Nửa môđun trên nửa vành có đơn vị

Xuất phát từ nhu cầu phát triển và tính thời sự của lý thuyết nửa môđun và các ứng dụng của nó, chúng tôi quyết định chọn để tài với tên: Nửa môđun trên nửa vành có đơn vị đễ tiễn hành n

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG

NGUYEN THI BICH TRANG

NUA MODUN TREN NUA VANH CO DON VI

Chuyên ngành: Phương pháp toán sơ cấp

Mã số: 60 46 4()

TOM TAT LUAN VAN THAC Si KHOA HỌC

Da Nang — Nam 2011

Công trình được hoàn thành tại

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG

Người hướng dẫn khoa học: PGS.7S Nguyễn Gia Định

Phản biện 1: GS TSKH Nguyễn Văn Mậu

Phản biện 2:TS Nguyễn Ngọc Châu

Luận văn được bảo vệ tại Hội đồng chấm luận văn tốt nghiệp thạc sĩ

Phương pháp toán sơ cấp họp tại Đại học Đà Nẵng vào ngày 26

thang 11 nam 2011

Có thể tìm hiểu luận văn tại:

- Trung tam Thong tin — Học liệu, Đại học Đà Nang

- Truong Dai hoc su pham, Dai hoc Da Nang

MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn của đề tài

Nửa vành và nửa môđun trên nửa vành đang được nhiều nhà

toán học quan tâm khảo sát Nửa vành và nửa môđun trên chúng đã

trở thành một công cụ quan trọng trong toán học ứng dụng và khoa

học máy tính Xuất phát từ nhu cầu phát triển và tính thời sự của lý

thuyết nửa môđun và các ứng dụng của nó, chúng tôi quyết định

chọn để tài với tên: Nửa môđun trên nửa vành có đơn vị đễ tiễn

hành nghiên cứu

2 Mục đích nghiên cứu

Mục đích của luận văn nhằm nghiên cứu cau trúc đại số của

nửa môđun trên nửa vành có đơn vỊ

3 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

Đối tượng và phạm vi nghiên cứu của để tài là khảo sát, phân

tích, tổng hợp và làm sáng tỏ các kết quả trong các bài báo khoa học

về các đặc trưng của nửa vành, nửa môđun, đồng cấu va dang cấu

của nửa vành, nửa môđun, nửa môđun tự do, xạ ảnh và nội xạ, được

công bố vào những năm gần đây, để từ đó tạo ra được tài liệu cần

thiết và những để xuất hữu ích đáp ứng trong việc nghiên cứu lý

thuyết nửa môẩun

4 Phương pháp nghiên cứu

- Thu thập các bài báo khoa học của các tác giả nghiên cứu

liên quan đến Lý thuyết nửa médun

- Thể hiện tường minh các kết quả nghiên cứu trong đề tài

- Tham gia các buổi seminar hằng tuần để trao đổi các kết

quá đang nghiên cứu

5 Ý nghĩa khoa học của đề tài:

- Tổng quan các kết quả của các tác giả đã nghiên cứu liên quan đến Cấu trúc đại số của nửa môđẩun trên nửa vành có đơn vị

- Chứng minh chỉ tiết và làm rõ một số mệnh đẻ, cũng như

đưa ra một số ví dụ minh hoạ đặc sắc

6 Nội dung của luận văn Ngoài phần mở đầu và kết luận, nội dung luận văn gồm 2 chương:

Chương 1: Các đặc trưng của nửa vành ; Chương 2 : Nửa môđun trên nửa vành có đơn vi

Chương 1

CÁC ĐẶC TRƯNG CỦA NỬA VÀNH

1.1 Khái niệm nửa vành

Một nửa nhĩm là một cặp (M,*) gơm một tập khác rơng M

và một phép tốn * cĩ tính chất kết hợp xác định trên M Nếu M là

một nửa nhĩm mà trong đĩ tổn tại một phần tử e thoa man m*e =

e*m = m VỚI mọi ?me Mƒ thì M được gọi là một vị nhĩm cĩ phần tử

đơn vị e Phần tử này dễ dàng thấy được là duy nhất và thường được

ký hiệu là lu Lưu ý rằng một nửa nhĩm (M,*) mà khơng là một vị

nhĩm cĩ thé nhúng được vào một vị nhĩm M'=M U fe}, trong dée

là phần tử nào đĩ khơng thuộc M và phép tốn * được mở rộng đến

một phép tốn trén M’ boi e*m’ =m’*e = m’ voi moi m’e M’ Mot

phân tử m của M là lũy đẳng nếu ;m*zm = m Một nửa nhĩm (M, *)

1a giao hodn néu m*m’ = m’*m v6i moi m, m’e M

1.1.2 Định nghĩa

Một nửa vành (t.ư nửa vành cĩ đơn vị) là một tập khác

rỗng # trên đĩ cĩ hai phép tốn ký hiệu cộng và nhân được xác định

sao cho các điêu kiện sau được thỏa mãn:

(1) (R, +) là một vị nhĩm giao hốn với phần tử trung hịa

0;

(2) (R, -) là một nửa nhĩm (t.ư vị nhĩm với phần tử trung

hịa 7g);

(3) _ Phép nhân phân phối hai phía đối với phép cộng;

(4) 0r= 0= r0 với mọi r e R

4

Thơng thường, ta sẽ ký hiệu 7 thay cho 7z khi khơng cĩ sự nhằm lẫn Lưu ý rằng nếu 7 = 0 thì r = r1 = r0 = 0 với mỗi phần tử z của R và vì vậy R = /0J Để tránh trường hợp tầm thường này, ta sẽ giả sử mọi vành được xét là khơng tầm thường, nghĩa là

(5) 140

1.1.3 Ménh dé

Một tập R chứa hai phần tử phân biệt 0 và 1 mà trên đĩ cĩ hai phép tốn + và - được xác định là một nứa vành giao hốn cĩ đơn vị khi và chỉ khi các điều kiện sau được thỏa mãn với mọi a, b, caqeeéER:

(1) a+0=0+a=“a;

(2) al=a;

(3) Oa = 0;

(4) [(ae +b) +c]d= db + [a(ed) + cd]

Ở đây, ta sẽ quan tâm chủ yếu đến nửa vành cĩ đơn vị và sẽ

để ý đến nửa vành khi cân thiết Lưu ý rằng nếu (#, +, - ) là một nửa vành thì ta cĩ thể nhúng chính tắc nĩ vào một nửa vành theo cách sau: gọi 9 = xi, phép cộng và phép nhân trên S 1a (7, n)+(r’, n’) = ( r+r, n+n`) và (r, n)-(r”, n`) = (nr’+n’rt+rr’, nn’) Khi dé (S,4+, -)

cĩ thê dễ đàng kiểm tra là một nửa vành cĩ đơn vị Nửa vành Š được gọi là mở rộng Jòrroh của R bởi L

Một tập con Š của một nửa vành #® được gọi là một nửa vành con của # nếu Š chứa 0 và đĩng đối với hai phép tốn trên R Néu R

cĩ đơn vị và Š chứa 7 thì S được gọi là một nửa vành con cĩ đơn vị

R Chang han, P(R) = {0} U{r+l |re R} là một nửa vành con có

don vi cua R

Nếu # là một nửa vành và Š là một nửa vành con của ® mà là

nửa vành có đơn vị e thì tập Rx<$ với hai phép toán cộng và nhân

cho bởi (z, s) + (r, s°)=(r+r>,s+s),(r, s) '(r, s”) =(rs` + sr” +

rr', ss”) là một nửa vành con có đơn vi (0, e), gọi là mở rộng Dorroh

của ® bởi Š

1.1.5 Định nghĩa

1.1.6 Ví dụ

1.1.7 Ví dụ

1.1.8 Định nghĩa

Cho ø là một phân tử của một nửa vành có đơn vị ® Một phân tử b

của được gọi là một nghịch đáo cộng của a nếu a+b = 0 Nếu a có

một nghịch đảo cộng thì một nghịch đảo cộng như thế là duy nhất vì

nếu ø+b = 0 = a+b’ thi b = b+0 =b+a+b' =0+bˆ=b' Ta sẽ ký hiệu

nghịch đảo cộng của z, nếu tổn tai, boi —a Ky hiéu tap gồm tất cả

các phần tử của R có nghịch đảo cộng là V(R); tập này khác rỗng vì

0c V(R) với -0 = 0 và thật ra nó là một vị nhóm của (Ñ,+) vì nó

đóng đối với việc lấy tổng Ngoài ra, nêu ø +€ V(R) thì cả a và

b thuộc V() Rõ ràng £ là một vành nếu và chỉ nếu V(R) = R va R

không có tong khong khi va chi khi V(R) = {0} Mot phan tử vô hạn

của ® không thể thuộc V(R)

Vì không phải mọi phần tử của một nửa vành có đơn vị đều có

nghịch đảo cộng, ta tìm kiếm một điều kiện yếu hơn Một phần tử a

của một nửa vành có đơn vị ® được gọi là gián ước được nêu a+b =

a+c—>b = c trong R Ta sẽ ký hiệu tập gồm tất cả các phần tử giản

ước được của # là K'(R) Tập này khac rng vi V(R) K”(R)

Một phần tử vô hạn của một nửa vành có đơn vị là không bao giờ giản ước được Ngoài ra, K”(R) dễ dàng được thấy rằng đóng đối với phép cộng Vì vậy K”(R) là một vị nhóm con của vị nhóm cộng (R,+) Nếu K”(R)=R thì nửa vành có đơn vị #£ được gọi là giản ước

Lưu ý rằng 1°(R) OK (R) ={0} nên nửa vành có đơn vị lũy

đăng cộng không có phân tử giản ước được không tầm thường 1.1.9 Ví dụ

1) Nửa vành có đơn vị LÍ mà không là một vành, là giản ước được

Vì vậy ta có thể có #= K”()V(R) ={0}

<

2) Nếu X là một tập có hơn một phần tử thì nửa vành có don vi

(sub(X ),U,A) khong giản ước được

1.1.10 Định nghĩa

1.1.11 Mệnh đề

1.1.12 Định nghĩa

1.1.13 Mệnh đề

1.1.14 Định nghĩa

Một phân tử z của một nửa vành có đơn vị ® được gọi là khả nghịch nếu tôn tại một phần tử r' của ® thỏa mãn rr' = ¡ =r'r Phần

tử z' được gọi là nghịch đảo của z trong ® Nếu một nghịch đảo r’ như thế tổn tại thì nó là duy nhất và được ký hiệu là r” Néu r va r’

1a kha nghich trong R thi (rr’)’ = r’'r' va (r')' = r Ky hiéu U(R)

là tập tất cả các phần tử khả nghịch của # Tập này là khác rỗng vì nó

7 chứa 1 và khơng chứa mọi phân tử của # vì nĩ khơng chứa 0 U(R) là

một vị nhĩm con của (Ẩ,-), thật ra, nĩ là một nhĩm Nếu

U(R)=f 0) thì R được gọi là một nửa vành chia cĩ đơn vị và khi đĩ

chắc chắn # là nguyên Một tích trực tiếp của các nửa vành chia cĩ

đơn vị là một nửa vành chia cĩ đơn vị Một nửa vành chia cĩ đơn vị

ø1ao hốn được gọi là một trường

Lưu ý rằng nếu ® là một nửa vành đơn cĩ đơn vi thi

U(R)=(1) Thật vậy, nêu (R.-) thì tổn tại một phan tir b cla R sao

cho ab = ï Do đĩ ta cĩ a= a+ab = a+] = 1

1.1.15 Mệnh đề

Một nứa vành chia cĩ đơn vị hoặc là khơng cĩ tơng khơng

hoặc là một vành chia

Chứng mình

Giả sử R khơng cĩ tổng khơng Khi đĩ tổn tại một phần tử

khác khơng a cua ® cĩ một nghịch đảo cộng là -a Nếu 0#cc ®

thì c+ca“(-a)=ca'(a+-a)=ca”0=0 và vì vậy c cũng cĩ một nghịch

đáo cộng Vậy (R,+) là một nhĩm, nên # là một vành

1.1.16 Định nghĩa

1.1.17 Mệnh đề

1.2 lđêan của nửa vành

1.2.1 Định nghĩa

Một iđêan trái của một nửa vành ® là một tập con khác rỗng của

R thỏa mãn các điều kiện sau:

(1) Nếu a,be1 thì a+beT;

(2) Nếu ae! và re R thì rael;

1.2.2 Định nghĩa

Một tập con khác rỗng A của một nửa vành # được gọi là cĩ

tính nửa trir néu ae AMV (R) kéo theo —ae ANV(R); n6 duge gọi

1a cé tinh try néu ae A va at+be A kéo theo be A; nĩ được gọi là mạnh nếu z+be A kéo theòe A và be A Mỗi tập con cĩ tính trừ của # chắc chăn chứa 0 Rõ ràng mọi tập con mạnh của R 1a cĩ tính trừ và mọi tập con cĩ tính của ® là cĩ tính nửa trừ Nếu # là một nửa vành thì Iđêan /0} luơn luơn cĩ tính trừ; nĩ là mạnh khi và chỉ khi ® khơng cĩ tổng khơng

1.2.3 Định nghĩa

Nếu A là một tập con khác rỗng của một nửa vành ®# cĩ đơn

vị thì tập RA gồm mọi tổng hữu hạn Sina; vol ,ER va a,eA hoặc bằng R hoặc là iđêan trái nhỏ nhất của £ chứa A Trong trường hợp sau, nĩ được gọi là Iđêan trái của ® sinh bởi A Tương tự, A® hoặc bằng R hoặc là iđêan phải nhỏ nhất của R chứa A Tập hop (A)

gdm moi tong hữu hạn cĩ dạng 3 ;đ,s, với z,,s,e # và a,e A hoặc

bằng # hoặc là iđêan nhỏ nhất của # chứa A Nếu A = {a} ta viết Ra( t.u aR, (a)) thay vi RA( t.u AR, (A)) Mot idéan trai ( t.u idéan phải, 1đêan) 7 của ® được gọi là hữu hạn sinh nếu tơn tại một tập hữu hạn A cua R sao cho J = RA(t.u 1 = AR, J = (A)) Nĩ được gọi là chính

1.2.4 Ví dụ

1) Nếu A là một tập vơ hạn thì họ f sub(A) gồm mọi tập con

hữu hạn của A là một Iđêan mạnh của nửa vành cĩ đơn vị (sub(A),U,N)

2) Nếu # là một vành cĩ đơn vị thi khơng cĩ 1đêan nào của R

là mạnh Thật vậy, nếu 7 là một iđêan của ® thì -7 + 7 = 0e ï nhưng l£7 Nếu R là một nửa vành cĩ đơn vị mà khơng là một vành thì

V(R) là một iđêan mạnh của RE Nếu /0j là iđêan duy nhất của R, diéu

này kéo theo hoặc V(R) = ® trong trường hợp ® là một vành hoặc

V(R) = {0} trong trường hợp # là không có tổng không

1.2.5 Mệnh đề

Nếu R là một nửa vành chia có đơn vị và n là một số nguyên

đương thì S = M,(R) không có iđêan khác không

Chứng mình

Với mỗi l<¡, j<n, gọi e; là phần tử của Š xác định bởi

e,(m, n) = 1 néu (i, j) = (m, n) va e,(m, n) = O trong trường hợp còn

lai Khi d6 voi méi fe S tacé f= YG De; |1<i, 7 <n} trong S

Giả sử 7 là một iđêan khác không cla S va g 1A mot phan tir

khác không của 7 Khi đó tỒn tại 1<zr,s<øm sao cho g(r,s) #0 Néu

ƒ= 6 fi, j) => len #€„]gŒ.s) ` ƒŒ, j)e I Đặc biệt, trung

hòa nhân của Š thuộc 7, đây là điều mâu thuẫn Vì vậy ,Š không thể có

1đêan khác không

1.2.6 Mệnh đề

1.2.7 Mệnh đề

1.2.8 Ví dụ

1.2.9 Mệnh đề

1.2.10 Mệnh đề

1.2.11 Mệnh đề

1.2.12 Hệ quả

1.2.13 Ménh dé

1.3 Nửa vành thương

1.3.1 Định nghĩa Một quan hệ tương đương = xác định trên một nửa vành có đơn

vị R thỏa mãn thêm điều kiện nếu z = z và s =s' trong R thir +s

=r’ +s’ vars=r’s’ duoc goi la mét quan hé tuong dang Quan hé tương đắng = xác định bởi r= r néu va chi néur =r’ duoc goi 1A quan hệ tương đăng tầm thường trên R Tat ca các quan hệ tương đăng khác trên E được gọi là không tầm thường Quan hệ tương đẳng

= xác định bởi r = r’ véi moi r,r'e R được gọi là quan hệ tương đăng không thực sự trên Ẩ Tất cả các quan hệ tương đẳng khác gọi

là thực sự Họ Cong(R) gốm tất cả các quan hệ tương dang trén R la một dàn đầy đủ với các phép toán xác định như sau:

(1) Nếu Y là một họ khác rỗng các quan hệ tương dang trén R thì

A Y là quan hệ tương đẳng trên R xác định bởi r(AY)r' nếu

và chỉ nếu z = rˆ với mọi quan hệ = trong Y

(2) Nếu Y là một họ khác rỗng các quan hệ tương đẳng trên # thi

v Y là quan hệ tương đẳng trên R xác định bởi r(VY)r' nếu

và chỉ nếu tổn tại các phần tỬ r = %, Sÿ, ,#„== ` của ® và các phần tỬ E=ị, ,=ạa Của ŸY sao cho s,;E; s; VỚI mỌI l<:i<n

1.3.2 Ví dụ 1.3.3 Định nghĩa 1.3.4 Ví dụ

1.3.5 Mệnh đề 1.3.6 Mệnh đề

Nếu I là một iđêan cực đại có tính trừ của một nửa vành giao hoán có đơn vị R thì R/T la m6t na truong

Chứng mình

II

Gia st 0/1 #a/1e RU) Nộu a el thi do tinh giao

hodn (a>) CI va vi vay tacộ ae 1, diộu nay mau thuan voi cach

R=I1+ (a)

Do đú tụn tại một phần tử b của I và một phần tử r của R sao cho 1 =

b + ra và vỡ vậyl/I = ra/I = (r/)(a/) Vậy a/1Ie U(R/T) điều này

chứng minh R/I là một nửa trường

1.3.7 Mệnh đề

1.3.6 Hệ quả

1.3.9 Mệnh đề

1.3.10 Mệnh đề

13.11 Chỳ ý

1.4 Đồng cấu nửa vành

1.4.1 Định nghĩa

Cho R và S là cỏc nửa vành cú đơn vị Ánh xạ y:ROS

được gọi là một đồng cõu nửa vành cú đơn vị nếu thoả món:

(1) Z{0;)=0Ú;;

2) 7d;)=l;:

@) 7Œ+r)=70)+70) và 7{r)=7{)7ữ) với mọi

rrieR

1.4.2 Vi du

1.4.3 Dinh nghia

1.4.4 Vớ dụ

1.4.5 Định nghĩa

1.4.6 Mệnh đề

7⁄{comp(R)) C comp(S)

Chứng mỡnh

12 Nếu ae comp(R) thỡ 7(2)+7⁄(4*)=7(a+a~)= 7d,)=l, trong

khi 7(2)#(4)= 7(aa~)= ƠOx) = 0, và tương tự 7(2)7(2*)=0 Vậy 7{4) cú bự với 7(4)“ = 7(4`)

1.4.7 Định nghĩa

1.4.8 Mệnh đề

1.4.9 Chỳ ý

1.4.10 Mệnh đề

Nếu I là một iđờan trỏi của một nửa vành cú ẩơn vị khụng là khụng điểm Rthỡ Iˆ ={ v(a)—v(b) |a,be T} là một iđờan trỏi của Rề Chứng mỡnh

Nếu a, a, b, be/ th [V(2)—-V()]|+[V(a)-v(b3]=

V(a+a')—v(b+b)e Iấ Vậy Iấ là một iđờan trỏi của ẹấ

Rừ ràng từ việc xõy dựng ở trờn, ta thấy rằng /ˆ` là iđờan trỏi nhỏ nhất của đấ chứa V(1)

1.4.11 Mệnh đề

1.4.12 Chỳ ý

1.4.13 Mệnh đề 1.4.14 Mệnh đề

1.4.15 Chỳ ý

1.4.16 Mệnh đề 1.4.17 Mệnh đề 1.4.18 Mộnh dộ 1.4.19 Mộnh dộ 1.4.20 Mộnh dộ

1.4.21 Dinh nghia

1.4.22 Mộnh dộ

Chương 2

NỬA MÔĐUN TRÊN NỬA VÀNH CÓ ĐƠN VỊ

2.1 Khái niệm nửa môđun và nửa môđun con

2.1.1 Định nghĩa

Cho R là một nửa vành có đơn vị Một #®-nửa môđun trái là

một vị nhóm giao hoán (⁄,+) với phần tử không là 0„ cùng với một

anh xa RXM ->Mí, ký hiệu (r,nm)E>rm, gọi là phép nhần vô

hướng, thoả mãn các điều kiện sau đây đối với mọi r,r'e # và mọi

mmeM:

()(rr')m=r(r'm);

(2)r(m+m')=rm+rm';

(3)\(r+r)m=rm+r'm;

(4)1,m=m,;

(5)r0,, =0, =O,m

Nửa môđun phải được định nghĩa tương tự

2.1.2 Định nghĩa

2.1.3 Định nghĩa

Một tập con khác rỗng N của một ®-nửa môđun trái M là nửa

môđun con của Ä3⁄ nếu và chỉ nếu W đóng với phép cộng và phép

nhân vô hướng, điều này kéo theo 0, W Nửa môđun con của nửa

môđun phải và song nửa môđun con được định nghĩa tương tự

Chang han, nếu A là một tập con khác rỗng của ®-nửa môđun

trai M va néu J lideal(R) (114 mot iđêan trái của R) thì tap hop JA

gốm tất cả các tổng hữu hạn có dạng hm + +rạm,, re l,m,e M

là một nửa médun con cua M

Ky hiéu ssm(M) 1a ho gom tat ca céc ntta médun con cua R-

nửa môđun trái M M6t ntra médun con cực tiêu của ⁄ được gọI là một nguyên tố của ss/m(M)

Néu Ne ssm(M) và ae C(R) thì aN ={an|ne N) cũng là

N,N'€ ssgm(M) ta có a(N +N') = aN + aN' và a(bN) = (ab)N Vì vậy ssm(M) là một C(R) nửa môđun trái của chính nó

Chú ý rằng nếu W là một nửa môđun con của R-nửa môđun

trái M và nếu me M thì tập hợp (N:rm)={ae R|ame N) là một

1đêan trái của R

Tổng quát nếu A là tập con khác rỗng của Ä⁄ ta ký hiệu (N:A)=fm{(N:m)|me A) và tập này cũng là một iđêan trái vì giao một họ tuỳ ý các 1đêan trái là 1đêan trái Theo quy ước thông thường

này, ta viết (0:A) thay (/0),A)

2.1.5 Mệnh đề

Nếu N và N' là hai nửa môẩun con của R- nứa môẩun trái

M và nếu A, B là tập con khác rỗng của M thì Œ)AcB5>(N:ĐB)C(N:A):

(2)(NmN':A)=(N:A)n¬(N':4A);

()(N:A)n(N:B)C(N:A+B), đăng thức xảy ra khi 0„ 6 AB

Chứng mình (1) Theo định nghĩa

(2) Nếu reRthì re(NAN':A)

©rme NrìN'Ymec A

©rm€ Nvà rme N' Vmc A

©r€(N:A)n(N':A)

15

(3) Néu re(N:A)Q(N:B) thì rựn+m)eN Vme A,m'e B

AUBCA+B và vì vậy ta có bao hàm nghịch đảo

Nếu y:R—› Š là đồng cấu nửa vanh c6 don vi va néu M 1a S-

nửa môđun trái thì nó cũng là một R-nửa môđun trái chính tắc

m=y(r)m Vre R,meM Truong hop dac biét, néu M 1a S-

nửa môđun trái thì Ä⁄ là §-nửa môđun trái với mọi nửa vành con

có đơn vị ® của Š

2.1.0 Chú ý

2.1.7 Ví dụ

2.1.8 Định nghĩa

2.1.9 Định nghĩa

2.1.10 Ví dụ

2.1.11 Định nghĩa

2.1.12.Mệnh đề

2.1.13 Dinh nghia

2.1.14 Ménh dé

2.1.15 Ménh dé

Nêu Ï là một iđêan của một mứa vành có don vi R va M

là một R- nửa môäun trái thì N = {mec M |Im ={0„}} là

một môđäun con có tính trừ cua M

Chứng mình

thoả điều kiện zn, m + m' thuộc N thì với mỗi re Ï ta có 0=

r(m + m`) = rm + rm` = rm`, vậy I`G N Do đó N có tính trừ

16

2.1.16 Mệnh đề

2.2 Đồng cấu nửa môđun 2.2.1 Định nghĩa

Cho R là một nửa vành có đơn vị và Mí, N là các R-nửa

modun trai Anh xa @:M > N được gọi là một đồng câu nửa

modun hay R-déng cau néu va chi nếu các điều kiện sau được thoa man:

dd) (m+m'a=ma+m'a, Vm,m'eM ; (2) (rm)œ =r(mØ) Vme M,reR Hạt nhân của # là ker(Ø) ={0, } œ ` Đây là một nửa môđun con có

tinh try cua M Tap Ma={ma|me M} 1a mét ntra mddun con cua

định tương tự nhưng được viết thành tác động bên trái

Một đông câu đơn ánh (t.ư toàn ánh, song ánh) được gọi là một đơn cấu (t.ư toàn câu, đẳng cấu)

2.2.2 Chú ý

2.2.3 Ví dụ

1) Nếu É là một R-nửa môđun trái sinh ra bởi tập con A thì

ta có một Ktoàn cấu &*2->Mý xác định bởi

ƒ F> > tf (mm | me supp(f )} Đặc biệt ta luôn có một RÑ- toàn câu từ #”” đến M

3) Cho ⁄ là một LÍ -nửa môđun trái (LÌ [f],+) và N là một LÌ -nửa môđun trái (LÏ C2 {—es},max) trong đó phép nhân vô hướng được

xác định ¡- =—eœ nếu ¡ = 0 và ¿- =n trong trường hợp còn lại Khi

dé anh xa @: M —> N xác định bởi &@: p(t) deg(p) 1a LU -

toàn cầu với hạt nhân {0}

2.2.4 Chú ý

2.2.5 Mệnh đề

Nêu R là một nứa vành có đơn vị và M#{(0} là một R-nứa

môáun trái thì S= Endg(M) là một nứa vành có đơn vị và M là một

(R,S)-song nua médun

Chung minh

Dễ chứng minh Š là một nửa vành có đơn vị với đơn vị của

phép cộng cho bởi z> 0 và đơn vị của phép nhân là ánh xạ đồng

nhất m—> m, khi đó Š là một (R,Š)-song nửa môẩun

2.2.6 Ví dụ

2.3 Quan hệ tương đắng và nửa môđun thương

2.3.1 Định nghĩa

Cho # là một nửa vành có đơn vị và Ä⁄ là một R-nửa môđun

trái Một quan hệ tương đương = trong ÄM⁄ được gọi là một quan hệ

R-tương đăng nếu và chỉ nếu zm = m’ van = n’ trong M kéo theo

hợp tất cả các quan hệ #-tương đăng trên M Tap nay khdc rỗng vì

nó chứa R-tương đăng tầm thường =, xc dinh béi m=, m’ néu va

chi néu m = m’ va R-tuong dang phổ dụng =, xdc dinh boi m=, m’

Vin,m'e M Néu M #{0,,} va R-Cong(M) chi c6 hai quan hé

R-tuong dang 14 tam thuong va phé dụng của M duoc goi 1A mét R-

nửa môđun đơn Ngoài ra, R-Cong(M) được sắp thứ tự bộ phận bởi

quan hé [ <] xdc dinh boi =[ <] =’ néu va chi néu_ m=m’ kéo

theo m= ?m' Rõ ràng =, [ Š | =[ Š ] =„ với mọi quan hệ R-tương

đăng = trong R-Cong(M)

Nếu W là một tập con khác rỗng của R-Coneg(M) thì quan hệ

= trên M xác định bởi m = m’ néu va chi néu m=’m’ voi moi =’

—ễ >?

trong W cũng là một quan hệ R-tương đăng trên M va =”’[ <] =’ với mỗi =' trong W nếu và chỉ nêu =”?[ < ]= Vì vậy R-Cong(M)

là một dàn đầy đủ Nếu ?!,'€ MĨ ta sẽ ký hiệu phần tử nhỏ nhất

duy nhất LÍ của R-Cong(M) thỏa mãn znL | m` là =,„„„„)

Nếu =thuộc R-Cong(M) với một R- nửa môđun trái nào đó

và nêu a€ C(R) thì ta có thể định nghĩa một quan hệ “#= trên M

béi m* =m’ néu va chi néu am=am’ Dé dang kiém tra duge day 1a một quan hệ R-tương đẳng và làm cho (R-Cong(M), V ) trở thành một C(#)- nửa môđur:

Nếu N là một nửa môđun con của R- nửa môđun trái M và nếu =thuộc R-Cong(M) thi han ché cha =vé N 1A mot quan hé R- tuong dang trén N Vì vậy ta có một ánh xạ chính tắc từ R-Cong(M) đến R-Cong(N) cho bởi hạn chế Nếu LI là một quan hệ R-tương đăng trên N thì tổn tại một quan hệ R-tương đẳng cực đại duy nhất trên M sao cho hạn chế về N là LI

2.3.2 Định nghĩa Cho R là một R- nửa mô un trái và = là một quan hệ R- tuong dang