Viết phương trình đường thẳng đi qua một điểm cho trước và tạo với đường thẳng cho trước một góc cho trước.. Viết phương trình đường thẳng ∆ đi qua M và tạo với d một góc 45o.. Viết phươ
Trang 1ÔN TẬP HÌNH HỌC 10 HỌC KỲ II
HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC
A TÓM TẮT LÝ THUYẾT :
• Tích vô hướng: Cho u=(a1;b1);v=(a2;b2) Khi đó:
) , cos(
u = hoặc u = a v 1 a 2 +b 1 b 2 Chú ý: u⊥ v⇔ u.v=0
• Các ký hiệu trong ∆ ABC Độ dài: BC = a, CA = b, AB = c
ma, m b, mc: độ dài trung tuyến ứng với đỉnh A, B, C
ha, h b, hc: Độ dài đường cao ứng với đỉnh A, B, C
p =
2
+ +b c a
: nữa chu vi ∆ ABC S: diện tích tam giác
R, r : bán kính đường tròn ngoại tiếp, nội tiếp ∆
• Định lý Côsin: a2 = b2 + c2 - 2bc cos A
bc
a c b A
2 cos
2 2
=
⇒
c
c B
b A
sin
= sin
= sin
• Công thức trung tuyến:
4
c 2 + b 2
2 a
a -m
• Công thức tính diện tích
a S = 1
2 a.ha =
1
2 b.h b =
1
2 c.hc
b S = 1
2 b.c sinA =
1
2 c.a sinB =
1
2 a.b sinC
c S = R abc4
d S = p.r
e S = p(p−a)(p−b)(p−c) ( Công thức Hê – rông)
B VÍ DỤ:
Cho ∆ ABC có a = 7, b = 8, c = 5; Tính: Â, S, ha, R, r, ma
Giải:
• a2 = b2 + c2 - 2bc cosA ⇔ 49 = 64 + 25 - 2.8.5 cos A ⇔ Cos A = ½ ⇒ Â = 600
• S = ½ b.c.sinA = ½ 8.5 =10 3
2 3
• S = ½ a.ha ⇔ ha = 7
3 20
= a
S 2
• S = R abc4 ⇔ R = abc 4S = 733
• S = p.r ⇔ r = S p = 3
• m = a2
4
129
= 4
2 +
2b2 c2-a2 ⇒ m
a = 2 129
A
C
h a m a
Ph
ần 1:
Trang 2C BÀI TẬP:
Bài 1: Cho tam giác ABC, biết:
1) a=5; b = 6 ; c = 7 Tính S, ha, hb , hc, R, r 2) a= 2 3 ; b= 2 2 ; c= 6 - 2 Tính 3 góc 3) b=8; c=5; góc A = 600 Tính S , R , r , ha , ma 4) a =21; b= 17; c =10 Tính S, R, r, ha , ma
5) A = 600; hc = 3 ; R = 5 tính a , b, c 6) A =1200; B = 450; R = 2 Tính 3 cạnh
7) a = 4 , b = 3 , c = 2 Tính SABC, suy ra SAIC ( I trung điểm AB) 8) c = 3, b = 4; S = 3 3 Tính a Bài 2: Cho tam giác ABC có Â=600, CA = 8, AB = 5
1) Tính cạnh BC
2) Tính diện tích tam giác ABC
3) Xét xem góc B tù hay nhọn
4) Tính độ dài đường cao AH
5) Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác
Bài 3: Cho tam giác ABC có a = 13; b = 14; c = 15
a) Tính diện tích tam giác ABC
b) Góc B nhọn hay tù
c) Tính bán kính đường tròn nội tiếp r và bán kính đường tròn ngoại tiếp R của tam giác
d) Tính độ dài đường trung tuyến ma
Bài 4: Cho tam giác ABC có a = 3 ; b = 4 và Cˆ = 600; Tính các góc A, B, bán kính R của đường tròn ngoại tiếp và trung tuyến ma
************************************************************
ĐƯỜNG THẲNG
A PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG.
I TÓM TẮT LÝ THUYẾT :
*Mối liên hệ giữa toạ độ điểm và toạ độ của véc tơ.
Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho hai điểm A x y B x y C x y Khi đó:( ; ); ( ; ); ( ; )1 1 2 2 3 3
a uuurAB=(x2−x y1; 2−y1)⇒ uuurAB = (x2−x1)2+(y2−y1)2
b Toạ độ trung điểm I của đoạn AB là : ( 1 2; 1 2)
c Toạ độ trọng tâm G của ABC∆ là : ( 1 2 3; 1 2 3)
d Ba điểm , ,A B C thẳng hàng ⇔uuur uuurAB AC, cùng phương ⇔ AB=k AC,k ≠0
Ví dụ 1 Cho ba điểm ( 4;1), (2; 4), (2; 2)A − B C − .
a Chứng minh ba điểm không thẳng hàng
b Tính chu vi ∆ABC
c Tìm tọa độ trực tâm H
Ví dụ 2 Cho ba điểm ( 3; 4), (1;1), (9; 5)A − B C −
a Chứng minh , ,A B C thẳng hàng.
b Tìm toạ độ D sao cho A là trung điểm của BD
c Tìm toạ độ điểm E trên Ox sao cho , ,A B E thẳng hàng.
Ví dụ 3 Cho ba điểm ( 4;1), (2; 4), (2; 2)A − B C −
a Chứng minh ba điểm , ,A B C tạo thành tam giác.
b Tìm toạ độ trọng tâm ABC∆
c Tìm toạ độ điểm E sao cho ABCE là hình bình hành
Ph
ần 2:
Trang 31 Véc tơ chỉ phương và véc tơ pháp tuyến của đường thẳng.
a) Véc tơ pháp tuyến: Véc tơ nr r≠0 được gọi là véc tơ pháp tuyến ( vtpt ) của đường thẳng ∆ nếu nó có giá ⊥ ∆
b) Véc tơ chỉ phương: Véc tơ ur r≠0 được gọi là véc tơ chỉ phương( vtcp) của đường thẳng ∆ nếu nó có giá song song hoặc trùng với đường thẳng ∆
* Chú ý:
- Nếu ;n ur r
là véc tơ pháp tuyến và chỉ phương của đường thẳng ∆ thì ∀ ≠k 0 các véc tơ kn kur r;
cũng tương ứng là các véc tơ pháp tuyến và chỉ phương của đường thẳng ∆
- Nếu nr=( ; )a b là véc tơ pháp tuyến của đường thẳng ∆thì véc tơ chỉ phương là ur =( ;b a− ) hoặc ( ; )
ur= −b a
- Nếu ur=( ; )u u1 2 là véc tơ chỉ phương của đường thẳng ∆thì véc tơ pháp tuyến là nr =( ;u2 −u1) hoặc
nr= −u u
2 Phương trình tổng quát của đường thẳng.
Trong mặt phẳng Oxy, cho đường thẳng ∆ đi qua M0(x0;y0) và có véc tơ pháp tuyến n=( b a; ) Khi
đó phương trình tổng quát của ∆ được xác định bởi phương trình :
a(x−x0)+b(y−y0)=0 (1) ( a2 +b2 ≠0.)
hoặc có dạng: Ax + By + C = 0
3 Phương trình tham số của đường thẳng.
Trong mặt phẳng Oxy, cho đường thẳng ∆ đi qua M0(x0;y0) và có véc tơ chỉ phương u=(u1;u2) Khi
đó phương trình tham số của ∆ được xác định bởi phương trình:
+
=
+
=
t u y y
t u x x
2 0
1 0
(2) ( t∈R.)
* Chú ý : Nếu đường thẳng ∆ có hệ số góc k thì có véc tơ chỉ phương là u=( k1; )
4 Phương trình đường thẳng có hệ số góc k.
Trong mặt phẳng Oxy, cho đường thẳng ∆ đi qua M0(x0;y0) và có hệ số góc k Khi đó phương trình của ∆ được xác định bởi phương: y = k ( x-x 0 ) + y 0
5 Khoảng cách:
Trong mặt phẳng Oxy, cho đường thẳng ∆: Ax + By + C = 0 và điểm M0(x0;y0) Khi đó khoảng cách
từ điểm M0 đến đường thẳng ∆ được ký hiệu là: d(M0, ∆) và
2 2 0 0
0, )
(
B A
C By Ax M
d
+
+ +
=
∆
II BÀI TẬP:
Bài 1: Viết phương trình tổng quát, phương trình tham số của đường thẳng trong mỗi trường hợp sau:
a) Đi qua A(1;-2) và song song với đường thẳng 2x - 3y - 3 = 0
b) Đi qua hai điểm M(1;-1) và N(3;2)
c) Đi qua điểm P(2;1) và vuông góc với đường thẳng x - y + 5 = 0
Bài 2: Cho tam giác ABC biết A(-4;1), B(2;4), C(2;-2)
Tính khoảng cách từ điểm C đến đường thẳng AB
Bài 3: Cho tam giác ABC có: A(3;-5), B(1;-3), C(2;-2).Viết phương trình tổng quát của:
a) 3 cạnh AB, AC, BC
b) Đường thẳng qua A và song song với BC
c) Trung tuyến AM và đường cao AH của tam giác ABC
d) Đường thẳng qua trọng tâm G của tam giác ABC và vuông góc với AC
e) Đường trung trực của cạnh BC
Trang 4Bài 4: Cho tam giác ABC có: A(1 ; 3), B(5 ; 6), C(7 ; 0).:
a) Viết phương trình tổng quát của 3 cạnh AB, AC, BC
b) Viết phương trình đường trung bình song song cạnh AB
c) Viết phương trình đường thẳng qua A và cắt hai trục tọa độ tại M, N sao cho AM = AN
d) Tìm tọa độ điểm A’ là chân đường cao kẻ từ A trong tam giác ABC
Bài 5: Cho đường thẳng d : x−2y+ =4 0 v điểm A(4;1)
a) Tìm tọa độ điểm H là hình chiếu của A xuống d
b) Tìm tọa độ điểm A’ đối xứng với A qua d
Bài 6: Cho đường thẳng d : x−2y+ =2 0 và điểm M(1;4)
a) Tìm tọa độ hình chiếu H của M lên d
b) Tìm tọa độ điểm M’ đối xứng với M qua d
Bài 7: Cho đường thẳng d có phương trình tham số : 2 2
3
= +
= +
a) Tìm điểm M trên d sao cho M cách điểm A(0;1) một khoảng bằng 5
b) Tìm giao điểm của d và đường thẳng :∆ + + =x y 1 0
Bài 8: Cho P(2; 5), Q(5; 1):
a) Viết pt đường trung trực của PQ
b) Viết pt đường thẳng qua P sao cho khoảng cách từ Q đến đường thẳng đó bằng 3
Bài 9: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho A(1; 1), B(4; -3) Tìm C thuộc đường thẳng d: x -2y -1= 0 sao cho khoảng cách từ C đến AB bằng 6
B VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA HAI ĐƯỜNG THẲNG.
I TÓM TẮT LÝ THUYẾT :
Trong mặt phẳng Oxy cho hai đường thẳng ∆ ∆1; 2 có phương trình
a x b y c a b
a x b y c a b
Phương Pháp:
1 Cách 1:
Nếu 1 2
b ≠ b thì hai đường thẳng cắt nhau.
Nếu 1 2 1
b = b ≠ c thì hai đường thẳng song song nhau.
Nếu 1 2 1
b = b =c thì hai đường thẳng trùng nhau.
2 Cách 2:
Xét hệ phương trình 1 1 1
0 0
a x b y c
a x b y c
Nếu hệ (1) có một nghiệm thì hai đường thẳng cắt nhau và toạ độ giao điểm là nghiệm của hệ
Nếu hệ (1) vô nghiệm thì hai đường thẳng song song nhau
Nếu hệ (1) nghiệm đúng với mọi (x y thì hai đường thẳng trùng nhau.; )
* Chú ý: Nếu bài toán không quan tâm đến toạ độ giao điểm, ta nên dùng cách 1.
Trang 5II BÀI TẬP:
Xét vị trí tương đối của hai đường thẳng.
Xét vị trí tương đối các cặp đường thẳng sau và tìm toạ độ giao điểm trong trường hợp cắt nhau:
a) ∆1:x y+ − =2 0; ∆2: 2x y+ − =3 0
b)
+
=
−
=
∆
=
− +
∆
t y
t x
y x
2 2
4 1 :
; 0 10 4 2
1
c)
−
=
+
−
=
∆
+
=
−
−
=
∆
' 4 2
' 5 6 :
; 4 2
5 1
1
t y
t x
t y
t x
d) ∆1: 8x+10y− =12 0; ∆2: 4x+3y− =16 0
e)
+
=
+
=
∆
= +
−
∆
t y
t x y
x
2 3
5 :
; 0 10 6 12
1
f)
−
=
+
−
=
∆
+
=
=
∆
' 4 2
' 5 6 :
; 5
2 10
1
1
t y
t x
t y
t x
C GÓC GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG.
I TÓM TẮT LÝ THUYẾT :
1 Định nghĩa: G/s hai đt ∆ ∆1; 2 cắt nhau Khi đó góc giữa ∆ ∆1; 2 là góc nhọn và được KH là: (∆ ∆1, 2)
* Đặc biệt:
- Nếu (∆ ∆ =1, 2) 90o thì ∆ ⊥ ∆1 2
- Nếu (∆ ∆ =1, 2) 0o thì ∆ ∆1// 2 hoặc ∆ ≡ ∆1 2
2 Công thức xác định góc giữa hai đường thẳng trong mặt phẳng toạ độ.
Trong mặt phẳng toạ độ Oxy , giả sử đường thẳng ∆ ∆1; 2 có phương trình
a x b y c a b
a x b y c a b
Khi đó góc giữa hai đường thẳng (∆ ∆1, 2) được xác định theo công thức:
+
∆ ∆ =
* Nhận xét: Để xác định góc giữa hai đường thẳng ta chỉ cần biết véc tơ pháp tuyến hoặc vec tơ chỉ phương
của chúng
II BÀI TẬP:
1 Xác định góc giữa hai đường thẳng.
Ví dụ: Xác định góc giữa hai đường thẳng
a) ∆1: 4x−2y+ =6 0; ∆2:x−3y+ =1 0
b)
−
=
=
∆
= +
−
∆
t y
t x y
x
5 7 :
; 0 1 2 3
1
c)
−
=
=
∆
+
=
=
5
1 5
9 ' :
; 2
3 2
1
t x t
y
t x
Trang 62 Viết phương trình đường thẳng đi qua một điểm cho trước và tạo với đường thẳng cho trước một góc cho trước.
Ví dụ 1: Cho đường thẳng : 3 d x−2y+ =1 0 và M( )1; 2 .
Viết phương trình đường thẳng ∆ đi qua M và tạo với d một góc 45o
Ví dụ 2: Cho ∆ABC cân đỉnh A Biết ( )AB x y: + + =1 0; BC( ): 2x−3y− =5 0
Viết phương trình cạnh AC biết nó đi qua M( )1;1 .
Ví dụ 3: Cho hình vuông ABCD biết A(− −3; 2) và ( )BD : 7x y+ −27 0=
Viết phương trình các cạnh và các đường chéo còn lại
3 Luyện tập.
Bài 1: Xác định góc giữa các cặp đường thẳng sau
a) ∆1:x−2y+ =5 0; ∆2: 3x y− =0 b) ∆1:x+2y+ =4 0; ∆2: 2x y− + =6 0 c) ∆1: 4x−2y+ =5 0; ∆2:x−3y+ =1 0 Bài 2: Cho hai đường thẳng
1: 3x y 7 0; 2:mx y 1 0
Tìm m để (∆ ∆ =1, 2) 30o
Bài 3: Cho đường thẳng : 2d x y− + =3 0 và M(−3;1)
Viết phương trình đường thẳng ∆ đi qua M và tạo với d một góc 45o
Bài 4: Cho ABC∆ cân đỉnh A , biết:
( )AB : 2x y− + =5 0 ; AC( ): 3x+6y− =1 0
Viết phương trình BC đi qua M(2; 1− )
Bài 5: Cho hình vuông tâm I( )2;3 và ( )AB x: −2y− =1 0
Viết phương trình các cạnh, các đường chéo còn lại
Bài 6: Cho ∆ABC cân đỉnh A , biết:
( )AB : 5x+2y− =13 0 ; BC x y( ): − − =4 0 Viết phương trình AC đi qua M(11;0).
Bài 7: Cho ∆ABCđều, biết: A( )2;6 và BC( ): 3x−3y+ =6 0
Viết phương trình các cạnh còn lại
************************************************************
ĐƯỜNG TRÒN
I Tóm tắt lý thuyết.
1 Phương trình chính tắc.
Trong mặt phẳng Oxy cho đường tròn tâm ( ; ) I a b bán kính R Khi đó phương trình chính tắc của
đường tròn là : (x a− )2+ −(y b)2 =R2
2 Phương trình tổng quát.
Là phương trình có dạng: x2+y2+2Ax+2By C+ =0
VớiA2+B2 >C Khi đó tâm (I − −A B; ), bán kính R= A2+B2−C
Ph
ần 3:
Trang 73 Các dạng bài tập
a Viết phương trình đường tròn.
Ví dụ 1 Viết phương trình đường tròn đường kính AB , với (1;1), (7;5) A B .
Đáp số : (x−4)2+ −(y 3)2 =13 hay x2+y2− −8x 6y+ =12 0
Ví dụ 2 Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp ∆ABC, với ( 2; 4), (5;5), (6; 2)A − B C −
Đáp số : x2+y2−4x−2y−20 0=
Ví dụ 3 Viết phương trình đường tròn cú tâm ( 1; 2)I − và tiếp xúc với đường thẳng :∆ −x 2y+ =7 0
5
x+ + −y =
Ví dụ 4 Viết phương trình đường tròn qua ( 4; 2)A − và tiếp xúc với hai trục toạ độ
Đáp số : (x+2)2+ −(y 2)2 =4 hoặc (x+10)2+ −(y 10)2 =100
b Tìm tham số để phương trình x2+y2+2Ax+2By C+ =0 là phương trình của một đường tròn.
Áp dụng điều kiện : A2+B2 >C
Ví dụ 1 Trong các phương trình sau đây, phương trình nào là phương trình của một đường tròn Xác định tâm và tính bán kính
a 2 2
x +y − x+ y+ = c 2 2
x +y + x− y+ =
b 2 2
x −y + x− y+ = d 2 2
2x +2y − − =3x 2 0
Đáp số : c ) ( 3;4), I − R=3 d) ( ;0),3 5
Ví dụ 2 Cho phương trình : x2+y2+6mx−2(m−1)y+11m2+2m− =4 0
Tìm điều kiện của m để pt trên là đường tròn.
Ví dụ 3 Cho phương trình (C : m) x2+y2+2(m−1)x−2(m−3)y+ =2 0
a Tìm m để ( C là phương trình của một đường tròn m)
b Tìm m để ( C là đường tròn tâm (1; 3) m) I − Viết phương trình đường tròn này
c Tìm m để ( C là đường tròn có bán kính m) R=5 2. Viết phương trình đường tròn này
II BÀI TẬP.
1 Viết phương trình đường tròn ( )C có tâm I(2;3) và thoả mãn điều kiện sau :
a ( )C có bán kính R=5
b ( )C tiếp xúc với Ox
c ( )C đi qua gốc toạ độ O
d ( )C tiếp xúc với Oy.
e ( )C tiếp xúc với đường thẳng ∆: 4x+3y− =12 0
2 Viết phương trình đường tròn đường kính AB trong các trường hợp sau :
a A(7; 3) , (1;7)− B b A( 3; 2) , (7; 4)− B −
3 Cho hai đi ểm ( 1;6), ( 5; 2)A − B − Lập phương trình đường tròn ( )C , biết :
a Đường kính AB
b Tâm O và đi qua A ; T âm O và đi qua B
c ( )C ngoại tiếp ∆OAB
4 Viết phương trình đường tròn đi qua ba điểm :
a (8;0) , (9;3) , (0;6)A B C .
b (1;2) , (5; 2) , (1; 3)A B C −
Trang 85 Tìm phương trình đường tròn ( )C biết rằng :
a Tâm (1; 5)I − và qua gốc toạ độ
b Tiếp xúc với trục tung tại gốc O và có R= 2
c Ngoại tiếp ∆OAB với (4;0), (0; 2)A B −
d Tiếp xúc với Ox tại (6;0)A và qua (9;3)B .
6 Tìm tọa độ tâm và tính bán kính của các đường tròn sau :
x +y − x− y=
x +y + x− y+ =
c 2 2
x +y + x+ y+ =
7 Cho phương trình 2 2
x +y + m− x− m− y m+ =
Tìm điều kiện của m để pt trên là đường tròn.
*Bài tập tương tự:
1 Tìm phương trình đường tròn ( )C biết rằng :
a ( )C tiếp xúc với hai trục toạ độ và có bán kính R=3
b ( )C tiếp xúc với Ox tại (5;0)A và có bán kính R=3
c ( )C tiếp xúc với Oy tại (0;5) B và đi qua (5; 2)C .
2 Cho ba điểm A(1; 4) , ( 7; 4) , (2; 5)B − C −
a Lập phương trình đường tròn ( )C ngoại tiếp ABC∆
b Tìm toạ độ tâm và tính bán kính
3 Cho đường tròn ( )C đi qua điểm A( 1; 2) , ( 2;3)− B − và có tâm ở trên đường thẳng ∆: 3x y− + =10 0
a Tìm toạ độ tâm của đường tròn ( )C
b Tính bán kính R
c Viết phương trình của ( )C .
4 Lập phương trình đường tròn ( )C đi qua hai điểm A(1; 2) , (3; 4)B và tiếp xúc với đường thẳng
: 3x y 3 0
5 Lập phương trình đường tròn đường kính AB trong các trường hợp sau :
a A( 1;1) , (5;3)− B b A( 1; 2) , (2;1)− − B
6 Lập phương trình đường tròn ( )C tiếp xúc với các trục toạ độ và đi qua điểm M(4; 2)
7 Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp ABC∆ biết : A(1;3) , (5;6) , (7;0)B C
8 Viết phương trình đường tròn ( )C tiếp xúc với các trục toạ độ và :
a Đi qua A(2; 1).−
b Có tâm thuộc đường thẳng ∆: 3x−5y− =8 0
9 Viết phương trình đường tròn ( )C tiếp xúc với trục hoành tại điểm A(6;0) và đi qua điểm B(9;9)
10 Viết phương trình đường tròn ( )C đi qua hai điểm A( 1;0) , (1;2)− B và tiếp xúc với đường thẳng
:x y 1 0