de thi toan 8 hki

c Đường trung trực của đoạn thẳng MN và tia phân giác của góc BAC cắt nhau tại K.. Chứng minh KC  AN.[r]

Lê Trung Nam ĐỀ THI HSG NĂM HỌC 2011 – 2012

Môn: Toán 7

Thời gian làm bài: 120 phút

I.Trắc nghiệm: (2đ)

Hãy chọn chữ cái đứng trước câu trả lời đúng:

Câu 1: Rút gọn biểu thức A 2100 299  298 297 2  2 2 ta được kết quả là:

A)

101

2



B)

101

3



C)

100

3



D)

100 2

3



Câu 2: Cho hai số x y ; 0 biết tổng, hiệu, tích của chúng tỉ lệ với 5;1;12 ta có x y; bằng:

A) x6;y4 B) x4;y6 C) x15;y3 D) x4;y48

Câu 3: Cho ABC vuông tại C có AB29cm AC; 21cm Độ dài cạnh BC là:

Câu 4: Đồ thị hàm số y5 m x đi qua điểm A  ( 2; 6) khi m bằng:

II Tự luận:

Câu 5: (1,5đ) Tìm x biết:

a)

1

2

.3 7.3 405

3

x x

 

b)

1 2x 3x 2





c) 2x12x3

Câu 6: (2đ) a) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

2

x C x





với x là số nguyên

b) Tìm các số x y z; ; biết:

x y z

 và 3x 2y7z48

Câu 7: (2đ) Cho tam giác ABC cân tại A Trên cạnh AB lấy điểm M, trên tia đối của

tia CA lấy điểm N sao cho AMAN  2AB

a) Chứng minh rằng: BM CN

b) Chứng minh rằng: BC đi qua trung điểm của đoạn thẳng MN

c) Đường trung trực của đoạn thẳng MN và tia phân giác của góc BAC cắt nhau tại K Chứng minh KCAN

Câu 8: (2,5đ)

a) Điểm M nằm bên trong tam giác đều ABC sao cho MA MB MC : : 3 : 4 : 5 Tính số đo góc AMB

b) Tìm số chính phương có bốn chữ số, biết rằng hai chữ số đầu giống nhau, hai chữ số cuối giống nhau

c) Tìm các số tự nhiên có hai chữ số mà số đó chia hết cho tích các chữ số của nó

PHÒNG GD&ĐT

VĨNH TƯỜNG

ĐÁP ÁN CHẤM ĐỀ THI GIAO LƯU HSG NĂM HỌC 2011 – 2012

Môn: Toán lớp 7

I.Trắc nghiệm: (2 điểm mỗi câu đúng cho 0,5 đ)

II Tự luận: (8 điểm)

5

(1,5đ)

2

6

(2đ)

a

(1đ)

Xét các trường hợp:

-Nếu x 2 thì C 1.

-Nếu x = 1 thì C = 1

-Nếu x 1 khi đó

2 1

A

x

 

ta thấy C lớn nhất khi và chỉ khi

2

x

lớn nhất (vì x là số nguyên dương) suy ra x = 1 khi đó C = 3

So sánh các trường hợp trên ta thấy GTLN của C bằng 3 khi

và chỉ khi x = 1

0,25 0,25 0,25 0,25

b

(1đ) Ta có

3 4 5 (3 2 7 ) 52 48 52

20

x y z x y z   

suy ra x = - 77; y = 136; z = 65

0,5 0,5 7

(2đ)

K

I

A

N

M

E

Vẽ hình – GT - KL

0,5

a

(0,5)

Ta có AM + AN = AC + (AM + CN) (1)

vì AB = AC (gt) và AM + AN = 2AB (2)

0,25

Từ (1) và (2) suy ra BM = CN 0,25 b

(0,5)

Gọi I là giao điểm của MN và BC, qua M kẻ đường thẳng song song với AC cắt BC tại E ta chứng minh được

( )

MEI NCI g c g MI NI

0,25

0,25 c

(0,5) Chứng minh

( )

ABK ACK c g c KB KC

Từ đĩ suy ra BKM CKN c c c( ) MBK KCN

MàMBK ACK ACK KCN  900  KC AN

0,25

0,25 8

(2,5đ)

a

(1đ)

4a 5a

3a

K

M

C B

A

Đặt MA = 3a, MB = 4a, MC = 5a Trên nửa mặt phẳng có bờ là đường thẳng MB, không chứa điểm C.

Vẽ tam giác đều MBK.

Khi đó: ABK MBK ABM    600 ABM

Và CBM ABC ABM   600 ABM => ABK CBM

ABK và CBM có:

AB = CB (ABC đều) ABK CBM => ABK = CBM (c.g.c)

BK = BM (MBK đều)

=> KA = MC = 5a AMK có: KA 2 = (5a) 2 ; KM 2 + MA 2 = (4a) 2 + (3a) 2 = (5a) 2 => KA 2 =

KM 2 + MA 2

Theo định lí Pitago đảo, ta có AMK vuông tại M.

Vậy AMB AMK BMK   900 600  1500

0,25

0,25

0,25

0,25

b

Ta cĩ

2 aa00 11 100 11 11 99

A m  bb a  b  a a b 

(1)

để A là số chính phương thì 99aa b 11

2 11(99 11) 11 (9 2 1) 9 1

m  a  a  a là số chính phương Thử chọn các giá trị của a theo ĐK nêu trên ta cĩ a = 7 thỏa mãn khi đĩ b = 4; Số chính phương cần tìm là 7744

0,25

0,25 0,25

c

Theo đề bài ta cĩ xy kxy với k Z  kx1 y10x

1

x

y

kx

 với kx 1 10x kx 1

ta có x; kx – 1 là hai số nguyên tố cùng nhau 10kx 1 hơn

nữa kx – 1 là số dương nên kx 1  2;5;10

Xét các trường hợp tìm được 5 số thỏa mãn đề bài là: 11; 12;

15; 24; 36

0,25

0,5