Phan tich ky thuat giai he phuong trinh

Để giảm bớt “nỗi lo âu” của các em học sinh đối với loại bài tập này, thầy biên soạn cuốn tài liệu TÌM HIỂU CÁC KỸ THUẬT GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH, tài liệu bao gồm 129 bài tập giải hệ phương[r]

Trang 1

TÌM HIỂU CÁC KỸ THUẬT GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH

CẨM NANG CHO MÙA THI

NGUYỄN HỮU BIỂN(ÔN THI THPT QUỐC GIA)

Trang 2

LỜI GIỚI THIỆU

Các em học sinh thân thân mến, trong đề thi ĐH môn Toán những năm gần đây thường xuyên xuất hiện câu giải hệ phương trình, câu hỏi này thường là thuộc hệ thống câu hỏi khó, có tính chất phân loại trong đề thi, mốc đạt điểm từ 8 đến 10 Phương pháp suy luận để giải quyết đối với loại câu hỏi này cũng khá đa dạng, thầy có thể kể

ra một số phương pháp phổ biến như sau:

(1) Phương pháp rút - thế (2) Phương pháp nhóm nhân tử chung (3) Phương pháp dùng hàm số và đạo hàm (4) Phương pháp dùng BĐT vec - tơ

(5) Phương pháp dùng số phức (6) Phương pháp nhân liên hợp và đánh giá (7) Phương pháp lượng giác hóa

Sự phân chia và liệt kê các phương pháp nói trên cũng chỉ mang tính chất tương đối, vì trên thực tế trong đề thi chúng ta thường phải vận dụng kết hợp nhiều phương pháp đan xen hợp lý để giải quyết bài tập (rất ít đề thi chỉ dùng 1 phương pháp độc lập) Vậy câu hỏi đặt ra là “làm thế nào nhận biết được bài tập đã cho dùng phương pháp nào?”, đôi khi có bài tập có một vài cách giải khác nhau tuy nhiên sẽ có cách hay nhất, dễ hiểu nhất Để giảm bớt “nỗi lo âu” của các em học sinh đối với loại bài tập này, thầy biên soạn cuốn tài liệu TÌM HIỂU CÁC KỸ THUẬT GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH, tài liệu bao gồm 129 bài tập giải hệ phương trình - minh họa đầy đủ các kỹ thuật giải hệ phương trình trong đề thi đại học, đặc biệt 24 bài tập đầu thầy không chỉ hướng dẫn làm bài mà quan trọng hơn đó là đi sâu vào phân tích, tìm hiểu kỹ thuật giải tương ứng, như vậy dần dần các em sẽ tích lũy được thành kinh nghiệm - “bí kíp” cho riêng mình Sau 24 bài tập, thầy sẽ đưa ra một loạt các bài tập tự luyện kèm hướng dẫn giải bám sát cấu trúc ra đề theo xu thế mới hiện nay để các em tự thực hành và đối chiếu hướng dẫn giải Phương châm và mong muốn của thầy là học xong tài liệu này, các em

sẽ giải quyết tốt câu giải hệ phương trình trong đề thi sắp tới (nếu có)

CHÚC CÁC EM THÀNH CÔNG !

Thầy giáo Nguyễn Hữu Biển - https://www.facebook.com/nguyenhuubien1979

Trang 3

TÌM HIỂU KỸ THUẬT GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH - ÔN THI THPT QUỐC GIA

Bài 1 : Giải hệ phương trình ( 3 2 2) 2( 2 2 )

+ Trước hết quan sát ta thấy phương trình (2) có hình thức đơn giản hơn (1) Tuy rằng (2)

có biến x và y cô lập ở từng vế nhưng ta không thể biến đổi để sử dụng “hàm đại diện”

được Vì vậy, ta sẽ “mò nghiệm” để tìm quan hệ của x và y Thật vậy:

- Từ (2) ta cho y 4 = ⇒ + x 12 2x − = 24, bấm máy ta thấy phương trình này vô nghiệm,

vì vậy ta bỏ qua việc suy luận từ (2)

+ Bây giờ ta chỉ còn cách quay về (1) để “nghiên cứu” Ta thấy như sau:

- Từ (1) ta cho y 1 = ⇒ x 7( + 5 x − 2)= x 2 + 12, bấm máy giải phương trình này có x 2 =

- Từ (1) ta cho y 2 = ⇒ x 38( + 20 x− 2)=4 x( 2+24), bấm máy giải phương trình có x 4 =

Vậy với 2 giá trị ta nhận thấy dự đoán x 2y = ⇔ x 2y 0 − = , điều này khiến ta có suy luận rằng, nếu biến đổi (1) một cách khéo léo, ta sẽ ép được nhân tử chung là

(x 2y− ) Bây giờ ta sẽ “ép nhân tử chung” từ (1) như sau:

+ Như vậy ta đã ép được nhân tử chung (x 2y− ) từ (1), tuy nhiên cái ngoặc vuông

“khổng lồ” gắn kèm kia ta rất khó để chứng minh được nó khác 0 Có lẽ cách làm này vẫn không khả thi cho lắm

+ Sau một hồi suy luận mất khá nhiều thời gian và công sức, ta cũng chỉ mới biết được

x 2y = ⇔ x 2y 0 − = Bây giờ con đường cuối cùng là ta đổi hướng làm theo kiểu “đánh

giá”, chú ý phải “biến đổi ép” để có (x 2y− ) nhé Thật vậy, từ (1) ta biến đổi như sau:

Trang 4

+ Từ (5) biến đổi ta được: y4−2y3−3y2+4y 1 2 y 3 y (6)+ = ( − )

+ Phương trình (6) quả thật không dễ gì giải quyết được, nếu bình phương 2 vế tiếp tục,

sẽ được phương trình bậc 8 (ghê gớm quá) nên không ai đi làm thế cả !!!

+ Bây giờ bạn hãy quan sát căn bậc 2 bên phải, ta đoán rằng sẽ tạo ra lượng thích hợp để nhân liên hợp rồi đoán nhân tử chung, vậy trước hết ta sẽ nghĩ đến việc tạo ra lượng

Trang 5

- Nếu cho y 2 = ⇒ x x + 2 + 2x 4 = , bấm máy giải phương trình ⇒ x 1 =

+ Như vậy đến đây ta dự đoán y x 1 = + ⇔ y x 1 0 − − = , vậy nhân tử chung dự đoán sẽ là

(y x 1− − ), bây giờ ta tìm cách ép nhân tử chung từ phương trình (2) như sau:

Trang 6

+ Ta cần phân tích đa thức ở vế phải của (3) thành nhân tử với nhân tử chung là

(y x 1− − ), công việc này không hề đơn giản Cách xử lý khéo léo là ta coi VP của (3) là phương trình bậc 2 ẩn x: x 2 + xy +(3y 2y − 2 − 1)= 0

Trang 7

hơn nữa nếu xét phương trình

+ Ý tưởng làm bài lúc này là ta sẽ chứng minh cho VT của (5) là hàm đơn điệu để suy ra

x 2 = là nghiệm duy nhất của (5)

Vậy x 2 = là nghiệm duy nhất của (5) KL: (x; y) (2;3) =

Bài 3: Giải hệ phương trình ( )

Trang 9

+ Ở phương trình (3) đã cô lập x và y sang từng vế, mặt khác mỗi vế đều có dạng đa thức bậc ba, với hình thức phương trình kiểu này, ta thường nghĩ đến phương pháp sử dụng

+ Ở phương trình (5) ta nhẩm thấy (hoặc dùng máy tính) phương trình có 2 nghiệm

x 3; x 8 = = , tuy nhiên việc giải phương trình (5) là rất khó Trong trường hợp này ta sẽ dùng phương pháp đồ thị để chứng tỏ phương trình (5) chỉ có đúng 2 nghiệm x 3; x 8 = =

+∞

11 2

8 3

f(x) f'(x) x

+ Từ BBT ta thấy hàm số f(x) cắt Ox tại tối đa 2 điểm, vậy phương trình (5) chỉ có 2 nghiệm x 3; x 8 = =

Trang 10

0

f'(t) f''(t) t

Trang 11

+ Việc giải phương trình (4) cũng không hề đơn giản, bây giờ ta dùng đến máy tính và thấy phương trình (4) chỉ có nghiệm duy nhất x 1

2

= , do đó ta phải chứng minh cho hàm

số ở vế trái của (4) là hàm đơn điệu, thật vậy:

Trang 12

5 5

Trang 13

Bài 8 (KA-2013): Giải hệ phương trình

4 4

(1) (2)

4 4

Trang 14

( )

3 3 3

3 3

x y

(1) (2)

Trang 15

Phân tích tìm lời giải

+ HPT đã cho nếu biến đổi một chút ta sẽ thấy xuất hiện nhân tử chung:

+ Nhận thấy (1) có x và y cô lập sang từng vế, hơn nữa bậc của đa thức với biến x và y đều là 3, vậy ta sẽ biến đổi (1) theo PP “hàm đại diện”

+ Xét hàm số f (t) t = 3 − 12t, t R ∈ ⇒ f '(t) 3 t = ( 2 − 4), ta thấy f(t) không phải hàm đơn điệu,

do đó ta cần đi tìm điều kiện sát hơn đối với biến t như sau:

+ Từ (2) ta biến đổi sẽ thấy:

Trang 16

+ Nhận thấy HPT đã cho có thể giải bằng PP đặt ẩn phụ, tuy nhiên để đặt được ẩn phụ, ta cần biến đổi một chút như sau: Nhận thấy x y 0 = = không phải là nghiệm của HPT nên ta chia 2 vế của (1) cho xy 0 ≠ , còn (2) ta chuyển vế và nhóm nhân tử, ta sẽ được:

Trang 17

+ Từ (3) ⇒f x 1( − )=f y 1( + )⇒ − = + ⇔ = −x 1 y 1 y x 2 thay vào (2) ta được:

Trang 18

Vậy g(x) là hàm đồng biến ⇒ x 5 = là nghiệm duy nhất của (4) ĐS:(x; y) (= 5;3)

Bài 15: Giải hệ phương trình 3( 2 )

+ Ta nhận thấy hệ đã cho có thể cô lập được x và y sang từng vế để sử dụng PP “hàm đại diện” giải HPT

+ Do y 0 = không phải là nghiệm của HPT nên:

x + 4x 5 + = x 1 + + 3 x 1 + ⇔ x = ± 1 (với x = − 1 không tìm được y) ⇒ (x; y) (1;1)=

Bài 16: Giải hệ phương trình

Trang 19

− , bấm máy tính giải PT này ta có y 2 =

⇒ ta thấy y luôn kém x là 1 đơn vị ⇒ = − ⇒ y x 1 như vậy (1) sẽ có nhân tử chung là

y x 1− + = − x y 1− − , bây giờ ta sẽ biến đổi (1) để ép nhân tử chung:

+ Ta thấy x 2 − − x y 0 ≠ vì : nếu x 2 − − x y 0 = thì theo (1)

Trang 20

Như vậy ta có quy luật y x 1 = − , điều này chứng tỏ (1) sẽ có nhân tử chung là −(x y 1− − )

+ Bây giờ ta sẽ biến đổi (1) để ép nhân tử chung là −(x y 1− − )

+ Với y 1 = thay vào (2) ta có 9 3x 0 − = ⇔ x 3 =

+ Với y x 1 = − thay vào (2) ta có

2 2

Trang 21

- Cho x 1= ⇒ y 1 2y− + 2 = +1 4y, bấm máy tính giải PT này ⇒ = y 2

- Cho x 4= ⇒ y 1 2y− + 2 =17 7y+ , bấm máy tính giải PT này ⇒ = y 5

+ Đến đây ta dự đoán quy luật y x 1 = + ⇔ x y 1 0 − + = ⇒ (1) sẽ có nhân tử chung là

x y 1 − + , bây giờ ta biến đổi (1) để ép nhân tử chung:

+ Thay y x 1 = + vào (2) ta được: 2x 2 − 11x 21 3 4x 4 (5) + = 3 −

+ Ở phương trình (5) ta thấy có 1 nghiệm x 3 = (nhẩm hoặc bấm máy), vì vậy ta cần biến đổi (5) để ép nhân tử chung là (x 3− )

Trang 22

+ Quan sát hệ ta thấy (1) có thể cô lập được x và y sang từng vế, hơn nữa x có mũ 3, y nằm trong biểu thức chứa căn bậc 2 - đây là loại toán phổ biến - ta sẽ nghĩ ngay đến việc

+ Đến đây thì ổn rồi, coi như là có lối thoát, ta xét hàm f (t) t = 3 − 3t

+ Các bạn chú ý tìm điều kiện của t căn cứ vào ĐK của x và y nhé, cụ thể như thế này:

+ Phương trình (*) ta có thể dùng quy tắc giải phương trình cơ bản rồi bình phương 2 vế, tuy nhiên cách đó sẽ ra phương trình bậc cao, hơn nữa ta chỉ giải được nếu pt đó có nghiệm nguyên

+ Bạn lấy máy tính bấm ta thấy pt (*) có nghiệm y = 1, vậy ta sẽ dùng cách thêm bớt rồi nhân liên hợp để xuất hiện nhân tử chung là y - 1 như sau:

Trang 23

Nhận xét: Đối với pt (1) vế trái là đẳng cấp bậc 2, mà vế phải bậc 1, như vậy dạng toán này ta thường nghĩ đến việc khử ẩn bậc 1 nằm ở vế phải như sau:

+ Ta thấy y = 0 không phải là nghiệm của hệ nên chia 2 vế của (1) cho y 0 ≠ được phương trình : x2 1 x y 4

++ + = (*) x2 1 (x y 2) 2

+ Trước hết, ta thấy mỗi PT của hệ đều có thể cô lập được x, y nên ta biến đổi như sau:

Trang 24

+ Ta thấy ở phương trình (1) ⇒ x 2 − x(8 3y) 2y − + 2 − 8y 0 (*) =

+ Ta coi (*) là phương trình bậc 2 với ẩn x, tính ∆ =(8 3y− )2−4.1 2y 8y ( 2− )= =(y 8− )2≥0,

(như vậy ta đã dùng cách đánh giá kết hợp với đk để có x = 2 ; y = 3, nếu bạn không biết

kỹ thuật đặc biệt này thì từ x 2y 8 + = ⇔ x 8 2y = − thay vào (2) giải sẽ rất dài dòng)

Bây giờ thay x = 2; y = 3 vào (2) ta thấy không thỏa mãn Vậy loại bỏ trường hợp này ! + Với y = − x thay vào (2) và biến đổi ta được : 4 2 x − + 3 x + = x 2 + 5 (**)

Gặp dang phương trình (**), ta dùng máy tính để bấm nghiệm và thấy phương trình có 1 nghiệm là x = 1, như vậy ta sẽ nghĩ đến dùng PP “nhân lên hợp” để xuất hiện nhân tử chung là (x 1) − Thật vậy, từ (**)

Trang 25

là nghiệm duy nhất của f(x) Vậy HPT có nghiệm (x; y) (1; 1);( 2; 2) = − −

2 2

+ Ta thấy x = 0 không phải là nghiệm của hệ nên sẽ biến đổi như sau:

3

1 1

Trang 26

Như vậy ta có HPT

3 3

Bài 27: Giải hệ phương trình: ( ) ( ) ( )

Trang 27

2 2

⇒ y =12 8 2 − Vậy hệ có nghiệm duy nhất (1 + 2;12 8 2 − )

Kết hợp với điều kiện đề bài, suy ra nghiệm hệ phương trình là S =(1, 3) −

Bài 29: Giải hệ phương trình:

Trang 29

- Đặt x= cost với t∈[0;π], ta có cos 1 2s in 2 1 2 sin

k k

x c t

ππ

π

ππ

là nghiệm của hệ phương trình

2

2 1

Vậy hệ phương trình có 2 nghiệm (1;0) và (-2;3)

Vậy hàm số f(t) đồng biến trên R Từ (*) ta có: f (x) f (2y 1) = − ⇒ x 2y 1 = −

+ Thế x = 2y - 1 vào (2) giải ra được y = 1 hoặc y = 6 thoả mãn

Vậy hệ phương trình có nghiệm (1;1), (11;6)

Trang 30

Bài 35:Giải hệ phương trình

- Hơn nữa g(6) = 0 nên (*) có duy nhất 1 nghiệm là y = 6

Với y = 6 ta có 1

2

=

x

Trang 31

Bài 36: Giải hệ phương trình :

7178

x y xy

Trang 32

1 8y

- Ta có: f '( )t =3t2+ >1 0,∀ ∈ − +∞t [ 2; ) Suy ra hàm số f t( ) đồng biến trên [− +∞2; )

- Do đó: x=y− 1 Thay y=x+ 1 và phương trình (2) ta được: x3 − = 3 2 x+ 2 1 +

Trang 33

Do đó phương trình (*) vô nghiệm

Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất (x y =; ) (2;3)

12

y 3x 12

Trang 34

Kết luận: hệ có hai nghiệm (x;y) là (1;0), (3;8)

Trang 35

0

)4(1)

2(20

1

11

1

2 2

2

x

x x x

x y

x

y y x

x y x y

y x

0 ) 1 )(

1 (

0 )

1 ( 0 1 3

5 1

=

2

5 1+

5

=

⇒ +

; 2

5 1 )

; 2

5 1 )

Trang 36

Kết luận: hệ có hai nghiệm (x;y) là (1;0), (3;8)

Bài 45: Giải hệ phương trình : ( ) ( )

Trang 37

Từ đó phương trình trên tương đương với ( 2)( 1) 0 2

Thử lại ta thấy thỏa mãn hệ phương trình

Vậy hệ phương trình đã cho có tập nghiệm là S ={ (− − 1; 3 ; 2;0 ) ( ) }

Bài 46: Giải hệ phương trình: ( 2 )( 2 )

Suy ra f(t) là hàm số đồng biến trên R Từ (*) suy ra: f x( ) = f( 2 ) − y ⇒ = −x 2y

- Thay vào phương trình (2) ta được:

Trang 38

- Giả sử hệ phương trình đã cho có nghiệm x, y

x+ y⇒ + x y ≥ ⇔ + ≤ ⇔ ≤ −

- Khi đó ta có x2+y2 ≥2 xy ≥16 Đặt t= x+y+2 ⇒ ≤ <0 t 2

- Từ pt (1) ta có t+t2 − ≥ 2 32 ⇔t2 + −t 34 0 ≥ điều này vô lí

Vậy TH1 hệ phương trình vô nghiệm

Từ đó suy ra: t = 2⇒ + =x y 2, thay vào hpt ta có xy=1⇒ = =x y 1

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất là 1

1

x y

Trang 39

ĐK:x ≥0

* Do x = 0 không phải nghiệm nên x > 0 ⇒ +x x2+ >1 0

Từ pt (2) ⇒ y(2 2 4 + y2 + 1) 0 > Chia hai vế pt (2) cho 2

= + + + > ∀ > ⇒ hàm số đồng biến trên khoảng (0;+∞)(6)

- Từ (5) và (6) ⇒ =x 1 là nghiệm duy nhất của pt (5)

*x= ⇒ 1 y= 2 Vậy nghiệm của hệ : 1;1

Trang 40

2 2

x y x

x x

Với x = 2 ⇒ y =1 , suy ra hệ phương trình có một nghiệm (2;1)

2

21

Trang 41

Hướng dẫn làm bài: Điều kiện: x + y > 0

Trang 42

Vậy nghiệm của hệ phương trình là (x y; ) (= 3 2; )

x b

1 2

- Thay y= -3 vào pt thứ nhất ta được pt vô nghiệm

- Thay y = x+ 1 vào pt thứ nhất ta được: x2 −5x− +2 6 x2 −5x+5 0= (3)

Trang 43

- Giải (3): đặt x2−5x+5= t, điều kiện t≥0 Từ( ) 2 1 ( )

Vậy, hệ phương trình có 2 nghiệm là:( 1 ; 2 )và (4;5)

Trang 44

Bài 58: Giải hệ phương trình 11 2

- Ta có: f '( )t =3t2+ >1 0,∀ ∈ − +∞t [ 2; ) Suy ra hàm số f t( ) đồng biến trên [− +∞2; )

- Do đó: x=y− 1 Thay y= +x 1 và phương trình (2) ta được: x3 − = 3 2 x+ 2 1 +

Trang 45

Do đó phương trình (*) vô nghiệm

Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất (x y =; ) (2;3)

Trang 47

16y y− 1 + 4y y− 1 +y − = 1 0 ⇔ y= 1 (do y ≥1)⇒ =x 0 Vậy, hệ (I) có nghiệm (0;1)

Trang 48

⇔ ) 2 ( x6y3 + 3x2y= y3 − 3y2 + 3y− 1 + 3 (y− 1 )

⇔ (x2y) 3 + 3x2y= (y− 1 ) 3 + 3 (y− 1 ) (3) Xét hàm số f(t) t3 3t

)11(

0112

)1

0

)4(1)

2(20

1

11

1

2 2

2

x

x x x

x y

x

y y x

x y x y

y x

0 ) 1 )(

1 (

0 )

1 ( 0 1 3

=

2

5 1+

5

=

⇒ +

; 2

5 1 )

; 2

5 1 )

NX: Nếu y = 0 thì từ pt (1) ⇒ x 0 = Thay x = 0; y = 0 vào pt (2) ta được:

5 + 8 6 = (vô lý) Vậy y = 0 không thỏa mãn bài toán

*) y 0 ≠ chia cả 2 vế của pt (1) cho y 3 ta được:

Thay vào pt (2) ta được 4x 5 + + x 8 6 + = ⇔ x 1 = ⇒ y 1 =

Vậy hpt có cặp nghiệm duy nhất (x;y) = (1;1)

Tiêu đề	Tìm Hiểu Kỹ Thuật Giải Hệ Phương Trình
Tác giả	Nguyễn Hữu Biển
Trường học	Trường Đại Học
Chuyên ngành	Toán
Thể loại	tài liệu

Định dạng
Số trang	83
Dung lượng	2,08 MB