Đề cương ôn tập môn độ đo xác suất đại học khoa học tự nhiên HCM 2019

Xác suất của một biến cố A ∈ M là một con số PA xác địnhkhả năng xảy ra A.. Ta định nghĩa xác suất xảy ra của A khi biết B xảy ra là Ta nói A, B là hai biến cố độc lập nếu khả năng xảy r

Trang 1

ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP 2019

Độ đo xác suất

0 Xác suất cổ điển

Định nghĩa (a) Phép thử ngẫu nhiên τ là một phép thử mà kết quả của mỗilần thử không thể biết chắc chắn

(b) Tập hợp tất cả các kết quả có thể có của mỗi lần thử τ gọi là mộtkhông gian mẫu, thường được ký hiệu là Ω

(c) Một tập con E ⊂ Ω gồm các kết quả ω được quan tâm thì gọi là một

phép thử τ ta nhận được một kết quả ω Nếu ω ∈ E ta nói biến cố E xảy

ra Nếu ω 6∈ E ta nói biến cố E không xảy ra

(d) Cho hai biến cố A, B ∈ M, ta có

1 Biến cố tổng A ∪ B: chỉ cho biến cố ít nhất một trong các biến cố A, Bxảy ra,

2 Biến cố tích A ∩ B: chỉ cho biến cố cả hai biến cố A, B đều xảy ra,

3 Biến cố đối A: chỉ cho biến cố A không xảy ra,

4 Biến cố Ω: biến cố chắc chắn,

5 Biến cố ∅: biến cố không bao giờ xảy ra

Định nghĩa Xác suất của một biến cố A ∈ M là một con số P(A) xác địnhkhả năng xảy ra A Xác suất của A thỏa các tính chất sau:

1 P(A) ≥ 0 với mọi biến cố A ∈ M,

Trang 2

Định lý (a) Cho A ∈ M ta có 0 ≤ P(A) ≤ 1, P(∅) = 0.

Định nghĩa Cho hai biến cố A, B ∈ M Ta định nghĩa xác suất xảy ra của

A khi biết B xảy ra là

Ta nói A, B là hai biến cố độc lập nếu khả năng xảy ra của biến cố A khi

B xảy ra bằng với khả năng xảy ra của biến cố A khi B không xảy ra Tacó thể suy ra hai biến cố độc lập khi và chỉ khi

đó với mọi biến cố A ta có

cuu duong than cong com

Trang 3

BÀI TẬP

Dạng 1 Xác định không gian mẫu

Ta cần xác định phép thử và kết quả của phép thử

1 Một thí nghiệm bao gồm việc thực hiện 20 quan sát về chất lượng củachip máy tính Mỗi quan sát được ghi nhận là G hay D Tìm khônggian mẫu S của thí nghiệm này Có bao nhiêu biến cố sơ cấp trong S

gói Tấ cả các gói có trọng lượng từ 10 đến 20 Kg Tì m không gian

3 Xét các chuỗi tín hiệu chiều dài 30 gồm các ký tự nhị phân 0.1 Mô

Dạng 2 Tính xác suất của biến cố

Ta cần xác định 1/phép thử, 2/ định nghĩa của xác suất trên không gianmẫu, 3/ biến cố và 4/ tính xác suất của biến cố

1 Xét 1 xúc xắc cân bằng Tung xúc xắc 2 lần Tính xác suất để tổngsố nốt xuất hiên là 10

2 Một khối tín hiệu 100 bit được truyền đi, xác suất của môt bit bị lỗi là

khối tín hiệu đó có ít nhất 3 lỗi

3 Một cây que được bẻ ngẫu nhiên thành 3 khúc Tính xác suất để 3khúc đó tạo thành 1 tam giác

Trang 4

Dạng 3 Tính xác suất có điều kiện

Ta cần dùng công thức P(AB) = P(A)P(B|A) Nếu A, B độc lập thìP(AB) = P(A)P(B)

phân hoạch (bộ biến cố đầy đủ) của Ω Khi đó

2 Hai nhà sản xuất X,Y cung cấp tấm gốm để sản xuất vi mạch Tỉ lệtấm gốm hỏng của nhà sản xuất X là 0.1 Tỉ lệ tấm gốm hỏng của nhàsản xuất Y là 0.05 Một lô hàng tấm gốm được gửi đến, kiểm tra trựctiếp 20 tấm thì thấy có 3 tấm bị hỏng Dự đoán xem lô hàng này cóthể của nhà sản xuất X hay Y?

3 Một phép thử T vi khuẩn E-coli gọi là dương tính sai nếu trong mẫuthử không có E coli nhưng phép thử khẳng định có E coli, âm tính sainếu trong mẫu thử có E coli nhưng phép thử khẳng định không có E.coli Giả sử thử 10 000 mẫu thịt đã nhiễm E.coli thì phép thử báo có

9500 mẫu nhiễm; 10 000 mẫu không nhiễm E.coli thì phép thử báo có

9900 mẫu không nhiễm

(a) Độ nhạy (sentivity) của phép thử T là tỉ lệ dương tính đúng, độđặc hiệu (specificity) của phép thử T là tỉ lệ âm tính sai Tìm độnhạy và độ đặc hiêu của phép thử E.coli

(b) Cho một số mẫu thịt biết có tỉ lệ nhiễm E coli thực sự là 4.5%.Hỏi nếu chỉ dùng phép thử T ta có thể khẳng dịnh bao nhiêu %thịt thực sự bị nhiễm

4 Một câu lạc bộ sách phân loại thành viên thành 3 loại: đọc nhiều, đọcvừa và đọc ít và tách các thông báo gửi cho ba nhóm khác nhau Theothống kê, có 20% thành viên là loại đọc nhiều; 30% đọc vừa và 50%

Trang 5

đọc ít Một thành viên chỉ được phân loại vào các nhóm sau 18 thánggia nhập câu lạc bộ, tuy nhiên số liệu mua sách của 3 tháng đầu đượcdùng để phân loại Bảng sau cho biết tỉ lệ phần trăm sách mà cácthành viên đã được phân loại mua trong các tháng 0,1,2 và từ 3 thángtrở lên

Dạng 4 Chứng minh một số công thức

Ta sử dụng tiên đề của độ đo xác suất, công thức P(AB) = P(A|B)P(B)và tính độc lập

3 Cho biến cố A, B với P(A) = 3/4, P(B) = 1/3 CM 1/12 ≤ P(A∩B) ≤1/3

4 Cho A, B là hai biến cố với P(B) > 0 CMR P(A|B) = 1 − P(A|B)

Trang 6

7 CMR nếu A, B độc lập thì các cặp biến cố Ac, B hay Ac, Bc cũng độclập.

Định nghĩa Cho M là một họ các tập con của tập X Ta nói M là một

một σ-đại số Cho F ⊂ P(X)

Trang 7

b) Đặt σ(F) = {A : A ∈ M, ∀F ⊂ M} Khi đó, σ(F) là σ-đại số nhỏnhất chứa F, nghĩa là cho σ-đại số M,

F ⊂ M ⇒ σ(F) ⊂ M

Ta nói σ(F) là σ-đại số sinh ra bởi F

Bài tập a) Chứng minh ba tính chất của σ-đại số b) CM tính nhỏ nhất của

nói F là một phân hoạch hữu hạn của X Trong xác suất họ này còn gọilà một bộ biến cố đầy đủ Nếu I vô hạn, ta nói F là một phân hoạch đếm

Định nghĩa Cho (X, M) là một không gian đo được Một ánh xạ µ : M →

a) Tồn tại A ∈ M sao cho µ(A) < ∞,

Trang 8

độ đo Stieljes, xác định trên σ-đại số Borel B(R) sao cho với mọi a < b ta có

Định lý Cho (X, M, µ) là một không gian đo Ta có

Bài tập CM tính chất d) theo các bước sau

Trang 9

Mệnh đề Cho không gian đo (X, M, µ).

a) Nếu A, B ∈ M, A ⊂ B và µ(B) = 0 thì µ(A) = 0

Định nghĩa Cho (X, M, µ) Ta nói độ đo µ là đầy đủ nếu với mọi A ∈ M,

cũng gọi là đầy đủ

các tập A, B ∈ M sao cho A ⊂ E ⊂ B và µ(B \ A) = 0 Khi đó đặt

Bài tập Chứng minh mệnh đề trên theo các bước sau

hoàn toàn xác định

đúng hầu hết trên E ∈ M nếu tồn tại một tập hợp A ∈ M, µ(A) = 0 saocho P (x) đúng trên E \ A Ta viết P đúng hầu hết khắp nơi (hkn hay a.e.)trên E Nếu µ là độ đo xác suất, ta còn nói P đúng hầu chắc chắn (hcc haya.s.) trên E

BÀI TẬP

Dạng 1 Kiểm tra các điều kiện của σ-đại số, tìm σ(F)

Khi cho một F ⊂ P(X), ta tìm các phần tử của σ(F) bằng cách thực hiệncác phép toán tập hợp trên F để suy ra các tập hợp của σ(F)

1 Cho X = {a} Hỏi P(X) là gì? Tương tự với X = {a, b}, X = {a, b, c}.Liệt kê các σ−đại số trên X

Trang 10

2 Cho X = {a, b, c} Đặt A = {a}, F = {A} Hỏi (i) F có là σ−đại sốkhông? (ii) Nếu M là một σ-đại số trên X và M ⊃ F thì M chứacác tập con nào? (iii) Tìm tất cả các σ-đại số chứa F, (iv)σ-đại số nhỏnhất σ(F) là gì? (v) Chỉ ra các tập hợp đo được, các tập hợp không đođược theo σ(F).

3 Bài tương tự với X = {a, b, c} và F = {{a, b}}, F = {{a, b}, {a}},

F = {{a, b}, {c}}

4 Bài tương tự với X = {a, b, c, d} Đặt F = {{a, b}}, F = {{a}, {b}}

σ-đại số trên X

6 Cho X 6= ∅, M là họ các tập A của X sao cho A hay X \ A là quálắm đếm được

(a) CMR M là một σ-đại số trên X và M = σ({x}, x ∈ X)

(b) CMR nếu X quá lắm đếm được thì M = P(X)

(c) CMR nếu X là hội của hai tập vô hạn không đếm được rời nhauthì M 6= P(X)

Dạng 2 Tìm σ-đại số sinh ra từ một phân hoạch

tập hợp của σ(F)

i∈IAi Khi đó {Ac, Ai},

S

i∈JAi, Ac∪S

1 Trên (X, M), cho A ⊂ X, tìm σ(F) với F = {A}

2 Trên R, tìm σ(F) với F = {[0, 1], (2, 4)} Tập hợp [0, 3] có σ(F)-đođược không?

3 Trên R, tìm σ(F) với F = {[0, 3], (2, 5)} Tập hợp [0, 5) có σ(F)-đođược không?

Trang 11

4 Cho tập X và các tập hợp A, B ⊂ X Đặt F = {A, B} Tìm σ(F)trong hai trường hợp A ∩ B = ∅ và A ∩ B 6= ∅.

Dạng 3 Chứng minh một tập hợp trên R là tập Borel

Ta sử dụng tính chất: các tập mở trên R bao gồm các khoảng mở (a, b)

kiểm tra

1 Cho a, b ∈ R, a < b CMR các tập hợp (a, ∞), [a, ∞), (−∞, b], (−∞, b),

là tập Borel không?

(b) Cho M là một σ-đại số trên R và giả sử (a, ∞) ∈ M với mọi a ∈

n=1 a− 1

n,∞

CMR [a, ∞) ∈

M Suy ra (−∞, b), (−∞, b], (a, b), [a, b), (a, b] là các tập hợp

(c) Cho tập hợp U mở trong R Lý thuyết tập hợp cho biết: tập hợpcác khoảng I := (a, b) ⊂ U (với a, b ∈ Q) là đếm được, do đó, ta

Dạng 4 Các độ đo tổng quát

Ta sử dụng các tiên đề của độ đo để chứng minh

j=1anµn có xác

Trang 12

2 Cho (X, M, µ) là một không gian đo, µ(X) < ∞, và (An) là một dãycác tập con đo được trên không gian đo Đặt

Dạng 4 Các độ đo rời rạc từ σ-đại số sinh ra từ một phân hoạch

i∈Jpi

1 Cho X = {a, b}, µ là một hàm trên các tập con của X Cho biết

độ đo

2 Cho X = {a, b, c}, F = P(X) Cho biết µ là một độ đo trên F và

tính µ({a}), µ({b})µ({c}) theo x, y, z

3 Cho X = {a, b, c, d}, cho µ, ν là độ đo trên P(X) Cho biết µ({a}) =

J = {∅, X, {a, b}, {b, c}, {c, d}, {d, a}}

(a) µ(A) = ν(A) với A ∈ J

(b) CM có A ∈ σ(J ) với µ(A) = ν(A)

Trang 13

4 Cho tập X và một phân hoạch F = {Ai : i ∈ I}, I ⊂ N, của X Cho

là độ đo xác suất

độ đo µ là độ đo xác suất

npi(1− p)n−i (0 < p < 1) Độ đo µ gọi là độ đo

X Chứng tỏ các độ đo sau là độ đo xác suất

i=0

αi

Dạng 5 Đô đo Lebesgue, Stieljes trên R

Độ đo Lebesgue: m((a, b)) = m((a, b]) = m([a, b]) = m([a, b) = b − a (với

F+(a), µF((a, b]) = µF((a, b)) + µF({b}), µF([a, b)) = µF((a, b)) + µF({a}),

Trang 14

1 Cho m là độ đo Lebesgue trên R Tìm m([2, 3]), m((1, 5]), m({4}),

4I[0,∞)+12I[1,∞)+14I[2,∞) Cho P xác định bởi P((−∞, x]) =

mật độ của độ đo này

0 trên các khoảng không ghi ra Độ đo đó gọi là

Trang 15

(c) mũ Exp(β) (β > 0): f(x) = 1

−1, d = 4,

chất Γ(z + 1) = zΓ(z), Γ(n + 1) = n!, Γ(1/2) = √π, Γ((2m + 1)/2) =

ghi ra Độ đo đó gọi là

Γ(α)Γ(β)xα−1(1− x)β−1 (0 < x < 1),chọn α = 1, β = 2, chọn c = −1, d = 2

√ nπΓ(n/2)

1 + xn2−(n+1)/2, x ∈ Rchọn n = 1, chọn c = −1, d = 2

Dạng 7 Tính chất đúng hầu hết khắp nơi

Cho (X, M, µ), cho một hàm mệnh đề P (x), x ∈ X Ta nói P (x) đúnghầu hết khắp nơi theo độ đo µ nếu tồn tại tập A ∈ M, µ(A) = 0 sao cho

Đề giải các bài toán ta sử dụng tính chất: nếu B ⊂ A và µ(A) = 0 thì

1 Trên R với độ đo Lebesgue, chứng minh rằng mọi tập con hữu hạn,mọi tập con đếm được của R đều có độ đo Lebesgue là 0

2 Cho hàm f(x) = 1/ sin x với x 6= kπ, f(kπ) = 1 với (k ∈ Z), g(x) =

khắp nơi theo độ đo Lebesgue

3 Cho hàm f(x) = 1/| cos x| với cos x 6= 0, f(x) = 1 với cos x 6= 0,

Trang 16

4 Nếu f1 = g1, f2 = g2 hkn thì f1± f2 = g1 ± g2, f1f2 = g1g2 hkn.

5 Chứng minh rằng nếu f = g hkn và g = h hkn thì f = h hkn

2 Hàm đo được

Định nghĩa Cho ánh xạ f : X → Y , B ⊂ Y Ta định nghĩa ảnh ngược của

được ký hiệu là (f ∈ B)

Khi đó (f ∈ Y ) = X và

Trang 17

là một σ-đại số trên Y Ngoài ra, cho họ các tập con F0 ⊂ P(X) Khi đó,

Bài tập CM Định lý theo các bước sau:

Rk

Bài tập Sử dụng tính chất ảnh ngược liên tục của một tập mở là một tậpmở và tính chất nếu F ⊂ σ−đại số M thì σ(F) ⊂ M để chứng minh mệnhđề

Mệnh đề a) Nếu X,Y,Z là các không gian đo được và f : X → Y , g : Y → Zlà đo được thì g ◦ f là đo được

được Borel thì g ◦ f là đo được

b) CM mệnh đề

Mệnh đề Hàm f : X → [−∞, ∞] đo được nếu và chỉ nếu một trong cácđiều sau là đúng với mọi a ∈ R

Trang 18

e) (f ∈ (a, b)) := f−1((a, b)) đo được với mọi a < b và f−1(∞) đo được.Bài tập Cm mệnh đề trên theo các bước sau

n

Từ đó CM a) ⇒ b)

iv) CM (f ∈ [a, b)) = (f < b) \ (f < a) Từ đó CM (f ∈ [a, b)) đo được

thì h : X → R với h(x) = Φ(u(x), v(x)) là một ánh xạ đo được

n=1(fn> a), (h < a) =∪∞

n=1(fn< a)

Từ đó CM mệnh đề

Định nghĩa Cho H là một tập hợp, A ⊂ H Khi đó ta định nghĩa

(

chỉ khi A đo được

hợp a) 1 ∈ V, 0 6∈ V ; b) 1 6∈ V, 0 ∈ V ; c) 1 ∈ V, 0 ∈ V ; d) 1 6∈ V, 0 6∈ V

Định nghĩa Cho X là không gian đo được Cho s : X → R Hàm s gọi là

Đặt Ai = s−1(αi), ta có

Trang 19

Bài tập Chứng minh mệnh đề trên.

Định lý Với mọi hàm đo được f : X → [0, ∞] tồn tại các hàm đơn đo được

Bài tập i) Ký hiệu [α] là số nguyên lớn nhất không vượt quá α ∈ R CM

BÀI TẬP

Dạng 1 Tìm ảnh ngược của một hàm số

Ta sử dụng các tính chất

Trang 20

1 Cho f : R → R Tìm f−1((a, b)) = (a < f < b), f−1([a,∞)) = (f ≥ a),

Dạng 2 Tìm dạng hàm đơn

Trang 21

(c) Từ đó tìm độ đo P(s = 2), P(s ≤ 2), P(s > 2), P(1 ≤ s ≤ 4) nếuđộ đo P là độ đo nhị thức (p = 0.2), độ đo đều hữu hạn? Trongcác trường hợp đó, tính P(s > 1|s ≤ 3).

(b) Tìm µ(0 ≤ s ≤ 3), µ(s = 5), µ(0 ≤ s ≤ 4|s ≥ 3) nếu µ là độ đonhị thức, độ đo đều hữu hạn?

(b) Tìm P(s ≤ 3), P(2 ≤ s ≤ 5), P(s ≥ 4), P(1 ≤ s ≤ 5|s ≥ 3) nếu Plà độ đo Poisson, độ đo hình học, độ đo Pascal

Dạng 3 Chứng minh một ánh xạ đo được

Sử dụng tính chất (D):

một tập Borel với mọi a

Ta cũng có thể sử dụng các tập hợp (f < a), (a < f < b) với a, b ∈ R, a <

b, để chứng minh

1 CMR hàm f : R → R, f(x) = 2x là đo được Borel trên R Có cáchchứng minh nào khác không?

tiếp bằng cách sử dụng tính chất (E): Hàm f : X → [−∞, ∞] đo đượckhi và chỉ khi (f ≤ a) đo được với mọi a ∈ R

4 Bài tập tương tự với

Trang 22

(d) f(x) = e−|x|.

.(f) f(x) = ln x nếu x > 0 và f(x) = 0 nếu x ≤ 0

3 Tích phân Lebesgue của hàm đơn không âm

Định nghĩa Cho không gian đo (X, M, µ), E ∈ M Cho hàm đơn đo được

i=1αiIAi với s(X) = {α1, , αn} và Ai = s−1(αi).Viết biểu thức của φ(E) Từ đó CM các tính chất của độ đo

Trang 23

d) Giả sử thêm t = Pk

i=1βiIBj với t(X) = {β1, , βk} và Bj = t−1(βj)

e) Áp dụng d) và định nghĩa

quả

BÀI TẬP

Dạng 1 Tính tích phân Lebesgue của hàm đơn

ý nghĩa hình học của tích phân này

E = [1, 3]

k = 0, 1, 2, 3, 4

Trang 24

(a) Viết s dưới dạng tổng các hàm dạng cjIAj.

(b) Tìm µ(0 ≤ s ≤ 3), µ(s = 16), µ(0 ≤ s ≤ 4|s ≥ 3) nếu µ là độ đonhị thức (p = 0.3), độ đo đều hữu hạn?

(s≤2)s(x)dµ,R

(s>4)s(x)dµ,R

(1≤s≤4)s(x)dµ nếuđộ đo µ là độ đo nhị thức (p = 0.2), độ đo đều hữu hạn

(b) Tìm P(s ≤ 3), P(2 ≤ s ≤ 5), P(s ≥ 4), P(1 ≤ s ≤ 5|s ≥ 3) nếu Plà độ đo Poisson, độ đo hình học, độ đo Pascal

(c) Tính Es

Dạng 2 Tính tích phân Lebesgue của hàm đơn bằng tính chất

Cho biết ý nghĩa hình học của tích phân này

Trang 25

2 Bài tương tự với s = 2I(−3,3]+ 4I[2,4]− I[1,3] E = (−2, 3), E = [−2, 2],

4 Định nghĩa Tích phân Lebesgue của hàm đo

được không âmĐịnh nghĩa Nếu f : X → R đo được, f(x) ≥ 0 với mọi x ∈ X, ta định nghĩa

khả tích Lebesgue Nếu µ là một độ đo xác suất, ta cũng ký hiệu

Ef =Z

Bài tập Chứng minh mệnh đề theo các hướng dẫn sau

suy ra đpcm

Trang 26

đơn và 0 ≤ s0 ≤ fIE thì 0 ≤ s0 ≤ f và s0(x) = s0(x)IE(x) và Xs0(x)dµ =R

Bài tập Chứng minh mệnh đề theo các hướng dẫn sau

Đặt mn = inf(xn−1,xn)f(x), Mn = sup(xn−1,xn)f(x)

Trang 27

Bài tập Dùng các câu gợi ý, CM mệnh đề trên cho trường hợp f là hàm đođược Lebesgue trên (a, b] và f ≥ 0 Nhắc lại, độ đo Lebesgue m trên R thỏa

có độ đo 0 trên R

BÀI TẬP

Dạng 1 Tính tích phân Lebesgue của hàm khả tích Riemann

Muốn tính tích phân Lebesgue của hàm f : (a, b) → R, f ≥ 0 và f khảtích Riemann trên (a, b) ta có thể sử dụng tính chất: Hàm đo được f ≥ 0khả tích Riemann trên (a,b) thì khả tích Lebesgue trên (a, b) và

c) Hàm f liên tục trên (a, b) \ A với A ⊂ R là tập có m(A) = 0

Trang 28

(c) f(x) = xα, α ≥ 0 trên khoảng (0, 3) Tính R(0.3)xαdm(x).

Dạng 2 Tính tích phân Lebesgue của hàm mật độ

Ta nói một hàm f : R → R là hàm mật độ nếu f(x) ≥ 0 với mọi x ∈ R

1 Tìm C để các hàm sau là các hàm mật độ

Dạng 3 Độ đo Radon-Nikodym

Cho không gian (X, M) và hai độ đo µ, ν : M → [0, ∞] Ta nói độ đo µcó đạo hàm theo độ đo ν là hàm đo được h : X → R nếu h ≥ 0 và

µ(A) =

Z

A

(a) Ta nói ϕ là độ đo đều trên khoảng (a, b), a < b, nếu f(x) =

I(a,b)(x)/(b− a) CM ϕ là độ đo xác xuất Tính E(U), E(W )

Trang 29

(b) Ta nói ϕ là độ đo tam giác trên (−1, 1) nếu f(x) = (1−|x|)I(−1,1)(x).

CM ϕ là độ đo xác xuất Tính E(U), E(W )

4 Tính chất của tích phân Lebesgue của hàm

không âm

là dãy các hàm đo được trên X sao cho

Khi đó f là hàm đo được không âm và

Bài tập Chứng minh định lý hội tụ đơn điệu theo các câu sau:

Trang 30

điệu để CM mệnh đề.

Mệnh đề Cho f, g : X → [0, ∞] đo được và f = g hkn thì

1 f khả tích Riemann trên mọi đoạn (a, d) với a < d < b,

2 một trong các trường hợp sau xảy ra: 1/ b = +∞, 2/ có một dãy

Định nghĩa.Ta nói f có tích phân Riemann suy rộng trên (a, b) tại a nếu

1 f khả tích Riemann trên mọi đoạn (c, b) với a < c < b,

2 một trong các trường hợp sau xẩy ra: 1/ a = −∞, 2/ có một dãy

Định nghĩa Ta nói f có tích phân Riemann suy rộng trên (a, b) tại a và b nếu

Định dạng
Số trang	61
Dung lượng	389,84 KB