TIỆM CẬN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ

DẠNG TOÁN: Đây là dạng toán tìm tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.. Đồ thị hàm số có duy nhất một đường tiệm cận ngangA. Đồ thị hàm số có tiệm cận ngang là đường thẳngy0và hai tiệm cận đứ

Trang 1

I KIẾN THỨC CẦN NHỚ:

1 Đường tiệm cận đứng

 Định nghĩa:

 Đường thẳng x x 0 được gọi là đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y f x ( )nếu ít nhất một trong các điều kiện sau đây được thỏa mãn:

0

lim ( )

x x f x



0

lim ( )

x x f x



0

lim ( )

x x f x



0

lim ( )

x x f x



2 Đường tiệm cận ngang

 Định nghĩa:

 Đường thẳng y y 0 được gọi là đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y f x ( )nếu ít nhất một

trong các điều kiện sau được thỏa mãn: lim ( ) 0

  ; lim ( ) 0

Chú ý:

- Đồ thị hàm số y ax b,ad bc 0,c 0

cx d



 luôn có tiệm cận ngang và tiệm cận đứng lần lượt là

a

y

c

- Nếu ( ) ( )

( )

P x

y f x

Q x

  là hàm số phân thức hữu tỷ

- Nếu Q(x) = 0 có nghiệm là x0, và x0 không là nghiệm của P(x) = 0 thì đồ thị có tiệm cận đứng là x x 0

- Nếu bậc (P(x))  bậc (Q(x)) thì đồ thị có tiệm cận ngang

II CÁC DẠNG BÀI TẬP TƯƠNG TỰ

 Lý thuyết về đường tiệm cận

 Nhận dạng bảng biến thiên, nhận dạng hàm số

 Tìm đường tiệm cận (biết BBT, đồ thị)

 Tìm đường tiệm cận (biết y)

 Đếm số tiệm cận (Biết BBT, đồ thị)

 Đếm số tiệm cận (biết y)

 Biện luận số đường tiệm cận

 Tiệm cận thỏa mãn điều kiện

 Tổng hợp tiệm cận với diện tích, góc, khoảng cách

 …

DẠNG TOÁN 6: TIỆM CẬN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ

Trang 2

BÀI TẬP MẪU

(ĐỀ THAM KHẢO-BGD – 2020-2021)Tiệm cận đứng của đồ thị hàm số 2 4

1

x y x







Phân tích hướng dẫn giải

1 DẠNG TOÁN: Đây là dạng toán tìm tiệm cận đứng của đồ thị hàm số

2 HƯỚNG GIẢI:

B1: Tìm nghiệm của mẫu số, giả sử tập nghiệm gồm n số  *

1, 2, , n

B1: Với mỗi số x i i, 1, 2, ,n tính giới hạn lim , lim

x x x x

  Nếu ít nhất một trong hai giới hạn này là vô cực thì x x i là tiệm cận đứng

Từ đó, ta có thể giải bài toán cụ thể như sau:

Lời giải Chọn A

Tập xác định D \ 1 

Ta có

1

lim

1

x





lim

1

x

x x





  x 1 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số

Bài tập tương tự và phát triển

3

x y x





A x2 B x 3 C x3 D x 2

Lời giải Chọn C

Tập xác định D \ 3 

3

lim

x

y



3

lim

3

x

x x





lim

x

y



lim

3

x

x x







 , suy ra x3 là tiệm cận đứng

x f x

   Phát biểu nào sau đây đúng?

A Đồ thị hàm số có 2 đường tiệm cận ngang là y3 và y 3

B Đồ thị hàm số có 2 đường tiệm cận đứng là x3 và x 3

C Đồ thị hàm số có duy nhất một đường tiệm cận ngang

D Đồ thị hàm số có 2 đường tiệm cận ngang là x3 và x 3

Vì lim ( ) 3

x f x

   nên đồ thị hàm số có 2 đường tiệm cận ngang là y3 và 3

y 

Câu 3 Cho hàm số y f x có bảng biến thiên như hình vẽ

Trang 3

Đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số f x  là

A y 1 B x 1 C x2 D x1

Lời giải Chọn B

Từ bảng biến thiên suy ra

  1

lim ( )

x

f x



   do đó đồ thị hàm số có một tiệm cận đứng là đường thẳng x 1

3

x y

x





A 2

3

Ta có

1 2

3 1

x y

x





;

Suy ra đồ thị hàm số có một tiệm cận ngang là đường thẳngy 2

2

y x



A x0 B x 2 C x3 D y0

Tập xác đinh D \ 2

2

lim

x  y

2

3 lim

2

x x  

x  y

3 lim

2

x x

 , suy ra x 2 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số

Câu 6 Cho hàm số y f x  có đồ thị như hình dưới đây

Hỏi đồ thị hàm số trên có bao nhiêu đường tiệm cận?

A 4 B Không có tiệm cận. C 2 D 3

Nhìn đồ thị ta thấy nhánh bên phải có một tiệm cận đứng, một tiệm cận ngang và nhánh bên trái cũng vậy Tổng cộng có 4 tiệm cận

Câu 7 Cho hàm số y f x( ) có tập xác định là \2;1 và

2

lim ( )

x

f x





  và

1

lim ( )

x

f x





Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?

A Đồ thị hàm số đã cho không có tiệm cận đứng

Trang 4

B Đồ thị hàm số đã cho có đúng một tiệm cận đứng.

C Đồ thị hàm số đã cho có hai tiệm cận đứng là các đường thẳng x 2 và x1

D Đồ thị hàm số đã cho có hai tiệm cận đứng là các đường thẳng y1 và y 1

3

x y

x





A 2

3

Ta có

1 2

3 1

x y

x





;

Suy ra đồ thị hàm số có một tiệm cận ngang là đường thẳngy 2

3

y là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số nào dưới đây?

3

x y x





1

x y x





x y x





1

x y x

 





Ta có đường thẳng 1

3

y là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số ở phương án B

3 phương án còn lại đồ thị hàm số có tiệm cận ngang lần lượt là 3, 2, 1

y y y 

Câu 10 Cho hàm số y f x có bảng biến thiên như hình vẽ

Đồ thị hàm số f x có bao nhiêu tiệm cận ngang? 

  1

lim ( ) , lim ( ) 2, lim ( ) 1

x

một tiệm cận đứng là đường thẳng x 1 và 2 tiệm cận ngang là y2,y1

 Mức độ 2

4

f x

x



 Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?

A Đồ thị hàm số không có tiệm cận

Trang 5

B Đồ thị hàm số có tiệm cận ngang là đường thẳngy0và hai tiệm cận đứng là các đường thẳng x 2

C Đồ thị hàm số có tiệm cận ngang là đường thẳngy0, không có tiệm cận đứng

D Đồ thị hàm số không có tiệm cận ngang, có hai tiệm cận đứng là các đường thẳngx 2

Lời giải Chọn D

HS có tập xác định là khoảng 2; 2 do đó đồ thị hàm số không có tiệm cận ngang

Ta có:

2

lim

x

f x



2

lim

x

f x



   do đó đồ thị hàm số có hai tiệm cận đứng là các đường thẳng x 2

2 2

4

x y





  có bao nhiêu đường tiệm cận?

Hàm số có tập xác định: \2;3

Ta có:

1 4 4



Suy ra đồ thị hàm số có tiệm cận ngang là đường thẳng y0

Ta có:

2 2

2 4

x x











Suy ra đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là đường thẳng x 2

Ta có:

2 2 3

4 lim

x





 









Suy ra đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là đường thẳng x 3

Vậy đồ thị hàm số có 3 đường tiệm cận

3

x y x





 là

Tập xác định:D= 3; + 

Ta có:

2

2 1 2

x

x x





nên đồ thị hàm số không có tiệm cận ngang

Trang 6

lim

x  y

   nên đồ thị hàm số chỉ có một tiệm cận đứng

Vậy tổng số các đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số là 1

4

x y x





 tạo với hai trục tọa độ một hình chữ nhật có

chu vi bằng

Đồ thị hàm số 2 3

4

x y x





 có các đường tiệm cận là x4, y2

Do vậy hai đường tiệm cận tạo với hai trục tọa độ hình chữ nhật có chu vi bằng: 2 4 2 12  

Câu 5 Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số

4

y

x



 đi qua điểm A1; 2

A m 2 B m1 C m 4 D m2

4

x

m x



  

 nên phương trình đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số là

d y  m

d đi qua điểm A1; 2 nên      m 2 2 m 4 Vậy m 4

Câu 6 Cho hàm số y f x  có bảng biến thiên dưới đây Hỏi đồ thị hàm số y f x  có bao nhiêu

đường tiệm cận?

Từ bảng biến thiên, ta được:

lim

x

y y





 



 suy ra đồ thị hàm số không có tiệm cận ngang

0

lim

x

y



   suy ra đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là x0

Vậy đồ thị hàm số y f x  có 1 đường tiệm cận

 



 có tất cả bao nhiêu đường tiệm cận?

Trang 7

Tập xác định của hàm số D   9;  \ 1; 0

2 9 3 0 lim

x



  

 nêny0 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số

y

 



 nên x 1 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số

2 0

9 3 1 lim

6

x



  

 nên x0 không phải là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số

Vậy đồ thị hàm số đã cho có tất cả hai đường tiệm cận

4 12

x y





  có bao nhiêu đường tiệm cận đứng?

Tập xác định của hàm số D \2; 6

2

y

Suy ra đường thẳng x6 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số

Vậy đồ thị hàm số đã cho có 1 đường tiệm cận đứng

2

x y x





 tạo với hai trục tọa độ một hình chữ nhật có

diện tích bằng

Hàm số 4 3

2

x y x





 có các đường tiệm cận là x2,y4

Do vậy tạo với trục tọa độ hình chữ nhật diện tích bằng 8

Câu 10 Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y 4x 5

x m





qua điểm A3;1

A m 3 B m 4 C m5 D m4

Tập xác định D \ m Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng khi 5

4

m Phương trình tiệm cận đứng:  d :xm

Yêu cầu bài toán   m 3 (thoả mãn)

 Mức độ 3

Câu 1 Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m thuộc đoạn 2021; 2021 để đồ thị hàm số

2

1 4

x y

x mx





  có 3 đường tiệm cận?

Trang 8

Ta có: lim 0

x

y



 Suy ra đồ thị hàm số có một tiệm cận ngang là đường thẳng y0 Yêu cầu bài toán  Đồ thị hàm số có 2 đường tiệm cận đứng

2

4 0

    có hai nghiệm phân biệt khác 1

16 0

4

5

m m

m

Do m  2021; 2021 và m nên có tất cả 4033 số

2

y



  Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?

A Đồ thị hàm số có một đường tiệm cận ngang là đường thẳng y1

B Đồ thị hàm số có một đường tiệm cận ngang là đường thẳng y0

C Đồ thị hàm số có một đường tiệm cận ngang là đường thẳng y 1

D Đồ thị hàm số có hai đường tiệm cận ngang là hai đường thẳng y 1 và y1

Tập xác định: D  ;1

Ta có:

2 2

2

1

y

x x

Vậy đồ thị hàm số có 1 đường tiệm cận ngang là y 1

1

x y x





 sao cho khoảng cách từ M đến tiệm cận ngang bằng

khoảng cách từ M đến trục tung.

A 2;1

3

 

Do M thuộc đồ thị hàm số 1

1

x y x





 nên 0 0

0

1

; 1

x

M x

x

  với x0  1 Phương trình đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số là d y:  1 0

Ta có: d M d , d M Oy ,  0

0 0

1 1 1

x x x









3

x y





  có nhiều

đường tiệm cận nhất

4

m m





  

Ta có lim lim 3 22 0

3

x y



  nên y0 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số

Trang 9

Đồ thị của hàm số 3 22

3

x y





  có nhiều đường tiệm cận nhất khi và chỉ khi đồ thị hàm số

có 3 tiệm cận đứng

Suy ra phương trình 3 2

x  x  m có 3 nghiệm phân biệt và khác 2 Phương trình 3 2

x  x  m không có nghiệm x 2 nên  3  2

      

x  x   m x  x  m

2

x







3

x  x  m có 3 nghiệm phân biệt 4 0 0 4

20

m

m m

   



    

Câu 5 Số các giá trị của tham số m để đồ thị hàm số

2

x m y

mx





 có đúng 1 tiệm cận đứng và 1 tiệm

cận ngang, đồng thời hai tiệm cận này tạo với hai trục tọa độ một hình chữ nhật có diện tích bằng 18 là

Đồ thị hàm số có 1 tiệm cận đứng

2

0

0 0

m

m m

m

   

 

 



Khi đó tiệm cận đứng có phương trình x 2

m

Đồ thị hàm số có 1 tiệm cận ngang  m 0 Phương trình tiệm cận ngang là y 1

m

Khoảng cách từ tiệm cận đứng đến trục Oy là 2

m

Khoảng cách từ tiệm cận ngang đến trục Ox là 1

m

Theo giả thiết

 

2

1

1 9

3

m

 



  



Vậy có 2 giá trị 1

3

m  thỏa mãn đề bài

Câu 6 Cho hàm số y f x  có đồ thị như hình vẽ dưới đây

Trang 10

Đồ thị hàm số y f x  có tiệm cận ngang là

A y1 và y 2 B y 1 và y 2. C y1 và y2 D y2

Ta có đồ thị hàm y f x  có dạng là:

Suy ra đồ thị có hai tiệm cận ngang là y1 và y2

Câu 7 Tìm tập hợp tất cả các giá trị của tham số m để đồ thị hàm số

2

3

x y



  có đúng hai

tiệm cận đứng

A 0;1

2

 

 

 . B 0; C 1 1;

4 2

 

 

1 0;

2

 

 

 .

Tập xác định: D   1; 

Ta có x2mx3m0 2  

3

x m x



Yêu cầu bài toán 1 có 2 nghiệm phân biệt lớn hơn hoặc bằng 1

Đặt   2

3

x

f x

x



 với x   1;  Ta có  

2 2

6 3

f x

x



Khi đó f x 0 2

0

x x





Bảng biến thiên

Trang 11

Từ bảng biến thiên, giá trị m thỏa yêu cầu bài toán 0 1

2

m

2

x y x





  C Gọi M là điểm bất kỳ trên  C , d là tổng khoảng cách từ M

đến hai đường tiệm cận của đồ thị  C Giá trị nhỏ nhất của d là

0 0

2

x

M x

x



 thuộc đồ thị ( )C , với x0 2 + Đồ thị ( )C có: tiệm cận đứng 1:x2; tiệm cận ngang 2:y2

+ Ta có: d M( , 1) x02 và 2 0

0

1

2

x



0

1

2

x



+ Vậy giá trị nhỏ nhất của d là 2

Giải theo phương pháp trắc nghiệm

Áp dụng công thức giải nhanh: Giá trị nhỏ nhất của d là:

2.( 2) ( 3).1

1

ad bc d

c

Câu 9 Cho hàm số y f x  liên tục trên \ 1 và có bảng biến thiên như sau:  

Đồ thị hàm số

 1

y

f x



 có bao nhiêu đường tiệm cận đứng?

Từ bảng biến thiên ta suy ra phương trình   3

2

f x   có hai nghiệm phân biệt a và b (với

0

a và 0 b 1

Nên, tập xác định của hàm số

 1

y

f x



 là \ 1; ; a b 

1 2

+ ∞ 0

x y' y

0

+

0

Trang 12

Ta có

 1

lim

xa f x  

 1

lim

xb f x  

 

1

x  f x 

 

1

x  f x 

Do đó, đồ thị hàm số

 1

y

f x



 có 2 đường tiệm cận đứng

3

x y

x





 có đồ thị  C Điểm M nằm trên  C sao cho khoảng cách từ M đến tiệm cận đứng gấp hai lần khoảng cách từ M đến tiệm cận ngang của  C Khoảng cách từ M

đến giao điểm hai đường tiệm cận của  C bằng

Giả sử 3 1  

; 3

t



  

  t3

Đồ thị  C có tiệm cận đứng d x1: 3 và tiệm cận ngang d2:y3

Giao điểm hai đường tiệm cận của  C là I 3;3

Ta có  1  2

3 1

3

t



8

1 3

t

t t





          

 thỏa mãn t3 Với t 7 M 7;5 IM  4; 2 IM 2 5

 Mức độ 4

Câu 1 Cho hàm số y f x( ) liên tục trên \ 1 và có bảng biến thiên như sau:  

Đồ thị hàm số

2

2021

y



  có bao nhiêu đường tiệm cận?

Trang 13

Ta có: 2        1

3

f x





 

2

x x





4

x x





Vì 4 nghiệm xx1, xx2, x x3, xx4 phân biệt nên đồ thị hàm số có 4 tiệm cận đứng là các đường thẳng xx1, xx2, xx3, xx4

Ta có: lim  

x f x

2 2

2

2021 2021

1

f x

 Đồ thị hàm số có một tiệm cận ngang là đường thẳng y0

Vậy đồ thị hàm số có 5 đường tiệm cận

1

f x

x



 có tiệm cận ngang

là đường thẳng y3

Ta có:  

2

2 2

1

1 1

m

x x

x



2

2 2

1

1 1

m

x x

x



Yêu cầu bài toán

 

2

x x











Vậy có 4 giá trị của m thỏa yêu cầu bài toán

Câu 3 Cho hàm số y f x  xác định trên \ 0 và có bảng biến thiên  

Hỏi có bao nhiêu giá trị nguyên của m để đồ thị hàm số y g x  f 2 x

 có đúng 3 tiệm

cận đứng

Trang 14

 

1

m

f x

 

1

m

f x

 Đồ thị hàm số luôn có 1 tiệm cận đứng là đường thẳng x0

Để đồ thị hàm số có đúng 3 tiệm cận đứng thì phương trình f x m có đúng hai nghiệm phân biệt khác 0

2

m

Vậy có 1 giá trị nguyên của m

Câu 4 Cho hàm số y f x  có đồ thị như hình vẽ

Tìm các giá trị của m để đồ thị hàm số g x    2 



 có số đường tiệm cận đứng nhiều

nhất

Số đường tiệm cận đứng bằng số nghiệm của phương trình f f x  m

Nếu m3: f f x   m f x a a 3 x x1 x13

 Đồ thị hàm số g x có một tiệm cận đứng  

Nếu m3:         0

3

f x





  





f x  có 3 nghiệm

f x  có 2 nghiệm

 Đồ thị hàm số g x có 5 tiệm cận đứng  

 







        



Mỗi phương trình có 3 nghiệm

Trang 15

Nếu m 1:         1

2

f x

 



  





f x   có 2 nghiệm phân biệt

f x  có 3 nghiệm phân biệt

Nếu m 1: f f x   m f x e e 1phương trình có 1 nghiệm

Vậy với   1 m 3 thì đồ thị hàm số g x có số đường tiệm cận đứng nhiều nhất  

f x ax bx cxd có đồ thị như hình vẽ dưới đây

Hàm số    

2

4

g x



 có bao nhiêu đường tiệm cận?

Để biểu thức x1 có nghĩa ta cần có:x 1

Từ đồ thị hàm số ta có:

0

1

x x

f x

x





 với x1 1

Từ đó suy ra:     2

f x a xx x với a0

f x    f x 4

2

1

x

x x

 



Từ đó suy ra:     2 

2

f x  b x xx với b0

g x

Đường thẳng xx0 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm sốyg x  thì cần cóx0  1

Đồ thị hàm số yg x  có 3 đường tiệm cận đứng là:x1, xx2, x 1

Vì y f x  là hàm số bậc 3 nên

2

4

f x  f x có bậc là 6 và  2 

x  x có bậc nhỏ hơn 6 Suy ra lim   0

x g x

Đồ thị hàm số yg x  có 1 đường tiệm cận ngang là:y0

Vậy, tổng số đường tiệm cận của đồ thị hàm số g x là 4  



Định dạng
Số trang	19
Dung lượng	1,3 MB