ON TAP HINH HOC HKII

Ôn tập học kỳ 2 môn toán hình lớp 11 ( Lý thuyết đầy đủ)

B HÌNH HỌC

I CÁC DẠNG BÀI TẬP THƯỜNG GẶP

 Dạng 1: Chứng minh hai đường thẳng a và b vuông góc

C1 : Dùng các quan hệ vuông góc đã biết trong mặt phẳng

C2 : a b  góc( ; )a b  90o

C3:

C4:

C5 :

C6 : Sử dụng định lí ba đường vuông góc

C7: Nếu một đường thẳng vuông góc với hai cạnh của một tam giác thì vuông góc với cạnh còn lại của tam giác

 Dạng 2: Chứng minh đường thẳng d vuông góc với mp (P)

C1 : Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng khi nó vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau nằm trong mặt phẳng

C2 : Cho hai đường thẳng // nếu đường thẳng này vuông góc với mặt phẳng thì đường thẳng kia cũng vuông góc với mặt phẳng

b// c, a b a c

a c

b

( ) ( )



a

b

P

a

P

b

( ) ( )

a song song P







B C

A C

  



c

a

b

P

b, c cắt nhau , b c, ( )P , a b a, c a ( )P

C3 : Cho hai mặt phẳng vuông góc theo giao tuyến b, nếu đường thẳng a nằm trong mẵt phẳng này vuông góc với giao tuyến b thì đường thẳng a cũng vuông góc với mặt phẳng kia

C4 : Nếu hai mặt phẳng cắt nhau cùng vuông góc với mặt phẳng thứ ba thì giao tuyến của hai mặt phẳng này cũng vuông góc với mặt phẳng thứ ba đó

 Dạng 3: Chứng minh hai mp (P) và (Q) vuông góc

C1 : Cho hai mặt phẳng vuông góc với nhau nếu có một đường thẳng nằm trong mặt phẳng này vuông góc với mặt phẳng kia

C2 : Chứng minh (P) // (R)  (Q)

C3 : Chứng minh (P) // a  (Q)

 Dạng 4: Tính góc giữa 2 đt a và b

 Dạng 5: Tính góc giữa đt d và mp(P)

P

a// b, b ( )P a ( )P

Q

P

b

a

( ) ( )

( ) ( ),



P

( ) ( )



( ) ( )

( ) ( ) ( ), ( )P ( )P P

  







( ) ( ) ( )

a a







 Chọn điểm O tuỳ ý

 Dựng qua O : a’ // a ; b’ // b

 Góc (a,b) = góc (a’,b’) =A OB

 Thường chọn điểm O  a hoặc O  b

b' a'

B

A

O b a

 =

Gọi góc giữa đt d và mp(P) là 

+) Nếu d  (P) thì  = 900

+) Nếu d không vuông góc với (P): - Xác định hình chiếu d’ của d lên mp(P)

- Khi đó:  = (d,d’)

B

O A



a



 Dạng 6: Tính góc  giữa hai mp (P) và (Q)

Cách 1 :

- Xác định a  (P), b  (Q)

- Tính góc  = (a,b)

Cách 2 :

Nếu (P)  (Q) = d

- Tìm (R)  d

- Xác định a = (R)  (P)

- Xác định b = (R)  (Q)

- Tính góc  = (a,b)

Cách 3 :





B O

A



 Dạng 7: Tính khoảng cách

 Chọn điểm O thuộc giao tuyến của  và 

 Dựng qua O : OA ( )

OA









 



và OB ( )

OB









 



 Góc ( , )  = Góc (OA OB, ) = A OB 

Chú ý:

* 0 90o



 

* Nếu  90o thi chọn góc ( ; )  180o 

Dùng MH   : d(M, ) = MH

 M

H

Dùng: MH  ( ), H thuéc ( ) ta cã: d(M,( )) = MH



M

H

Khoảng cách từ một điểm

đến một đường thẳng

Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng

Khoảng cách giữa hai đường

thẳng song song

Khoảng cách giữa mặt phẳng và đường thẳng // song song

Cỏch1

Cỏch 2 nếu a  b

- Dựng hoặc tỡm mp() ch ứa b và vuụng gúc với a tại A

- Trong , dựng đoạn AB  b tại B

- Đoạn AB là đoạn vuụng gúc chung của a và b

II BÀI TẬP Bài 1: Cho hỡnh chúp S.ABC cú đỏy ABC là tam giỏc vuụng tại B SA  (ABC)

a) Chứng minh: BC  (SAB)

b) Gọi AH là đường cao của SAB Chứng minh: AH  SC

Bài 2: Cho hỡnh chúp S.ABCD cú đỏy ABCD là hỡnh vuụng SA  (ABCD) Chứng minh rằng:

a) BC  (SAB)

b) SD  DC

c) SC  BD

Bài 3: Cho tứ diện ABCD cú AB=AC, DB=DC Gọi I là trung điểm của BC

a) Chứng minh: BC  AD

b) Gọi AH là đường cao của ADI Chứng minh: AH  (BCD)

Bài 4: Cho hỡnh chúp S.ABCD cú đỏy là hỡnh vuụng, tõm O và SA = SC = SB = SD = a 2

a) Chứng minh SO  (ABCD)

b) Gọi I, K lần lượt là trung điểm của AB và BC Chứng minh IKSD

Chọn điểm M trên  1 , dựng MH   2

( H thuộc  2 ) ta có d( 1 , 2 ) = MH

//

 1  2

 2

 1 M

H

Chọn điểm M thuộc , dựng MH   ( H thuộc ( )), ta có d(,( )) = MH

 // ( )





H M

Ta có: d(( ),( )) = d( ,( )) = MH

(M thuộc  , MH  ( ), H thuộc  )

( ) // (),  chứa trong ( )

H

M







 Dựng mặt phẳng ( ) chứa b & ( ) // a

 Dựng MH  ( ), M thuộc a, H thuộc ( )

 Dựng a' trong mặt phẳng ( ), a' // a

đường thẳng a' cắt đường thẳng b tại B

 Dựng  qua B và // MH,  cắt a tại A Khi đó: d(a,b) = d(a,( ))

= d(M,( )) = MH = AB

 a và b chéo nhau



B

A

H

M

a' b

a

Khoảng cỏch giữa hai

mặt phẳng song song

Khoảng cỏch giữa hai Đường thẳng chộo nhau

c) Tính góc giữa đt SB và mp(ABCD)

Bài 5: Cho tứ diện ABCD có AB  CD, BC  AD Gọi H là hình chiếu của A lên mp(BCD) Chứng minh:

a) H là trực tâm BCD

b) AC  BD

Bài 6: Cho tứ diện đều ABCD Chứng minh rằng các cặp cạnh đối diện của tứ diện vuông góc với nhau từng

đôi một

Bài 7: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật, tâm O và AB = SA = a, BC = a 3, SA  (ABCD) a) Chứng minh các mặt bên của hình chóp là những tam giác vuông

b) Gọi I là trung điểm của SC Chứng minh IO (ABCD)

c) Tính góc giữa SC và (ABCD)

Bài 8: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông, tâm O và SA  (ABCD) Gọi H, K lần lượt là hình

chiếu vuông góc của A lên SB, SD

a) Chứng minh BC  (SAB), BD  (SAC)

b) Chứng minh SC  (AHK)

c) Chứng minh HK  (SAC)

Bài 9: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A, SA = AB = AC = a, SA  (ABC)

Gọi I là trung điểm BC

a) Chứng minh BC  (SAI)

b) Tính SI

c) Tính góc giữa (SBC) và (ABC)

Bài 10: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B SA  (ABC) và SA = a, AC = 2a

a) Chứng minh rằng: (SBC)  (SAB)

b) Tính khoảng cách từ điểm A đến mp(SBC)

c) Tính góc giữa (SBC) và (ABC)

d) Dựng và tính độ dài đoạn vuông góc chung của SA và BC

BÀI TẬP TỔNG HỢP

Bài 1: Cho tứ diện OABC có OA , OB , OC đôi một vuông góc và OA= OB = OC = a

Gọi I là trung điểm BC; H, K lần lượt là hình chiếu của O lên trên các đường thẳng AB và AC

1 CMR: BC(OAI)

2 CMR: (OAI)(OHK)

3 Tính khoảng cách từ điểm O đến mp (ABC) ĐS: a / 3

5 Tính côsin của góc giữa OA và mp (OHK) ĐS: cos  6 / 3

6 Tính tan của góc giữa (OBC) và (ABC) ĐS: tan  2

7 Tìm đường vuông góc chung của hai đường thẳng HK và OI Tính khoảng cách giữa hai

đường ấy ĐS: a / 2

Bài 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA(ABCD) và SA a 2

1 CMR: Các mặt bên của hình chóp là các tam giác vuông

2 CMR: mp (SAC)mp(SBD)

3 Tính góc  giữa SC và mp (ABCD), góc  giữa SC và mp (SAB) ĐS: 45 ,0300

4 Tính tan của góc  giữa hai mặt phẳng (SBD) và (ABCD) ĐS: tan 2

5 Tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SBC), khoảng cách từ điểm A đến mp (SCD)

ĐS: a 6 / 3

BAD 60

0

ADC45

6 Tìm đường vuông góc chung của các đường thẳng SC và BD Tính khoảng cách giữa hai

đường thẳng ấy ĐS: a / 2

7 Hãy chỉ ra điểm I cách đều S, A, B, C, D và tính SI ĐS: SIa

Bài 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O cạnh a, SA SB SD a 3 / 2  

và Gọi H là hình chiếu của S trên AC

1 CMR: BD(SAC) và SH(ABCD)

2 CMR: ADSB

3 CMR: (SAC)(SBD)

4 Tính khoảng cách từ S đến (ABCD) và SC

ĐS: SHa 15 / 6 và SC = a 7 / 2

5 Tính sin của góc  giữa SD và (SAC), côsin của góc giữa SC và (SBD)

ĐS: sin  3 / 3 và cos 3 / 14

6 Tính khoảng cách từ H đến (SBD) ĐS: a 10 / 12

7 Tính góc giữa(SAD)và (ABCD) ĐS: tan  5

8 Tìm đường vuông góc chung của các đường thẳng SH và BC Tính khoảng cách giữa hai

đường thẳng ấy ĐS: a 3 / 3

9 Hãy chỉ ra điểm I cách đều S, A, B, D và tính MI ĐS: 3 15a / 20;

Bài 4: Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình thang vuông tại A, AB = BC = a và .

Hai mặt bên SAB, SAD cùng vuông góc với mặt đáy và SA = a 2

1 CMR: BC  mp(SAB)

2 CMR: CDSC

3 Tính góc  giữa SC và (ABCD), góc  giữa SC và (SAB), góc  giữa SD và (SAC)

ĐS: 45 ,030 ,tan0   2/ 2

4 Tính tan của góc  giữa mp(SBC) và mp(ABCD) ĐS: tan  2

5 Tính khoảng cách giữa SA và BD ĐS: 2a / 5

6 Tính khoảng cách từ A đến (SBD) ĐS: 2a / 7

7 Hãy chỉ ra điểm M cách đều S, A, B, C; điểm N cách đều S, A, C, D

Từ đó tính MS và NS ĐS: MS a , NS a 6 / 2