BÀI TẬP HÌNH HỌC 12 CHƯƠNG 1 & 2 ( CÓ LỜI GIẢI CHI TIẾT )

Tài liệu tự học môn toán lớp 12

Học Thêm Toán BÀI TẬP về diện tích và thể tích đa diên-tròn xoay

Bài 1: Cho lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác đều cạnh a, AA’ = b và AA’ tạo với

mặt đáy một góc 600 Tính thể tích khối lăng trụ

Giải

Gọi H là chân đường cao kẻ từ A của lăng trụ

Khi đó, A’H là hình chiếu của AA’ trên mp(A’B’C’) Xét tam giác AA’H vuông tại H có: Sin A’ =

' AA

AH

 AH = AA’ Sin A’ = AA’ Sin 600 =

2

3 b

Do tam giác A’B’C’ là tam giác đều nên chiều cao của tam giác là: h =

2

3 a

Diện tích tam giác A’B’C’: SA’B’C’ =

4

a 3 h a 2



Thể tích ABC.A’B’C’: V =

3

1 AH SA’B’C’ = a b

8

3 2

Bài 2: Cho khối chóp tam giác đều S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh a, các cạnh bên hợp

với đáy một góc 600 Tính thể tích của khối chóp đó

Giải:

Kẻ SH  (ABC) Gọi I là giao điểm của AH và BC

Do S.ABC là hình chóp đều nên H là trọng tâm của tam giác ABC

 AI =

2

3 a  AH =

3

2

AI = 3

2

a 3

3 2

3 a



Do AH là hình chiếu của SA trên mp(ABC) nên SAH =

600 Xét tam giác SAH vuông tại H ta có:

tan 600 = SH AH tan 600

AH

SH



Diện tích tam giác ABC: SABC = AI BC

2

1

4

3 a 2

3 a 2

1



Thể tích khối chóp: V =

3

1

SH SABC =

3

a 12

3 a

4

3

A

A’

C

B

B’

C’

H

600

A

B

C

S

I

H

Học Thêm Toán BÀI TẬP về diện tích và thể tích đa diên-tròn xoay

Bài 3: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD Mặt phẳng (P) qua A và vuông góc với SC cắt

SB, SC, SD tại B’, C’, D’ Biết rằng AB = a,

3

2 SB

' SB

 a) Tính tỉ số thể tích của hai khối chóp S.AB’C’D’ và S.ABCD

b) Tính thể tích khối chóp S.AB’C’D’

Giải

a) Gọi SH là đường cao của hình chóp S.ABCD Gọi H’ là giao điểm của SH và mp (P)

Do S.ABCD là hình chóp đều nên H là giao điểm của AC

và BD















) SAC ( BD AC

BD

SH BD

 BD  SC

Do mp (P)  SC  BD // mp (P)

Do

















 BD // B ' D '

' D ' B ) SBD ( ) P (

) SBD ( BD

) P //(

BD



3

2 SB

' SB SH

' SH SD

' SD





 , H’D’ = H’B’ va B’D’  AC’

Qua H kẻ đường thẳng song song với AC’ cắt SC tại E Khi đó: EC’ = EC,

3

2 SE

' SC





SE

' EC 3

1 SE

'

SC

SE







 SC’ = 2EC’ = CC’

Ta có:

9

4 3

2 3

2 V

V

ABD

.

S

' D '

AB

.

S    ,

9

2 2

1 3

2 3

2 V

V BCD S

' D ' C ' B

S    

Ta có: VS.ABD = VS.BCD =

2

VS.ABCD

 VS.AB’C’D’ = VS.AB’D’ + VS.B’C’D’ = S.ABCD VS.ABCD

3

1 2

V 9

2 9

4















 b) Theo cm trên: AC’ vừa là đường cao vừa là đường trung tuyến của tam giác SAC

nên SA = AC  tam giác SAC đều  SH = a

2

6 2 a 2

3 AC 2

3





VS.ABCD =

3

a 6

6 a

2

6

  VS.AB’C’D’ = a3

18 6

Bài 4: Cho hai điểm A, B cố định Một đường thẳng d di động luôn đi qua A và cách B một

đoạn không đổi a =

2

AB Chứng minh rằng d luôn nằm trên một mặt nón

S

C

D

D’

C’

B’

H’

H

E

Học Thêm Toán BÀI TẬP về diện tích và thể tích đa diên-tròn xoay

Giải Xét tùy ý đường thẳng d đi qua điểm A

Theo gt: A cố định

 d đi qua điểm A cố định thuộc đường thẳng AB cố định (1) Trong mp (d, AB) kẻ BH  d tại H

Gọi  = HAB Xét tam giác vuông ABCH ta có:

Sin  =

2

1 AB

a AB

BH



   = 300 Vậy  không đổi (2)

Từ (1) và (2) suy ra d luôn nằm trên một mặt nón đỉnh A, nhận AB làm trục và có góc ở đỉnh 2 = 600

Bài 5: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a Tính diện tích xung quanh và thể tích

của khối nón có đỉnh là tâm O của hình vuông ABCD và đáy là hình tròn nội tiếp hình

vuông A’B’C’D’

Giải Khối nón có chiều cao a và có bán kính đáy r =

2 a

Độ dài đường sinh: l =

2

5 a 2

a a

2

2  











 Diện tích xung quanh của khối nón:

Sxq = rl

4

5 a 2

5 a 2





Thể tích khối nón: V = r h

3

1 2

 =

12

a a 2

a r 3

















Bài 6: Cho đường tròn (C) trong mp (P) Từ một điểm M trên (C) kẻ đường thẳng d vuông

góc với mp (P) Chứng minh đường thẳng d nằm trên một mặt trụ

Giải Gọi  là đường thẳng vuông góc với mp (P) tại O Gọi r là bán kính của (C)













//

d ) P (

) P ( d

Khoảng cách giữa d và  là: d(d, ) = OM = r: không đổi Vậy d nằm trên mặt trụ trụ  bán kính r

A

B

H

d

C

D

C’

D’

O

O’

O

M

P

d



Học Thêm Toán BÀI TẬP về diện tích và thể tích đa diên-tròn xoay

Bài 7: Cho khối trụ có bán kính đáy bằng r và có thiết diện qua trục là một hình vuông

a) Tính diện tích xung quanh và diện tích toàn phần của hình trụ

b) Tính thể tích của khối lăng trụ tứ giác đều nội tiếp trong hình trụ đã cho (hình

lăng trụ này có đáy là hình vuông nội tiếp trong đường tròn đáy của hình trụ)

c) Gọi V là thể tích khối lăng trụ đều nội tiếp trong khối trụ và V’ là thể tích khối

trụ Tính tỉ số của V và V’

Giải

a) Vì thiết diện qua trục của hình trụ là hình vuông nên đường

sinh l bằng đường cao h

l = h = 2r

Diện tích xung quanh của hình trụ: Sxq = 2 r l = 4 r2 Diện tích toàn phần của hình trụ: Stp = Sxq + 2B = 6 r2 b) Gọi ABCD.A’B’C’D’ là trụ tứ giác đều nội tiếp trong hình trụ đã cho

Ta có: ABCD nội tiếp trong đường tròn đáy nên: AB = r 2 Thể tích khối lăng trụ tứ giác đều: V = AA’.SABCD = 4r3 c) Thể tích khối trụ: V’ = B.h = 2 r3

Vậy:



 2 ' V

V

Bài 8: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a Xác định tâm và bán kính mặt cầu đi

qua 8 đỉnh của hình lập phương đã cho

Giải

Gọi O là trung điểm của đường chéo AC’

Ta có: O cách đều các đỉnh của hình lập phương Vậy mặt cầu đi qua 8 đỉnh hình lập phương có tâm O, Bán kính r =

2

' AC

AC’ = a 3  r =

2

3 a

Bài 9: Cho tứ diện D.ABC có DA  (ABC) và DA = 5a, tam giác ABC vuông tại B và AB

= 3a, BC = 4a Xác định tâm và bán kính mặt cầu đi qua bốn đỉnh của tứ diện

Giải

Gọi O là trung điểm DC

Do DA  (ABC) nên DA  AB, DA  AC

  DAC vuông tại A

 OA = OC = OD = CD/2 (1)

Ta có: BC  BA, BC  DA  BC  (ABD)  BC  BD

 OB = CD/ 2 (2)

C

D

O

C’

D’

O’

C

D

A’

B’

C’

D’

O

A

B

C

D

O

Học Thêm Toán BÀI TẬP về diện tích và thể tích đa diên-tròn xoay

Từ (1 và (2) suy ra: A, B, C, D thuộc mặt cầu tâm O, bán kính r = CD/2

Bài 10: Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng a, cạnh bên bằng b Xác định

tâm và bán kính mặt cầu đi qua các đỉnh hình chóp

Giải

Gọi H là trọng tâm tam giác ABC

Do SABC là hình chóp đều nên tâm O của mặt cầu nằm trên SH

Gọi I là trung điểm của SA

Trong mp(SAH) dựng IO vuông góc với SA cắt SH tại O Khi đó: O là tâm mặt cầu đi qua các đỉnh hình chóp

Xét hai tam giác đồng dạng SIO và SHA ta có:

SH 2

SA SH

SI SA

SO



SH 2

SA2



Mà SH2 = SA2  AH2 = b2 

2

2 3

3 a 2

















2 2

a b 3

1 3

a b







Vậy: r =

2 2

2 2

a b 3 2

b SH

2

SA



2 2 2

a b 2

b



Bài 11: Cho mặt cầu S(O,r) và một điểm a biết OA = 2r Qua A kẻ một tiếp tuyến với mặt

cầu tại B và kẻ một cát tuyến cắt mặt cầu tại C và D Cho biết CD = r 3

a) Tính AB

b) Tính khoảng cách từ O đến CD

Giải

a) Ta có: AB là tiếp tuyến của mặt cầu tại B nên AB 

OB

 AB = OA2OB2  4r2 r2 r 3 b) Gọi H là hình chiếu vuông góc của O trên CD

Ta có: OC = OD = r Nên tam giác OCD cân tại O

Do H là trung điểm của CD nên HC =

2

3 r 2

CD

 Vậy khoảng cách từ O đến CD là độ dài OH với

OH =

2

r 2

3 r r HC OC

2 2

2 2

























B

H

S

A

B

H

C

Học Thêm Toán BÀI TẬP về diện tích và thể tích đa diên-tròn xoay

Bài 12: Cho tứ diện ABCD có DA = 5a và DA vuông góc với mp(ABC) Tam giác ABC

vuông tại B

và AB = 3a, BC = 4a

a) Xác định tâm và bán kính của mặt cầu đi qua các đỉnh của tứ diện

b) Tính diện tích mặt cầu và thể tích của khối cầu tương ứng

Giải a) Gọi O là trung điểm DC

Do DA  (ABC) nên DA  AB, DA  AC

  DAC vuông tại A  OA = OC = OD = CD/2 (1)

Ta có: BC  BA, BC  DA

 BC  (ABD)  BC  BD  OB = CD/ 2 (2)

Từ (1 và (2) suy ra: A, B, C, D thuộc mặt cầu tâm O, bán kính

r = CD/2

r = 2 2 AD2 AB2 BC2

2

1 AC AD

2

1 CD 2

1









2

2 a 5 b) Diện tích mặt cầu: S = 4 r2 = 50 a2

Thể tích của khối cầu tương ứng: V =

3

4

 r3 =

3

2 a

125 3

Bài 13: Cho khối lăng trụ tứ giác đều ABCD.A1B1C1D1 có khoảng cách giữa hai đường

thẳng AB và A1D bằng 2 và độ dài đường chéo của mặt bên bằng 5

a) Hạ AK  A D1 (KA D1 ) Chứng minh AK = 2

b) Tính thể tích khối lăng trụ ABCD.A1B1C1D1

A x B

x x

2

D C

x

K h

5

A 1 B 1

D 1 C 1

Giải:

a) Chứng minh AK = 2:

AB(ADD1A1)  AB AK và Gt: AKA1D

AK là đoạn vuông góc chung của AB và A1D Vậy AK = d AB A D , 1 AK  2

b) Tính thể tích V của khối lăng trụ ABCD.A1B1C1D1: Đặt h = AA1 là chiều cao của khối lăng trụ; x là cạnh đáy hình vuông

Gt AK = 2; A1D = 5

1

AA

D

 vuông tại A có AK là đường cao nên:

AK.A1D = AD.AH  10 x h. và

AD2 + 2 2 2 2

AA A D x h  25 Giải hệ:



A

B

C

D

O

Học Thêm Toán BÀI TẬP về diện tích và thể tích đa diên-tròn xoay

2

2

 



Bài 14: Cho khối lăng trụ đứng ABCD.A1B1C1D1 có đáy là hình bình hành và  0

45

BAD 

Các đường chéo AC1 và DB1 lần lượt tạo với đáy những góc 450 và 600 Hãy tính thể tích

của khối lăng trụ nếu biết chiều cao của nó bằng 2

D 1 A 1

C 1

B 1

2

D A

C B

Giải:

Gt: (AC1, (ABCD)) = 450 = (AC1,AC) = 

1

C AC

(DB1, (ABCD)) = 600 = (DB1, DB) =

1

B DB

2 3

3

Đặt AD = BC = x ; AB = DC = y





4

2 cos 45

    (2)

Từ (1) và (2) 16 2 2 2 2 8

      thay

vào (2) có: 4 8 2 2 4

0

ABCD BCD

xy

Vậy V = SABCD CC1= 2.2 4

3 3 (đvdt)

Bài 15: Cho khối lăng trụ ABC.A1B1C1 có đáy ABC là tam giác vuông cân với cạnh huyền

AB = 2 Cho biết mặt phẳng (AA1B) vuông góc với mặt phẳng (ABC), AA1 = 3, góc



1

A AB nhọn, góc giữa mặt phẳng (A1AC) và mặt phẳng (ABC) bằng 600 Hãy tính thể tích

của khối lăng trụ

Giải:

Gt: (A AB1 )(ABC) Từ A1 dựng A1H vuông góc AB tại H thì A H1 (ABC)A H1 là chiều

cao lăng trụ Đặt A1H = h

Dựng HK  AC tại K (HK // BC) AKH cũng vuông cân tại K 2 2

3

h

Học Thêm Toán BÀI TẬP về diện tích và thể tích đa diên-tròn xoay

A 1 B 1

C 1

3 h

2

A H B

K

C

2

h

2 2

1

ABC

CA

2

1

AC

  Vậy V = 3

2 5 (đvdt)

Bài 16: (Dự bị B2-2006) Cho lăng trụ ABC.A’B’C’ có A’.ABC là hình chóp tam giác đều,

cạnh đáy AB = a, cạnh bên AA’ = b Gọi  là góc giữa hai mặt phẳng (ABC) và (A’BC)

Tính tan và tính thể tích khối chóp A’.BB’C’C

Giải:

* Tính tan :

+ Gọi H là tâm tam giác đều ABC Do A’.ABC là hình chóp tam giác đều nên hình chiếu

vuông góc của A’ trên (ABC) trùng với H

+ Gọi M là giao điểm của AH với BC thì AMBC

Mặt khác: A’B = A’C = A’A = b A M' BC

Vậy góc giữa hai mặt phẳng (ABC) và (A’BC) là:  AMA'

A’HM vuông tại H (vì A’H(ABC))

tan tan AMA ' A H

MH



C’

A’

B’

b

A

C

a H

M

B

ABC đều có cạnh a nên AM = a 3

2

;

A’H =

'

Vậy

a

* Tính thẻ tích V của khối chóp A’.BB’C’C:

Học Thêm Toán BÀI TẬP về diện tích và thể tích đa diên-tròn xoay

V

3

6

 (đvtt)

Bài 17: Cho khối chóp tam giác đều S.ABC có chiều cao bằng h và gócASB2 Hãy tính

thể tích khối chóp

S

A

C

H

M

B

Giải: Tính VS.ABC : + Gọi H là hình chiếu của S trên (ABC)

Vì: SA = SB = SCHA = HB = HCH là tâm của tam giác đều ABC

+ Gọi M là giao điểm của CH và AB thì M là trung điểm của AB và SMAB

+ Đặt AB = 2x AM = BM = x (x > 0)

ASB 2 ASM  BSM  (0  90 ) + ASM, M1vSM AMcot ASM xcot

MH = 1 1 3 1.2 3 3

x

3

x

2 2

3

3cot 1

h x



 



3 2

S ABC ABC





Bài 18: Khối chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân đỉnh C và SA(ABC), SC =

a Hãy tìm góc giữa hai mặt phẳng (SCB) và (ABC) để thể tích khối chóp lớn nhất

Giải: Tìm góc giữa hai mặt phẳng (SCB) và (ABC) để thể tích S.ABC lớn nhất:

S

a

A B

C

+ gt: SA(ABC) &ACCBSCCB



.sin sin

AC SC c SCA ac









.

S ABC ABC

.

1

os sin 6

S ABC

Học Thêm Toán BÀI TẬP về diện tích và thể tích đa diên-tròn xoay

'( ) 2 cos sin os 2 cos (1 os ) os 3cos 2 cos cos 3 os 2 3 os 2

f     c    c  c     c  c 

0  90 cos 0cos 3 osc  2 0

Lập bảng biến thiên hàm số f( ) trên khoảng  0 0

0 ; 90 :

 00  900 f’( )  + 0 - 

f( )

fmax

0 0

Ta có f() lớn nhất  os 2

3

c  

Vậy thể tích S.ABC lớn nhất  f() lớn nhất  os 2

3

Bài 19: Cho khối chóp tứ giác đều S.ABCD mà khoảng cách từ đỉnh A đến mp(SBC) bằng

2a Với giá trị nào của góc giữa mặt bên và mặt đáy của khối chóp thì thể tích của khối chóp

nhỏ nhất ?

Giải: Tìm góc giữa mặt bên và mặt đáy để thể tích S.ABCD nhỏ nhất:

S

K

B C

N M

O

A D

+ Gọi O là tâm hình vuông ABCD thì SO vuông góc với (ABCD) và SO là chiều cao của khối chóp S.ABCD

+ Gọi MN là đường trung bình của hình vuông ABCD với MCD và NAB

+ CD(SMN), trong (SMN) vẽ NKSM, khi đó

NKCDNK(SCD) Vậy NK = dN SCD, ( )

+ Vì AB//CDAB//(SCD)

 dA SCD, ( )= NK = 2a

Ta có: SMCD và MNCD





2

sin

os

a

c





+

2

S ABCD ABCD

Vậy V S ABCD. nhỏ nhất f( ) sin2 cos lớn nhất, với 0 0

0  90

'( ) 2cos sin sin 2sin (1 sin ) sin 2sin 3sin

Học Thêm Toán BÀI TẬP về diện tích và thể tích đa diên-tròn xoay

3sin 2 sin 2 sin

Lập bảng biến thiên hàm số f( ) trên khoảng  0 0

0 ; 90 :



00 arcsin 2

3 900 f’( )  + 0 - 

f( )

fmax

0 0

Ta có f() lớn nhất  arcsin 2

3

Vậy thể tích S.ABCD nhỏ nhất  f( ) lớn nhất  arcsin 2

3

Bài 20: Khối chóp S.ABC có SA (ABC); đáy là ABC cân tại A, độ dài trung tuyến AD

= a, cạnh SB tạo với đáy một góc  và tạo với mặt (SAD) góc  Tính thể tích khối chóp

Giải: Tính thể tích khối chóp S.ABC:

S

A C

D

B

+ SA(ABCD) nên AB là hình chiếu SB trên (ABC)

ABS  SB ABC, ( )

+ BCAD và BCSABC(SAD) nên SD là hình chiếu của SB trên (SAD) BSD SB SAD, ( )

+ SAB, A1vABSB c os + SDB, D1vBDSB.sin

( os sin )

os sin

a

c



Vậy

sin

os sin

a BD

c







SA = SB

.sin sin

os sin

a c









.

S ABC ABC

AD BC

3

a a

c



(đvtt)

Học Thêm Toán BÀI TẬP về diện tích và thể tích đa diên-tròn xoay

Bài 21: Cho khối chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với mặt phẳng

đáy và SA = 2a Gọi B’, D’ lần lượt là hình chiếu của A trên SB và SD Mặt phẳng (AB’D’)

cắt SC tại C’ Tính thể tích khối chóp S.AB’C’D’

Giải: Tính thể tích khối chóp S.AB’C’D’:

S

2a

C’ D’

I

B’

A D

O a

B C

+ Trong (SBD) gọi I là giao điểm của B’D’ và SO

Trong (SAC), gọi C’ là giao điểm của AI với SC thì:

C’là giao điểm của (AB’D’) với SC + SAB SADSBSD

+

+ V S,AB’C’ + V S.AC’D’ = V S.AB’C’D’

+ V S,ABC = V S.ACD = 1

2V S.ABCD =1

2V (đặt VS.ABCD = V)

' '

S AB C

S ABC

.

S AB C

Tương tự:

' '

S AC D

do SD SB

3 ' ' '

S AB C D

3 ' ' '

' ' 2

S AB C D

V

SB SC

Vì:

'

SB

+ Ta có: BCAB&BCSABC(SAB)BCAB' Mặt khác: SB AB'

Vậy AB'(SBC)AB'SC; tương tự: AD'SCSC(AB D' ')SCAC'

Tam giác SAC vuông tại A và AC’ là đường cao nên:

SC’.SC = SA2

' ' '

S AB C D

V

Bài 21: Cho khối lăng trụ ABC.A1B1C1 có đáy ABC là tam giác vuông cân với cạnh huyền

AB = 2 Cho biết mặt phẳng (AA1B) vuông góc với mặt phẳng (ABC), AA1 = 3, góc



1

A AB nhọn, góc giữa mặt phẳng (A1AC) và mặt phẳng (ABC) bằng 600 Hãy tính thể tích

của khối lăng trụ

Giải: Tính thể tích của khối lăng trụ ABC.A1B1C1

+ Gt: (A AB1 )(ABC) Từ A1 dựng A1HAB tại H

  A1H là chiều cao lăng trụ

Đặt A1H = h