TÌM cực TRỊ hàm hợp

 Các điểm cực đại và cực tiểu được gọi chung là điểm cực trị.. Giá trị cực đại giá trị cực tiểu còn gọi là cực đại cực tiểu và được gọi chung là cực trị của hàm số... Trong đó 0 là ngh

 Nếu hàm sốy f x( ) đạt cực đại (cực tiểu) tại x thì 0 x được gọi là điểm cực đại (điểm cực tiểu) của 0

hàm số; f x được gọi là giá trị cực đại (giá trị cực tiểu) của hàm số, kí hiệu là ( )0 f CÑ(f CT), còn điểm

( ; ( ))

M x f x được gọi là điểm cực đại (điểm cực tiểu) của đồ thị hàm số

 Các điểm cực đại và cực tiểu được gọi chung là điểm cực trị Giá trị cực đại (giá trị cực tiểu) còn gọi là

cực đại (cực tiểu) và được gọi chung là cực trị của hàm số.

DẠNG TOÁN 46.1: TÌM CỰ TRỊ HÀM HỢP

BÀI TẬP MẪU

(ĐỀ THAM KHẢO TN 2021) Cho hàm số f x là hàm số bậc bốn thoả mãn   f  0 0 Hàm số f x

có bảng biến thiên như sau:



 Dựa vào bảng biến thiên ta thấy phương trình  1 có một nghiệm t a 0

 Bảng biến thiên

 Vậy hàm số g x có 3 cực trị  

Bài tập tương tự và phát triển:

f x  mà 22 0

x

  nên phương trình  * không có nghiệm và h x' 0

Với x0, f ' x là hàm sô nghịch biến, còn 22

x



là hàm số đồng biến nên phương trình  * có nhiều nhất 1 nghiệm Ta có h' 0   và h'    nên phương trình  * có nghiệm duy nhất x c 0

Tìm m nguyên để hàm số    3 2

g x  f x  m x m  có nhiều điểm cực trị nhất có thể Thì giá trị m nhỏ nhất thỏa mãn thuộc khoảng nào dưới đây?

  Lời giải

20

m x

2m x



là hàm số đồng biến nên phương trình  *

nhiều nhất 1 nghiệm Ta có   2

3 2 0

2lim '

2lim '

2 2

3 2

4

12

Do đó (1) vô nghiệm, các phương trình (2), (3), (4) mỗi phương trình cho hai nghiệm

Các nghiệm này khác nhau và khác 1

2

 Tóm lại y'0 có 7 nghiệm phân biệt Nên hàm số có 7 cực trị

Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số m để hàm số y f x 1 m có 5 cực trị?

- Số điểm cực trị của hàm y f x( ) bằng số điểm cực trị của hàm y f x a(  )

Từ nhận xét trên ta có: Hàm sốy f x( 1) có 3 cực trị

Vậy ta cần đường thẳng y m cắt đồ thị hàm số y f x( 1) tại 2 điểm khác cực trị

Từ đồ thị ta suy ra: 6 3 3 6

Câu 5 Cho hàm số y f x  có đạo hàm      2021

2 2

x x

Vậy g' x 0 có 5 nghiệm (đều không phải nghiệm bội chẵn) nên hàm số đã cho có 5 cực trị

Từ BBT suy ra hàm số yg x  có 2 cực tiểu

Ta có bảng biến thiên của g x  

Vậy đồ thị hàm số yg x  có hai điểm cực trị

bao nhiêu điểm cực trị ?

Lời giải

Chọn D

Từ đồ thị hàm số y f x  nhận thấy

Mỗi đường thẳng yb, y2, y ađều cắt đồ thị hàm số đã cho tại 2 điểm phân biệt

lần lượt tính từ trái qua phải có hoành độ là x và 1 x ; 6 x và 2 x ; 5 x và 3 x nên: 4

y f x có bao nhiêu điểm cực đại, cực tiểu?

A 2 điểm cực đại, 3 điểm cực tiểu B 3 điểm cực đại, 2 điểm cực tiểu

C 1 điểm cực đại, 2 điểm cực tiểu D 1 cực đại, 1 cực tiểu

Suy ra hàm số có 2 điểm cực đại, 3 điểm cực tiểu

2

00

Hàm số g x  có 3 điểm cực trị g x' 0 có ba nghiệm bội lẻ

bên Số điểm cực đại của hàm số    3

g x  f x  x là

Lời giải Chọn C

13

y

x

 , y f x trên cùng hệ trục tọa độ Oxy, ta được:

Từ đồ thị suy ra phương trình (2) có hai nghiệm t1  a 0 và t2  b 0

 1

 có hai nghiệm x  3a  0 và x  3b  0

Bảng biến thiên của h x , g x h x 

Từ bảng biến thiên ta thấy hàm số      3

Từ đồ thị của y f x , suy ra bảng biến thiên của y f x  như sau

1

Ta có bảng ghép trục sau:

Hàm số g x f x3 x3 x có bao nhiêu điểm cực trị?

Lời giải Chọn A

Do f x là hàm bậc bốn và từ đồ thị của   f x , ta có: f x bậc ba có 2 điểm cực trị là 1;1

Dựa vào bảng biến thiên ta có

+ Với x  ;0:    3

f x   f x  , mà

2 2

3 1

03

x x

2 2

3 13

x y x

3 1lim

2

3 1lim

Bảng biến thiên của h x :  

Từ đó ta có h x0 0 nên phương trình h x 0 có hai nghiệm thực phân biệt

Ta vẽ đồ thị hai hàm số y f ' t và y t 1 trên cùng một hệ trục tọa độ

Dựa vào đồ thị ta thấy '  1 2 0

Vậy hàm số g x  h x  có 7 điểm cực trị

thiên như sau:

Hàm số    2 2

g x  f x x có bao nhiêu điểm cực trị?

Lời giải Chọn C

Dựa vào bảng biến thiên ta có hàm số g x  h x  có 5 điểm cực trị

Từ bảng biến thiên, ta tìm được   3 3 9 5

Từ bảng biến thiên suy ra hàm số g x  h x  có 5 điểm cực trị

Biết f  0 0 Hỏi hàm số   1  3

2 3

g x  f x  x có bao nhiêu điểm cực trị

Lời giải Chọn B



Lúc này ta có hình vẽ 2 đồ thị như sau

Suy ra pt  2 có 1 nghiệm t  t0 0 pt  1 có nghiệm 3

Bảng biến thiên của h x   ,g x  h x  như sau

Vậy hàm số yg x  có 3 điểm cực trị

f x  x x x  mx với mọi x Có bao nhiêu giá trị nguyên âm của tham số m để hàm số g x  f x  có đúng một điểm cực trị

Lời giải Chọn D

 khi hàm số y f x  không có điểm cực trị nào thuộc khoảng 0; 

Trường hợp 1: Phương trình  1 vô nghiệm hoặc có nghiệm kép

Từ (*) và (**) suy ra m  5 Vì mlà số nguyên âm nên: m   2; 1

f x  x x x  mx với mọi x Có bao nhiêu giá trị nguyên âm của tham số m để hàm số g x  f x  có đúng một điểm cực trị

Lời giải Chọn C

 khi hàm số y f x  không có điểm cực trị nào thuộc khoảng 0; 

Trường hợp 1: Phương trình  1 vô nghiệm hoặc có nghiệm kép

Từ (*) và (**) suy ra m  5 Vì mlà số nguyên âm nên: m   2; 1

3

tx  x , ta có t 3x26x

00

2

x t

Các nghiệm này đều khác 0 và 2

Vậy g x 0 có 7 nghiệm đơn phân biệt, tương ứng với 7 điểm cực trị g x  

2

x t

Dựa vào bảng biến thiên của t x vẽ ở trên ta xác định được:  

Phương trình  1 có 2 nghiệm là 0 và 3 Trong đó 0 là nghiệm kép

Phương trình  2 có 3 nghiệm phân biệt

Phương trình  3 có 1 nghiệm

Các nghiệm này đều khác nhau

Vậy g x 0 có 6 nghiệm đơn phân biệt và 1 nghiệm bội ba là 0, tương ứng với 7 điểm cực trị g x  

5

t t

Như vậy g x 0 có 3 nghiệm đơn phân biệt và 2 nghiệm bội ba

Ta có:

Do phương trình  1 là phương trình bậc 3 có 3 nghiệm phân biệt nên phương trình  2 phải

có 2 nghiệm phân biệt không trùng các nghiệm của phương trình  1

Suy ra h x 0 có 5 nghiệm phân biệt và h x  đổi dấu khi đi qua các nghiệm đấy, nên hàm

 

h x có 5 điểm cực trị

hình vẽ bên Vậy khi đó hàm số     2

Nhận thấy hàm g x cũng liên tục trên   và có đạo hàm g x  f x x

Từ đồ thị đã cho vẽ đường thẳng yx (như hình vẽ bên), suy ra:

Từ bảng biến thiên suy ra, hàm số g x có   1 điểm cực đại

hình vẽ bên Vậy khi đó hàm số     3

g x  f x x  x có số điểm cực trị là

Lời giải Chọn C

hình vẽ bên Vậy khi đó hàm số    2 

3

g x  f x  có số điểm cực trị là

Lời giải Chọn B

2

2

00

3 0

3 1

x x

x x x

Dựa vào bảng biến thiên, ta thấy hàm số g x có 3 điểm cực trị  

1

11

11

11

x

x x

x x

x x

Ta có đồ thị hàm số y f x  như hình vẽ sau:

Từ đồ thị vẽ được, ta thấy hàm số y f x  có 5 điểm cực trị

Đồ thị hàm số y f  x có số điểm cực trị là

A 3 B 4 C 2 D 1

Lời giải Chọn A