Đề cương ôn tập môn độ đo xác suất đại học khoa học tự nhiên HCM 2017

là dãy các hàm đo được trên X sao cho Khi đó f là hàm đo được không âm và Bài tập.. Chứng minh mệnh đề trên theo các bước sau hoàn toàn xác định.. Các định lý hội tụ đơn điệu, bổ đề Fato

ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP 2017

Độ đo xác suất

1 Độ đo

Định nghĩa Cho M là một họ các tập con của tập X Ta nói M là một

một σ-đại số Cho F ⊂ P(X)

b) Đặt σ(F) = {A : A ∈ M, ∀F ⊂ M} Khi đó, σ(F) là sigma-đại sốnhỏ nhất chứa F, nghĩa là cho sigma-đại số M,

F ⊂ M ⇒ σ(F) ⊂ M

Ta nói σ(F) là σ-đại số sinh ra bởi F

Bài tập a) Chứng minh ba tính chất của σ-đại số b) CM tính nhỏ nhất của

cuu duong than cong com

gọi là các tập Borel Các tập Borel thông thường là các tập mở trong Rn, các

Định nghĩa Cho (X, M) là một không gian đo được Một ánh xạ µ : M →

a) Tồn tại A ∈ M sao cho µ(A) < ∞,

độ đo Stieljes, xác định trên σ-đại số Borel B(R) sao cho với mọi a < b ta có

Định lý Cho (X, M, µ) là một không gian đo Ta có

e) Nếu An∈ M, An+1 ⊂ An, và µ(A1) <∞, n = 1, 2, thì

1 Cho X = {a, b, c} Tìm các σ-đại số chứa A = {a} Đặt F = {A}

không đo được theo σ(F)

2 Cho X = {a, b, c, d} Tìm các σ-đại số chứa B = {a, b} Đặt F = {B}

không đo được theo σ(F)

3 Cho a, b ∈ R, a < b CMR các tập hợp [a, ∞), (−∞, b], [a, b), (a, b] làcác tập Borel Tập hợp {a} với a ∈ R có phải là tập Borel không?

(b) Cho M là một σ-đại số trên R và giả sử (a, ∞) ∈ M với mọi a ∈

n=1 a− 1

n,∞

CMR [a, ∞) ∈

M Suy ra (−∞, b), (−∞, b], (a, b), [a, b), (a, b] là các tập hợp

cuu duong than cong com

(c) Cho tập hợp U mở trong R Lý thuyết tập hợp cho biết: tập hợpcác khoảng I := (a, b) ⊂ U (với a, b ∈ Q) là đếm được, do đó, ta

(e) Tìm các họ tập hợp F khác thỏa σ(F) = B(R)

2 Hàm đo được

Mệnh đề Cho (X, M) là một không gian đo được và f : X → Y Khi đótập

là một σ-đại số trên Y

Bài tập CM Định lý theo các bước sau:

Rk

Bài tập Sử dụng tính chất ảnh ngược liên tục của một tập mở là một tậpmở và tính chất nếu F ⊂ σ−đại số M thì σ(F) ⊂ M để chứng minh mệnhđề

Mệnh đề a) Nếu X,Y,Z là các không gian đo được và f : X → Y , g : Y → Zlà đo được thì g ◦ f là đo được

cuu duong than cong com

b) Nếu X là không gian đo được, f : X → Rn đo được và g : Rn → Rk đođược Borel thì g ◦ f là đo được.

b) CM mệnh đề

Mệnh đề Hàm f : X → [−∞, ∞] đo được nếu và chỉ nếu một trong cácđiều sau là đúng với mọi a ∈ R

Bài tập Cm mệnh đề trên theo các bước sau

n

Từ đó CM a) ⇒ b)

iv) CM (f ∈ [a, b)) = (f < b) \ (f < a) Từ đó CM (f ∈ [a, b)) đo được

thì h : X → R với h(x) = Φ(u(x), v(x)) là một ánh xạ đo được

(g > a) = ∪∞n=1(fn> a), (h < a) =∪∞n=1(fn< a)

Từ đó CM mệnh đề

Định nghĩa Cho H là một tập hợp, A ⊂ H Khi đó ta định nghĩa

Hàm này còn được ký hiệu là χA.

chỉ khi A đo được

hợp a) 1 ∈ V, 0 6∈ V ; b) 1 6∈ V, 0 ∈ V ; c) 1 ∈ V, 0 ∈ V ; d) 1 6∈ V, 0 6∈ V Định nghĩa Cho X là không gian đo được Cho s : X → R Hàm s gọi là

Bài tập Chứng minh mệnh đề trên

Định lý Với mọi hàm đo được f : X → [0, ∞] tồn tại các hàm đơn đo được

Bài tập i) Ký hiệu [α] là số nguyên lớn nhất không vượt quá α ∈ R CM

BÀI TẬP

1 Sử dụng tính chất (D): Hàm f : X → [−∞, ∞] đo được khi và chỉ khicuu duong than cong com

f−1((a,∞]) đo được với mọi a ∈ R CMR hàm f(x) = 2x là đo đượcBorel trên R Có cách chứng minh nào khác không?

tiếp bằng tính chất (D)

3 Bài tập tương tự với

3 Tích phân Lebesgue của hàm không âm

Định nghĩa Cho không gian đo (X, M, µ), E ∈ M Cho hàm đơn đo được

Mệnh đề Cho không gian đo (X, M, µ), A, B, E ∈ M, f, g : X → R là cáchàm đo được

Bài tập Chứng minh mệnh đề theo các hướng dẫn sau

suy ra đpcm

cuu duong than cong com

b) Lấy s đơn, đo được và 0 ≤ s ≤ f CM RAs(x)dµ≤ Bs(x)dµ Từ đó

cm mệnh đề

e) Áp dụng câu d)

Mệnh đề Cho s,t là hai hàm đơn đo được không âm trên (X, M, µ), E ∈ M

i=1αiIAi với s(X) = {α1, , αn} và Ai = s−1(αi).Viết biểu thức của φ(E) Từ đó CM các tính chất của độ đo

là dãy các hàm đo được trên X sao cho

Khi đó f là hàm đo được không âm và

Bài tập Chứng minh định lý hội tụ đơn điệu theo các câu sau:

b) Cho c ∈ (0, 1), s là hàm đơn đo được thỏa 0 ≤ s ≤ f Đặt An ={x ∈

điệu để CM mệnh đề

c) Sử dụng định lý hội tụ đơn điệu suy ra kết quả

Mệnh đề Cho f : X → [0, ∞] là hàm đo được, Với E ∈ M, đặt

với mọi hàm đo được không âm g : X → [0, ∞].

Lưu ý Để chứng minh một số tính chất của tích phân Lebesgue đúng với mọihàm f chúng ta có thể dùng kỹ thuật 4D: 1) CM cho hàm đặc trưng, 2) CMcho hàm đơn đo được, 3) CM cho hàm dương đo được, 4) CM cho hàm đođược có dấu bất kỳ

không âm

Định lý Radon-Nikodym Cho (X, M, µ là một không gian đo Giả sử µ là

4 Tích phân Lebesgue của hàm tổng quát

Định nghĩa Cho không gian đo được (X, M, µ) và cho f : X → [−∞, ∞]là đo được Ta nói f khả tích Lebesgue với độ đo µ nếu

Z

cuu duong than cong com

Ta ký hiệu tập các hàm khả tích Lebesgue là L1(X,M, µ) hay vắn tắt L1(µ).Hệ quả Cho f, g đo được trong (X, M, µ) Nếu g khả tích và |f(x)| ≤ g(x)với mọi x ∈ X thì f khả tích.

Bài tập Chứng minh tính chất này

Bài tập Chứng minh các đẳng thức

Xfdµ

Bài tập Chứng minh mệnh đề trên

sao cho

cuu duong than cong com

a) |fn(x)| ≤ g(x) với mọi x ∈ X, n = 1, 2,

b) g khả tích,

Bài tập Chứng minh định lý hội tụ bị chặn theo các câu sau

5 Tập có độ đo không

Mệnh đề Cho không gian đo (X, M, µ)

a) Nếu A, B ∈ M, A ⊂ B và µ(B) = 0 thì µ(A) = 0

Định nghĩa Cho (X, M, µ) Ta nói độ đo µ là đầy đủ nếu với mọi A ∈ M,

cũng gọi là đầy đủ

các tập A, B ∈ M sao cho A ⊂ E ⊂ B và µ(B \ A) = 0 Khi đó đặt

Bài tập Chứng minh mệnh đề trên theo các bước sau

hoàn toàn xác định

cuu duong than cong com

iii) CM µ∗ là một độ đo.

Rk

đúng hầu hết trên E ∈ M nếu tồn tại một tập hợp A ∈ M, µ(A) = 0 saocho P (x) đúng trên E \ A Ta viết P đúng hầu hết khắp nơi (hkn hay a.e.)trên E Nếu µ là độ đo xác suất, ta còn nói P đúng hầu chắc chắn (hcc haya.s.) trên E

Mệnh đề Trên (X, M, µ) cho E ∈ M

Egdµ.b) Nếu f, g : X → [−∞, ∞], f khả tích và f = g h.h thì g khả tích vàR

Egdµ

e) Cho f khả tích Nếu

Z

X

fdµ

=Z

Định lý Các định lý hội tụ đơn điệu, bổ đề Fatou, định lý hội tụ bị chặn vẫnđúng nếu các tính chất được thay bằng tính chất h.h.

Đặt mn = inf(xn−1,xn)f(x), Mn = sup(xn−1,xn)f(x)

Định lý Hàm f khả tích Riemann trên (a, b) thì f cũng khả tích Lebesguetrên (a, b) và

Phương pháp chứng minh hàm f khả tích Riemann

Hàm f khả tích Riemann trên R khi và chỉ khi các điều sau thỏa:

a) Tồn tại khoảng (a, b) bị chặn sao cho f(x) = 0 với mọi x 6∈ (a, b).b) Tồn tại số M sao cho |f(x)| ≤ M với mọi x ∈ (a, b)

c) Hàm f liên tục trên (a, b) \ A với A ⊂ R là tập có m(A) = 0

Khảo sát tính khả tích Lebesgue của f trên khoảng được cho

cuu duong than cong com

Cách 3: Chứng minh hàm f không khả tích trên khoảng (c, d) ⊂ (a, b).

Cách 2 (gián tiếp): Hàm f khả tích nếu

a) f đo được Lebesgue,

b)|f| ≤ g và

c) g khả tích Lebesgue (chứng minh bằng cách dùng cách 1)

Cách 3 (chia nhỏ): Chia khoảng (a, b) = A ∪ B sau đó chứng minh f khảtích trên A và trên B

a) với mỗi λ ∈ (a, b) hàm x 7→ f(x, λ) đo được theo x

cuu duong than cong com

Đặt H(λ) = RIf(x, λ)dx Khi đó ta có

nghĩa là F liên tục tại λ0

BÀI TẬP

1 CM mệnh đề trên theo các bước sau

ii) Suy ra kết quả cần CM

2 Chứng minh các hàm sau liên tục

3 Tính các giới hạn sau

0

dt (1+ t

Phương pháp tìm đạo hàm của tích phân phụ thuộc tham số

Mệnh đề Cho f : I × (a, b) → R Giả sử

a) với mỗi λ ∈ (a, b) hàm x 7→ f(x, λ) khả tích theo x

b) với mỗi x ∈ I hàm λ 7→ f(x, λ) có đạo hàm theo λ

... ngẫu nhiên< /h3>

Định nghĩa Trên không gian xác suất (Ω, M, P), ánh xạ đo X : Ω →

ii) CM đẳng thức mệnh đề theo kỹ thuật 4D Trước hết CM với

iv) CM với g hàm không âm đo

quát... dụng định lý giới hạn trung tâm

Phương pháp tìm xác suất biến ngẫu nhiên Bernoulli

Xét thí nghiệm có xác suất thành công p, xác suất thất bại − p

Theo định lý giới hạn trung... µ∗ độ đo.

Rk

đúng hầu hết E ∈ M tồn tập hợp A ∈ M, µ(A) = saocho P (x) E \ A Ta viết P hầu hết khắp nơi (hkn hay a.e.)trên E Nếu µ độ đo xác suất, ta cịn nói