* Hai góc hơn kém nhau π thì có sin và cosin đối nhau còn các giá trị khác bằng nhau.. * Hai góc phụ nhau thì có cosin góc này bằng sin góc kia, tan góc này bằng cot góc kia.[r]
Trang 1CUNG VÀ GÓC LƯỢNG GIÁC CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC
A KIẾN THỨC CẦN NHỚ.
1 Góc và cung lượng giác.
* Cho đường tròn lương giác gốc A, góc có tia cuối là OM Khi đó tung độ của M gọi là sin, hòanh độ
của M gọi là cos, tỉ số
sin cos
gọi là tang , kí hiệu :tan , tỉ số
cos sin
gọi là côtang , kí hiệu : cot
Ta có : 1 sin ;cos 1 ; cos( k2 ) cos ; sin( k2 ) sin
sin cos 1; tan cot 1; 1 tan ; 1 cot
2 Giá trị lượng giác của những góc có liên quan đặc biệt.
* Hai góc đối nhau thì có cosin bằng nhau còn các giá trị khác đối nhau
* Hai góc bù nhau thì có sin bằng nhau còn các giá trị khác đối nhau
* Hai góc hơn kém nhau π thì có sin và cosin đối nhau còn các giá trị khác bằng nhau
* Hai góc phụ nhau thì có cosin góc này bằng sin góc kia, tan góc này bằng cot góc kia
3 Công thức lương giác.
* Công thức cộng.
cos (α ± β)=cos α cos β ∓sin α sin β sin(α ± β )=sin α cos β ± sin β cos α
tan (α ± β)= tan α ± tan β
1∓tan α tan β
* Công thức nhân đôi.và hạ bậc
* cos 2 α=cos2α − sin2α=1− 2sin2α=2 cos2α − 1 *sin 2 2sin cos *
tan 2 α= 2 tan α
1− tan2α cos
2
α= 1+cos 2 α
2 ;sin
2
α= 1 −cos 2 α
2
* Công thức biến đổi tổng thành tích.
cos α cos β=1
2[cos(α − β )+cos(α+β )] sin α sin β=
1
2[cos (α − β)−cos (α+ β)]
sin α cos β =1
2[sin(α − β)+sin(α+β )]
* Công thức biến đổi tổng thành tích.
cos x +cos y=2cos x + y
2 cos
x − y
2 ;cos x − cos y=− 2 sin
x + y
2 sin
x − y
2
sin x+sin y=2 sin x + y
2 cos
x − y
2 ;sin x − sin y =2 cos
x + y
2 sin
x − y
2
B BÀI TẬP.
LOẠI 1 : Tính giá trị lượng giác 1 cung
1 a) Cho sinα = 3
5 ; và
π
2<α <π .Cho Tính cosα, tanα, cotα
b) Cho tanα = 2 và π <α< 3 π
2 Tính sinα, cosα
2 a) Cho cosα =
12 13
; và
π
2<α <π Tính sin 2 , cos 2 , tan 2 , cot 2
b) Cho cotα = 2 và 0 4
Tính sin 2 , cos 2 , tan 2 , cot 2 c) Cho
1 sin cos
5
Tính sin 2 , cos 2
3 a) Cho sinα =
5 9
; và
π
2<α <π Tính sin , cos , tan , cot2 2 2 2
Trang 2
b) Cho cos α =
5
13 và
3
2 2
Tính sin , cos , tan , cot2 2 2 2
4 Không sử dụng máy tính hãy tính
LOẠI 2: Chứng minh hằng đẳng thức
5 Chứng minh rằng:
2
6
) 1 tan sin 1 tan cos sin cos ) sin
cot sin tan
) tan ) cot tan cot tan 2 ) cos 4 sin 4 1 2sin 2
cos cot
)
1 2sin cos
f
2
2 2
1 cos
2
g
6.Chứng minh các đồng nhất thức
2 sinx sin
2
x
x
7 Chứng minh đẳng thức lượng giác sau:
a) sin x + cos x = (sinx + cosx)(1 - sinx.cosx) 3 3 b) sin x - cos x = (sinx - cosx)(1 + sinx.cosx) 3 3
c) cos x + sin x = 1 - 2 sin x.cos x4 4 2 2 d) (1 - sinx)(1 + sinx) = sin x.cot x2 2
e)
sin x.cotx
1 cosx f)
2
1
cos x
8 Chứng minh đẳng thức lượng giác sau:
1) sina cosa2 cos2a1 tan asin2a1 cot a
2) tan2a sin2atan sin2a 2a 3) cos 4asin4a 2 cos 6asin6a 1
4)
sin cos
1 sin cos sin cos
5)sin4acos4a sin6a cos6asin cos2a 2a
6)
7)
1 2sin cos tan 1
8)
2cot 0
9).cot2a c os2a c ot os2a c 2a
9 Chứng minh rằng:
4
1
sin 20 sin 30 sin 40 sin 50 sin 60 sin 70 13 sin sin 3 sin 5
3 4cos 2 cos 4
3 4cos 2 cos 4
e
Trang 3LOẠI 3: Rút gọn một biểu thức
10:Rút gọn các biểu thức:
e/
2
1 2sin
sin cos
a A
f/
1 sin 1 sin
1 sin 1 sin
B
g/M 1 sin2acot2a 1 cot2a
h/
2 2cos 1 sin cos
a N
i/K sin2a1 cot acos2a1 tan a
j/P 1 cotasin3a1 tan acos3a
k/
2
cot
Q
a
l /
sin tan cos cot
E
m/
cot sin cos
F
LOẠI 4: Tính giá trị một biểu thức
11/tính
cot 2 tan
tan 3cot
E
3 sin
5
a
và 900 a1800
12.Tính
sin 3cos
cos 2sin
F
biết tana 3
13.Tính
2cos sin cos sin
G
14.Tính
2sin 3cos
sin cos
B
biết tana 2
15.Tính
P
16.Tính:
LOẠI 5: CHỨNG MINH MỘT BIỂU THỨC KHÔNG PHỤ THUỘC VÀO x
18 Chứng minh biểu thức sau không phụ thuộc x:
B3 sin 8x c os8x4 cos 6x 2sin6x6sin4x
2 cos sin sin cos sin os
C x x a a x c x
4 4
4 sin cos os4
D x x c x
os sin
sin cos sin cos
LOẠI 6:Các bài toán trong tam giác
19 Chứng minh rằng trong tam giác ABC ta có:
a A B C b
A B C d)cos 2Acos 2Bcos 2C 1 4cos cos cosA B C