TS Nguyễn Thanh Quang

Hưng Yên 2013

KHÁI NIỆM CHUNG VỀ PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN

1.3.1 Các quan hệ chuyển vị, biến dạng, ứng suất trong phần tử 10 1.3.2 Phương trình cơ bản của phương pháp phần tử hữu hạn 11

Phần 2

CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TOÁN PHẦN TỬ HỮU HẠN

2.3 Phương pháp giải trên phần mềm

2.1 Khái niệm về phương pháp phần tử hữu hạn

2.2 Trình tự phân tích bài toán theo phương pháp phần tử hữu hạn

2.3 Hàm xấp xỉ  đa thức xấp xỉ  phép nội suy

2.4 Các phương trình cơ bản

Chương 3 Tính toán hệ thanh (TL3)

3.1 Hệ thanh dàn

3.2 Khung phẳng

3.3 Khung không gian

Chương 4 Bài toán phẳng của lý thuyết đàn hồi (TL4)

4.1 Các phương trình cơ bản của bài toán phẳng của lý thuyết đàn hồi 4.2 Bài toán phẳng với phần tử dạng tam giác

4.3 Phần tử chữ nhật

Chương 5 Phần tử bậc cao và phần tử đẳng tham số (TL5)

5.1 Hệ tọa độ tự nhiên của các loại phần tử

5.2 Phần tử một chiều bậc cao

5.3 Phần tử tam giác bậc cao trong hệ tọa độ tự nhiên

5.4 Phần tử 3 chiều – Khối tứ diện

5.5 Phần tử 2 chiều dạng tứ giác

5.6 Phần tử đẳng tham số

Chương 6 Tấm chịu uốn (TL6)

6.1 Các phương trình cơ bản của tấm chịu uốn

6.2 Phần tử tấm không tương thích dạng tam giác

6.3 Phần tử đẳng tham số dạng tứ giác bốn nút

Chương 7 Phần tử 3 chiều (TL7)

7.1 Phần tử tứ diện

7.2 Phần tử lục diện

3

Chương 8 Bài toán động lực học kết cấu (TL8)

8.1 Phương trình động lực học kết cấu

8.2 Ma trận khối lượng tương thích và ma trận khối lượng tập trung

8.3 Ma trận khối lượng tương thích trong hệ tọa độ tổng thể

8.4 Dao động tự do – Bài toán trị riêng xác định tần số dao động tự do của kết cấu

Chương 9 Một số ví dụ ứng dụng phương pháp phần tử hữu hạn trong phần mềm Matlab-Simulink

9.1 Khảo sát độ bền trục khuỷu động cơ

9.2 Khảo sát độ bền khung vỏ ô tô

9.3 Khảo sát lực cản khí động lực học trên ô tô

TÀI LIỆU THAM KHẢO

1 Trần Ích Thịnh, Trần Đức Trung, Nguyễn Việt Hùng (2000), Phương pháp phần tử hữu hạn trong kỹ thuật, Đại học Bách khoa Hà Nội

2 Trần Ích Thịnh, Ngô Như Khoa (2007), Phương pháp phần tử hữu hạn, Giáo trình Đại học Thái Nguyên

3 Ngô Như Khoa (2011), Phương pháp phần tử hữu hạn, Trường Đại học Thái Nguyên

4 Chu Quốc Thắng (1997), Phương pháp phần tử hữu hạn, Nxb Khoa học

Kỹ thuật

5 Trần Vĩnh Hưng (2012), Ứng dụng phần tử hữu hạn Bài giảng cao học, trường ĐH Sơ phạm Kỹ thuật Hưng Yên,

4

Phần 1 KHÁI NIỆM CHUNG VỀ PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN

1.1 Mô hình rời rạc hóa kết cấu

Để tìm ẩn số: chuyển vị, biến dạng, ứng suất tại mỗi điểm bất kỳ trong kết cấu, chi tiết máy, người ta thường áp dụng phương pháp phần tử hữu hạn (PTHH) tiếng Anh: Finite Element Method (FEM)

- Ý tưởng cơ bản của phương pháp phần tử hữu hạn toán kết cấu: Coi vật thể liên tục như là tổ hợp của nhiều phần nhỏ liên kết với nhau bởi một số hữu hạn các điểm gọi là nút

- Các phần nhỏ được hình thành gọi là các phần tử hữu hạn (phần tử)

- Hình dạng, kích thước các phần tử khác nhau, tạo thành các mạng lưới khác nhau

- Một số sơ đồ rời rạc hóa kết cấu liên tục thành mạng lưới PTHH (hình 1)

Hình 1 Một số sơ đồ rời rạc hóa kết cấu

- Quan niệm rời rạc hóa là gần đúng

Năng lượng bên trong mô hình thay thế bằng năng lượng trong kết cấu thực

- Các loại phân tử: Căn cứ vào hình dạng và tình hình chịu lực

+ Thanh: Lấy đoạn dầm làm phần tử hữu hạn

+ Tấm phẳng: Phần tử tam giác, phần tử chữ nhật, tứ giác

+ Vỏ: Phần tử tấm phẳng, vỏ

+ Khối: Phần tử hình tứ diện, hình lập phương, hình lục diện

+ Vật thể đối xứng trục: Phần tử hình vành khăn

- Nguyên lý phát biểu như sau:

Trong tất cả các trường chuyển vị thỏa mãn các điều kiện tương thích và điều kiện biên động học, thì trường chuyển vị tương ứng với sự cân bằng của vật thể sẽ làm cho thế năng toàn phần  đạt giá trị dừng (đạt giá trị cực tiểu)

 = v + V = 0 (1.1) Trong đó:

: v + V: Thế năng toàn phần, là hàm của các chuyển vị

v: Thế năng biến dạng đàn hồi của vật thể

V: Công của ngoại lực sinh ra trên dịch chuyển của ngoại lực do vật thể biến dạng

6

Hình 3 Thế năng biến dạng đàn hồi

Thế năng biến dạng và thế năng bù của vật thể đàn hồi

- Nếu hệ ở trạng thái ổn định, thể năng toàn phần có giá trị cực tiểu

- Như vậy sau khi giả thiết một dạng hàm chuyển vị trong phần tử, từ điều kiện dừng của phiếm hàm  ta sẽ nhận được một hệ phương trình cân bằng trong khi các điều kiện liên tục đã được thỏa mãn

2 Mô hình cân bằng

- Chọn các ứng suất hay nội lực ở các nút làm ẩn số Các ẩn số này được xác định từ phương trình tương thích thành lập trên cơ sở nguyên lý cực tiểu của thế năng bù toàn phần * đạt giá trị dừng

* = v* + V* = 0 (1.2) Trong đó:

* = v + V*

v*: Thế năng bù của biến dạng

V*: Công bù của ngoại lực

3 Mô hình hỗn hợp

- Coi các ẩn (ứng suất, chuyển vị) là độc lâpj với nhau trong toàn bộ phần

tử Các ẩn này được xác định từ hệ phương trình thiết lập theo nguyên lý biến phân REISSNER

Thông thường người ta hay sử dụng mô hình chuyển vị Vì nó thuận lợi cho việc tính toán trên máy tính

1.2 Hàm chuyển vị, Hàm dạng

1.2.1 Hàm chuyển vị

7

Hàm chuyển vị được thiết lập dưới dạng một đa thức

- Bậc của đa thức và số lượng số hạng trong đa thức phụ thuộc vào bậc tự

do của phần tử, tức là số chuyển vị ở tất cả các nút của phần tử

Hàm có dạng

Bài toàn một chiều:

:

2 1 )

f x     tuyến tính

2 3 2 1

f( ,y)  1 2  3 : tuyến tính

2 6 5 2 4 3 2 1

- Mỗi nút có 2 bậc tự do chuyển vị theo hai phương x, y Phần tử có 6 bậc

tự do, có 6 chuyển vị ở các nút là ui, vi, uj, vj, um, vm: gọi là chuyển vị nút

Hợp thành véc tơ chuyển vị nút của phần tử

v u v u v u

y u

y y

6 5 4 ) , (

3 2 1 ) , (

y y

v u v u v u

xy

xy v

u

0001

000 1

) , (

) , (

(1.5)

Viết gọn lại

{f} = [Q] {} (1.6) Trong đó:

Xác định{} theo [C] từ (1.7)

{} = [C]-1.{} (1.8) Thay (1.8) vào (1.6) ta có

{f} = [Q].[C]-1{} (1.9)

9

Hay

{f} =[N].{} (1.10) Trong đó

[N] = [Q].[C]-1 (1.11) [N] gọi là ma trận các hàm dạng Hay gọi là ma trận các hàm nội suy

Ta có thể suy ra chuyển vị của điểm bất kỳ

1.2.3 Lực nút

- Khi vật thể chịu lực, trong các phần tử sinh ra nội lực, PPPTHH giả thiết các nội lực nằm ở điểm nút gọi là lực nút Đó là lực tương tác giữa các phần tử liên kết với nhau tại nút do chuyển vị nút sinh ra Tại các nút có thể có ngoại lực (tải trọng)

- Trong mỗi phần tử các lực nút hợp thành véc tơ lực nút{F} có số thành phần bằng số thành phần của véc tơ chuyển vị nút, được sắp xếp tương ứng với véc tơ chuyển vị nút

Hình 5 Véc tơ chuyển vị nút của phần tử

{F} =[vi Vi vj Vj vm Vm]T Đối với thanh chịu uốn

Véc tơ chuyển vị nút

{} = [vi i vj j] Véc tơ lực nút

{F}e = [Vi Mi Vj Mj]T

10

1.3 Phương trình cơ bản của phương pháp PTHH

1.3.1 Các quan hệ chuyển vị, biến dạng, ứng suất trong phần tử

- Chuyển vị ở các nút: Trường chuyển vị theo chuyển vị nút

{f} = [N] {} (1.12)

- Biến dạng theo lý thuyết đàn hồi

{} = [] {f} (1.13) [] toán tử vi phân

y y

y x z y x

0 0

0

0 0

0 0

0 0

(1.14)

Ta có véc tơ biến dạng

{} =[] [N] {f} (1.15) Hay{} =[B] {} (1.16)

Trong đó [B] = []  N gọi là ma trận biến dạng

- Ứng suất tại một điểm trong phần tử, xác định theo định luật Hooke:

{} = [D] {} (1.17) [D] gọi là ma trận đàn hồi

Thay (1.16) vào (1.17) ta có

{} = [D].[B]{} (1.18) Hay

{} =[S].{} (1.19) Trong đó:

[S] = [D] [B] (1.20) gọi là ma trận tính ứng suất

T ve

T T T

T Ve

T T

T T

e

dS q N dV p N

.

2 1

Thì phải cộng thêm các lực tập trung vào véc tơ tải  e

T T

e

dV B

dV B

dS q N dV dV p N

đó xây dựng phương trình cơ bản đối với toàn bộ kết cấu

- Việc tổ hợp này có nghĩa là sắp xếp các thành phần trong các ma trận [k] của các phần tử vào các vị trí thích hợp trong ma trận [K] và các thành phần trong các ma trận{p} của các phần tử vào các vị trí thích hợp trong [p]

- Sự sắp xếp này được mô tả bằng ma trận định vị của các phần tử

- Gọi véc tơ chuyển vị nút của phần tử là   , véc tơ chuyển vị nút tổng thể của toàn bộ kết cấu là   ta có quan hệ

nd: số chuyển vị nút trong mỗi phần tử

n: số chuyển vị nút trong toàn bộ kết cấu

14

Phần 2 CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TOÁN PHẦN TỬ HỮU HẠN

2.1 Phương pháp sai phân PTHH

) (

'

y

x x

y  b) Phương pháp sai phân PTHH

Chia thành n đoạn trong khoảng [0, x] ta có:

o o o

x x

x

y y x

y y

Các phần tử

α

y 1

15

1 1 2 ) 1 ( ) 2 ( 1

x

y y x

y y

y y

x

y y

Nối các điểm y1, y2 yn+1 với nhau ta xác định được dạng hàm số y = f(x)

Khi chia khoảng ∆x nhỏ => đường nối “gần” hơn => kết quả chính xác hơn Khi chia khoảng ∆x lớn => đường nối “xa” hơn => kết quả không chính xác Tuy nhiên việc chia nhỏ là bao nhiêu khoảng còn phụ thuộc vào dung lượng và khả năng của máy tính điện tử nữa

c) Lập trình trong Matlab file *.m

 Xây dựng được phiến hàm mô tả kết cấu: Ví dụ trong cơ học biến dạng đó

là phiến hàm năng lượng Khi kết cấu ổn định (trạng thái đạt được trong giai đoạn đàn hồi của kết cấu khi biến dạng) thì năng lượng cực tiểu

 Có hệ phương trình cho trước: theo Niu tơn hoặc Lagrăng

S ( ) 1 ( '( ))2

- Cực tiểu S

Ta có Smin khi y(x) là đường thẳng

S => là phiến hàm của hàm y(x) => tìm được hàm y(x)

2.2.2 Cách 2: Giải theo hệ PTVP cho trước

) (

'

y

x x y

Trên hình 1, chia khoảng x o , x 1 , , x n

a x

x b

Khi y * là chính xác y * = y, ta thấy:

y y

Xét trong khoảng x o – x 1 của phần tử thứ nhất:

0 ) (

0 ) (

dx x y

x o x

x o x

(2.9)

Thay (8) vào (9) ta được:

0 )) ( (

0 )) ( (

1

1 1

1 1

dx x x f a

x o x

x o x

Từ phương trình (10) ta tìm được a 1 ,b 1 của phần tử thứ nhất

Tương tự ta cũng giải được đối với các phần tử khác

b) Trường hợp tổng quát

- Chọn hàm xấp xỉ

) (

) ( )

1 1

Ta có:

) (

) ( )

( )

(y* 'a1f1' x a2f2' x  a n f n' x (2.12)

19

Thay vào phương trình (1) ta có:

0 ) ( ) ) ((

0 ) ( ) ) ((

0 ) ( ) ) ((

1

' '

*

1

2 ' '

*

1

1 ' '

dx x f y y

dx x f y y

k k

n

k k

k k

Và:

' '

0 )

- Chọn hàm xấp xỉ

20

Ta chọn hàm xấp xỉ theo công thức (2.11)

) (

) ( )

1 1

Trong đó f 1 , f 2 , f k đã biết trước

Theo định nghĩa, ta chọn (tùy chọn) hàm xấp xỉ theo đa thức bậc 3, phương trình (2.17), ta chọn bậc càng cao càng tốt Việc chọn bậc cao phụ thuộc vào khả năng của máy tính

4 3

2 2

' 3a x 2a x a

2 1 '' 6a x 2a

) 1 6 2 ( ) 3

A  

1 6

2 2

(

1

3 4 3

2 2

k x A x A x A x dx

A

0 ).

(

1

2 4 3

2 2

k x A x A x A x dx

A

21

0 ).

(

1

4 3

2 2

k x A x A x A xdx

0 ).

(

1

4 3

2 2

k x A x A x A dx

A

Thực hiện tiếp ta có:

0 4

1 5

1 6

1 7

1

1

4 4 1

5 3 1

6 2 1

k k k

k k k

k k

k

A

0 3

1 4

1 5

1 6

1

1

3 4 1

4 3 1

5 2 1

k k k

k k k

1 3

1 4

1 5

1

1

2 4 1

3 3 1

2 1

k k k

k k k

k k

k

0 2

1 3

1 4

1

1

4 1

2 3 1

3 2 1

k k k

k k k

k k

k

A

Hệ phương trình (2.25) có 4 ẩn số nhưng là hệ suy biến nên chưa giải được ngay

vì chưa có điều kiện đầu

Các hệ số A1k,A2k,A3k,A4k là không độc lập tuyến tính, cần ghép tất cả các phương trình với nhau cùng điều kiện đầu để giải

Triển khai tiếp hệ phương trình (2.25) đưa về dạng chung (x k x k1) làm cơ sở

để lập trình, ta được hệ phương trình (2.26)

0 ) (

4

1 ) (

5

1 ) (

6

1 ) (

7

1

4 4

5 1

5 3

6 1

6 2

3

1 ) (

4

1 ) (

5

1 ) (

6

1

3 4

4 1

4 3

5 1

5 2

2

1 ) (

3

1 ) (

4

1 ) (

5

1

2 4

3 1

3 3

4 1

4 2

) (

2

1 ) (

3

1 ) (

4

1

1 4

2 1

2 3

3 1

3 2

2 3 4 5

3 4 5 6

4 5 6 7

2

1 3

1 4

1 3

1 4

1 5

1

3

1 4

1 5

1 6

1 5

1 6

1 7

1

X X X X

X X X X

X X X X

X X X X

A A A A

4 3 2 1

2 3 4 5

3 4 5 6

4 5 6 7

2

1 3

1 4 1

2

1 3

1 4

1 5 1

3

1 4

1 5

1 6 1

4

1 5

1 6

1 7 1

X X X X

X X X X

X X X X

X X X X

là ma trận đối xứng

Ta đã chọn hàm xấp xỉ là đa thức bậc 3 theo phương trình (2.17) và đạo hàm bậc nhất theo (2.18), kết hợp với điều kiện đầu theo phương trình (2.15), trường hợp này thì :

A A A A

4 3 2

0 1 2 6

0 0 1 3

0 0 0 1

a a a a

0 1 2 6

0 0 1 3

0 0 0 1

0

3 1

4 3 2 1

a a a a

 P D

Và lập trình ma trận theo tọa độ của phần tử ta được (2.37)

4 3 2 1

Hay

a a a a

34 33 32 31

24 23 22 21

14 13 12 11

a a a

a

a a a

a

a a a

a

a a a

x x x x

b b b b

0 0

1 0

0 1

0

x

x x

0

0 0

0 0

1 0

0 1

a

a a

0 0

0 0

1 0

0 1

0 0

a a

0111.0(3''

2 '

x x

y

*Chú ý: Khi chưa biết hệ PT vi phân ta phải xây dựng phiến hàm

Trong cơ học => sử dụng phiến hàm năng lượng (biến dạng) => sử dụng nguyên

lý Hamiltơn

26

Trong trường hợp tổng quát, hàm năng lượng có dạng:

U là thế năng biến dạng đàn hồi (là công của nội lực: lực thế, ứng suất )

A là công của ngoại lực (lực khối, lực bề mặt, lực tập trung )

+ Xác định thế năng biến dạng đàn hồi U:

  dV U

2

1

(2.46)

  là ten xơ biến dạng – là một véc tơ (ma trận vuông)

  là ten xơ ứng suất

(V) được xét trên toàn vật thể

Trong không gian 3 chiều ta có:

V

zx zx yz yz xy xy z z y y x x



) (

) (

+ Xác định công của ngoại lực A:

Từ công thức tính công suất :

t t

i t

t

i dt F d s V

y i

x i

z i

y i

x i

u u u

F F F

Nên :

z i

z i

y i

y i

x i

x

F

Trong đó chỉ số K đại diện cho nhiều loại lực như áp suất, tải trọng động

 Mối liên hệ giữa ứng suất biến dạng:

 C là ma trận vật liệu (nói chung) – đàn hồi, đẳng hướng và biết trước đối với từng loại vật liệu Các chỉ số trong đó của vật liệu cơ bản bằng “0”, chỉ còn lại là

hệ số Poát xông “e” và mô dun đàn hồi “ ” phụ thuộc vào từng loại vật liệu

 Mối liên hệ giữa biến dạng và chuyển vị:

Biến dạng của phần tử liên quan đến hình dáng

Chuyển vị của nút liên quan đến vị trí

Trường hợp tuyến tính mối liên hệ giữa biến dạng và chuyển vị như sau:

u

w x

w x

u

xy x

u y

u

yz y

v z

u

xy z

Xét thanh chịu uốn trên hình 3

Hình 2.4 Thanh chịu uốn Cần tìm chuyển vị uốn v A và chuyển vị góc α A => có hai bậc tự do (nếu khả năng giải được nhiều ta chọn càng nhiều bậc tự do càng tốt nhưng phụ thuộc vào khả năng giải của máy tính)

Từ công thức (2.50), bỏ qua chuyển vị theo phương y (sẽ gây ra sai số), ta

có:

x

v x

u y

u x

u

xy x

v y

w z

0 0

1 0

0 0

0 0

0 0

Nếu các phần tử giống nhau thì k e giống nhua và ngược lại Vì vậy ta cố

gắng chia các phần tử giống nhau để giảm bớt việc tính toán các ma trận độ

cứng phần tử k e

Ví dụ 5

Thanh chịu kéo nén đúng tâm

Xét thanh chịu kéo nén, hình 2.5

Hình 2.5 Thanh chịu kéo nén

x

F S

l

A

B

30

+ Bằng giải tích, ứng suất và biến dạng trong thanh được xác định bởi:

S E

F E S F

F dx U

x x

Theo định lý Cô si về kéo nén:

E

x x



  , ta có

Ta có:

dx ES dx S E dV E U

x x

l x

2 2

0

2

2 2

1 2

U x  1 2 U x gọi là hàm dạng Lấy điều kiện đầu ta có:

0 0

U ES dx l

U ES

l B x

2

2 2

2 2

2 2

 Thế năng biến dạng đàn hồi (theo công thức (45)):

B

B F U l

U S U

2

l F

U B  . 

Hay :

x ES

F

So sánh kết quả với PP giải tích (2.57) thì hai kết quả giống nhau

Tuy nhiên đây là bài toán đơn giản, thanh chịu kéo nén được chai thành một phần tử Khi chia thanh thành nhiều phần tử thì giải bằng giải tích sẽ rất phức tạp, để thay thế giải tích thường ta phải tiến hành thí nghiệm, còn tính toán bằng

PP PTHH sẽ có nhiều ưu điểm hơn

32

Hình 2.6 Xấp xỉ hàm v = F(v A , α A , v B , α B )

Với 4 thông số ta cần 4 phương trình để giải

Giả sử ta chọn hàm xấp xỉ dạng:

4 5

3 4

2 3 2

2 4 3

2 2a x 3a x 4a x a

2 4 3

2

3 5

2 4 3

2

4 5

3 4

2 3 2

1

4 5

3 4

2 3 2

1

4 3

2

4 3

2

B B

B B

A A

A A

B B

B B

B

A A

A A

A

x a x a x a a

x a x a x a a

x a x a x a x a a v

x a x a x a x a a v

5) Xác định véc tơ lực nút (tính công ngoại lực A)

6) Tổng hợp ma trận độ cứng và tổng hợp véc tơ lực nút cho toàn kết cấu

7) Giải các ma trận tổng hợp dạng: K d  F là phương trình đại số, nên giải được dễ dàng

* Tính thế năng biến dạng đàn hồi của dầm chịu uốn (chỉ đúng với dầm chịu uốn) Xem ví dụ hình 1.13 trang 27 (PP PTHH Chu Quốc Thắng)

+ Lấy kết quả đã có (giải bằng đại số):

v B , α B

v A , α A