Đặc trưng của tập fractal có độ đo hausdoff dương

°c tr÷ng cõa tªp fractal câ ë o Hausdoff d÷ìng.. Mët sè v½ dö v· tªp fractal câ ë o Hausdoff d÷ìng.. Mèt sè t½nh ch§t cõa tªp fractal câ ë o Hausdoff d÷ìng.. °c tr÷ng cõa tªp tü çng d¤ng

MÖC LÖC

Trang

MÖC LÖC 1

MÐ †U 2

Ch÷ìng 1 C¡c ki¸n thùc cì sð 5

1.1 C¡c lo¤i ¡nh x¤, h» h m l°p, i·u ki»n tªp mð v  mð m¤nh 5

1.2 Tªp b§t bi¸n, tªp tü çng d¤ng 6

1.3 ë o v  mët sè t½nh ch§t cì b£n 8

1.4 ë o Hausdoff v  c¡c t½nh ch§t cì b£n 10

Ch÷ìng 2 °c tr÷ng cõa tªp fractal câ ë o Hausdoff d÷ìng 14

2.1 Mët sè v½ dö v· tªp fractal câ ë o Hausdoff d÷ìng 14

2.2 Mèt sè t½nh ch§t cõa tªp fractal câ ë o Hausdoff d÷ìng 16

2.3 °c tr÷ng cõa tªp tü çng d¤ng câ ë o Hausdorff d÷ìng 22

K˜T LUŠN 31

T€I LI›U THAM KHƒO 32

Sè sF nh÷ vªy, ng÷íi ta gåi l  chi·u Hausdoff cõa F N«m 2004, t¤i hëi nghàto¡n håc v· h¼nh håc fractal, c¡c nh  to¡n håc ¢ · cªp ¸n 12 b i to¡n èivîi ë do Hausdorff Mët trong nhúng b i to¡n â l  Vîi °c tr÷ng n o cõatªp fractal th¼ t¤i s = sF ë o Hausdorff s-chi·u Hs nhªn gi¡ trà d÷ìng, húuh¤n v  ùng döng cõa lo¤i tªp n y l  g¼? ¥y l  mët b i to¡n thó và thu hót

sü quan t¥m nghi¶n cùu cõa nhi·u nh  to¡n håc tø ¦u nhúng n«m 80 cõath¸ k 20 Tr÷îc h¸t, v o n«m 1981 Hutchinson ¢ tr£ líi c¥u häi n y chotr÷íng hñp tªp fractal l  tªp tü çng d¤ng Bandt v  Graf chùng minh th¶mmët i·u ki»n c¦n v  õ º mët tªp câ ë o d÷ìng, húu h¤n cho tªp tü b£ogi¡c

Vi»c ¡nh gi¡ gi¡ trà cõa mët tªp câ ë o Hausdorff d÷ìng hay khæng s³gióp chóng ta nghi¶n cùu v· chi·u Hausdorff çng thíi, nâ gióp chóng tati¸p töc mð rëng nghi¶n cùu ë o cho c¡c lîp c¡c tªp fractal rëng hìn v t¼m hiºu ÷ñc nhi·u hìn ùng döng cõa nâ Vîi l½ do â chóng tæi chån · t i

°c tr÷ng cõa tªp fractal câ ë o Hausdorff d÷ìng

Möc ½ch cõa luªn v«n l  thæng qua c¡c t i li»u t¼m hiºu v  tr¼nh b ymët c¡ch câ h» thèng v· ë o Hausdorff v  °c tr÷ng cõa c¡c tªp câ ë oHausdorff d÷ìng T¼m ki¸m c¡c v½ dö minh håa cho c¡c °c tr÷ng â Thængqua vi»c l m luªn v«n gióp em tªp duy»t v  l m quen vîi nghi¶n cùu khoahåc v  câ hiºu bi¸t hìn v· l¾nh vüc m¼nh nghi¶n cùu Ngo i ph¦n Mð ¦u,K¸t luªn v  T i li»u tham kh£o, nëi dung luªn v«n ÷ñc chia l m trong 2ch÷ìng

Ch÷ìng 1 Ki¸n thùc cì sð Trong ch÷ìng n y, chóng tæi tr¼nh b y c¡cki¸n thùc cì sð li¶n quan trüc ti¸p c¡c nëi dung ch½nh cõa luªn v«n nh÷ tªpfractal, h» h m l°p, tªp b§t bi¸n, tªp tü çng d¤ng, ë o, ë o Hausdorff,

i·u ki»n tªp mð, i·u ki»n tªp mð m¤nh, i·u ki»n Bandt-Graf

Ch÷ìng 2 °c tr÷ng cõa tªp fractal câ ë o Hausdorff d÷ìng.Trong ch÷ìng n y chóng tæi tr¼nh b y mët sè °c tr÷ng cõa tªp câ ë oHausdoff d÷ìng

Luªn v«n ÷ñc ho n th nh t¤i tr÷íng ¤i håc Vinh d÷îi sü h÷îng d¨nkhoa håc cõa cæ gi¡o TS Vô Thà Hçng Thanh T¡c gi£ b y tä láng bi¸t ìns¥u s­c nh§t tîi cæ T¡c gi£ công xin b y tä láng c£m ìn ch¥n th nh tîi c¡cTh¦y, Cæ gi¡o trong tê Gi£i t½ch cõa Khoa To¡n - Tr÷íng ¤i håc Vinh ¢

tªn t¼nh d¤y dé, gióp ï t¡c gi£ trong suèt qu¡ tr¼nh håc tªp v  nghi¶n cùu.T¡c gi£ xin gûi líi c£m ìn ch¥n th nh nh§t ¸n quþ Th¦y, Cæ gi¡o khoaTo¡n, khoa Sau ¤i håc - Tr÷íng ¤i håc Vinh, c¡c b¤n b±, çng nghi»p v gia ¼nh ¢ t¤o måi i·u ki»n thuªn lñi, ëng vi¶n v  gióp ï t¡c gi£ º t¡cgi£ ho n th nh khâa håc v  thüc hi»n ÷ñc luªn v«n n y.

M°c dò t¡c gi£ ¢ r§t cè g­ng nh÷ng do cán nhi·u h¤n ch¸ v· m°t n«nglüc, ki¸n thùc v  thíi gian n¶n luªn v«n khæng thº tr¡nh khäi c¡c thi¸u sât.R§t mong nhªn ÷ñc c¡c þ ki¸n âng gâp quþ b¡u cõa c¡c t¦y cæ º luªn v«n

÷ñc ho n thi»n hìn

Xin tr¥n trång c£m ìn!

Ngh» An, ng y 09 th¡ng 12 n«m 2011

T¡c gi£

CH×ÌNG 1

CC KI˜N THÙC CÌ SÐ

Trong ch÷ìng n y, chóng tæi tr¼nh b y c¡c ki¸n thùc cì sð li¶n quan trücti¸p ¸n c¡c nëi dung ch½nh cõa luªn v«n nh÷ tªp fractal, h» h m l°p, tªpb§t bi¸n, tªp tü çng d¤ng, ë o, ë o Hausdorff, i·u ki»n tªp mð, i·uki»n Bandt-Graf

1.1 C¡c lo¤i ¡nh x¤, h» h m l°p, i·u ki»n tªp mð v  mð m¤nhTrong möc n y, kþ hi»u |x − y| ÷ñc hiºu l  kho£ng c¡ch thæng th÷íng giúahai ph¦n tû x v  y trong Rn, v  D l  tªp con âng, kh¡c réng trong Rn.1.1.1 ành ngh¾a ([3]) Cho ¡nh x¤ S : D→D

i) S ÷ñc gåi l  ¡nh x¤ co tr¶n D n¸u tçn t¤i c ∈ [0; 1) º

1.1.2 ành ngh¾a ([3]) Mët hå húu h¤n gçm m ¡nh x¤ co {S1, S2, , Sm}tr¶n D ÷ñc gåi l  h» h m l°p (vi¸t t­t l  IFS - Iterated Function System)tr¶n D.

1.1.3 ành ngh¾a ([3]) Ta nâi r¬ng h» h m l°p {S1, S2, , Sm} tr¶n Dtho£ m¢n i·u ki»n tªp mð (vi¸t t­t l  OSC- Open Set Condition) n¸u tçnt¤i tªp mð V kh¡c réng trong Rn º

gçm nhúng iºm c¡ch tªp A mët kho£ng khæng qu¡ δ, gåi l  δ-bao cõa A.1.2.2 ành lþ ([3]) Cho D l  tªp compact kh¡c réng trong Rn K½ hi»u K

l  lîp c¡c tªp con compact, kh¡c réng cõa D

1.2.3 ành ngh¾a ([3]) M¶tric dH tr¶n K trong ành lþ 1.2.2 ÷ñc gåi l m¶tric Hausdorff tr¶n K

1.2.4 M»nh · ([3]) Cho m ¡nh x¤ co {Si}mi=1 tr¶n D Ta x¡c ành ¡nhx¤ S : K→K bði

¡nh x¤ Si, i = 1, , m Do â, S l  ¡nh x¤ co vîi t¿ sè co l  cmax

Tø ành l½ 1.2.2 v  M»nh · 1.2.4, theo nguy¶n l½ iºm b§t ëng ta câ

ành l½ sau

1.2.5 ành lþ ([3]) Cho h» h m l°p {Si}mi=1 v  ¡nh x¤ S ÷ñc x¡c ànhbði (1.2) Khi â, tçn t¤i duy nh§t mët tªp F ∈ K sao cho S(F ) = F

Hìn núa, n¸u câ tªp E ∈ K sao cho Si(E) ⊆ E, 1 ≤ i ≤ m th¼

1.2.6 ành ngh¾a ([3]) i) Cho h» h m l°p {Si}mi=1 tr¶n D Tªp F ÷ñcx¡c ành nh÷ trong ành lþ 1.2.5 ÷ñc gåi l  tªp b§t bi¸n (atractor set) haytªp hót cõa h» h m l°p {Si}mi=1.

ii) N¸u c¡c Si (1 ≤ i ≤ m) l  c¡c ¡nh x¤ çng d¤ng th¼ tªp b§t bi¸n F ÷ñcgåi l  tªp tü çng d¤ng

iii) C¡c tªp b§t bi¸n ÷ñc xem l  c¡c tªp fractal Mët t½nh ch§t quan trångcõa tªp fractal l  t½nh tü çng d¤ng, câ ngh¾a l  khi chån mët ph¦n nhä tòy

þ n o â cõa mët tªp tü çng d¤ng F th¼ ph¦n ÷ñc chån n y luæn l  "b£nsao" cõa F

1.3 ë o v  mët sè t½nh ch§t cì b£n

1.3.1 ành ngh¾a ([3]) 1 Cho X l  mët tªp hñp tòy þ v  C l  ¤i sè c¡ctªp con cõa X H m tªp µ : C → R ÷ñc gåi l  mët ë o tr¶n C n¸u thäam¢n c¡c i·u ki»n sau

i) µ(A) ≥ 0 vîi måi A ∈ C;

A ⊂ B, B ∈ C, µ(B) = 0 th¼ A ∈ C v  µ(A) = 0

3 H m µ ÷ñc gåi l  ë o ngo i tr¶n C n¸u thäa m¢n i), ii) v  n¸u thay iii)

bði µ l  σ−d÷îi cëng t½nh, tùc l  n¸u

1.3.3 H» qu£ ([3]) N¸u µ l  ë o tr¶n ¤i sè C th¼

i) N¸u µ(Ai) = 0, ∀i v  S∞

k=1

Ai ∈ C th¼ µ(∪Ai) = 0ii) N¸u A ∈ C, µ(B) = 0 th¼ µ(A ∪ B) = µ(A \ B) = µ(A)

1.3.4 H» qu£ ([3]) Cho µ l  ë o tr¶n ¤i sè (C) ta câ

÷ñc gåi l  tªp Borel trong khæng gian X

1.3.6 ành ngh¾a ([3]) Gi£ sû µ v  ν l  ë o x¡c ành tr¶n C Khi â,

ν ÷ñc gåi l  li¶n töc tuy»t èi èi vîi ë o µ n¸u ν(E) = 0, vîi måi E ∈ C

thäa m¢n µ(E) = 0, k½ hi»u l  ν  µ.

N¸u µ  µL ta nâi µ l  l¶n tuc tuy»t èi (µL−ë o Lebesgue)

1.3.7 ành l½ (Caratheodory) ([3])

Gi£ sû µ∗ l  ë o ngo i tr¶n X K½ hi»u

L = {A ⊂ X : µ∗(E) = µ∗(E ∩ A) + µ∗(E\A), ∀E ⊂ X}

Khi â L l  ¤i sè v  µ = µ∗

Ui th¼ {Ui}∞i=1 ÷ñc gåi l  mët phõ cõa

F N¸u th¶m i·u ki»n 0 < |Ui| ≤ δ vîi måi i, trong â δ > 0 cho tr÷îc th¼{Ui}∞i=1 ÷ñc gåi l  mët δ-phõ F

Khi â, luæn tçn t¤i lim

δ→oHδs(F ) (dò giîi h¤n â câ thº b¬ng 0 hay ∞) i·u

n y d¨n tîi k¸t qu£ sau

1.4.3 ành ngh¾a ([3]) Vîi méi s ≥ 0 cho tr÷îc, ë o sinh bði ë ongo i Hs nâi trong M»nh · 1.4.2 ÷ñc gåi l  ë o Hausdorff tr¶n Rn v  tav¨n kþ hi»u ë o Hausdorff l  Hs Tªp F ⊂ Rn thäa m¢n 0 < Hs(F ) < +∞

Vªy, ta câ

Tø (1.4) v  (1.5) ta câ i·u ph£i chùng minh

1.4.5 H» qu£ ([3]) i) N¸u f l  ¡nh x¤ Lipschitz tr¶n F , ngh¾a l  tçn t¤ih¬ng sè c > 0 sao cho |f(x) − f(y)| ≤ c |x − y| vîi måi x, y ∈ F th¼



|Ui|δ

t

<



|Ui|δ

s

,d¨n ¸n |Ui|t ≤ δt−s|Ui|s Vªy, ta câ

N¸u Hs(F ) < +∞ v  ta câ δt−s → 0 khi δ → 0 n¶n l§y infimum hai v¸ cõa(1.6) ta ÷ñc Ht(F ) = 0.

ii) Tø i) suy ra r¬ng n¸u Hs(F ) < +∞ th¼ Ht(F ) = 0 i·u n y tr¡i gi£thi¸t Ht(F ) > 0 Do â, Hs(F ) = +∞

V¥y m»nh · ÷ñc chùng minh

Tø M»nh · 1.4.7 ta câ h» qu£ sau

1.4.8 H» qu£ ([3]) Cho ∅ 6= F ⊂ Rn l  tªp Borel Khi â, luæn tçn t¤iduy nh§t mët gi¡ trà sF º

i) Hs(F ) = 0 vîi måi s > sF,

ii) Hs(F ) = +∞ vîi måi s < sF

Chùng minh i) °t sF = inf{s : Hs(F ) = 0}

N¸u s > sF th¼ tçn t¤i s0 sao cho sF < s0 < s º Hs0(F ) = 0

Theo chùng minh M»nh · 1.4.6 ta câ Hs

1.4.9 ành ngh¾a ([3]) Gi£ sû ∅ 6= F ⊂ Rn Gi¡ trà sF nâi trong H» qu£1.4.8 ÷ñc gåi l  chi·u Hausdoff cõa F v  k½ hi»u l  dimHF

CH×ÌNG 2

C TR×NG CÕA TŠP FRACTAL C Ë O

HAUSDORFF D×ÌNG

Trong ch÷ìng n y chóng tæi ch¿ ra mët sè v½ dö v  t½nh ch§t v· tªp câ ë

o Hausdorff d÷ìng v  tr¼nh b y mët sè °c tr÷ng º tªp câ ë o Hausdorffd÷ìng

2.1 Mët sè v½ dö v· tªp fractal câ ë o Hausdorff d÷ìng

Trong ph¦n n y c¡c tªp ÷a ra l  c¡c tªp Fractal quen thuëc chóng ÷ñcx¥y düng chi ti¸t trong c¡c t i li»u sè [2],[3], V¼ th¸, ð ¥y, chóng tæi sûdöng m  khæng mæ t£ l¤i c¡ch x¥y düng chóng mët c¡ch chi ti¸t

Vîi F l  tªp Cantor, v  s = log 2

log3 = dimHF ta câ

Hs(F ) = 1

Thªt vªy, ð b÷îc thù k cõa qu¡ tr¼nh x¥y düng F tªp Fk l  hñp cõa 2k tªp

cì sð {∆i}, vîi |∆i| = 31k Chån {Ui} l  1

3 k-phõ F bði {Ui} = {∆i}2i=1k th¼ tacâ

Do â,Hs(F ) ≤ lim

k→∞Hs1

3k(F ) ≤ 1, d¨n ¸n

M°t kh¡c, gi£ sû {Ui} l  δ-phõ F , th¼ |Ui| ≤ δ Vîi méi i luæn tçn t¤i k ∈ N

sao cho 3−k = 31k > |Ui| (ch¯ng h¤n k = hlog3|U1i|

i

− 1) Khi â, méi tªp Ui

giao vîi nhi·u nh§t mët tªp ∆i cõa Fk Do â, muèn phõ Fk c¦n tèi thiºu 2k

tªp Ui

M°t kh¡c, vîi måi x ∈ F th¼ x ∈ Fk vîi måi k do F = T∞

k=1

Fk n¶n n¸u câ{Ui} phõ Fk th¼ {Ui} l  phõ F Ta câ

Hs1 3k(Fk) ≥

Thªt vªy, x²t fx : F → [0, 1]l  ph²p chi¸u l¶n tröc Ox ngh¾a l  fx(x1, y1) =

V¼ fx l  ph²p chi¸u l¶n 0x v  vîi c¡ch x¥y düng F th¼ fx(F ) = [0, 1] n¶n

Chùng minh º ìn gi£n ta chùng minh cho tr÷íng hñp n = 1, 0 < s <

1 L§y F l  tªp con cõa [0, 1) Mët kho£ng nhà ph¥n l  kho£ng câ d¤ng[r2−k, (r + 1)2−k], vîi k = 0, 1, 2, v  r = 0, 1, 2k− 1 °t

Khi â, µs(F ) = lim

δ→0µsδ(F ) tçn t¤i v  gåi l  ë o l÷îi V¼ b§t k¼ U ⊂ [0, 1)luæn ÷ñc chùa trong hai kho£ng nhà ph¥n li¶n ti¸p, méi kho£ng câ ë d ikhæng qu¡ 2|U|, do â, ta câ

Ek+1 ∩ I = Ek∩ I

Khi â,

µs2−(k+1)(Ek+1 ∩ I) = µs2−k(Ek ∩ I) (2.3)V¼ b£n th¥n méi kho£ng I l  mët phõ cõa nâ, do â, trong qu¡ tr¼nh t½nh

µs2−k ta ÷ñc gi¡ trà b² nh§t n¸u ta dòng phõ l  c¡c tªp ng­n hìn c¡c kho£ngnhà ph¥n

Ng÷ñc l¤i, n¸u µs

2 −(k+1)(Ek+1 ∩ I) > 2−sk ta l§y Ek+1 ∩ I l  tªp con compactcõa Ek∩ I vîi

µs2−(k+1)(Ek+1 ∩ I) = 2−sk.Tªp con nh÷ vªy l  tçn t¤i, v¼ µs

2 −(k+1)(Ek ∩ I ∩ [0, u]) l  húu h¤n v  li¶n töctheo u V¼ µs

2 −k(Ek ∩ I) = 2−sk do â (2.3) óng Dòng (2.3) cho t§t c£ c¡ckho£ng nhà ph¥n câ chi·u d i l  2−k ta câ

µs2−(k+1)(Ek+1) = µs2−k(Ek) (2.4)L°p l¤i vi»c ¡p döng (2.4), ta câ

ho°c l  µs

1(E0) < 2−ks trong tr÷íng hñp µs(E) = µs1(E0) = µs2−k(E0) > 0.Vªy, 0 < µs(E) < ∞ Do â, ành l½ ÷ñc chùng minh

2.2.2 ành l½ (ành l½ Egoroff) ([3]) Gi£ sû D ⊂ Rn l  tªp Borel v  µ l mët ë o vîi µ(D) < +∞ L§y f1, f2, v  f l  c¡c h m tø D v o R sao cho

fk(x) → f (x) vîi méi x ∈ D Khi â, vîi méi δ > 0, tçn t¤i tªp con Borel Ecõa D sao cho µ(D \ E) < δ v  {fk} hëi tö ·u v· f tr¶n E, ngh¾a l 

sup |fk(x) − f (x)| → 0 khi k → ∞

2.2.3 M»nh · ([3]) Gi£ sû F l  tªp Borel thäa m¢n 0 < Hs(F ) < +∞.Khi â, tçn t¤i h¬ng sè b > 0 v  tªp compact E ⊂ F vîi Hs(E) > 0 sao cho

Hs(E ∩ B(x, r)) ≤ brs, ∀x ∈ Rn, r > 0

Ta câ i·u ph£i chùng minh

2.2.4 Bê · ([3]) (Bê · phõ) Gi£ sû C l  hå c¡c h¼nh c¦u ÷ñc chùatrong mët mi·n bà ch°n cõa Rn Khi â, tçn t¤i hå con (húu h¤n ho°c i¸m

÷ñc) c¡c h¼nh c¦u ríi nhau {Bi}sao cho

Hs(F ) ≥ µ(F )

c > 0 vîi s = dimHF

Chùng minh Vîi méi δ > 0 l§y

Fδ = {x ∈ F : µ(B(x, r)) < crs∀r, 0 < r < δ}

L§y {Ui} l  δ-phõ F v  do â nâ phõ Fδ Vîi méi Ui chùa mët iºm x cõa

Fδ, th¼ h¼nh c¦u B vîi t¥m x v  b¡n k½nh |Ui| chùa Ui Theo ành ngh¾a cõa

hay Hs(F ) ≥ µ(F )c > 0 Ta câ i·u ph£i chùng minh.

ành l½ sau ¥y câ nhi·u ùng döng quan trång trong nghi¶n cùu chi·u cõachuyºn ëng Brownian Nâ công th÷íng ÷ñc sû döng º t¼m chi·u Hausdorffcõa Fθ khi θ thay êi Mët c¡ch tü nhi¶n ta ành ngh¾a ph¥n phèi khèi l÷ñng

µθ tr¶n Fθ vîi méi θ N¸u ta câ

dimH(F ) = inf{s ≥ 0 : Cs(F ) = 0} = sup{s ≥ 0 : Cs(F ) > 0}

2.2.6 ành lþ ([3]) Gi£ sû F l  tªp con cõa Rn, s > 0

i) N¸u tçn t¤i mët ph¥n bè khèi l÷ñng µ tr¶n F vîi Is(µ) < ∞ th¼

N¸u x ∈ F1, ta t¼m ÷ñc ε > 0 v  d¢y c¡c sè hún t¿ {ri} gi£m tîi 0 sao cho

Nh÷ng, Is(µ) = R φs(x)dµ(x) < ∞ vîi φs(x) = R |x−y|dµ(y)s, do â φs(x) < ∞vîi µ-h¦u kh­p nìi

khi â, µ l  sü ph¥n bè khèi l÷ñng tr¶n F Cè ành x ∈Rn v  °t

m(r) = µ(B(x, r)) = Hs(E ∩ B(x, r)) ≤ brs.Khi â, n¸u 0 < t < s ta câ

f1 : [0, 1] → [0, 1]

x 7→ 13x v  f2 : [0, 1] → [0, 1]

x 7→ 13x + 23Khi â l§y tªp mð V = (0,1) 6= ∅ th¼ f1(V ) = (0, 13), f2(V ) = (23, 1) d¨n ¸n



f1(V ) ∩ f2(V ) = φ

f1(V ) ∪ f2(V ) ⊂ V

Do â {f1, f2} l  IFS thäa m¢n OSC

b) Böi cantor Gåi B l  Böi Cantor (vîi Böi Cantor mæ t£ ð möc 2.1.1(b)), B sinh bði h» h m l°p gçm 4 ¡nh x¤ çng d¤ng {f1, f2, f3, f4} vîi



,

fi(V ) ∩ fj(V ) = φ, ∀i 6= j

f1(V ) ∪ f2(V ) ∪ f3(V ) ∪ f4(V ) ⊂ V

Do â {f1, f2, f3, f4} l  IFS thäa m¢n OSC

º ch¿ ra °c tr÷ng ¦u ti¶n v· tªp tü çng d¤ng câ ë o Hausdoff d÷ìngtr÷îc h¸t ta c¦n bê · sau

2.3.2 Bê · ([3]) Gi£ sû {Vi} l  d¢y c¡c tªp mð ríi nhau trong Rn saocho méi tªp Vi ·u chùa mët h¼nh c¦u b¡n k½nh a1r v  Vi l¤i chùa mët h¼nhc¦u b¡n k½nh a2r Khi dâ, måi h¼nh c¦u B b¡n k½nh r câ giao kh¡c réng vîinhi·u nh§t (1 + 2a2)na−n1 c¡c bao âng Vi cõa Vi

2.3.3 Bê · ([3]) (Nguy¶n lþ v· sü ph¥n bè khèi l÷ñng) Cho F l  mëttªp compact, kh¡c réng trong Rn v  µ l  mët sü ph¥n bè khèi l÷ñng tr¶n F.N¸u vîi méi s ≥ 0 tçn t¤i c > 0 v  δ > 0 sao cho µ(U) ≤ c|U|s vîi måi U

m  |U| ≤ δ th¼ Hs(F ) ≥ µ(F )c > 0 Do â dimHF ≥ s

Tø Bê · 2.3.3 ta câ ành l½ sau v· °c tr÷ng cõa tªp câ ë o Hausdoffd÷ìng

ij ∈ {1, 2, , m}, j = (1, 2, , k) ta k½ hi»u Ai ,i , ,i = Si ◦ Si ◦ ◦ Si (A)

D¹ chùng minh ÷ñc Si 1 ◦ Si2 ◦ ◦ Sik l  ¡nh x¤ çng d¤ng vîi t sè çngd¤ng l  ci 1ci2 cim °t

! m

X

i=1

csi2

n y d¨n ¸n Hs(F ) ≤ |F |s < +∞, hay ta câ dimH(F ) ≤ s

B¥y gií ta chùng minh chi·u ng÷ñc l¤i l  dimH(F ) ≥ s

Kþ hi»u I = {(i1, i2, ) : 1 ≤ ij ≤ m} v  vîi d¢y {(i1, i2, , ik)} chotr÷îc , kþ hi»u

Ii1,i2, ,ik = {(i1, i2, , ik, qk+1, ) : 1 ≤ qj ≤ m, j > k}

gçm nhúng d¢y trong I vîi k sè h¤ng ¦u l  i1, i2, , ik Ta x¥y düng mët

sü ph¥n bè khèi l÷ñng µ tr¶n I bði µ(Ii 1 ,i 2 , ,i k) = (ci1 cik)s

khi â µ l  mët sü ph¥n bè khèi l÷ñng tr¶n c¡c tªp con cõa I vîi µ(I) = 1 Tø

â ta thi¸t lªp mët sü ph¥n bè khèi l÷ñng tr¶n F nh÷ sau Vîi méi tªp con Acõa F , °t eµ(A) = µ{(i1, i2, ) : xi1,i2, =

∞

T

i=1

Fi ∈ A} Ta ch¿ ra r¬ng µethäam¢n nguy¶n lþ v· sü ph¥n bè khèi l÷ñng tr¶n F Thªt vªy, d¹ kiºm tra ÷ñc

e

µ(F ) = 1 Gi£ sû V l  tªp mð thäa m¢n (1.1) Do V ⊃ S(V ) = Sm

i=1

Si(V ), d¢ygi£m c¡c tªp Sk(V ) hëi tö v· F °c bi»t V ⊃ F v  Vi 1 ,i 2 , ,i k ⊃ Fi1,i2, ,ik vîiméi d¢y húu h¤n (i1, i2, , ik) Gåi B l  h¼nh c¦u b§t ký b¡n k½nh r < 1 Ta

÷îc l÷ñng µ(B)e b¬ng c¡ch x²t c¡c tªp Vi 1 ,i 2 , ,i k câ ÷íng k½nh câ thº so s¡nh

÷ñc vîi ÷íng k½nh cõa B v  cõa F ∩ B

Ti¸p theo, ta rót gån méi d¢y væ h¤n (i1, i2, ) ∈ I tø ch¿ sè thù k saocho

Do V1, , Vm khæng giao nhau n¶n vîi méi (i1, i2, , ik) ∈ Q th¼ c¡c ph¦n

tû cõa d¢y Vi 1 ,i 2 , ,i k ,1, , Vi1,i2, ,ik,m công khæng giao nhau Do â, lîp c¡ctªp mð {Vi 1 ,i 2 , ,i k : (i1, i2, , ik) ∈ Q} l  khæng giao nhau Hìn núa, ta câ

Chån a1 v  a2 sao cho V chùa mët h¼nh c¦u b¡n k½nh a1 v  çng thíi V l¤i

÷ñc chùa trong h¼nh c¦u b¡n k½nh a2 Khi â, vîi méi (i1, i2, , ik) ∈ Q th¼tªp Vi 1 ,i 2 , ,i k chùa mët h¼nh c¦u ci 1 cika1 v  Vi 1 ,i 2 , ,i k l¤i ÷ñc chùa trongh¼nh c¦u b¡n k½nh ci 1 cika2 Do â, nhí (2.5) ta câ Vi 1 ,i 2 , ,i k chùa h¼nh c¦ub¡n k½nh ( min

1≤i≤mci)a1r v  ÷ñc chùa trong h¼nh c¦u b¡n k½nh a2r L§y Q1 l nhúng d¢y (i1, i2, , ik) ∈ Q sao cho B câ giao vîi Vi 1 ,i 2 , ,i k Theo Bê ·