1 số dạng toán luyện thi vào lớp 10

CÁC BÀI TOÁN VỀ CĂN THỨC 1.1 Dẫn nhập kỹ năng giải toán  Phân tích mẫu thức thành nhân tử đạt điều kiện cho mẫu thức và căn thức nếu có  Một số câu hỏi thường gặp trong bài toán về că

Một số dạng toán ôn thi vào lớp 10

Người soạn Vũ Văn Bắc Ngày soạn 22 tháng 4 năm 2012

www.MATHVN.com

Tài liệu cơ sở ôn tập thi vào lớp 10 Biên soạn Vũ Văn Bắc

VẤN ĐỀ 1 CÁC BÀI TOÁN VỀ CĂN THỨC 1.1 Dẫn nhập kỹ năng giải toán

 Phân tích mẫu thức thành nhân tử đạt điều kiện cho mẫu thức và căn thức nếu có

 Một số câu hỏi thường gặp trong bài toán về căn thức

 Rút gọn biểu thức

 Giải bất phương trình : chú ý điều kiện ban đầu

 Giải phương trình : chú ý điều kiện ban đầu để loại nghiệm nếu có

 Chia nhỏ các biểu thức để tính nếu như biểu thức cần tính là phức tạp hay dài dòng

 Lưu tâm rằng đây là câu hỏi đơn giản các em cần cẩn thận trong việc làm toán

 Tổng quan: Cho biểu thức B 3 x 1 1 : 1

Kết hợp với điều kiện thì chỉ có x9 là thỏa mãn

Vậy x9 là giá trị thỏa mãn bài toán đã cho

Nhận xét: cách giải chung trong bài toán trên như sau

 Đặt điều kiện thích hợp (nếu đề bài trước như trên thì ta vẫn phải nêu lại sau đó biến đổ rút gọn biểu thức

 Kết luận: nêu lại điều kiện và kết quả tìm được

 Khi gặp dạng như câu hỏi 2 thì cách làm trên là điển hình

www.MATHVN.com

Bài tập chuyên sâu ôn thi vào lớp 10 Biên soạn Vũ Văn Bắc

1.2 Bài tập rèn luyện kỹ năng

2

a a a

a P

a

21

23

22

3:

1

1

x x

x x

x x

x x

x

a) Rút gọn P

b) Tìm giá trị của x sao cho P  0

Bài toán 1.3 Cho biểu thức P = 

231:19

813

113

1

x

x x

x x

1:1

1

a a a a

a a

a

a

a) Rút gọn P

b) Tìm giá trị của a sao cho P  1

c) Tìm giá trị của P sao cho a19 8 3

Bài toán 1.5 Cho biểu thức P =

a a

a

a a

a a

1

1.1

1:1

)1

212

11

:112

212

1

x

x x x

x x

x x x

2

x

x x

x x x x

a a

a

a a

a

1

1.1

Tài liệu cơ sở ôn tập thi vào lớp 10 Biên soạn Vũ Văn Bắc

Bài toán 1.9 Cho biểu thức 1 1 : 2 1 2

b) Tính giá trị của P khi x 74 3

c) Tìm giá trị lớn nhất của a sao cho Pa

Bài toán 1.10 Cho biểu thức P = 

a a a

a

a a

1

1.1

3333

2

x

x x

x x

x x

36

9:19

3

x

x x

x x

x

x x

x x

2332

1115

x x

x x

2

m x

m m

x

x m

b) Tính x theo m sao cho P 0

c) Xác định các giá trị của m sao cho x tìm được ở câu b thoả mãn điều kiện x  1

Bài toán 1.15 Cho biểu thức P  2 1

a

a a

1:

111

1

ab

a ab ab

a ab

a ab ab

Bài tập chuyên sâu ôn thi vào lớp 10 Biên soạn Vũ Văn Bắc

11

11

a

a a

a a

a a a

a a a a

a a

a) Rút gọn P

b) Với giá trị nào của a thì P  7

c) Với giá trị nào của a thì P 6

Bài toán 1.18 Cho biểu thức P  

12

12

2

a

a a

a a a

a) Rút gọn P

b) Tìm các giá trị của a sao cho P 0

c) Tìm các giá trị của a sao cho P   2

Bài toán 1.19 Cho biểu thức

c) Tính giá trị của P khi a 2 3 và b  3

Bài toán 1.20 Cho biểu thức P 

2

1:1

111

x

x x

x x

a) Rút gọn P

b) Chứng minh rằng : P 0 với mọi x 1

Bài toán 1.21 Cho biểu thức P  

:1

11

2

x x

x x

x x

x x

a) Rút gọn P

b) Tính P khi x  5 2 3

Bài toán 1.22 Cho biểu thức P   

y x

xy y

x x

y

y x y x

y x

b a a

ab b

a b b a a

ab b

31

.3

.1

21

12

a

a a a a a

a a

315

2

25:

125

5

x

x x

x x

x

x x

x x

a) Rút gọn P

b) Với giá trị nào của x thì P  1 www.MATHVN.com

Tài liệu cơ sở ôn tập thi vào lớp 10 Biên soạn Vũ Văn Bắc

Bài toán 1.26 Cho biểu thức P     

b ab a

b a a

b a b b a a

a b

ab a

a

22

2

.1:13

b) Tìm những giá trị nguyên của a sao cho P có giá trị nguyên

Bài toán 1.27 Cho biểu thức P  

1:

11

1

a

a a

a a

3 3

:112

.11

xy y x

y y x x y x y x y x y

x

x y

22

3

a) Rút gọn P

b) Tìm tất cả các số nguyên dương x sao cho y 625 và P 0, 2

VẤN ĐỀ 2 CÁC BÀI TOÁN VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI 2.1 Dẫn nhập kỹ năng giải toán

 Một số câu hỏi mang tính tương đối

 Tìm biểu thức liên hệ độc lập giữa các nghiệm : dùng Viet để giải

 Tìm giá trị lớn nhất hay nhỏ nhất của một biểu thức nào đó : dùng Viet để giải nhưng chú ý về điều kiện  để phân tích biểu thức thành dạng tích cộng với một hằng số nào đó hay là phân tích thành dạng bình phương cộng với một hằng số nào đó Ví dụ như điều kiện

để phương trình có nghiệm là x1 thì ta phân tích về dạng b x.( 1) trong đó bx1 Nếu như bx1 thì phân tích thành dạng bình phương cộng hằng số và đánh giá

 Phương trình trùng phương và số nghiệm

 Có bốn nghiệm phân biệt khi phương trình (*) có hai nghiệm dương phân biệt

Lưu ý ở đây phương trình (*) là phương trình ẩn t sau khi đặt tx2

 Có ba nghiệm phân biệt khi phương trình (*) có một nghiệm bằng 0 và nghiệm còn lại

là dương

 Có hai nghiệm phân biệt khi phương trình (*) có hai nghiệm trái dấu

 Có một nghiệm khi phương trình (*) có nghiệm duy nhất bằng 0

d) Tìm m để phương trình có hai nghiệm dương phân biệt

e) Tìm m để phương trình có hai nghiệm âm phân biệt

f) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt trái dấu

www.MATHVN.com

Bài tập chuyên sâu ôn thi vào lớp 10 Biên soạn Vũ Văn Bắc

g) Khi phương trình có hai nghiệm phân biệt x x1, 2 chứng minh rằng

   2

1 2

h) Tìm m khi ta có hệ thức sau x1 x2 2 7 trong đó x x1, 2 là hai nghiệm của phương trình

i) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn nghiệm này bằng hai lần nghiệm kia

j) Chứng minh rằng khi m 1 thì phương trình có hai nghiệm phân biệt x x 1, 2 Khi đó hãy chứng minh bất đẳng thức : 1 2

m   thì phương trình đã cho là có nghiệm

c) Phương trình có hai nghiệm phân biệt khi

Tài liệu cơ sở ôn tập thi vào lớp 10 Biên soạn Vũ Văn Bắc

Do đó ta ngay hệ thức cần tìm như sau

m m

m m

Vậy không tồn tại m để phương trình có hai nghiệm âm phân biệt

f) Phương trình có hai nghiệm phân biệt trái dấu khi

1 1

' 00

Bài tập chuyên sâu ôn thi vào lớp 10 Biên soạn Vũ Văn Bắc

Khi đó áp dụng hệ thức Viet ta được

2 2

281

m m

m  m  thỏa mãn bài toán

i) Điều kiện để phương trình có hai nghiệm phân biệt m  1 và  1

Khi đó các em làm tiếp chú ý điều điện phương trình có hai nghiệm phân biệt

j) Đễ dàng chứng minhđược ý đầu tiên của bài toán ta có

Tài liệu cơ sở ôn tập thi vào lớp 10 Biên soạn Vũ Văn Bắc

Với m 1m10 từ đó áp dụng bất đẳng thức Cauchuy cho hai số dương ta có bất đẳng

thức cần phải chứng minh Dấu bằng có khi và chỉ khi m 1 2 5

2.2 Bài tập rèn luyện kỹ năng

Bài toán 2.1 Cho phương trình 2 2

a) Giải phương trình khi m 2 1

b) Tìm m để phương trình có nghiệm x3  2

c) Tìm m để phương trình có nghiệm dương duy nhất

Bài toán 2.2 Cho phương trình m4x22mxm20 (x là ẩn số)

a) Tìm m để phương trình có nghiệm x 2 tìm nghiệm còn lại

b) Tìm m để phương trình có nghiệm phân biệt

Bài toán 2.3 Cho phương trình x22m1xm40 (x là ẩn số )

a) Tìm m để phương trình có nghiệm trái dấu

b) Chứng minh rằng phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m

c) Chứng minh biểu thức M  x11x2x21x1 không phụ thuộc vào m

Bài toán 2.4 Tìm m để phương trình :

a) x2x2m10 có hai nghiệm dương phân biệt

b) 4x22xm10 có hai nghiệm âm phân biệt

c) ( m2 1) x2 2( m  1) x  2 m   1 0 có hai nghiệm trái dấu

Bài toán 2.5 Cho phương trình x2a1xa2a20

a) Chứng minh rằng phương trình trên có hai nghiệm tráI dấu với mọi a

b) Gọi hai nghiệm của phương trình là x1 và x2 tìm giá trị của a để 2

2 2

00

Bài toán 2.8 Cho phương trình 2x22mxm220

a) Tìm các giá trị của m để phương trình có hai nghiệm dương phân biệt

b) Giả sử phương trình có hai nghiệm không âm tìm nghiệm dương lớn nhất của phương trình

Bài toán 2.9 Cho phương trình bậc hai tham số m : x24xm10

a) Tìm điều kiện của m để phương trình có nghiệm

b) Tìm m sao cho phương trình có hai nghiệm x1 và x2 thoả mãn điều kiện x12 x22 10

Bài toán 2.10 Cho phương trình x22m1x2m50

a) Chứng minh rằng phương trình luôn có hai nghiệm với mọi m

b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm cung dấu khi đó hai nghiệm mang dấu gì www.MATHVN.com

Bài tập chuyên sâu ôn thi vào lớp 10 Biên soạn Vũ Văn Bắc

Bài toán 2.11 Cho phương trình x22m1x2m100 (với m là tham số)

a) Giải và biện luận về số nghiệm của phương trình

b) Trong trường hợp phương trình có hai nghiệm phân biệt là x1 và x2 hãy tìm một hệ thức liên hệ giữa x và 1 x mà không phụ thuộc vào m 2

c) Tìm giá trị của m để 10x1x2x12x22 đạt giá trị nhỏ nhất

Bài toán 2.12 Cho phương trình m1x22mxm10 với m là tham số

a) Chứng minh rằng phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt m1

b) Xác định giá trị của m dể phương trình có tích hai nghiệm bằng 5 từ đó hãy tính tổng hai nghiệm của phương trình

c) Tìm một hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm không phụ thuộc vào m

d) Tìm m để phương trình có nghiệm x1 và x2 thoả mãn hệ thức 0

2

5

1 2 2

1   

x

x x

S  1  2 với n nguyên dương Chứng minh rằng : a.S n2bS n1cS n 0

Bài toán này nói về ″Công thức truy hồi″ các em thi Chuyên cần lưu ý

Bài toán 2.14 Cho f x( )x22(m2)x6m1

a) Chứng minh rằng phương trình ( )f x 0 có nghiệm với mọi m

b) Đặt x t 2 tính f x( ) theo t từ đó tìm điều kiện đối với m để phương trình f x ( ) 0 có hai nghiệm lớn hơn 2

Bài toán 2.15 Cho phương trình x22m1xm24m50

a) Xác định giá trị của m để phương trình có nghiệm

b) Xác định giá trị của m để phương trình có hai nghiệm phân biệt đều dương

c) Xác định m để phương trình có hai nghiệm có giá trị tuyệt đối bằng nhau và trái dấu nhau

d) Gọi x1; x2 là hai nghiệm nếu có của phương trình tính x 12 x22 theo m

Bài toán 2.16 Cho phương trình x x 2m2xm1 0

a) Giải phương trình khi 1

2

m 

b) Tìm các giá trị của m để phương trình có hai nghiệm trái dấu

c) Gọi x1; x2 là hai nghiệm của phương trình tìm giá trị của m để 2

1 2 2

2 2 2 1 2 1

55

610

6

x x x x

x x x x M









Bài toán 2.18 Cho phương trình x22k2x2k50 (k là tham số)

a) Chứng minh phương trình có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị của k

b) Gọi x1; x2 là hai nghiệm của phương trình tìm giá trị của k sao cho x12 x22 18

Bài toán 2.19 Cho phương trình 2m1x24mx40 (1)

a) Giải phương trình (1) khi m 1

b) Giải phương trình (1) khi m bất kì

c) Tìm giá trị của m để phương trình (1) có một nghiệm bằng m

Bài toán 2.20 Cho phương trình x22m3xm23m0

a) Chứng minh phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m

b) Xác định m để phương trình có hai nghiệm x1, x2thoả mãn 1 x1 x2 6

www.MATHVN.com

Tài liệu cơ sở ôn tập thi vào lớp 10 Biên soạn Vũ Văn Bắc

VẤN ĐỀ 3 CÁC BÀI TOÁN VỀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH

Về câu hỏi này thì các em cần chú ý đến việc đặt ẩn phụ để giải toán và điều kiện xác định khi gặp bài toán có chứa căn thức hay mẫu thức

Bài toán 3.1 Tìm giá trị của m để hệ phương trình  

11

y m x

m y x m

có nghiệm duy nhất thoả mãn điều kiện xy nhỏ nhất

Bài toán 3.2 Giải hệ phương trình và minh hoạ bằng đồ thị

y x

52

1 b)

2

y x

y x

11

x y

x y

Bài toán 3.3 Cho hệ phương trình

ay bx

by x

a) Giải hệ phương trình khi a  b

b) Xác định a và b để hệ phương trình trên có vô số nghiệm

Bài toán 3.4 Giải và biện luận hệ phương trình theo tham số

x

m y mx

64

2

Bài toán 3.5 Với giá trị nào của a thì hệ phương trình

·

1

y ax

ay x

y xy x

y xy x

Bài toán 3.7 Tìm m sao cho hệ sau có nghiệm

121

2

y x y

x m y x

y x

4

133

2

2 2

2 2

y xy x

y xy x

0342

2 2 2

2 3

b b a a

b b a

Tính giá trị của biểu thức P  a 2 b2

Bài toán 3.10 Cho hệ phương trình

y x a

3)

1(

a) Giải hệ phương rình khi a   2

b) Xác định giá trị của a để hệ có nghiệm duy nhất thoả mãn điều kiện xy0

VẤN ĐỀ 4 CÁC BÀI TOÁN VỀ ĐỒ THỊ HÀM SỐ Bài toán 4.1 Cho hàm số ( ) :d y(m2)xn

Tìm giá trị của m và n để đồ thị ( )d của hàm số

a) Đi qua hai điểm A(-1 ; 2) và B(3 ; -4) www.MATHVN.com

Bài tập chuyên sâu ôn thi vào lớp 10 Biên soạn Vũ Văn Bắc

c) Cắt đường thẳng x2y 3 0

d) Song song vối đường thẳng 3x2y1

Bài toán 4.2 Cho hàm số (P) : 2

2x

y 

a) Vẽ đồ thị (P)

b) Tìm trên đồ thị các điểm cách đều hai trục toạ độ

c) Xét số giao điểm của (P) với đường thẳng ( )d : y  mx1 theo m

d) Viết phương trình đường thẳng ( ')d đi qua điểm M(0;-2) và tiếp xúc với (P)

Bài toán 4.3 Cho (P) : 2

x

y  và đường thẳng ( )d :y  2xm

1 Xác định m sao cho hai đường đó

a) Tiếp xúc nhau tìm toạ độ tiếp điểm

b) Cắt nhau tại hai điểm phân biệt A và B một điểm có hoành độ x  1 Tìm hoành độ của điểm

còn lại Tìm toạ độ A và B

2 Trong trường hợp tổng quát giả sử (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt M và N

Tìm toạ độ trung điểm I của đoạn MN theo m và tìm quỹ tích của điểm I khi m thay đổi

Bài toán 4.4 Cho đường thẳng ( )d :2(m1)x(m2)y 2

a) Tìm m để đường thẳng (d) cắt (P) : y  x2 tại hai điểm phân biệt A và B

b) Tìm toạ độ trung điểm I của đoạn AB theo m

c) Tìm m để ( )d cách gốc toạ độ một khoảng Max

d) Tìm điểm cố định mà ( )d đi qua khi m thay đổi

Bài toán 4.5 Cho (P) : y x2

a) Tìm tập hợp các điểm M sao cho từ đó có thể kẻ được hai đường thẳng vuông góc với nhau và tiếp xúc với (P)

b) Tìm trên (P) các điểm sao cho khoảng cách tới gốc toạ độ bằng 2

Bài toán 4.6 Cho đường thẳng ( )d : 3

b) Dùng đồ thị biện luận số nghiệm của phương trình x1 m

Bài toán 4.8 Với giá trị nào của m thì hai đường thẳng ( )d :y (m1)x2 ; ( ')d :y  x3 1a) Song song với nhau

b) Cắt nhau

c) Vuông góc với nhau

Bài toán 4.9 Tìm giá trị của a để ba đường thẳng ( ) :d1 y2x5 ; (d2) :yx2 và

3

(d ) :yax12 đồng quy tại một điểm trong mặt phẳng toạ độ

Bài toán 4.10 Chứng minh rằng khi m thay đổi thì ( ) : 2d x(m1)y1 luôn đi qua một điểm cố định nào đó

Bài toán 4.11 Cho ( ) : 1 2

2

P y x và đường thẳng ( ) :d yax b Xác định a và b để đường thẳng

( )d đi qua điểm A(-1 ; 0) và tiếp xúc với ( )P

Bài toán 4.12 Cho hàm số y x1 x2

a) Vẽ đồ thị hàn số trên

b) Dùng đồ thị câu a biện luận theo m số nghiệm của phương trình www.MATHVN.com x1 x2 m

Tài liệu cơ sở ôn tập thi vào lớp 10 Biên soạn Vũ Văn Bắc

Bài toán 4.13 Cho ( ) :P yx2 và đường thẳng ( ) :d y2xm

a) Xác định m để (P) và ( )d cắt nhau tại hai điểm phân biệt A và B

b) Xác định phương trình đường thẳng (d') song song với đường thẳng (d) và cắt (P) tại điẻm có tung độ bằng -4

c) Xác định phương trình đường thẳng (d'') vuông góc với (d') và đi qua giao điểm của (d') và (P)

Bài toán 4.15 Cho hàm số( ) :P yx2 và hàm số ( ) :d y x m

a) Tìm m sao cho (P) và (d) cắt nhau tại hai điểm phân biệt A và B

b) Xác định phương trình đường thẳng (d') vuông góc với (d) và tiếp xúc với (P)

c) Thiết lập công thức tính khoảng cách giữa hai điểm bất kì Áp dụng tìm m sao cho khoảng cách giữa hai điểm A và B bằng 3 2

Bài toán 4.16 Cho điểm A(-2 ; 2) và đường thẳng ( ) :d1 y 2(x1)

a) Điểm A có thuộc (d1) không hãy giải thích

b) Tìm a để hàm số ( ) :P yax2 đi qua A

c) Xác định phương trình đường thẳng (d2) đi qua A và vuông góc với (d1)

d) Gọi A và B là giao điểm của (P) và (d2) ; C là giao điểm của (d1) với trục tung Tìm toạ độ của B và C Tính diện tích tam giác ABC

Bài toán 4.17 Cho ( ) : 1 2

4

P y x và đường thẳng (d) qua hai điểm A và B trên (P) có hoành độ lầm lượt là -2 và 4

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (P) của hàm số trên

b) Viết phương trình đường thẳng (d)

c) Tìm điểm M trên cung AB của (P) tương ứng hoành độ x2;4 sao cho tam giác MAB có diện tích lớn nhất

Bài toán 4.18 Cho 1 2

( ) :

4

P y  x và điểm M (1;-2) a) Viết phương trình đường thẳng (d) đi qua M và có hệ số góc là m

b) Chứng minh rằng (d) luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt A và B khi m thay đổi

c) Gọi x ; A x B lần lượt là hoành độ của A và B Xác định m để x A2x Bx A x B2 đạt giá trị nhỏ nhất và tính giá trị đó

d) Gọi A' và B' lần lượt là hình chiếu của A và B trên trục hoành và S là diện tích tứ giác AA'B'B Tính S theo m và xác định m để  2 2 

b) Tìm m sao cho (P) và (d) tiếp xúc nhau Tìm toạ độ tiếp điểm

c) Chứng tỏ rằng (d) luôn đi qua một điểm cố định

www.MATHVN.com