Chuyên đề lượng giác lớp 11 luyện thi THPT quốc gia

CHUYÊN ĐỀ: LƯỢNG GIÁCCHỦ ĐỀ 1 CUNG LƯỢNG VÀ GÓC LƯỢNG GIÁC GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA MỘT CUNG CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC 3 Tiết A.. Giá trị lượng giác của góc cung lượng giác 1... Dạng 1: Xác địn

CHUYÊN ĐỀ: LƯỢNG GIÁC

CHỦ ĐỀ 1 CUNG LƯỢNG VÀ GÓC LƯỢNG GIÁC GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA MỘT CUNG

CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC

(3 Tiết)

A KIẾN THỨC CƠ BẢN

I Giá trị lượng giác của góc (cung) lượng giác

1 Định nghĩa các giá trị lượng giác

sintan

coscot

 sin( k2 ) sin    tan( k) tan 

cos(k2 ) cos   cot(k) cot 

2 Dấu của các giá trị lượng giác

B S



T

5 Giá trị lượng giác của các góc có liên quan đặc biệt

Góc đối nhau Góc bù nhau Góc phụ nhau

cos() cos  sin(  ) sin  sin cos

sin(a b ) sin cos a bsin cosb a

sin(a b ) sin cos a bsin cosb a

cos(a b ) cos cos a bsin sina b

cos(a b ) cos cos a bsin sina b

tan tantan( )

2 Công thức nhân đôi

sin2 2sin cos 

1 cos2 sin

2

1 cos2 cos

2

1 cos2 tan

3 2

sin3 3sin 4sincos3 4cos 3cos

3tan tantan3

cos cos 2cos cos

1 Dạng 1: Xác định dấu của các giá trị lượng giác của một cung:

+ Xác định điểm cuối của cung xem điểm đó thuộc cung phần tư nào, từ đó xác định dấu của các giá trị lượng giác tương ứng.

+ Phải nắm rõ các cung phần tư từ đó xác định dấu của các giá trị lượng giác; để xác định dấu của các giá trị lượng giác ta cần nắm rõ định nghĩa giá trị lượng giác của cung  và thực hiện như sau: Vẽ đường tròn lượng giác, trục đứng(Oy) là trục sin, trục

nằm (Ox) là trục cosin; khi  thuộc cung phần tư nào ta cho một điểm M bất kì nằm

trên cung phần tư đó, sau đó chiếu điểm M vuông góc xuống trục sin và trục cos từ đó xác định được sin dương hay âm, cos dương hay âm; tan=sin/cos; cot=cos/sin; dựa vào dấu của sin và cos ta xác định được dấu của tan và cot theo nguyên tắc chia dấu: -/-=+; -/+= -

2 Dạng 2: Tính các giá trị lượng giác của một cung:

+ Nếu biết trước sin thì dùng công thức: sin2cos2 1 để tìm cos, lưu ý:xác

định dấu của các giá trị lượng giác để nhận, loại tan sin

+ Nếu biết trước tan thì dùng công thức: 2

biến đổi một vế thành vế kia)

4 Dạng 4: Đơn giản các biểu thức lượng giác:

+ Dùng các hệ thức cơ bản và giá trị lượng giác của các góc có liên quan đặc biệt

Giá trị lg của các góc có liên quan đặc biệt:“sin bù,cos đối,phụ chéo,hơn kém tan sai ”

3 2



    k) tan 7, 0

425

Các bài tập còn lại làm tương tự.

4 2sin 2 2sin cos

7

a 

Bài tập 2.4: Cho sin 2 5

Bài tập 3.1: Chứng minh các đẳng thức lượng giác:

a) sin3 os3 1 sin cos

  Biến đổi: sin2a c os2asinacosa sinacosa, chia tử và

mẫu cho cos a

c) sin4a c os4asin6a c os6asin2acos2a Biến đổi:

sin a c os a sin acos a sin asin acos a c os a

d) t ana tan tan a tan

2 sin os 1 2sin cos 2 sin os sin os 2sin cos

sin 1 cos sin 1 2 cos os

sin 1 cos sin 1 cos

sin cossin cos

m) tan2asin2atan a sin2 2a

n) t ana sin cos



p) 2 2 2 2

os sin

sin oscot tan

e) os2 cos sin

1 sin 2 cos sin

Hướng dẫn: cos sinx os2 sin2

sinx cos sin x cos

2cos

x VT

l) cos sin cos sin 2 tan 2

cos sin cos sin

2 2 2

s) sin sin 3 sin 5 tan 3

cos os3 os5

Bài tập 4.1: Đơn giản các biểu thức sau:

a) A 1 sin2acot2a 1 cot2a

2

2

oscot sin cot 1 cot 1 sin sin

b) 2 cos2 1

sin cos

a B

sin 2sin cos os 1 2sin cos sin

k) 2 cos2 1

sin cos

a K





Bài tập 4.2: Đơn giản các biểu thức:

a) Asin 102 0sin 202 0sin 302 0  sin 802 0 ( 8 số hạng)

sin 102 0 sin 802 0 sin 202 0 sin 702 0 sin 302 0 sin 602 0 sin 402 0 sin 502 0

sin 102 0 cos 102 0 sin 202 0 cos 202 0 sin 302 0 cos 302 0 sin 402 0 cos 402 0 4

b) B c os100cos200cos300  cos1800 (18 số hạng)

 os100 os1700  os200 os1600  os900 os1800

d) Dtan10 tan 20 tan 70 , tan 800 0 0 0

 an10 tan 800 0 tan 20 tan 700 0  an 30 tan 600 0 tan 40 tan 500 0

e) E c os200cos400cos600  cos1800

 os200 os1600  os400 os1400 os1800 1

(cos1600 cos 180 0200  cos200; tương tự những phần còn lại nên cos200cos1600 0)

D BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUAN

Câu 2: Trong các khẳng định sau đây, khẳng định nào sai?

A cos 45o sin135 o B.cos120osin60o. C cos 45o sin 45 o

D cos30o sin120 o

Câu 3: Mỗi khẳng định sau đúng hay sai: Với mọi Với mọi ;  ta có:

A cos( + )=cos +cos    C tan(  ) tan  tan

B cos( - )=cos cos -sin sin      D tan (-  ) =







tan.tan1

tantan

cos

4sin

B cos( + )=cos cos -sin sin      D sin(  ) sin cos -cos sin  

A A 2sinx B A  2sin x C A  0 D A 2cotx.

Câu 7: Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai:

A (sinx + cosx)2 = 1 + 2sinxcosx B (sinx – cosx)2 = 1 – 2sinxcosx

C sin4x + cos4x = 1 – 2sin2xcos2x D sin6x + cos6x = 1 – sin2xcos2x

Câu 8: Tính giá trị của biểu thức Ptan  tansin2 nếu cho

)2

3(

C

2

2)1()24

Câu 12: Giá trị os[ (2 1) ]

Câu 13: Trong 20 giây bánh xe của xe gắn máy quay được 60 vòng.Tính độ dài

quãng đường xe gắn máy đã đi được trong vòng 3 phút,biết rằng bán kính bánh xe gắn máy bằng 6,5cm (lấy  3,1416 )

A 22054cm B 22043cm C 22055cm D 22042cm

Câu 14: Một đồng hồ treo tường, kim giờ dài 10,57cm và kim phút dài 13,34cm.Trong

30 phút mũi kim giờ vạch lên cung tròn có độ dài là:

Câu 17: Cho cot

x x

si

tancos

Câu 19: Đơn giản biểu thức G (1 sin2 x)cot2 x1 cot2 x

Câu 20: Tính M tan1 tan 2 tan 3 tan890 0 0 0

3 Hµm sè y = tan x.

π/4 -π/4

π/4 -π/4 0

B CÁC DẠNG THƯỜNG GẶP

Dạng 1 Tìm tập xác định của hàm số lượng giác

1.1 Kĩ năng cơ bản

a D được gọi là TXĐ của hs y f x( )�D{x��| ( )f x có nghĩa}

b A có nghĩa khi B�0; A có nghĩa khi A�0 ; A có nghĩa khi B0

c  �1 sinx 1 ; -1 cosx 1� � � 1 sinx 0 &1 cos� � � x�0

4/ Hàm số y  cos x2  xác định khi và chỉ khi 4

4 0

2

x x

Bài 2: Tìm tập xác định của các hàm số:

1/ 1 cos

sin

x y

x



 xác định khi và chỉ khi sin x �۹� 0 x k  , k � Vậy tập xác định của hàm số đã cho là

\ ,

2/ Hàm số y  2 cos3  x xác định khi và chỉ khi 2 cos3  x � 0 Mà

2 cos3  x � 0  x �� Vậy hàm số đã cho có tập xác định là D  �.

Phương phỏp: Bước 1 : Tỡm TXĐ: D ; Kiểm tra x D  xD, x

Bước 2 : Tớnh f(-x) ; so sỏnh với f(x) Cú 3 khả năng

+) Nếu f(-x) = f(x) thỡ f(x) là hàm số chẵn

+) Nếu f(-x) = - f(x) thỡ f(x) là hàm số lẻ

+) Nếu f(-x)  - f(x)  f(x) thỡ f(x) là hàm số khụng chẵn khụng lẻ.

Lưu ý: Một số nhận xét nhanh để xét tớnh chẵn lẻ của hàm số lượng giỏc

+ Tổng hoặc hiệu của hai hàm chẵn là hàm chẵn

+ Tớch của hai hàm chẳn là hàm chẵn, tớch của hai hàm lẻ là hàm chẵn

+ Tớch của một hàm chẵn và hàm lẻ là hàm lẻ

+ Bỡnh phương hoặc trị tuyệt đối của hàm lẻ là hàm chẵn (Áp dụng điều này chỳng ta

cú thể xét tớnh chẵn lẻ của hàm số lượng giỏc một cỏch nhanh chúng để làm trắc nghiệm nhanh chúng hơn nhiều).

2.2 Bài tập luyện tập

Bài tập: Xác định tính chẵn, lẻ của các hàm số:

 1�s inx 1, 1�  �cosx 1;0 cos� � 2x�1

 Hàm số y = f(x) luôn đồng biến trên đoạn  a b; thì

  a ;ax ( ) ( ) ; min ( )  a;  ( )

b b

 Hàm số y = f(x) luôn nghịch biến trên đoạn  a b; thì

  a ;ax ( ) ( ) ; min ( )  a;  ( )

b b

Dạng 4.Tìm chu kỳ của hàm sốlượng giác

Phương pháp giải: Khi tìm chu kì của hàm số lượng giác, ta cần biến đổi biểu thức của hàm số đã cho về một biểu thức tối giản và lưu ý rằng:

1) Hàm số y  sinx , y  cosx có chu kỳ T  2

2) Hàm số y  tanx , y  cotx có chu kỳ T  

3) Hàm số y  sin(ax+b) , y  cos(ax+b), với a 0� có chu kỳ T 2

a

4) Hàm số y  tan(ax+b) , y  cot(ax+b), với a 0� có chu kỳ T  

a 5) Hàm số f1 có chu kỳ là T1 , hàm số f2 có chu kỳ là T2 thì hàm số f1�f2 có chu kỳ

Giải: Chu kỳ 2

Câu 2 Hàm số nào sau đây là hàm số chẵn?

A ycosx B ysinx C ytanx D ycotx

Câu 3 Khẳng định nào sau đây là SAI?

Câu 9 Biết rằng y = f(x) là một hàm số lẻ trên tập xác định D Khẳng định nào sai?

A f[sin(– x)] = – f(sinx) B f[cos(– x)] = f(cosx).

C sin[ f(– x)] = sin[ f(x) ] D cos[ f(– x)] = cos[ f(x) ].

Câu 10 Hàm số nào sau đây là hàm số lẻ trên tập xác định của nó?

tan1





x y

x Câu 19 Giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số y4 sinx 3 1 lần lượt là:

A 2 à 2v B 2 à 4v C 4 2 à 8v D 4 2 1 à 7 v Câu 20 Hàm số ysin 2xcos 3x là hàm số tuần hoàn với chu kỳ

A  B 2 C 3 A 4

Câu 21 Tổng giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số y 3 1 cos x bằng:

A 6 2 B 4 2 C 4 2 D 2 2 .

4 Vân dụng cao

Câu 22 Tất cả các giá trị của m để hàm số y 2m 1 cosx xác định trên R là

- Khả năng 1: Nếu m đợc biểu diễn qua cos của góc đặc biệt, giả sử góc Khi đó phơng trình có dạng

3. Giải và biện luận phơng trình lợng giác tan x m c  ( )

Bớc 1: Đặt điều kiện cos 0 ,

Nhận xét: Nh vậy với mọi giá trị của tham số phơng trình luôn có nghiệm

4. Giải và biện luận phơng trình lợng giác cot x m  ( ) d

Bíc1: §Æt ®iÒu kiÖn sin x �۹� 0 x k  k �

23

arcsin 23

II. Một số phơng trình lợng giác thờng gặp.

2.1- Phơng trình bậc hai đối với một hàm số lợng giác

Dạng 1: asin2x b sinx c 0 (a�0; , ,a b c�� (1))

Cách giải: Đặt t  sin x , điều kiện | | t � 1

Đa phơng trình (1) về phơng trình bậc hai theo t , giải tìm t chú ý kết hợpvới điều kiện rồi giải tìm x

Dạng 2: acos2x b cosx c 0 (a�0; , ,a b c��) (2)

Cách giải: Đặt t  cos x điều kiện | | t � 1 ta cũng đa phơng trình (2) về

ph-ơng trình bậc hai theo t, giải tìm t rồi tìm x

Dạng 3: a tan2x b  tan x c   0 ( a � 0; , , a b c �� ) (3)

Cách giải: Điều kiện cos 0 ,

2

x�۹ � x  k k �

Đặt t  tan x  t ��  ta đa phơng trình (3) về phơng trình bậc hai theo t,

chú ý khi tìm đợc nghiệm x cần thay vào điều kiện xem thoả mãn hay

không

Dạng 4: a cot2x b  cot x c   0 ( a � 0; , , a b c �� ) (4)

Cách giải: Điều kiện sin x �۹� 0 x k  k �

Đặt t  cot x ( t �� ) Ta cũng đa phơng trình (4) về phơng trình bậc hai theo ẩn t

Bài tập minh họa:

Bài tập 1: Giải phơng trình 2cos2x  3cos x   1 0 (1)

Giải: Phơng trình (1)

2cos 1

,

cos

32

x k x

4sin 2 cos2 2sin 2 1 2cos 2 cos 2 1 0 1 *

2.2- Phơng trình bậc nhất đối với sin ,cosx x

a) Định nghĩa: Phơng trình asinx b cosx c (1) trong đó a, b, c�� và

a b  đợc gọi là phơng trình bậc nhất đối với sin ,cosx x

b) Cách giải Ta có thể lựa chọn 1 trong 2 cách sau:

Cách 1: Thực hiện theo các bớc

pháp đánh giá cho một số phơng trình lợng giác

Ví Dụ minh hoạ:

Ví Dụ 1: Giải phơng trình: sin 2x3cos 2x (1)3

Giải :Cách 1: Chia cả hai vế phơng trình (1) cho 1232  10 ta đợc

sin 2 3(1 cos 2 ) 2sin cos 6cos

(sin 3cos )cos 0

sin 3cos 0 cos 0

Vậy phơng trình có hai họ nghiệm

Chú ý: Khi làm bài toán dạng này chúng ta nên kiểm tra điều kiện trớc khi bắt

tay vào giải phơng trình bởi có một số bài toán đã cố tình tạo ra những

ph-ơng trình không thoả mãn điều kiện Ta xét ví dụ sau:

Ví Dụ 2: Giải phơng trình 2 2(sinxcos )cosx x 3 cos 2x  2

Suy ra a2  b2<c2 Vậy phơng trình đã cho vô nghiệm

Ngoài ra chúng ta cần lu ý rằng việc biến đổi lợng giác cho phù hợp với từng bài toán sẽ biểu diễn chẵn các họ nghiệm Ta xét ví dụ sau

Ví Dụ 3: Giải phơng trình: cos7xsin5x 3(cos5xsin 7 ) (4)x

k Z k

2.3- Phơng trình thuần nhất bậc hai đối với sin x và cos x.

a) Định nghĩa: Phơng trình thuần nhất bậc hai đối với sin x ,cos x là phơngtrình

asin2x b sin cosx x c cos2x d (1) trong đó a, b, c, d ��

b) Cách giải :

Chia từng vế của phơng trình (1) cho một trong ba hạng tử sin ,cos2x 2x

hoặc sin cosx x Chẳng hạn nếu chia cho cos x2 ta làm theo các bớc sau:

Bớc 2: Với cosx � 0 chia cả hai vế cho cos x2 lúc đó phơng trình (1) trở thành

atan2x b tanx c d  (1 tan ) 2x �(a d ) tan2x b tanx c d  0

Đây là phơng trình bậc hai theo tan ta đã biết cách giải

Cách 2: Dùng công thức hạ bậc 2 1 cos2 2 1 cos2 sin 2

đa phơng trình đã cho về phơng trình bsin 2x (c a)cos 2x d c a  

Đây là phơng trình bậc nhất đối với sin và cos ta đã biết cách giải

*Chú ý: Đối với phơng trình đẳng cấp bậc n (n�3) với dạng tổng quát

(sin ,cos ,sinn n k cos ) 0h

A x x x x  trong đó k h n k h n   ; , , ��

Khi đó ta cũng làm theo 2 bớc :

Bớc 1: Kiểm tra xem cos x  0 có phải là nghiệm của phơng trình hay không?

Bớc 2: Nếu cos x � 0.Chia cả hai vế của phơng trình trên cho cosnx ta sẽ đợc phơng trình bậc n theo tan Giải phơng trình này ta đợc nghiệm của phơng trình ban đầu

Ví Dụ Minh Hoạ:

Ví Dụ 1: Giải phơng trình : 2 3 cos2x6sin cosx x 3 3 (1)

+)Với cos x � 0 Chia cả hai vế của phơng trình cho cos x2 ta đợc

2 3 6 tan x (3 3)(1 tan ) 2x �(3 3) tan2x6tanx 3 3 0

Vậy phơng trình có hai họ nghiệm

* Chú ý: Không phải phơng trình nào cũng ở dạng thuần nhất ta phải thực

Phơng trình (2)

3 3

2 2 sin ( ) 4sin 2 sin( ) 4sin

+) Với cosx� Chia cả hai vế của phơng trình (2) cho 0 cos x3 ta đợc :

(tanx1)3 4(1 tan ) tan 2x x�3tan3x3tan2xtanx 1 0

*Chú ý: Ngoài phơng pháp giải phơng trình thuần nhất đã nêu ở trên có

những phơng trình có thể giải bằng phơng pháp khác tuỳ thuộc vào từng bài toán để giải sao cho cách giải nhanh nhất ,khoa học nhất

Ví Dụ 3: Giải phơng trình: 1 tan 1 sin 2

1 tan

x

x x

cos sin cos sin

2.4-Phơng trình đối xứng đối với sin x và cos x.

a) Định nghĩa: Phơng trình đối xứng đối với sin x và cos x là phơng trình dạng

(sina xcos )x bsin cosx x c  trong đó , ,0 a b c�� (1)

b) Cách giải:

Cách 1: Do a(sinx cosx )2 1 sin cosx x nên ta đặt

sin cos 2 sin( ) 2 cos( )

b x x  c Đây là phơng trình bậc hai đã biết cách giải

*Chú ý: Hai cách giải trên có thể áp dụng cho phơng trình

(sin cos ) sin cos 0

a x  x  b x x c   bằng cách đặt tsinxcosx � sin cos 1 2

2

t

x x 

Ví Dụ Minh Hoạ :

Ví Dụ 1: Giải phơng trình sin x  cos x  2sin cos x x   1 0 (1)

z z

cos

32

24

VËy ph¬ng tr×nh cã hai hä nghiÖm

VÝ Dô 3: Gi¶i ph¬ng tr×nh tan x  3 cot x  sin x  3 cos x   1 3 0  (3)

Gi¶i:§iÒu kiÖn sin 2 0

2

k

x�۹�x  k �

(3)� tan x  sin x  3(cot x  cos ) 1 x   3 0 

1 (sin sin cos cos ) 3 (sin sin cos cos ) 0

� 

� �

 

�

KÕt hîp víi ®iÒu kiÖn (*) th× t   1 2 bÞ lo¹i

Víi t   1 2 ta cã 2 cos( ) 1 2 cos( ) 1 2 cos

2

1

1 sin 22

� (8 6sin 2 )sin 2 2 x x 4 2sin 22 x� 3sin 23 x  sin 22 x  4sin 2 x   2 0

� (sin 2x1)(3sin 22 x2sin 2x 2) 0 � sin 22 1 0

Câu 2 Phương trình tan tan 3

,4

B

,

8 2,4

C

,

8 2,4

D

Câu 10 Nghiệm của phương trình sincosx  là:1

Câu 15: Phương trình nào sau đây vô nghiệm:

A 3 sin 2xcos 2x2 B 3sinx4cosx5

KIỂM TRA CUỐI CHUYÊN ĐỀ LƯỢNG GIÁC

CHỦ ĐỀ

Mức độ nhận thức

TỔNG Nhận

biết

Thông hiểu

Vận dụng thấp

Vận dụng cao Cung và góc lượng giác

Giá trị lượng giác của

Câu 1: Khi biểu diễn trên đường tròn lượng giác các cung lượng giác nào trong các

cung lượng giác có số đo dưới đây có cùng ngọn cung với cung lượng giác có số đo0

A 2 B 1 + tan  C 12

1sin 

Câu 5: Giả sử tan tan   tan    

Câu 8: Nếu tan  và tan là hai nghiệm của phương trình x2–px+q=0 và cot  và cot

là hai nghiệm của phương trình x2–rx+s=0 thì rs bằng:

Câu 12 Hàm số nào sau đây là hàm số chẵn trên R?

A y = x.cos2x B y = (x2 + 1).sinx C y = cos 2

x Câu 13 Giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số y4 sinx 3 1 lần lượt là:

Câu 16 Trong các phương trình sau, phương trình nào có nghiệm

A 3sinx – 5 = 0 B 2cos3x – 1 = 0 C 2cosx + 5 = 0 D sin3x + 2 = 0

Câu 17 Nghiệm dương bé nhất của phương trình : 2sin2x  5sin x   3 0 là :

2 6