Một số tính chất cơ bản của nửa môđun trên nửa vành giao hoán có đơn vị

Với mong muốn tìm hiểu sâu hơn về một số tính chất cơ bản của nửa môđun trên nửa vành giao hoán có đơn vị và nhằm cung cấp cho các bạn đọc một tài liệu về lý thuyết nửa môđun để các bạn

MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài khóa luận

Trong thế kỷ hai mươi, lý thuyết môđun đã đạt được nhiều thành tựu rực rỡ Cấu trúc của nhiều lớp môđun đã được thiết lập và được áp dụng vào các lĩnh vực khác của toán học hiện đại

Do nhu cầu phát triển của nội bộ toán học, vào những năm giữa thế kỷ hai mươi, lý thuyết nửa vành và lý thuyết nửa môđun trên nửa vành ra đời và đã thu hút nhiều nhà toán học trên thế giới quan tâm nghiên cứu Dựa trên những thành tựu đạt được về lý thuyết môđun, nhiều kết quả về môđun đã được chuyển sang nửa môđun với những sự thay đổi thích hợp và khá tinh tế

Hiện nay sinh viên chuyên ngành sư phạm toán trường Đại học Hùng Vương mới chỉ có điều kiện tiếp xúc với lý thuyết môđun, chưa có điều kiện tiếp xúc với lý thuyết nửa môđun Với mong muốn tìm hiểu sâu hơn về một

số tính chất cơ bản của nửa môđun trên nửa vành giao hoán có đơn vị và

nhằm cung cấp cho các bạn đọc một tài liệu về lý thuyết nửa môđun để các bạn có thể nghiên cứu sâu hơn, chúng tôi chọn đề tài “Một số tính chất cơ bản của nửa môđun trên nửa vành giao hoán có đơn vị” cho khóa luận tốt

nghiệp đại học của mình

2 Mục tiêu khóa luận

Hệ thống, phân tích, làm rõ và mở rộng một số tính chất cơ bản của nửa

môđun trên nửa vành giao hoán có đơn vị

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

Hệ thống kiến thức về cấu trúc và tính chất đại số của vành, từ đó hệ thống, nghiên cứu các tính chất đại số của nửa vành

Hệ thống và chứng minh một số tính chất cơ bản của nửa môđun trên nửa vành giao hoán có đơn vị

4 Phương pháp nghiên cứu

• Phương pháp nghiên cứu lý luận: Thu thập, đọc và nghiên cứu tài liệu,

giáo trình, các bài báo khoa học có liên quan đến Lý thuyết nửa môđun rồi phân hóa, hệ thống hóa các kiến thức

• Phương pháp tổng kết kinh nghiệm: Qua việc nghiên tham khảo tài

liệu, giáo trình từ đó rút ra kinh nghiệm để áp dụng vào việc nghiên cứu

5 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

• Đối tượng: Nửa môđun trên nửa vành giao hoán có đơn vị

• Phạm vi: Một số tính chất cơ bản của nửa môđun trên nửa vành giao hoán có đơn vị

6 Ý nghĩa khoa học

Khóa luận sau khi hoàn thành có thể là tài liệu tham khảo cho nhu cầu

tìm hiểu về lý thuyết nửa vành và nửa môđun

7 Bố cục của khóa luận

Ngoài phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo, khóa luận được chia thành các chương:

Chương 1 Các đặc trưng của nửa vành

1.1 Nửa vành 1.2 Nửa vành con 1.3 Iđêan và nửa vành thương 1.4 Đồng cấu nửa vành

Chương 2 Nửa môđun trên nửa vành giao hoán có đơn vị

2.1 Nửa môđun, nửa môđun con và nửa môđun thương 2.2 Tổng và giao của các nửa môđun con

2.3 Đồng cấu nửa môđun 2.4 Nửa môđun giản ước được

2.5 Nửa môđun tự do 2.6 Nửa môđun xạ ảnh 2.7 Nửa môđun nội xạ

CHƯƠNG 1

CÁC ĐẶC TRƯNG CỦA NỬA VÀNH 1.1 Nửa vành

Định nghĩa 1.1.1

Ta gọi là nửa vành một tập hợp R cùng với hai phép toán hai ngôi trên

R kí hiệu theo thứ tự bằng các dấu + và và gọi là phép cộng và phép nhân sao cho các điều kiện sau được thỏa mãn:

i) ( , )R + là một vị nhóm giao hoán với phần tử trung hòa 0

ii) ( ,.)R là một nửa nhóm

iii) Phép nhân phân phối đối với phép cộng: với các phần tử tùy ý

∈, ,

R là nửa vành giao hoán có đơn vị nếu phép nhân giao hoán và có

phần tử trung lập Phần tử trung lập đó gọi là phần tử đơn vị của R và thường được kí hiệu là 1

Ví dụ 1.1.2

1) Tập hợp ℕ các số tự nhiên cùng với phép cộng và phép nhân thông

thường là một nửa vành giao hoán có đơn vị

2) Tập hợp các ma trận vuông cấp n , n >1 với phần tử là các số tự nhiên cùng với phép cộng và nhân ma trận là một nửa vành có đơn vị, nửa vành này không giao hoán

3) Tập hợp các số tự nhiên là bội của một số tự nhiên n >1 cho trước

là một nửa vành, nửa vành này giao hoán nhưng không có đơn vị

4) Cho X là một vị nhóm giao hoán Tập hợp các tự đồng cấu đi từ X đến X là một nửa vành có đơn vị

5) Tích Đề các ×ℕ ℕ cùng với hai phép toán xác định bởi:

Một phần tử a của một nửa vành có đơn vị được gọi là có nghịch đảo

c ộng nếu tồn tại một phần tử b của R sao cho + = 0 a b

Mệnh đề 1.1.5

Nghịch đảo cộng của một phần tử của nửa vành có đơn vị R là duy nhất

Chứng minh

Trong nửa vành có đơn vị R , giả sử b là một nghịch đảo cộng của a

Nếu tồn tại 'b cũng là nghịch đảo cộng của a thì ta có: + = a b 0 =a +b' Khi đó = + = + +b b 0 b a b' =0+b' =b'

Vậy nghịch đảo cộng của một phần tử là duy nhất □

Kí hiệu nghịch đảo cộng của a (nếu có) là −a , tập tất cả các phần tử của R có nghịch đảo cộng là ( ) V R

Nhận xét 1.1.6

i) V R( ) ≠ ∅ vì ∈0 V R( ) với − 0 =0

ii) ( )V R là một vị nhóm con của vị nhóm cộng ( , )R +

iii ) R là một vành khi và chỉ khi V R( )=R

iv ) R không có tổng không khi và chỉ khi V R( ) ={0}.

Một phần tử r của một nửa vành có đơn vị R được gọi là khả nghịch

nếu tồn tại một phần tử 'r của R thỏa mãn rr'=1 =r r'

Phần tử 'r được gọi là nghịch đảo của r trong R , kí hiệu: −

r

i ii Vì A là một nửa vành con của R nên ta có ngay + ∈ x y A

và xy ∈A Mặt khác A là một nửa vành con nên ( , )A + là một vị nhóm với

phần tử trung hòa 0, suy ra 0a = 0 với mọi ∈a A

⇒

ii i Các phép toán cảm sinh trên A cũng có tính chất kết hợp và phân phối Do đó A thỏa mãn 4 điều kiện của một nửa vành Suy ra A là một nửa vành con của R □

Ví dụ 1.2.3

1) Bộ phận {0} chỉ gồm có phần tử không và bộ phận R là hai nửa vành con của R

2) Bộ phận mℕ gồm các số tự nhiên là bội của một số tự nhiên m cho

trước là một nửa vành con của nửa vành các số tự nhiên ℕ

Định lý 1.2.4

Giao của một họ bất kỳ những nửa vành con của một nửa vành R là một nửa vành con của R

Chứng minh

Xét một họ bất kỳ (Aα α) ∈I những nửa vành con của R và A là giao

của chúng Ta có A≠ ∅ vì phần tử trung lập 0 của R thuộc Aα với mọi

Giả sử U là một bộ phận của một nửa vành R Thế thì U chứa trong

ít nhất một vành con của R , cụ thể R Theo định lý 1.2.4, giao của tất cả các nửa vành con của R chứa U là một nửa vành con của R chứa U , nửa vành con này được gọi là nửa vành con của R sinh ra bởi U

1.3 Iđêan và nửa vành thương

Định nghĩa 1.3.1

Một iđêan trái (iđêan phải) của một nửa vành R là một nửa vành con

I của R thỏa mãn: nếu ∈ a I và ∈r R thì ra ∈I (ar∈I )

Một nửa vành con I của một nửa vành R được gọi là iđêan của R nếu và chỉ nếu I vừa là iđêan trái vừa là iđêan phải của R

Từ định nghĩa ta có kết quả sau

Định lý 1.3.2

Một bộ phận I khác rỗng của một nửa vành là một iđêan của R nếu

và chỉ nếu các điều kiện sau thỏa mãn:

i ) + ∈ x y I, ∀x y, ∈I

ii ) xa ∈I và ax ∈I với mọi ∈ a I và mọi ∈ x X

Ví dụ 1.3.3

1) Bộ phận {0} và bộ phận R là hai iđêan của nửa vành R

2) Bộ phận mℕ gồm các số tự nhiên là bội của một số tự nhiên m cho

trước là một iđêan của nửa vành các số tự nhiên ℕ

Giả sử U là một bộ phận của một nửa vành R Thế thì U chứa trong

ít nhất một iđêan của R , cụ thể R Theo định lý 1.3.5, giao của tất cả các iđêan của R chứa U là một iđêan của R chứa U , iđêan này gọi là iđêan

sinh bởi U ; nếu U = {a a1, , ,2 a n} thì U gọi là iđêan sinh bởi các phần tử

1, , ,2 n

a a a Iđêan sinh bởi một phần tử gọi là iđêan chính

Do mọi iđêan I chứa a a1, , ,2 a n thì cũng chứa x a x a1 1, 2 2, ,x a n n

với x x1, , ,2 x n ∈X nên I chứa x a1 1 +x a2 2 + +x a n n

Kết luận I là giao của tất cả các iđêan chứa {a a1, , ,2 a n} tức là iđêan sinh ra bởi a a1, , ,2 a n □

Từ định nghĩa ta cũng có kết quả sau :

N ếu I là một iđêan có tính trừ và 0 là phần tử trung lập của ( , )R + thì

l ớp tương đương của 0 bằng I

• u +x +a =u +y +b do đó +u x ~u +y

• ux +ua =uy +ub với ua ub, ∈I do đó ux ~uy

Tương tự xu ~yu

Vậy ~ là một quan hệ tương đẳng

Nếu 0 là phần tử trung lập của ( , )R + thì với mỗi x ∈R,

0

x a b I x a b

Nếu I là một iđêan có tính trừ thì điều này tương đương ∈ x I

Vậy lớp tương đương của 0 bằng I □

Bây giờ ta hãy xem xét một iđêan có tình trừ I tùy ý của một nửa vành đã cho R Vì I là một nửa nhóm con của nửa nhóm giao hoán cộng R ,

nửa nhóm thương R I/ là một nửa nhóm giao hoán hoàn toàn xác định với các phần tử của R I/ là các lớp khác nhau x của I trong R

Ta trang bị cho R I/ hai phép toán xác định bởi:

Nếu I là một iđêan của nửa vành R , thì:

i ) Lớp xy chỉ phụ thuộc vào các lớp x và y mà không phụ thuộc vào

1.4 Đồng cấu nửa vành

Định nghĩa 1.4.1

Cho R và S là các nửa vành có đơn vị Ánh xạ f R: →S được gọi

là một đồng cấu nửa vành có đơn vị nếu thỏa mãn:

i) f(0R)= 0S

ii) f( )1R =1S

iii) f r( +r') = f r( )+ f r( ') và f rr( ')= f r f r( ) ( ') với ∀r r, '∈R Nếu R =S thì đồng cấu f gọi là một tự đồng cấu của R

Một đồng cấu mà là một đơn ánh, toàn ánh, song ánh thì tương ứng

được gọi là một đơn cấu, toàn cấu, đẳng cấu

là một đồng cấu từ nửa vành R đến nửa vành thương R I/

Đồng cấu này còn là toàn cấu, gọi là toàn cấu chính tắc

Giả sử f :R →S là m ột đồng cấu từ nửa vành R đến nửa vành S ,

A là m ột nửa vành con của R và B là một iđêan của S Khi đó:

i ) ( ) f A là một nửa vành con của S

( )

f B là một iđêan của R

Hệ quả 1.4.5

Giả sử f R: →S là m ột đồng cấu từ nửa vành R đến nửa vành S

Th ế thì Im f là một nửa vành con của S và Kerf là một iđêan của R

• Kerf là một iđêan của R :

Với mọi x y, ∈Kerf ta cóf x( ) = 0 , f y( )= 0

Suy ra f x( )+f y( )= 0 hay f x( +y)=0 Điều này chứng tỏ + ∈Ker

x y f

Với mọi ∈a R ta có af x( )= f ax( )= 0 suy ra ax∈Kerf

Vậy Kerf là một iđêan của R □

CHƯƠNG 2

NỬA MÔĐUN TRÊN NỬA VÀNH GIAO HOÁN CÓ ĐƠN VỊ

2.1 Nửa môđun, nửa môđun con và nửa môđun thương

2.1.1 Nửa môđun

Định nghĩa 2.1.1

Cho R là một nửa vành có đơn vị và M là một vị nhóm giao hoán

với phần tử trung lập 0M, cùng với một ánh xạ µ : R M× → M tạo nên một phép toán nhân ngoài được xác định bởi: rm = µ( ,r m) với mọi

Nếu tiên đề iii) được thay bởi (rr m') =r rm'( ) thì M được gọi là

R – nửa môđun phải Và ta thấy ngay nếu nửa vành R giao hoán thì hai khái

niệm nửa môđun trái và nửa môđun phải là như nhau Trong toàn bộ phần sau, ta chỉ xét các lớp nửa môđun trái, và để thuận tiện ta sẽ dùng từ nửa

môđun thay cho nửa môđun trái

Ví dụ 2.1.3

1) Cho R = ℕ là nửa vành các số tự nhiên, A là một vị nhóm giao

hoán Khi đó ánh xạ ϕ : N ×A →A thỏa mãn 5 tiên đề trên

( , )n a ֏na

Do đó A là một nửa môđun trên N

2) Giả sử nửa vành R là một nửa vành giao hoán có đơn vị ≠1 0 Khi đó

ánh xạ ϕ : R R× →R trong đó rs là phép nhân trong R thỏa mãn 5

( , )r s ֏rs tiên đề trên Do đó R là một nửa môđun trên chính nó

Định nghĩa 2.1.4

Nếu m là một phần tử của R – nửa môđun M thì một phần tử m'∈M

thỏa mãn m +m' =0M là một nghịch đảo cộng của m

Vậy nghịch đảo cộng của m là duy nhất □

Ký hiệu tập tất cả các phần tử có nghịch đảo cộng của M là:

ii ) Một R – nửa môđun M được gọi là bất khả đối nếu V M( )={ }0M

2.1.2 Nửa môđun con

Định nghĩa 2.1.7

Một tập con khác rỗng N của một R – nửa môđun M được gọi là một R – nửa môđun con của M , nếu bản thân N cùng với hai phép toán

trong M thu hẹp vào N , là một R – nửa môđun Khi N là một nửa môđun con của M , thì ta nói rằng M là một nửa môđun mở rộng của N

Ví dụ 2.1.8

1) Mỗi R – nửa môđun M luôn chứa hai nửa môđun con tầm thường

là môđun con không {0} và bản thân M

Để đơn giản ta kí hiệu môđun con không {0} là 0

2) Cho R – nửa môđun M và x là một phần tử của M

Khi đó tập hợp Rx ={ax a| ∈R} là một nửa môđun con của M , gọi là nửa môđun con sinh bởi x

3) Mọi iđêan của một nửa vành M giao hoán có đơn vị ≠1 0 đều là

một nửa môđun con của M , khi xem M như một nửa môđun trên chính nó 4) Nếu A là một tập con khác rỗng của một R – nửa môđun M và nếu K ∈ iđêan(R ) thì tập hợp các tổng hữu hạn dạng

Một phần tử m của một R – nửa môđun M là lũy đẳng nếu và chỉ

nếu m +m =m Tập hợp tất cả các phần tử lũy đẳng của M chứa 0 M và là

nửa môđun con của M , được kí hiệu là I M( ) Nếu I M( ) =M thì M

được gọi là lũy đẳng cộng tính

Định nghĩa 2.1.10

Tập con N của R – nửa môđun M là được gọi trừ được nếu

+ '∈

m m N và m ∈N kéo theo m'∈N với mọi m m, '∈M

N được gọi là mạnh nếu m +m'∈Nkéo theo m m, '∈N với mọi

∈

, '

m m M

Ví dụ 2.1.11

x y x y với mọi x y, ∈N nên N là một vị nhóm giao hoán có

phần tử trung lập 0M Lại do ax = ax + 0 0A M ∈ N với mọi ∈x N và

m M thì {N m: }= {a∈R am| ∈N} là một iđêan trái của R

Nói chung, nếu A là một tập con khác rỗng của M thì chúng ta sẽ đặt

(N A: ) =∩{(N m: ) m∈A}

Để thuận tiện, ta viết (0: A thay cho ) ({0}: A )

Vì giao của một họ tùy ý các iđêan trái là một iđêan trái nên (N A: ) là

một iđêan trái của R

iii) Nếu r ∈(N A: ) (∩ N B: ) thì

( + ')∈ ∀ ∈ , '∈

r m m N m A m B Suy ra r ∈(N A: +B)

Vậy (N A: ) (∩ N B: ) (⊆ N A: +B)

Ngược lại, nếu 0M ∈A∩B thì A∪B ⊆A+B và vì vậy ta có bao

hàm nghịch đảo □

Chú ý 2.1.15

Nếu f R: →S là đồng cấu của các nửa vành và nếu M là một

S – nửa môđun thì nó cũng là một R – nửa môđun với phép nhân vô

hướng được xác định bởi rm = f r m( ) với mọi ∈r R và mọi m ∈M

Nói riêng, nếu M là một S – nửa môđun thì M là R – nửa môđun đối với mỗi nửa vành con R của S

Ví dụ 2.1.16

1) Nếu (M, )+ là một vị nhóm lũy đẳng giao hoán thì M là một

N – nửa môđun với phép nhân vô hướng đã được định nghĩa bởi 0m = 0M

với mọi m ∈M và im =m với mọi m ∈M và mọi < ∈0 i N

2) Nếu M là một R – nửa môđun và A là một tập hợp khác rỗng thì

A

M là một R – nửa môđun với phép cộng và phép nhân vô hướng được

định nghĩa theo phần tử: nếu , ∈ A

3) Nếu R là một nửa vành bất khả đối nguyên, M là một R – môđun

và ∞ là một phần tử không nằm trong M thì có thể định nghĩa R – nửa

môđun M{ }∞ đối với tập hợp M ∪ ∞{ } mà trên nó các phép toán cộng và

nhân vô hướng từ M được mở rộng bằng cách đặt m'+ ∞ = ∞ +m' = ∞với mọi m'∈M{ }∞ ,r ∞ = ∞ với mọi ≠ ∈0 r R và 0 ∞ = 0M

4) Giả sử R là một nửa vành và giả sử M là một R – nửa môđun

Khi đó ( ,0M)={r ∈R rm| =0M với mọi m∈M} là một iđêan của R Hơn nữa, nếu I là một iđêan tùy ý của R được chứa trong 0( ,M) thì M là

R

I – nửa môđun với phép nhân vô hướng được định nghĩa bởi

=( )r

I m rm với mọi ∈r R và m ∈M

2.1.3 Nửa môđun thương

Định nghĩa 2.1.17

Giả sử N là một nửa môđun con của nửa môđun M trên nửa vành R Quan hệ ~ trên M xác định bởi m ~m' nếu và chỉ nếu tồn tại n n, '∈N

sao cho m +n =m'+n' Khi đó ~ là một quan hệ tương đẳng trên M

Kí hiệu lớp tương đẳng của m là m +N và tập tất cả các lớp tương đẳng đó là M /N

/

M Ncùng với phép toán hai ngôi ⊕ xác định bởi:

(m N) (m' N) m m' N trở thành một nửa nhóm cộng giao hoán với phần tử đơn vị 0M +N

Bây giờ cho ∈r R và giả sử rằng m +N m, '+N ∈M /N sao cho

Khi đó f là một ánh xạ và nó trở thành một phép nhân ngoài các phần

tử của R với các phần tử của M /N

/

M N cùng với hai phép toán xác định như trên được gọi là một nửa

môđun thương của M trên N

là một nửa một nửa môđun thương của nửa môđun ℕ theo iđêan mℕ với

phép cộng và phép nhân cho bởi: a +b =a +b a b, =ab với mọi

2.2 Tổng và giao của các nửa môđun con

2.2.1 Tổng và giao của các nửa môđun con

Định nghĩa 2.2.1

Cho I là một tập khác rỗng và {Nα α} ∈I là một họ tùy ý các nửa

môđun con của một R – nửa môđun M Khi đó kí hiệu α

α ∈

∑ I N là tập gồm tất cả các tổng hữu hạn các phần tử của ∪α∈I Nα: