Chuyên đề luyện thi đại học môn toán chọn lọc

CÁC CHUYÊN ĐỀPHƯƠNG PHÁP GIẢI CÁC BÀI PHƯƠNG TRÌNH - BAT PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỶ(Nguyễn Thị Ngân) 4Ì Các phương pháp giải (Dạng cơ bản)............................................ ................................... 42 Phần riêng............................................ .................................................. ........................... 5ì Bất phương trình............................................ .................................................. .. 5li Phương trình............................................ .................................................. ........... 132 PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LOGARIT (Đỗ ĐườngHiếu) 17Ì PHƯƠNG TRÌNH MŨ............................................... .................................................. .... 17ì Phương pháp đưa về cùng cơ số .................................................. ....................... 17li Phương pháp đặt ẩn phụ............................................. ........................................... 18III Phương pháp sử dụng tính chất đồng biến và nghịch biến của hàm số . . 19IV Phương pháp lôgarit hóa.............................................. ....................................... .... 212...... PHƯƠNG TRÌNH LÔGARIT.......................................... ............................................. 21ì Phương pháp đưa về cùng cơ số .................................................. ...................... .... 21li Phương pháp đặt ẩn phụ............................................. ........................................... .... 22IU Phương pháp sử dụng tính chất đồng biến và nghịch biến của hàm số . . 23IV Phương pháp mũ hóa.............................................. .............................................. .... 243 CÁC BÀI TẬP TỔNG HỢP............................................. ............................................. .... 243 Cực TRỊ CỦA HÀM NHIÊU BIÊN(Lê Trung Tín) 35Ì Sử dụng bất đẳng thức cổ điển:.......................................... .............................................. 352 Sử dụng phương pháp miền giá trị(Điều kiện có nghiệm) .................................................. .................................................. 40•3 Sử dụng phương pháp đưa về khảo sát hàm Ì biến............................................ ............. 434 PHƯƠNG PHÁP Sử DỤNG TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỨA HÀM SÔ TRONGCÁC BÀI TOÁN CHỨNG MINH BAT ĐANG THỨC 52Ì MỘT SỐ VÍ DỤ TÌM GTLN, GTNN CỦA HÀM số......................................... 532 KỸ THUẬT GIẢM BIÊN............................................. ................................................ 53ì Kỹ thuật tìm GTLN, GTNN bằng phương pháp thế........................................... 53li Bài toán tìm GTLN, GTNN của biểu thức đối xứng............................................ . 55IU Bài toán tìm GTLN, GTNN của biểu thức chứa 3 biến....................................... 563...... BÀI TOÁN TỔNG HỢP............................................. .................................................. . 635 SỬ DỤNG BẤT ĐANG THỨC ĐE GIẢI BAT PHƯƠNG TRÌNH (hthtb22) 686 CHỨNG MINH BAT ĐANG THỨC, TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHÁT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT BẰNG PHƯƠNG PHÁP HÀM số (Nguyễn Hữu Phương) 777 SỬ DỤNG CÁC BẤT ĐANG THỨC cơ BẢN GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH (Ngô Hoàng Toàn) loiÌ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ .................................................. ............................................. 102ì MỘT SỐ BẤT ĐẲNG THỨC THƯỜNG DÙNG ............................................ 1022 CON ĐƯỜNG ĐI TỪ BÀI TOÁN ĐEN SUY NGẪM CỦA BẢN THÂN .... 104ì bất đẳng thức & hệ phương trình 2 Ẩn.............................................. ................. 104li bất đẳng thức & hệ phương trình 3 Ẩn .................................................. .............. 122IU TỔNG HỢP CÁC BÀI TOÁN HỆ PT GIẢI BANG PHƯƠNG PHÁPBẤT ĐẲNG THỨC............................................ ............................................... 125IV SÁNG TẠO HỆ QUA CÁC BÀI TOÁN BAT ĐANG THỨC......................... 1488 THỂ TÍCH VÀ KHOẢNG CÁCH(Nguyễn Trung Kiên) 1519 THAM SỐ HÓA HÌNH GIẢI TÍCH TRONG MẶT PHANG(Nguyễn Thị Thỏa) 161Ì KIẾN THỨC Cơ BẢN............................................. .................................................. ..... 161ì ĐƯỜNG THẲNG........................................... .................................................. 161li ĐƯỜNG TRÒN............................................. .................................................. ..... 162IU ELIP.............................................. .................................................. .................... 1622 BÀI TẬP Cơ BẢN............................................. .................................................. .......... 1623 BÀI TẬP NÂNG CAO RÈN LUYỆN KĨ NĂNG............................................. .......... 166li CÁC BÀI TOÁN HAY 17210 BẤT PHƯƠNG TRÌNH (hthtb22) 173li HỆ PHƯƠNG TRÌNH (Lê Nhất Duy)180Nguồn: http://diendankienthuc.net/diendan/on-thi-dh-cd-mon-toan/99237-chuyen-de-luyen-thi-dai-hoc-mon-toan-ebook.html#ixzz2pIzYSS7f Diễn Đàn Kiến Thức - Học Tập Suốt Đời

Mục lục

TRÌNH VÔ TỶ

1 Các phương pháp giải (Dạng cơ bản) 4

2 Phần riêng 5

I Bất phương trình 5

II Phương trình 13

2 PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LOGARIT (Đỗ Đường Hiếu) 17 1 PHƯƠNG TRÌNH MŨ 17

I Phương pháp đưa về cùng cơ số 17

II Phương pháp đặt ẩn phụ 18

III Phương pháp sử dụng tính chất đồng biến và nghịch biến của hàm số 19

IV Phương pháp lôgarit hóa 21

2 PHƯƠNG TRÌNH LÔGARIT 21

I Phương pháp đưa về cùng cơ số 21

II Phương pháp đặt ẩn phụ 22

III Phương pháp sử dụng tính chất đồng biến và nghịch biến của hàm số 23

IV Phương pháp mũ hóa 24

3 CÁC BÀI TẬP TỔNG HỢP 24

3 CỰC TRỊ CỦA HÀM NHIỀU BIẾN (Lê Trung Tín) 35 1 Sử dụng bất đẳng thức cổ điển: 35

2 Sử dụng phương pháp miền giá trị (Điều kiện có nghiệm) 40

3 Sử dụng phương pháp đưa về khảo sát hàm 1 biến 43

4 PHƯƠNG PHÁP SỬ DỤNG TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ TRONG

1 MỘT SỐ VÍ DỤ TÌM GTLN, GTNN CỦA HÀM SỐ 53

2 KỸ THUẬT GIẢM BIẾN 53

I Kỹ thuật tìm GTLN, GTNN bằng phương pháp thế 53

II Bài toán tìm GTLN, GTNN của biểu thức đối xứng 55

III Bài toán tìm GTLN, GTNN của biểu thức chứa 3 biến 56

3 BÀI TOÁN TỔNG HỢP 63

5 SỬ DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC ĐỂ GIẢI BẤT PHƯƠNG TRÌNH (hthtb22) 68 6 CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC, TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT BẰNG PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ (Nguyễn Hữu Phương) 77 7 SỬ DỤNG CÁC BẤT ĐẲNG THỨC CƠ BẢN GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH (Ngô Hoàng Toàn) 101 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 102

I MỘT SỐ BẤT ĐẲNG THỨC THƯỜNG DÙNG 102

2 CON ĐƯỜNG ĐI TỪ BÀI TOÁN ĐẾN SUY NGẪM CỦA BẢN THÂN 104

I BẤT ĐẲNG THỨC & HỆ PHƯƠNG TRÌNH 2 ẨN 104

II BẤT ĐẲNG THỨC & HỆ PHƯƠNG TRÌNH 3 ẨN 122

III TỔNG HỢP CÁC BÀI TOÁN HỆ PT GIẢI BẰNG PHƯƠNG PHÁP BẤT ĐẲNG THỨC 125

IV SÁNG TẠO HỆ QUA CÁC BÀI TOÁN BẤT ĐẲNG THỨC 148

8 THỂ TÍCH VÀ KHOẢNG CÁCH (Nguyễn Trung Kiên) 151 9 THAM SỐ HÓA HÌNH GIẢI TÍCH TRONG MẶT PHẲNG (Nguyễn Thị Thỏa) 161 1 KIẾN THỨC CƠ BẢN 161

I ĐƯỜNG THẲNG 161

II ĐƯỜNG TRÒN 162

III ELIP 162

2 BÀI TẬP CƠ BẢN 162

3 BÀI TẬP NÂNG CAO RÈN LUYỆN KĨ NĂNG 166

II CÁC BÀI TOÁN HAY 172

11 HỆ PHƯƠNG TRÌNH (Lê Nhất Duy) 180

12 HỆ PHƯƠNG TRÌNH NÂNG CAO

13 PHƯƠNG TRÌNH & BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỶ (Đinh Văn Trường) 195

14 SỬ DỤNG KĨ THUẬT ĐÁNH GIÁ ĐƯA VỀ CÙNG MẪU ĐỂ CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC

15 SỬ DỤNG CÁC BẤT ĐẲNG THỨC CỔ ĐIỂN ĐƯA BÀI TOÁN TÌM GTLN, GTNN CỦA HÀM NHIỀU BIẾN VỀ HÀM MỘT BIẾN

1 Kiến thức cần nhớ vể các bất đẳng thức cổ điển thường dùng 249

I Bất đẳng thức AM-GM 249

II Bất đẳng thức Cauchy-Schwarz 249

2 Các ví dụ minh họa 250

I Bài tập tự luyện 257

16 SỬ DỤNG PHÉP BIẾN HÌNH TRONG GIẢI TOÁN HÌNH HỌC GIẢI TÍCH PHẲNG (Lê Hoàng Hải) 260 1 Kiến thức cần nhớ 260

I Phép dời hình 260

II Phép đồng dạng 260

2 Các ví dụ minh họa 261

I Phép dời hình 261

II Phép đồng dạng 263

3 Bài tập tự luyện 264

17 PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ HOÁ ĐỂ CHỨNG MINH HÌNH HỌC PHẲNG Lưu Giang Nam - Hoàng Trung Hiếu 266 1 Các ví dụ 266

I Bài tập tự luyện 275

III CÁC ĐỀ THI TỰ LUYỆN 277

PHẦN THỨ I

CÁC CHUYÊN ĐỀ

CHUYÊN ĐỀ 1 PHƯƠNG PHÁP GIẢI CÁC BÀI PHƯƠNG TRÌNH - BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỶ

(Nguyễn Thị Ngân)

Lời nói đầuPhương trình- bất phương trình là chuyên đề mà chúng ta thường gặp trong các kì thi các cấp

và đặc biệt là thi đại học Phương trình-bất phương trình vô tỷ rất đa dạng và phong phú về cả

đề bài và lời giải Một bài phương trình- bất phương trình có thể có nhiều cách xử lý bài toánkhác nhau

Tuy nhiên, để tìm ra lời giải cho bài toán của mình thì rất khó đối với đa số các bạn Đứngtrước 1 bài phương trình- bất phương trình chúng ta thường rất lúng túng và khó khăn Nhưcác bạn đã biết phương trình- bất phương trình luôn luôn có trong đề thi đại học, thường thì

nó nằm ở câu II

Bài viết này sẽ giúp các bạn phần nào đó về phương trình-bất phương trình.Những lời giảidưới đây tuy không phải là những lời giải hay nhất nhưng nó sẽ giúp các bạn nắm rõ đượcchuyên đề này

Hy vọng chuyên đề này sẽ đồng hành với các bạn, giúp đỡ các bạn trên con dườngđi đếnthành công, đi đến mục đích cuối cùng của chúng ta là cổng trường đại học mơ ước và có thể

nó sẽ khiến cho các bạn đam mê với môn học này ( Khó- khổ- khô)

Mặc dù đã rất cố gắng trình bày cẩn thận nhưng sẽ không tránh khỏi nhiều sai sót trongchuyên đề.Mong các bạn thông cảm

Nếu có gì thắc mắc và những ý kiến về chuyên đề của mình thì các bạn liên lạc cho mìnhvới địa chỉ cobebuon_2_4@yahoo.com nhé!

§ 1 Các phương pháp giải (Dạng cơ bản)

Một số phép toán biến đổi tương đương khi sử dụng để giải phương trình- bất phương trình

Lời giải:

Công việc đầu tiên của chúng ta không thể thiếu được đó chính là tìm điều kiện cho bài toán

Đối với bài toán này thì : ĐK:

ta nghĩ ngay đến việc phân tích −5x2+ 18x + 6 cũng xuất hiện 2 nhân tử đó

Quả nhiên ông trời không phụ lòng người, ta phân tích được

−5x2+ 18x + 6 = −5 x2− 3x
+ 3 (x + 2)Tuyệt vời!!! Công việc bây giờ là biến đổi phương trình trên thôi, ta được:

x = a;√

1 − x = b (a, b ≥ 0) Ta có

(

a2+ b2 = 12a2+ b2− 1 = xBất phương trình trở thành:

6 − 3x +√

2x2+ 5x + 23x −√

2x2+ 5x + 2 ≤ 1 − x

xLời giải:

2x2+ 5x + 2 + 1 ≤ 1 +

1 − xx

x 3x −√

2x2+ 5x + 2
≤ 0

√2x2+ 5x + 2

√

Đến đây ta chia thành 2 trường hợp

x = 1

Đối chiếu với điều kiện đầu bài thì x = −2

7 là nghiệm của bất phương trình (2)Trường hợp 2:

3x +√

2x2+ 5x + 2 6= 0Khi đó, bất phương trình (2) trở thành:

Vậy tập nghiệm của bất phương trình đã cho là: S = (−∞; 2) ∪ −12 ;−27  ∪ (0; 1)

Bài 4 Giải bất phương trình sau:

p(x + 2) (2x − 1) − 3√x + 6 ≤ 4 −p(x + 6) (2x − 1) + 3√x + 2Lời giải:

2x − 1 − 3 ≤ 0 ⇐⇒ x ≤ 5 Nên (1) luôn đúngTrường hợp 2: Với x > 5 Xét hàm số : f (x) = √

√

x + 2 +√

x + 6

√2x − 1 > 0.

Nên f (x) đồng biến Mặt khác: f (7) = 4 , nên (1) ⇐⇒ f (x) ≤ f (7) ⇐⇒ x ≤ 7.Đối chiếu với điều kiện đầu bài tập nghiệm của bất phương trình đã cho là: S =−12 ; 7

Bài 5 Giải bất phương trình sau:

x + 2p2 (x4− x2+ 1) − 1 ≥ 1

x − 1Lời giải:

ĐK: x 6= 1 Khi đó:

p

2 (x4− x2+ 1) − 1 =

r2(x2− 1)2+3

2 − 1 > 0

Trường hợp 1: Nếu x > 1 Bất phương trình đã cho tương đương

x2+ x − 1 ≥p2 (x4− x2+ 1) (1)Với ∀a, b ta luôn có a + b ≤p2 (a2+ b2) Dấu ’=’ xảy ra ⇐⇒ a = b

x = 1 +

√52

⇐⇒ x = 1 +

√52

Trường hợp 2: Nếu x < 1 Bất phương trình đã cho tương đương

x2+ x − 1 ≤p2 (x4− x2+ 1)Luôn đúng ∀x < 1 (Vì đã chứng minh ở (2))

Vậy bất phương trình đã cho có tập nghiệm là S = (−∞; 1) ∪n1+

√ 5 2

Dễ dàng chứng minh √

3 + 3x −√

3 − x < 0Thật vậy, √

Vì 5 − x > 0 nên ta có thể bình phương 2 vế lên để mất căn

Khi đó ta sẽ có điều ta mong muốn, (3 − x) (3 + 3x) ≤ (5 − x)2 ⇐⇒ (x − 2)2 ≥ 0 (Luôn đúng)Vậy bất phương trình đã cho có tập nghiệm là : S = [−1; 0) ∪ {2}

Bài 7 Giải bất phương trình sau:

Trường hợp 2: x ≤ −2 Vì cả 2 vế đều dương nên bình phương 2 vế được:

Bài 8 Gỉai bất phương trình sau:

Ôi! Lại một bài toán có chứa dấu giá trị tuyệt đối nữa Liệu lần này cách bình phương lên còn

có thể giúp được gì cho chúng ta không nhỉ??? Thử xem nhé!

Bây giờ đến đây thì làm sao nhỉ?

Đừng nản chí vội, ở đây ta thử đánh giá biểu thức vế trái √

3x2− 2x4+ 2 xem sao nhé! Mà vếphải có 1 hằng số nên, ta thử xem nó có mối quan hệ gì đến biểu thức ta đang tìm hiểu.Thửnhé!

Ta có: √

3x2− 2x4+ 2 < 4

⇐⇒ 3x2− 2x4+ 2 < 16 ⇐⇒ 2x4− 3x2+ 14 > 0 ⇐⇒ 2 x2− 1
2

+ x2+ 12 > 0Đây là 1 diều hiển nhiên đúng với mọi x Do đó, (1) luôn đúng

Vậy tập xác định của bất phương trình chính là nghiệm của nó

P/S: Một lần nữa cách bình phương 2 vế lại được phát huy 1 cách triệt để

Bài 9 Gỉai bất phương trình sau:

(x2+ 4)√

2x + 4 ≤ 3x2+ 6x − 4Lời giải:

Nhận xét: Chắc các bạn đang thắc mắc tại sao ở đoạn cuối tôi lại suy ra được kết quả là

Nhận thấy ở phía trên có 2 dấu ngoặc vuông cùng 1 lúc, đừng nghĩ nó phức tạp quá làm gì màthực ra thì đó cũng chính là 1 dấu ngoặc vuông mà thôi Đối với những bài toán này thì đ xử

lý 1 cách nhanh gọn và đẹp thì cách vẽ trục số là biện pháp hữu hiệu nhất.Trong bài toán nàychúng ta cũng dùng cách vẽ trục số như vậy đấy.( Có thể vẽ 2 trục số ra để dễ nhìn hơn đó !)Một điều nữa tôi muốn nói với các bạn chú ý khi giải những bài bất phương trình Đó là, đểbình phương 2 vế của bất phương trình thì phải thoả mãn điều kiện 2 vế điều dương Nhớ nhé,tuy vấn đề này có nhiều bạn vẫn chủ quan, nhưng chỉ cần sơ suất 1 chút thôi là uổng phí côngsức toàn bài

Bài 10 Gỉai bất phương trình sau:√

x = −1 −√5

2

Đối chiếu với điều kiện thì x = −1 +√5

2 thoả mãn bài toánVậy bất phương trình đã cho có ngiệm duy nhất là x = −1 +√5

2Trên đây là 1 số ví dụ tôi đua ra cho các ban Sau đây sẽ là 1 số bài tập để các bạn làm nhé!

Áp dụng: Gỉai các bất phương trình sau:

4 √

2x + 4 − 2√

2 − x > √12x − 8

9x2+ 165

x3− a3 = 2 (a − x) ⇐⇒ (x − a) x2+ax+a2+ 2
= 0

Phương trình đã cho được viết lại thành

x3+ 1

3

√2x − 1

Mặt khác hai hàm số này không trùng nhau vì f (0) = 1

Bài 2 Giải phương trình

3 2 +√

x − 2
= 2x +√x + 6Lời giải:

ĐK: x ≥ 2

Theo thói quen của tôi mỗi khi làm những bài bất phương trình hoặc phương trình là nhanhchóng lấy chiếc máy tính ra nhẩm nghiệm của bài toán.Chỉ 1 lúc sau chúng ta đã thấy kết quả.Thật là may mắn vì ài này nghiệm của nó có 1 nghiệm rất đẹp đó nha!!

Ta thấy x = 3 là một nghiệm của phương trình Ta nghĩ ngay đến việc đưa bài toán vềdạng:(x − 3) f (x) = 0 , nên ta biến đổi phương trình như sau:

x + 6 − 3√

x − 2 ra thừa số x − 3 Sao nhìn vào biểu thức này mà tôi lại liên tưởng ra hằng đẳng thức a2− b2 = (a − b) (a + b) Vậy ta thử đi theo hướng này xem sao, Ta biến đổi

Ồ, cách nhân liên hợp đây mà! Vậy thì phương trình đã cho trở thành

Từ đây suy ra được x = 11 − 3

√52Vậy nghiệm của phương trình đã cho là

√

A +√

B =√

C +√D

ta thường bình phương 2 vế hoặc lập phương nhưng đôi khi việc làm này sẽ dẫn đến cho tanhững vấn đề khó khăn hơn nhiều

A +√3

B = √3

C vào để được A + B + 3√3

ABC = CKhó khăn thật nhỉ! Sau đây tôi đưa ra ví dụ để các bạn xem cách giải quyết vấn đề này nhưthế này như thế nào nhé!

Bài 3 Giải phương trình:

√

x + 3 +√

3x + 1 = 2√

x +√2x + 2Lời giải:

2x + 2 =√

4x −√

x + 3Khi đó bình hương 2 vế lên thật đơn giản ta đưa về được

√6x2+ 8x + 2 =√

4x2+ 12x

Dễ dàng giải ra kết quả phải không, tôi tin các bạn sẽ làm được và kết quả là x = 1

Đối chiếu với điều kiện thấy thoả mãn, từ đây ta cứ thế kết luận được rồi!

Chú ý: Ngoài ra nếu chúng ta bắt gặp những bài phương trình mà có dạng như trên nhưngthay vì có f (x) + h(x) = g(x) + k(x) mà nó có f (x).h(x) = k(x).g(x) thì cũng biến đổi đượcpf(x) − ph(x) = pk(x) − pg(x) Nhớ nhé!

CHUYÊN ĐỀ 2 PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH

MŨ VÀ LOGARIT (Đỗ Đường Hiếu)

§ 1 PHƯƠNG TRÌNH MŨ

I Phương pháp đưa về cùng cơ số

Sử dụng các phép biến đồi, ta đưa phương trình về một trong các dạng sau:

Ví dụ 2 Giải phương trình: 0, 125.42x−3=

3

√28

II Phương pháp đặt ẩn phụ

Mục đích của đặt ẩn phụ là để đưa phương trình về phương trình đại số quen thuộc Khi đặt

t = af (x), với 0 < a 6= 1, để giải phương trình không có tham số đôi khi ta chỉ cần đưa ra điềukiện t > 0, nhưng với phương trình chứa tham số ta cần phải chỉ ra điều kiện đúng của ẩn phụ

Ví dị 1 Giải phương trình: 32x−1= 2 + 3x−1

Lời giải: Phương trình đã cho tương đương với:

32x− 3x− 6 = 0Đặt t = 3x, với t > 0, ta có phương trình:

1x

− 13. 2

3

1x+ 6 = 0

t = 23

Với t = 3

2 thì

 23

x

= 3

2 ⇐⇒ 1

x = −1 ⇐⇒ x = −1Với t = 2

3 thì

 23

1x

= 2

3 ⇐⇒ 1

x = 1 ⇐⇒ x = 1Phương trình có hai nghiệm: x = −1 và x = 1

Ví dụ 4 Giải phương trình: 2x 2 −x− 22+x−x 2

= 3Lời giải: Phương trình đã cho tương đương với:

2x2−x− 4

2x 2 −x = 3Đặt t = 2x 2 −x, (t > 0), ta có phương trình:

2x2−x = 4 ⇐⇒ x2− x = 2 ⇐⇒

"

x = −1

x = 2Phương trình có hai nghiệm: x = −1 và x = 2

Ví dụ 5 Giải phương trình: 3 +√

5
x+ 16 3 −√

5
x = 2x+3Lời giải: Ta đưa phương trình đã cho tương đương với phương trình :

3 −√52

!x

+ 16 3 +

√52

!x

= 8

Tới đây ta để ý rằng : 3 −

√52

!x

· 3 +

√52

!x

= 1

Do đó đặt t = 3 +

√52

!x

, t > 0 thì 3 −

√52

!x

= 1tKhi đó phương trình trở thành :

!x

= 1

4 ⇐⇒ x = −2 log(3+√5

2 )2Phương trình có nghiệm duy nhất: x = −2 log

(3+

√ 5

Nhận thấy x = 5 là nghiệm của phương trình, ta chứng minh phương trình không còn nghiệmnào khác.

Xét hàm số f (x) = 76−x− x − 2 trên R

Ta có: f0(x) = −76−xln 7 − 1 < 0, ∀x ∈ R Nên hàm số f (x) nghịch biến trên R Từ đó:

- Với x < 5 thì f (x) > f (5) hay 76−x− x − 2 > 0, nên phương trình không có nghiệm x < 5

- Với x > 5 thì f (x) < f (5) hay 76−x− x − 2 < 0, nên phương trình không có nghiệm x > 5.Vậy, phương trình có nghiệm duy nhất x = 5

Ví dụ 2 Giải phương trình:3x+ 5x = 6x + 2

Lời giải: Phương trình đã cho viết lại là:

3x+ 5x− 6x − 2 = 0Nhận thấy rằng x = 0 và x = 1 là các nghiệm của phương trình

Do vậy:

(∗) ⇐⇒ f (x − 1) = f (x2− x) ⇐⇒ x − 1 = x2− x ⇐⇒ x = 1Phương trình có nghiệm duy nhất x = 1

IV Phương pháp lôgarit hóa

Ví dụ 1 Giải phương trình: 3x.2x 2

= 1Lời giải: Lấy lôgarit cơ số 3 hai vế, ta có phương trình tương đương với:

log33x.2x2 = log31 ⇐⇒ log33x+ log32x2 = 0 ⇐⇒ x + x2log32 = 0

⇐⇒

"

x = 0

x = − log23Vậy, phương trình có hai nghiệm x = 0 và x = − log23

Ví dụ 2 Giải phương trình: 2x+2.3x= 4x.5x−1

Lời giải: Lôgarit cơ số 2 hai vế phương trình đã cho:

log2 2x+2.3x
= log2 4x.5x−1
⇐⇒ log2 2x+2
+ log2(3x) = log2(4x) + log2 5x−1

⇐⇒ x + 2 + x log23 = 2x + (x − 1) log25 ⇐⇒ (log23 − log25 − 1) x = −2 − log25

I Phương pháp đưa về cùng cơ số

Ví dụ 1 Giải phương trình: log x + log(x + 9) = 1

Lời giải: Điều kiện:

log [x (x + 9)] = log 10 ⇐⇒ x (x + 9) = 10 ⇐⇒ x2+ 9x − 10 = 0 ⇐⇒

"

x = 1

x = −10Vậy, phương trình có một nghiệm x = 1

Ví dụ 2 Giải phương trình: log4(log2x) + log2(log4x) = 2

Lời giải: Phương trình đã cho tương đương với:

+ log2(log2x) = 2

⇐⇒ 3

2log2(log2x) = 3 ⇐⇒ log2(log2x) = 2 ⇐⇒ log2x = 4 ⇐⇒ x = 16

Vậy, phương trình có một nghiệm duy nhất x = 16

Ví dụ 3 Giải phương trình:log4(x + 1)2+ 2 = log√

2

√

4 − x + log8(4 + x)3

Lời giải: Điều kiện:





x 6= −1

−4 < x < 4Với điều kiện đó, phương trình tương đương với:

log2|x + 1| + log24 = log2(4 − x) + log2(4 + x)

6

II Phương pháp đặt ẩn phụ

Ví dụ 1 Giải phương trình: log22x − 5 log2x + 6 = 0

Lời giải: Đặt t = log2x, ta thu được phương trình:

Vậy, phương trình đã cho có hai nghiệm là x = 4 và x = 8

Ví dụ 2 Giải phương trình: p3 + log2(x2− 4x + 5) + 2p5 − log2(x2 − 4x + 5) = 6







u = 6 − 2v5v2− 24v + 28 = 0 ⇐⇒







u = 25

v = 145hoặc

III Phương pháp sử dụng tính chất đồng biến và nghịch biến của hàm số

Ví dụ 1 Giải phương trình log7(x + 2) = 6 − x

Lời giải: Điều kiện: x > −2

Nhận thấy x = 5 là một nghiệm của phương trình, ta chứng minh phương trình không cònnghiệm nào khác

Vậy phương trình đã cho chỉ có nghiệm duy nhất x = 5

Ví dụ 2 Giải phương trình:log3



x2+ x + 32x2+ 4x + 5



= x2+ 3x + 2Lời giải: Phương trình đã cho tương đương với:

log3 x2 + x + 3
− log3 2x2 + 4x + 5
= 2x2+ 4x + 5
− x2+ x + 3

log3 x2+ x + 3
+ x2+ x + 3
= log3 2x2+ 4x + 5
+ 2x2

+ 4x + 5

IV Phương pháp mũ hóa

Ví dụ Giải phương trình: logx−2(2x) = 3

Lời giải: Điều kiện:







0 < x − 2 6= 12x > 0

⇐⇒ 2 < x 6= 3Với điều kiện đó, phương trình tương đương với:

2x = (x − 2)3 ⇐⇒ x3− 6x2+ 10x − 8 = 0(x − 4) x2− 2x + 2
= 0 ⇐⇒ x = 4(thỏa mãn điều kiện)Vậy, phương trình có nghiệm duy nhất x = 4

log2x−1[(2x − 1) (x + 1)] + logx+1(2x − 1)2 = 4

⇐⇒ log2x−1(2x − 1) + log2x−1(x + 1) + 2 logx+1(2x − 1) = 4

⇐⇒ log2x−1(x + 1) + 2 logx+1(2x − 1) = 3Đến đây, đặt t = log2x−1(x + 1), ta được phương trình:

4.Bài 2.Giải phương trình

q

9 log21 8

x − 4 log2√

x + 8 =√

2(4 − log16x4)(x ∈ R)Lời giải: Phương trình đã cho tương đương với:

s9

2(4 − log2x)Đặt t = log2x, ta được phương trình:

Vậy, phương trình có nghiệm duy nhất x = 4

Bài 3 Giải phương trình 2xlog4 x = 8log2

√ x

Lời giải: Điều kiện xác định: x > 0

Với điều kiện đó, lôgarit cơ số 2 hai vế phương trình, ta có:

log2 2xlog4 x
= log28log2

- Với t = 1, ta có: log2x = 1 ⇐⇒ x = 2(thỏa mãn)

- Với t = 2, ta có: log x = 2 ⇐⇒ x = 4(thỏa mãn)

Vậy, phương trình có hai nghiệm x = 2 và x = 4.

Bài 4 Giải phương trình:

Với điều kiện đó, phương trình đã cho tương đương với:

3Bài 5 Giải phương trình:

x 6= 0

.Với điều kiện đó, phương trình đã cho tương đương với:

log22(5 − 2x) + log

2

2(5 − 2x)log2(2x + 1) = 2 log2(5 − 2x) + 2 log2(2x + 1) log2(5 − 2x)

x = −2 ∨ x = 12Kết hợp với điều kiện trên, phương trình có 3 nghiệm x = −1

Ta nhận thấy rằng x = 1 là một nghiệm của phương trình đã cho Do đó ta chỉ cần xét với điều

kiện x > 1 Kèm theo một lưu ý (x −√

x2− 1)(x +√x2− 1) = 1Lúc này, phương trình ban đầu tương đương với

Vậy, PT đã cho có tập nghiệm S =

1;12

Xét phương trình: 3x− 2x − 1 = 0, là một dạng phương trình mũ hay gặp

Ta xét hàm số f (x) = 3x− 2x − 1 ta có f0(x) = 3xln 3 − 2 = 0 ⇐⇒ x = log3 ln 2

3

Lập bảng biến thiên của hàm số ra suy ra phương trình nếu có nghiệm thì tối đa là 2 nghiệm.Mặt khác nhận thấy x = 0; x = 1 thỏa mãn Nên đó là hai nghiệm của phương trình trên

Kết luận: Phương trình có hai nghiệm x = 0; x = 1

Bài 8 Giải phương trình sau

3

√

x 2 +1+ 2 |x| = 3x+1Lời giải: Ta xét hai trường hợp:

Thật vậy ta xét hàm số sau: G(a) = 3

Vậy phương trình (1) có nghiệm duy nhất x = 0

Bài 9 Giải phương trình :

64log2x = 3.2log2x+ 3xlog4 x+ 4Lời giải: Điều kiện: x > 0

Phương trình tương đương với:

log(9x+ 7) = 2 + log2(3x+ 1)Lời giải: Ta có: log(9x+ 7) = 2 + log2(3x+ 1) ⇐⇒ log(9x+ 7) = log2(4.3x+ 4)

Đặt t = log2(4.3x+ 4) = log(9x+ 7)

Ta thấy rằng cả hai vế đều là hàm tăng nên khi x =⇒ −∞ thì t =⇒ 2 Do đó t > 2

Sau phép đặt ta chuyển PT về ẩn t như sau

16.10t+ 8.2t− 4t= 128 (1)Xét f (t) = 16.10t+ 8.2t− 4t có f0(t) = 8(10tln 10 − 2tln 2) + 8.10tln 10 − 4tln 4 > 0 ∀t > 2.Suy ra hàm f (t) đồng biến trên (2; +∞)

Suy ra f (t) > f (2) = 1616 > 128

Vậy P T (1) vô nghiệm, suy ra PT ban đầu không có nghiệm thực

Bài 11.Giải phương trình : log27(x2− 5x + 6)3 = 12log√

3

x−1

2 + log9(x − 3)2Lời giải: Bài toán này, nhìn hình thức thì chắc nhiều bạn thấy bài toán rất cơ bản Tuy nhiên,điều cơ bản đó rất dễ làm mất sai lầm nếu chúng ta không tỉnh táo

log2(x − 2)(x − 3) = log2 x − 1

2

+ log3|x − 3|

⇐⇒ log3(x − 2)(x − 3) = log3 (x − 1) |x − 3|

2

⇐⇒ 2(x − 2)(x − 3) = (x − 1) |x − 3| (1)Trường hợp 1: Với 1 < x < 2 thì x − 3 < 0 Do đó phương trình (1) tương đương:

2(x − 2)(x − 3) = (x − 1)(3 − x) ⇐⇒ −2(x − 2) = x − 1 ⇐⇒ x = 5

3

Đối chiếu điều kiện trong trường hợp này ta có x = 5

3 là nghiệm của phương trình.

Trường hợp 2: Với x > 3 thì x − 3 > 0.Do đó phương trình (1) tương đương :

2(x − 2)(x − 3) = (x − 1)(x − 3) ⇐⇒ 2(x − 2) = x − 1 ⇐⇒ x = 3Đối chiếu điều kiện trong trường hợp này ta có x = 3 không là nghiệm của phương trình

Do đó phương trình đã cho có nghiệm duy nhất x = 5

3Bài 12 Giải phương trình 4x+ x = 5x

Lời giải: Chia cả hai vế cho 5x ta có : 45
x+5xx − 1 = 0

+ 1 − x ln (5)

Bài 13.Giải phương trình : log2 x + 6log3x
= log3x

Lời giải: Điều kiện:x > 0

Đặt: u = log3x =⇒ x = 3u phương trình đã cho trở thành

x) = log7xLời giải: Điều kiện x > 0

t

= 2t

Chia cả 2 vế cho 2t, ta có :

 12

t

+

3

√72

!t

= 1

Hàm số bên VT nghịch biến, pt có nghiệm duy nhất : t = 3.

3 − 1
= 1

⇐⇒ x = 1Vậy, phương trình có một nghiệm x = 1

Bài 16 Giải phương trình :

x3−√3

x + 2 ln x − 2

3ln (x + 2 ln x) = 0Lời giải: Điều kiện:

x3+ x + 2 ln x = y3 + y + 2 ln y (∗∗)Xét hàm số f (t) = t3+ t + 2 ln t với t > 0

Ta có: f0(t) = 3t2+ 1 + 2

t > 0, ∀t > 0, nên hàm số f (t) đồng biến trên (0; +∞).

Do vậy:

(∗∗) ⇐⇒ f (x) = f (y) ⇐⇒ x = y

Thay x = y vào phương trình đầu của hệ (∗), ta được:

x3 = x + 2 ln x ⇐⇒ x3− x − 2 ln x = 0Xét hàm số g(x) = x3− x − 2 ln x với x > 0, ta có g(1) = 0

Từ bảng biến thiên suy ra phương trình x3− x − 2 ln x = 0 có nghiệm duy nhất x = 1

Bài 17 Tìm x để phương trình sau có nghiệm đúng với mọi a:

2 log2+a2



4 −√

7 + 2x= log2+a2 x 2(4 − 3x)Lời giải: - Điều kiện cần: Giả sử phương trình đã cho nghiệm đúng với mọi a Khi đó, thay





x = 1

x = −8725

- Điều kiện đủ:

* Với x = 1, phương trình đã cho có dạng:

2 log2+a21 = log2+a21 luôn đúng ∀a

Rõ ràng phương trình không thỏa mãn khi a = 1.

Vậy, giá trị cần tìm của x là x = 1

Bài 18 Giải phương trình:

√3u = v ⇐⇒ 9u4 = v4

⇐⇒ 9 (5x− 4) = 5x+ 4

⇐⇒ 5x = 5 ⇐⇒ x = 1Vậy, phương trình có nghiệm duy nhất x = 1

Bài 19 Giải phương trình:

√

10 + 1log3x−√10 − 1log3x = 2x

3Lời giải: Điều kiện: x > 0 Đặt log3x = t =⇒ x = 3t, thay vào phương trình ta được:

!t

−

√

10 − 13

!t

= 23Đặt u = √

10 + 1
t với t > 0, phương trình trở thành:

u − 1

u =

23

Từ u = 1, suy ra:

√

10 + 1t= 1 ⇐⇒ t = 0

⇐⇒ log3x = 0 ⇐⇒ x = 1Vậy, phương trình có nghiệm duy nhất x = 1

Bài 20 Xác định k để phương trình sau có ba nghiệm:

4−|x−k|log√

2 x2− 2x + 3
+ 2−x 2 +2xlog1 (2 |x − k| + 2) = 0Lời giải: Phương trình đã cho tương đương với:

2x2−2x+1log2 x2− 2x + 3
= 22|x−k|

log2(2 |x − k| + 2)Xét hàm số: f (t) = 2tlog2(t + 2) với t ≥ 0 Ta có:

a) (1) có hai nghiệm phân biệt, (2) có nghiệm kép không phải là nghiệm của (1) Trường hợpnày tìm được k = 1

2.b) (2) có hai nghiệm phân biệt, (1) có nghiệm kép không phải là nghiệm của (2) Trường hợpnày tìm được k = 3

2.c) (1) và (2) đều có hai nghiệm phân biệt, và chúng có một nghiệm chung Trường hợp này tatìm được k = 1

Vậy, các giá trị cần tìm của k là: k = 1

2, k = 1, k =

3

2.

CHUYÊN ĐỀ 3 CỰC TRỊ CỦA HÀM NHIỀU BIẾN

(2) Cho a, b, c là các số thực không âm Khi đó, ta luôn có

a + b + c

3 ≥ √3 abcDấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a = b = c

z (Qui ước: nếu mẫu bằng 0 thì tử bằng 0)

Hệ quả: (Svacxơ) Nếu a, b, c là các số thực, x, y, z là các số thực dương thì

a2+b

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a

 2(3 − x) + 3(4 − y) + (2x + 3y)

3

3

= 36

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi 2(3 − x) = 3(4 − y) = (2x + 3y) ⇐⇒ x = 0, y = 2

Vậy giá trị lớn nhất của P là 36, đạt được khi và chỉ khi x = 0, y = 2

Bài 2: Cho x, y, z là số thực dương thay đổi và thỏa mãn a + b + c = 1 Tìm giá trị lớn nhấtcủa biểu thức

P = √3

a + b +√3

b + c +√3

c + aLời giải:

4.

3

r(a + b).2

3.

2

3 ≤ 3

r9

4.

(a + b) +2

3+

233

3

√

b + c = 3

r9

4.

3

r(b + c).2

3.

2

3 ≤ 3

r9

4.

(b + c) +2

3 +

233

3

√

c + a = 3

r9

4.

3

r(c + a).2

3.

2

3 ≤ 3

r9

4.

(a + b) +2

3+

233

Suy ra

P ≤ 3

r9

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a = b = c = 2

3Vậy giá trị lớn nhất của P là √3

18, dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a = b = c = 2

3.Bài 3: Cho x, y, z là số thực không âm thay đổi và thỏa mãn xy + yz + zx = 5 Tìm giá trịnhỏ nhất của biểu thức

P = 6x2+ 6y2+ 2z2Lời giải:

Ta có:

4x2+ z2 ≥ 4xz4y2+ z2 ≥ 4yz2x2+ 2y2 ≥ 4xy

Do đó: P ≥ 4(xy + yz + zx) = 20, dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi x = y = 1, z = 2

Vậy giá trị nhỏ nhất của P là 20, dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi x = y = 1, z = 2

Bài 4: Cho a, b, c là ba số thực dương thay đổi và thỏa mãn a + b + c = 3 Tìm giá trị nhỏnhất của biểu thức

1 + c2 = b − bc

2

1 + c2 ≥ b − bc

2c

1 + a2 = c − ca

2

1 + a2 ≥ c − ca

2Suy ra

P ≥ (a + b + c) −ab + bc + ca

ab + bc + ca2Mặt khác

(a + b + c)2 = a2+ b2+ c2+ 2(ab + bc + ca) ≥ 3(ab + bc + ca)

⇐⇒ − (ab + bc + ca) ≥ (a + b + c)

2

Do đó: P ≥ 3

2, dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a = b = c = 1.

Vậy giá trị nhỏ nhất của P là 3

2, đạt được khi và chỉ khi a = b = c = 1.