Hệ phương trình đối xứng loại 1: Phần 1- Định nghĩa chung: Dựa vào lý thuyết đa thức đối xứng.. xn − Hệ phương trình đối xứng loại một là hệ mà trong đó gồm các phương trình đối xứng.. −
Trang 1Chuyên đề: HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ
NHỮNG NỘI DUNG CƠ BẢN
I Hệ phương trình đối xứng loại 1:
Phần 1- Định nghĩa chung: Dựa vào lý thuyết đa thức đối xứng.
− Phương trình n ẩn x1, x2, , xn gọi là đối xứng với n ẩn nếu thay xi bởi xj; xj bởi xi thì phương trình
không thay đổi
− Khi đó phương trình luôn được biểu diễn dưới dạng:
x1 + x2 + + xn
x1x2 + x1x3 + + x1xn + x2x1 + x2x3 + + xn-1xn
x1x2 xn
− Hệ phương trình đối xứng loại một là hệ mà trong đó gồm các phương trình đối xứng
− Để giải được hệ phương trình đối xứng loại 1 ta phải dùng định lý Viét
* Nếu đa thức F(x) = a0x n + a1x n− 1 + an, a0 ≠ 0, ai ∈ P có nhgiệm trên P là c1, , cn thì:
1
0
2
0
1 1
0
( 1)
n
n n n
a
a
a
a
a
c c c
a
+ + + = −
Phần 2 – Hệ phương trình đối xứng loại 1 hai ẩn:
A LÝ THUUYẾT
1 Định lý Viét cho phương trình bậc 2:
Nếu phương trình bậc hai ax2 + bx + c = 0 có hai nghiệm x1, x2 thì:
1 2
b
a c
P x x
a
= + = −
Ngược lại, nếu 2 số x1, x2 có 1 2
1 2
x x P
thì x1, x2 là nghệm của phương trình X
2− SX + P = 0.
2 Định nghĩa:
( , ) 0 ( , ) 0
f x y
g x y
=
, trong đó g x y f x y( , )( , )==g y x f y x( , )( , )
3.Cách giải:
Bước 1: Đặt điều kiện (nếu có)
Bước 2: Đặt S = x + y, P = xy với điều kiện của S, P và S2 ≥4P
Bước 3: Thay x, y bởi S, P vào hệ phương trình Giải hệ tìm S, P rồi dùng Viét đảo tìm x, y Chú ý:
+ Cần nhớ: x2 + y2 = S2 – 2P, x3 + y3 = S3 – 3SP.
+ Đôi khi ta phải đặt ẩn phụ u = u(x), v = v(x) và S = u + v, P = uv.
+ Có những hệ phương trình trở thành đối xứng loại 1 sau khi đặt ẩn phụ
4 Bài tập:
Loại 1: Giải hệ phương trình
Ví dụ 1 Giải hệ phương trình
30 35
x y xy
Trang 2Đặt S= +x y, P =xy, điều kiện S2 ≥4P Hệ phương trình trở thành:
2
2
30 P
90
S
ìïï = ï
ïî
Ví dụ 2 Giải hệ phương trình 3( 3 ) 2
2
xy x y
− = −
− =
GIẢI
Đặt t = −y S, = +x t P, = xt, điều kiện S2 ≥4P Hệ phương trình trở thành:
Ví dụ 3 Giải hệ phương trình
1 1
4
4
x y
x y
+ + + =
GIẢI
Điều kiện x ≠0,y ≠0
Hệ phương trình tương đương với: 2 2
ïç + ÷+ç + ÷=
ïç ÷÷ ç ÷÷
ïí
ïç + ÷÷+ç + ÷÷ =
ï çè ÷ø çè ÷ø ïî
=çç + ÷÷÷+çç + ÷÷÷ =çç + ÷÷÷çç + ÷÷÷ ³
2
ïç + ÷+ç + ÷= ï
ïî
1
x
y
ìïï + =
ïïïî
Ví dụ 4 Giải hệ phương trình
2 2 2 8 2 (1)
4 (2)
GIẢI
Điều kiện ,x y≥0 Đặt t= xy≥0, ta có:
2
xy= t và (2)Þ x+y=16- 2t Thế vào (1), ta được:
2
t - 32t+128= -8 t Û t =4 Suy ra:
Loại 2: Điều kiện tham số để hệ đối xứng loại (kiểu) 1 có nghiệm
Phương pháp giải chung:
+ Bước 1: Đặt điều kiện (nếu có)
+ Bước 2: Đặt S = x + y, P = xy với điều kiện của S, P và S2 ≥4P (*)
Trang 3+ Bước 3: Thay x, y bởi S, P vào hệ phương trình Giải hệ tìm S, P theo m rồi từ điều kiện (*) tìm m Chú ý:
Khi ta đặt ẩn phụ u = u(x), v = v(x) và S = u + v, P = uv thì nhớ tìm chính xác điều kiện của u, v.
Ví dụ 1 (trích đề thi ĐH khối D – 2004) Tìm điều kiện m để hệ phương trình sau có nghiệm thực:
1
1 3
GIẢI
Điều kiện ,x y≥0 ta có:
Đặt S= x+ y ³ 0, P = xy ³ 0, S2³ 4P. Hệ phương trình trở thành:
3
Từ điều kiện S³ 0, P ³ 0, S2 ³ 4P ta có 0 m 1
4
Ví dụ 2 Tìm điều kiện m để hệ phương trình 2 2
GIẢI
xy(x y) 3m 9
Đặt S = x + y, P = xy, S2 ³ 4P Hệ phương trình trở thành: S P m
ì + = ïï
Suy ra S và P là nghiệm của phương trình t2 - mt+3m- 9=0
Từ điều kiện ta suy ra hệ có nghiệm
2 2
-ê
Ví dụ 3 Tìm điều kiện m để hệ phương trình 4 1 4
3
GIẢI
Đặt u= x- 4 ³ 0, v= y- 1³ 0 hệ trở thành:
21 3m
2
ï
Suy ra u, v là nghiệm (không âm) của t2 4t 21 3m 0
2
Hệ có nghiệm Û (*) có 2 nghiệm không âm
0 13 2
2
ì
Trang 4
Ví dụ 4 Tìm điều kiện m để hệ phương trình
( 4)( 4)
GIẢI
(x 4x) (y 4y) 10
ì
Đặt u=(x+2)2 ³ 0, v=(y+2)2 ³ 0 Hệ phương trình trở thành:
Điều kiện
2
ìï ³
ïï
íï
ï ³
ïïî
Loại 3: Một số bài toán giải bằng cách đưa về hệ phương trình.
Ví dụ Giải phương trình: 3 3 3
1
2
x + −x =
GIẢI
Đặt:
3
3
x u
1 x v
− =
Vậy ta có hệ: 3 3
3
u v
2
+ =
+ =
⇔
2
3
u v
2 (u v) (u v) 3uv 1
+ =
+ + − =
⇔
3 u+v = 2 19 u.v = 36
u, v là hai nghiệm của phương trình: X - X +2 3 19 = 0
⇒
9+ 5
u = 12
9 - 5
u = 12
⇒
3
3
9 + 5
x =
12
9 - 5
x = 12
Vậy phương trình có hai nghiệm: {x} =
;
B BÀI TẬP
I Giải các hệ phương trình sau:
1)
1
1
5 13
30 35
x y y x
x x y y
4)
4
( 1)( 1) 72
xy x y
2 2
1
1
x y
xy
x y
7)
1 1
4
4
x y
x y
+ + + =
8)
7 1 78
y x
x xy y xy
9) ( 2 2) ( 3 3)
4
280
x y
+ =
Trang 52
II Gải hệ phương trỡnh cú tham số:
1 Tỡm giỏ trị của m:
a) 5( ) 4 4
1
1
x y xy m
cú nghiệm duy nhất.
c) ( )
2
4
x y
cú đỳng hai nghiệm.
2 x xy2 2 y m
a Giải hệ phương trỡnh khi m = 5.
b Tỡm cỏc giỏ trị của m để hệ phương trỡnh đó cho cú nghiệm.
x xy y m
a Giải hệ phương trỡnh khi m = 7/2.
b Tỡm cỏc giỏ trị của m để hệ phương trỡnh đó cho cú nghiệm.
4 x xy2 2y m 1
x y xy m
a Giải hệ phương trỡnh khi m=2.
b Tỡm cỏc giỏ trị của m để hệ phương trỡnh đó cho cú nghiệm (x;y) với x >0, y >0.
III Giải phương trỡnh bằng cỏch đưa về hệ phương trỡnh:
1 Giải phương trỡnh: 4x− +1 418− =x 3
2 Tỡm m để mỗi phương trỡnh sau cú nghiệm:
a 1− +x 1+ =x m b m x− + m x m+ = c 31− +x 31+ =x m
Phần 3 – Hệ phương trỡnh đối xứng loại 1 ba ẩn: (Đọc thờm)
a Định nghĩa: Là hệ ba ẩn với các phơng trình trong hệ là đối xứng.
Cho 3 số x, y, z có:
x + y + z = α
xy + yz + zx = β xyz = γ
Thì x, y, z ;à nghiệm của phơng trình X3 - αX2 + βX - γ = 0 (*)
⇔ [ X2 - (x + y)X + xy ](X - z) = 0
⇔ X3 - X2z - X2(x + y) + (x + y)zX + xyX - xyz = 0
⇔ X3 - αX2 + βX - γ = 0.
(*) có nghiệm là x, y, z ⇒ phơng trình X3 - αX2 + βX - γ = 0 có 3 nghiệm là x, y, z.
c.Cách giải:
+ Do các phơng trình trong hệ là đối xứng nên ta luôn viết đợc dới dạng α, β, γ
Khi đó ta đặt
x + y + z = α
xy + yz + zx = β xyz = γ
Trang 6Ta đợc hệ của α, β, γ.
+ Giải phơng trình X3 - αX2 + βX - γ = 0 (1) tìm đợc nghiệm (x, y, z) của hệ.
Chú ý: (1) có nghiệm duy nhất ⇒ hệ vô nghiệm.
(1) có 1 nghiệm kép duy nhất ⇒ hệ có nghiệm.
(1) có 2 nghiệm : 1 nghiệm kép, 1 nghiệm đơn ⇒ hệ có 3 nghiệm.
(1) có 3 ngiệm ⇒ hệ có 6 nghiệm.
d Bài tập:
x + y + z = 2
x + y + z = 6
x + y + z = 8
Giải: áp dụng hằng đẳng thức ta có:
x2 + y2 + z2 = (x + y + z)2 - 2(xy + yz + zx).
x3 + y3 + z3 = (x + y + z)3 - 3(x + y + z)(xy + yz + zx) + 3xyz.
Vậy 6 = 22 - 2(xy + yz + zx) ⇒ xy + yz + zx = -1.
8 = 23 - 3.2.(-1) + 3xyz ⇒ xyz = -2.
⇒ x, y, z là nghiệm của phơng trình:t3 - 2t2 - t + 2 = 0 ⇔
t = 1
t = - 1
t = 2
Vậy hệ có 6 cặp nghiệm (1;-1;2); (-1;1;2); (1;2;-1); (-1;2;1); (2;1;-1); (2;-1;1).
VD2: Giải hệ
x + y + z = 9 (1)
xy + yz + zx = 27 (2)
+ + = 1 (3)
Giải: ĐK: x, y, z ≠ 0 Từ (3) ⇔ xy + yz + zx = 1
xyz
Do (2) ⇒ xyz = 27
x + y + z = 9
xy + yz + zx = 27 xyz = 27
Do đó (x; y; z) là nghiệm của phơng trình: X3 - 9X2 + 27X - 27 = 0
⇔ (X - 3)3 = 0
⇔ X = 3.
Vậy hệ có nghiệm là (3; 3; 3).
x + y + z = a
x + y + z = a
x + y + z = a
Giải: x2 + y2 + z2 = (x + y + z)2 - 2(xy + yz + zx) ⇒ xy + yz + zx = 0.
x3 + y3 + z3 = (x + y + z)3 - 3(x + y + z)(xy + yz + zx) + 3xyz ⇒ xyz = 0.
Vậy có:
x + y + z = 0
xy + yz + zx = 0 0
xyz
=
Trang 7⇒ (x; y; z) là nghiệm của phơng trình: X3 - aX2 = 0 ⇒ X = 0 X = a
Vậy hệ có nghiệm là {(a; 0; 0); (0; a; 0); (0; 0; a)}
e.Chú ý: Có nhiều vấn đề cần lu ý khi giải hệ loại này
+ Với cách giải theo định lý Vi-et từ hệ ta phải đa ra đợc x + y + z; xy + yz + zx; xyz có thể nó là
hệ quả của hệ nên khi tìm đợc nghiệm nên thử lại.
+ Vì là hệ đối xứng giữa các ẩn nên trong nghiệm có ít nhất 2 cặp nghiệm có cùng x, cùng y hoặc cùng z nên có thể giải hệ theo phơng trình cộng, thế.
VD:
x + y + z = 9 (1)
xy + yz + zx = 27 (2)
+ + = 1 (3)
Giải: Rõ ràng x = 0, y = 0, z = 0 không là nghiệm của hệ
Với x ≠ 0, y ≠ 0, z ≠ 0, nhân hai vế của (3) với xyz ta có xy + yz + zx = xyz (4).
Từ (1), (5), (6) ta có: x2(9 - x) + 27 - 27x = 0
⇔ x3 - 9x2 + 27x - 27 = 0
⇔ (x - 3)3 = 0 ⇔ x = 3 Thay x = 3 vào (1), (5) ta có: y + z =6
yz = 9
Vậy hệ có nghiệm là x = y = z = 3.
II Hệ phương trỡnh đối xứng loại 2:
1 Hệ phương trỡnh đối xứng loại 2 hai ẩn:
A Định ghĩa:
( ) ( )
( , ) 0 1 ( , ) 0 2
f x y
f y x
=
Cỏch giải: Lấy (1) − (2) hoặc (2) − (1) ta được: (x−y)g(x,y)=0 Khi đú x−y=0 hoặc g(x,y)=0.
+ Trường hợp 1: x−y=0 kết hợp với phương trỡnh (1) hoặc (2) suy ra được nghiệm.
+ Trường hợp 2: g(x,y)=0 kết hợp với phương trỡnh (1) + (2) suy ra nghiệm (trong trường hợp này hệ
phương trỡnh mới trở về hệ đối xứng loại 1) và thụng thường vụ nghiệm
B Cỏc vớ dụ:
Vớ dụ 1: Giải hệ phương trỡnh ( )
( )
3 3
= +
GIẢI
Lấy (1) − (2) ta được: (x - y)(x + xy + y + 5) = 02 2
Trường hợp 1: (I)
3
x = 3x + 8y
x = y
⇔
x - 11x = 0
x = ± 11
x = y
x = y
⇔ ⇔
Trường hợp 2: (I)
3 3
x +xy+y +5=0
x +y =11 x+y
⇔
(hệ này vụ nghiệm) Vậy hệ phương trỡnh đó cho cú tập nghiệm:
{ (x, y) = (0,0); ( 11, 11); (- 11,- 11) } { }
Trang 8Ví dụ 2: Giải hệ phương trình
4 4
1 1
1 1
GIẢI
Đặt:4 x - 1 = u 0; y - 1 = v 0 ≥ 4 ≥
Hệ phương trình trở thành
u = 0
v = 0
⇔
(Do u, v ≥ 0)
x = 1
y = 1
⇒
. Vậy hệ có nghiệm (1,1)
Ví dụ 2: Cho hệ phương trình
2 2
a Tìm m để hệ phương trình có nghiệm.
b Tìm m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất.
Giải (I)
2 2
x = ± y
x - y = y - y - x + x
x = y - y + m
x = y - y + m
a) Hệ phương trình có nghiệm ⇔
' x ' y
m 0
≥
b) Hệ phương trình có nghiệm duy nhất ⇔
' x ' y ' x ' y
Δ = 0
Δ < 0
Δ < 0
Δ = 0
⇔
1 - m = 0
- m < 0
1 - m < 0
- m = 0
⇔ m = 1.
Vậy m = 1.
Ví dụ 3: Giải phương trình:x3 + =1 2 23 x−1.
GIẢI
Đặt 32x - 1 = t ⇒ 2x - 1 = t3.
Ta có hệ
3 3
x + 1 = 2t
t + 1 = 2x
3
x + 1 = 2t (x - t)(x + xt + t + 1) = 0
3
x - 2x + 1 = 0
x = t
⇔
2
(x - 1)(x + x - 1) = 0
x = t
x = 1
- 1 ± 5
x =
2
Vậy phương trình có 3 nghiệm: 1; - 1 ± 5
C Bài tập:
1.Giải các hệ phương trình sau:
Trang 9a
1 3
2
1 3
2
x
y x
y
x y
+ =
b
2
2
3 2
3 2
x y
x
y x
y
+ =
c
3 3
1 2
1 2
+ =
+ =
9 9
2 Cho hệ phương trỡnh
2 2
− + =
a Giải hệ với m = 0.
b Tỡm m để hệ cú nghiệm duy nhất.
3 Tỡm m để hệ:
7 7
cú nghiệm duy nhất.
4 Giải cỏc phương trỡnh: a x2 + x+ =5 5
b x3 −3 33 x+ =2 2
A Dùng chủ yếu là phơng pháp biến đổi tơng đơng bằng phép cộng và thế Ngoài ra sử dụng sự
đặc biệt trong hệ bằng cách đánh giá nghiệm, hàm số để giải.
B Ví dụ:
Giải hệ
2
2
2
x + 2yz = x (1)
y + 2zx = y (2)
z + 2xy = z (3)
Giả bằng cách cộng (1), (2), (3) và lấy (1) trừ đi (2) ta có hệ đã cho tơng đơng với hệ
2
2
x + 2yz = x (x + y + z) = x + y + z (x - y)(x + y - 2z - 1) = 0
Hệ này đơng tơng với 4 hệ sau:
x + y + z = 0 (I) x + y + z = 0 (II)
x + y + z = 1 (III) x + y + z = 1 (IV)
Giải (I):
(I) ⇔
2
x + 2yz = x
2y + z = 0
x = y
⇔
2
x + 2yz = x
z = - 2x
x = y
⇔
x - 4x = x
z = - 2x
x = y
⇔
-1
x = 0 x =
3
z = - 2x
x = y
Vậy (I) có 2 nghiệm (0;0;0); ( -1 -1 2 ; ;
Trang 10Làm tơng tự (II) có nghiệm ( 2 -1 -1 ; ;
-1 2 -1
; ;
Hệ (III) có nghiệm (0;0;1); ( 1 1 1 ; ;
Hệ (IV) có nghiệm (0;1;0); (1;0;0).
Vậy hệ đã cho có 8 nghiệm kể trên.
VD2: Giải hệ phơng trình:
x + y + z = 1
x + y + z = 1
x + y + z = 1
Giải: Hệ ⇔
x + y + z = 1 (y - z)(y + z - 1) = 0 (x - z)(x + z - 1) = 0
⇔
y=z (I) y = z (II)
z + y - 1 = 0 (III) z + y -
x = z
1 = 0 (IV)
x + z - 1 = 0
Giải các hệ bằng phơng pháp thế đợc 5 nghiệm (-1;-1;-1); (0;0;1); (0;1;0); (0;0;1); 1 1 1; ;
2 2 2
2 2 2
1 1 1
= +
= +
= +
Giải: Xét hai trờng hợp sau:
TH1: Trong 3 số ít nhất có 2 nghiệm số bằng nhau:
Giả sử x=y có hệ
2 2 2
1 1 1
= +
= +
= +
Tơng tự y=z, z=x ta cũng đợc nghiệm nh trên.
TH2 : 3 số x, y, z đôi một khác nhau
Giả sử x>y>z ,xét hàm số f(t) = t2 trên D = [ − +∞ 1; )
a) z ≥0, x>y>z≥0⇒ f(x)>f(y)>f(z) ⇒ y+1>z+1>x+1 ⇒ y>x>z(vô lý) b) z<y<x≤0⇒ f(x)<f(y)<f(z) ⇒ y+1<z+1<x+1 ⇒ y<z<x(vô lý).
c) x>0>z>-1 ⇒ f(-1)>f(z) ⇒ 1>x+1 ⇒ x<0 (vô lý) Vậy điều giả sử là sai.
TH2 vô nghiệm.
Trang 11VD5:
2 2 2
2
2
2
y y z z
z z x x
+ =
(Vô địch Đức)
Giải:
TH1: Trong x, y, z ít nhất có 2 nghiệm số bằng nhau
Giả sử x = y ta có hệ
3
2
2
+ − =
+ − =
+ − =
Từ (1) ⇒ x = 0, x = -1.
x = 0 Thay vào (2), (3) ⇒ z=0.
x = -1 Thay vào (2), (3) ⇒ vô lý
Vậy hệ có nghiệm (0,0,0)
Nếu y = z hay x = z cũng chỉ có nghiệm (0,0,0).
TH2: 3 số đôi 1 khác nhau.
Từ 2x + x2y = y thấy nếu x2 = 1
⇒ ± 2 = 0 (vô lý)
Vậy x2 ≠ 1 ⇒ 2x + x2y = y ⇔ 2 2
1
x y
x
=
−
Hai phơng trình còn lại tơng tự ta có hệ phơng trình tơng đơng với:
2
2
2
2 1 2 1 2 1
x y
x y z
y z x z
=
=
=
Giả sử x > y > z (*) Xét hàm số:
f(t) = 2 2
1
t
t
− xác định trên D = R\ { ± 1}
f’(t) = 2( 2 2 21) 0
t
t + >
⇒ hàm số đồng biến trên D
f(x) > f(y) > f(z)
⇒ y > z > x mâu thuẫn với (*).
Vậy điều giả sử sai Do vai trò x, y, z nh nhau.
Vậy TH2 - hệ vô nghiệm
Vậy hệ đã cho có nghiệm duy nhất là (0; 0; 0)
C Bài tập
1
2 2 2
= + + −
= + + −
= + + −
2 3 3(3 x2 − 4)2− 4 2− = 4 x
Trang 12Híng dÉn: §Æt
2
2 2
= −
§a vÒ gi¶i hÖ
2 2 2
= −
= −
3
xyz x y z
yzt y z t
ztx z t x
txy t x y
= + +
− + − =
− + − =
− + − =
2 2 2 2 2 2
2 1 2 1 2 1
x y x y z y z x z
=
+
+
+
III Hệ phương trình đẳng cấp:
1 Dạng: ( )
, ,
F x y A
G x y B
, trong đó F kx ky( , ) =k F x y G kx ky n ( , ) (; , ) =k G x y m ( , )
2 Cách giải: Đặt y = tx (x ≠ 0) hoặc x = ty (y ≠ 0)
3 Ví dụ:
Giả hệ phương trình: 2 2 ( )
GIẢI + Với x = 0: Hệ phương trình đã cho vô nghiệm.
+ Với x ≠ 0: Đặt y = tx Hệ phương trình tương đương với ( ) ( )
Lấy (1)÷(2) ta
được: 15t2−13t+2=0⇒ 2
3
t= ; 1
5
t=
• Với 2
3
t= : ta có 3
2
y= x, thay vào (*) ta được nghiệm (3;2), (−3;2)
• Với 1
5
t= : ta có 1
5
y= x, thay vào (*) ta được nghiệm 5 2; 2 , 5 2; 2
−
4 Bài tập:
Giải các hệ phương trình sau:
1)
x xy y
IV Một số hệ phương trình khác:
Tổng hợp các kiến thức kết hợp với việc suy luận hợp lý để giải
1
( , )
x y
HD: Biến đổi phương trình xy x+ + =y x2 −2y2⇔ (x + y)(x −2y −1) = 0 ĐS: x = 5; y = 2.
Trang 132
( , )
x y
HD: Biến đổi hệ phương trình thành:
2
2
xy
=
17
4 .
3
5 4 5
1 2
4
HD: Biến đổi hệ phương trình thành: ( )
2 2
5 4 5
4
−
Đặt:
2
v xy
=
ĐS:
3
3
5
1 4
3 25
2 16
y y
3
1
y x
− = −
HD: (1) ⇒ (x y) 1 1 0
xy
4
1
25
y x
y
+ =
HD: Tìm cách khử logarit để được: 3
4
y
6
3
2
HD: 3 y x− = y x− ⇒3 y x− (1−6 y x− ) =0 ĐS: ( )1;1 , 3 1;
2 2
7
2
2
2
2
2 3
2 3
y
y
x
x
x
y
=
8
HD: Tìm cách khử logarit để được: x y= . ĐS: ( ) ( )1;1 , 2; 2