LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM So sánh hai phân số cùng mẫu Hai phân số có cùng mẫu dương thì phân số nào có tử lớn hơn thì lớn hơn.. So sánh hai phân số khác mẫu Ta viết hai phân số không cùng mẫu
Trang 1Trang 1
BÀI 5: SO SÁNH PHÂN SỐ Mục tiêu
Kiến thức
+ Nắm vững cách so sánh hai phân số cùng mẫu, hai phân số khác mẫu
+ Hiểu khái niệm phân số âm và phân số dương
Kĩ năng
+ Biết so sánh hai phân số
+ Biết cách sắp xếp dãy các phân số theo thứ tự tăng dần hoặc giảm dần
Trang 2Trang 2
I LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM
So sánh hai phân số cùng mẫu
Hai phân số có cùng mẫu dương thì phân số nào
có tử lớn hơn thì lớn hơn
So sánh hai phân số khác mẫu
Ta viết hai phân số không cùng mẫu thành hai
phân số có cùng mẫu dương rồi so sánh tử số với
nhau
Phân số âm, phân số dương
Phân số âm: là phân số nhỏ hơn 0
Phân số dương: là phân số lớn hơn 0
Ví dụ 1: 4 0
(vì 4 0 )
Chú ý: Phương pháp bên sử dụng cho hai phân số cùng mẫu dương
Ví dụ 2: 1 2
2 2
Ta có thể chuyển các phân số
có mẫu âm thành phân số có mẫu dương rồi so sánh
Chú ý: Phân số có tử và mẫu là hai số nguyên cùng dấu là phân số dương
Phân số có tử và mẫu là các số nguyên khác dấu là phân số âm
HỆ THỐNG SƠ ĐỒ HÓA
So sánh hai phân số
cùng mẫu So sánh hai phân số khác mẫu
So sánh A
B và
C B
Nếu A C thì
A C
B B
Phân số có tử và mẫu cùng dấu thì lớn hơn 0
Phân số có tử và mẫu khác dấu thì nhỏ hơn 0
Phân số nhỏ hơn 0
là phân số âm
Phân số lớn hơn 0
là phân số dương Quy đồng mẫu
SO SÁNH HAI PHÂN SỐ
B>0
Trang 3Trang 3
II CÁC DẠNG BÀI TẬP
Dạng 1: So sánh các phân số cùng mẫu
Bài toán 1 So sánh các phân số
Phương pháp giải
Bước 1 Viết phân số có mẫu âm (nếu có) thành
phân số có mẫu dương
Bước 2 So sánh tử của các phân số:
Phân số nào có tử lớn hơn thì lớn hơn
Ví dụ: So sánh 2
5
và
4 5
Hướng dẫn giải
Ta có: 2 2
Vì 2 nên 4 2 4
Vậy 2 4
5 5
Ví dụ mẫu
Ví dụ 1 So sánh các phân số sau:
a) 1
4
và
3
4
3 7
và
4 7
5 11
và
3
11 Hướng dẫn giải
a) Viết các phân số dưới dạng mẫu dương: 1 1
Vì 1 nên 3 1 3
Vậy 1 3
4 4
b) Viết các phân số dưới dạng mẫu dương: 3 3
4 4
7 7
Vì 3 4 nên 3 4
Vậy 3 4
Chú ý:
Ta có thể nhận xét 3 0
7
và 4 0
7 nên 3 4
c) Ta thấy 5 0
11
3 0
11 nên 5 3
11 11
Bài toán 2 Sắp xếp các phân số
Phương pháp giải
Ví dụ: Sắp xếp các phân số sau theo thứ tự tăng dần: 7
36;
24
36;
13
36;
1
36;
43
36;
36
36 Hướng dẫn giải
Trang 4Trang 4
Bước 1 So sánh các phân số
Bước 2 Sắp xếp các phân số theo thứ tự yêu cầu
của bài toán
Vì 1 7 13 24 36 43 nên
363636363636 Vậy các phân số được sắp xếp theo thứ tự tăng dần là: 1
36;
7
36;
13
36;
24
36;
36
36;
43
36
Ví dụ mẫu
Ví dụ 1 Sắp xếp các phân số sau theo thứ tự giảm dần:
5 48
; 11 48
;
7 48
; 13 48
;
9 48
;
27 48
Hướng dẫn giải
Viết lại các phân số dưới dạng mẫu dương:
48 48
48 48
48 48
Vì 27 nên 13 11 9 7 5 27 13 11 9 7 5
Vậy các phân số được sắp xếp theo thứ tự giảm dần là:
5
48
; 7
48
; 9 48
; 11 48
; 13 48
; 27 48
Ví dụ 2 Điền số thích hợp vào chỗ chấm: 9 4
11 11 11 11 11 11
Hướng dẫn giải
Giải thích:
Do các phân số đều có cùng mẫu (dương) nên ta sẽ điền tử số là dãy các số nguyên tăng dần
Bài tập tự luyện dạng 1
Câu 1: Điền số thích hợp vào ô vuông:
18 18 18 18 18 18
;
Câu 2:
a) Sắp xếp các phân số sau theo thứ tự tăng dần: 15
24
; 36 24
; 2 24
; 7 24
; 72 24
; 97 24
b) Sắp xếp các phân số sau theo thứ tự giảm dần: 71
60;
13
60;
21
60;
12
60;
60
60;
1
60; 8
60
Trang 5Trang 5
Dạng 2: So sánh các phân số không cùng mẫu
Phương pháp giải
Cách 1 Quy đồng mẫu
Bước 1 Quy đồng mẫu số các phân số (biến đổi
thành các phân số có cùng mẫu dương)
Bước 2 So sánh các phân số có cùng mẫu
dương
Cách 2 Quy đồng tử
Nếu a; b; c và b c0 thì a a
b c
Cách 3 Sử dụng phân số trung gian
a x
Ngoài ra, còn một số phương pháp khác để so
sánh hai phân số:
• Rút gọn phân số
• Sử dụng định nghĩa hai phân số bằng nhau
Ví dụ 1: So sánh các phân số sau: 15
16
và 5
8
Hướng dẫn giải
Viết lại phân số 5
8
dưới dạng mẫu số dương và quy đồng mẫu số: 5 5 5.2 10
Vì 15 nên 10 15 10
Vậy 15 5
Ví dụ 2: So sánh hai phân số sau: 4
5 và
3
7 Hướng dẫn giải
Tử số chung là 12
Ta có: 4 4.3 12
5 5.3 15 ; 3 3.4 12
7 7.4 28
Vì 15 28 nên 12 12
1528 Vậy 4 3
5 7
Ví dụ 3: So sánh các phân số sau 7
11
và 1
5 Hướng dẫn giải
Vì 7 0 11
và 1
0
5 nên 7 1
11 5
Ví dụ 4: So sánh các phân số sau: 7
36 và
21
108 Hướng đẫn giải
Cách 1 Rút gọn
Ta có: 21 21: 3 7
108 108 : 3 36 Suy ra 7 21
36 108 Cách 2 Sử dụng định nghĩa phân số bằng nhau:
Trang 6Trang 6
Ta có: 7.108 756 ;
36.21 756 Suy ra 7 21
36 108
Ví dụ mẫu
Ví dụ 1 So sánh các phân số sau bằng hai cách quy đồng tử số và quy đồng mẫu số:
a) 5
8
và 4
7
3
và 6
5
Hướng dẫn giải
a) Cách 1 (Quy đồng mẫu số)
Mẫu số chung là 56
Ta có: 5 5.7 35
Vì 35 nên 32 35 32
Vậy 5 4
Cách 2 (Quy đồng tử số)
Ta sẽ so sánh hai phân số 5
8 vả
4
7
Tử số chung là 20
Ta có: 5 5.4 20
8 8.4 32; 4 4.5 20
7 7.5 35
Vì 32 35 nên 20 20
32 35 Suy ra 5 4
8 Vậy 7 5 4
Chú ý:
Sai lầm thường gặp khi so sánh hai phân số bằng cách quy đồng tử số:
Nhận xét 32 35 nên 20 20
Vậy 5 4
b) Cách 1 (Quy đồng mẫu số)
Mẫu số chung là 15
Trang 7Trang 7
Ta có: 7 7.5 35
Vì nên 35 18 35 18
Vậy 7 6
Chú ý: Khi so sánh hai phân số âm ta có thể so sánh hai phân số đối của hai phân số đó, từ đó suy ra kết luận đối với hai phân số ban đầu
Cách 2 (Quy đồng tử số)
Ta sẽ so sánh hai phân số 7
3 và
6
5
Tử số chung là 42
Ta có: 7 7.6 42
33.6 18; 6 6.7 42
55.7 35
Vì 18 35 nên 42 42
18 35 Suy ra 7 6
3 Vậy 5 7 6
Ví dụ 2 Không quy đồng tử hoặc mẫu, hãy so sánh các phân số sau:
a) 3
2 và
5
935 732
và
10 9
;
c) 18
31 và
15
37
Hướng dẫn giải
a) Vì 3 1
2 (tử lớn hơn mẫu) và 5 1
6 (tử nhỏ hơn mẫu) nên 3 5
2 6 b) Vì 935 0
732
(tử và mẫu cùng dấu) và
10 0 9
(tử và mẫu trái dấu) nên 935 10
c) Ta có: 18 18
31 37 và 15 18
3737 Suy ra 18 15
31 37 Chú ý:
Ta có thể dùng 0 hoặc 1 hoặc một phân số làm số trung gian để so sánh hai phân số
Phân số có tử và mẫu là hai số nguyên cùng dấu thì lớn hơn 0 (phân số dương) Phân số có tử và mẫu
là hai số nguyên trái dấu thì nhỏ hơn 0 (phân số âm)
Phân số dương có tử lớn hơn mẫu thì phân số đó lớn hơn 1
Phân số dương có tử nhỏ hơn mẫu thì phân số đó nhỏ hơn 1
Cách chọn phân số trung gian
Trang 8Trang 8
So sánh a
b;
c
d Chọn a
d hoặc
c
b
Ví dụ 3 Không quy đồng tử hoặc mẫu, hãy so sánh các phân số sau:
a) 15
19 và
13
13 20
và 17
28
Hướng dẫn giải
a) Ta có: 15.17 255 ;
19.13 247 Suy ra 15.17 19.13 do đó 15 13
19 17 b) Ta có: 13.28 364 ;
20.17 340 Suy ra 13.28 20.17 do đó 13 17
20 28 Vậy 13 17
Ví dụ 4
a) Cho phân số a
b a b, ,b0 Giả sử a 1
b và m *
Chứng minh rằng: a a m
b) Áp dụng kết quả của câu a) để so sánh:
18 19
17 1
17 1
;
17 18
17 1
17 1
Hướng dẫn giải
a) Ta có:
a b m
a m b
Vì a 1
b nên a b suy ra a m b m với mọi m *
Do đó a b a m a b b m suy ra .2 . .2 .
a b a m a b b m
Vậy a a m
với mọi
*
m
b) Vì
18
19
17 1
1
17 1
nên
Trang 9Trang 9
17
17 17 1
Vậy A B
Bài tập tự luyện dạng 2
Câu 1: So sánh các cặp phân số sau bằng cách quy đồng mẫu số:
a) 2
3 và
5
4 5
và 3 7
6
và 63 70
3
11 và
4
13 Câu 2: So sánh các cặp phân số sau bằng cách quy đồng tử số:
a) 3
4 và
6
3 7
và 2
9
4 9
và 3 13
27 và
39
47 Câu 3:
a) Thời gian nào dài hơn: 2
3 giờ và
3
4 giờ?
b) Đoạn thẳng nào ngắn hơn: 7
12 m và
5
6 m?
c) Khối lượng nào lớn hơn: 7
8 kg hay
8
9 kg?
d) Vận tốc nào nhỏ hơn:4
5 km/h và
9
10 km/h?
Câu 4: Lớp 6A có 2
5 số học sinh thích bóng chuyền,
3
8 số học sinh thích cầu lông và
5
12 số học sinh thích bóng đá Hỏi môn thể thao nào được nhiều học sinh lớp 6A yêu thích nhất?
Câu 5: Không quy đồng tử và mẫu, hãy so sánh các phân số sau:
a) 5
7 và
13
25 34
và
26
120 133
và 45
51
Câu 6: Sắp xếp các phân số sau theo thứ tự tăng dần:
a) 13
20;
7
20;
9
4;
2
5;
1
37 100
; 17 50
;
23 25
;
7 10
; 2 5
Câu 7: Sắp xếp các phân số sau theo thứ tự giảm dần:
a) 13
21;
152
17 ;
13
17;
5
1 2
; 3 4
;
2 3
; 4 5
Bài tập nâng cao
Câu 8: Điền số nguyên thích hợp vào ô vuông: 8 7
15 40 15
Câu 9: Không quy đồng tử và mẫu, hãy so sánh các phân số sau:
a) 23
35 và
21
37; b)
17 24
và 13 28
; c) 9
16 và
11
12
47 và
19
77 Câu 10: Tìm các số tự nhiên x sao cho:
Trang 10Trang 10
5 30 4
x
5 x 7 Câu 11: Tìm ba phân số có mẫu khác nhau, các phân số này lớn hơn 1
4 và nhỏ hơn
1
3 Câu 12: So sánh:
a)
89
99
98 1
98 1
và
88 98
98 1
98 1
16 17
15 1
15 1
và
15 16
15 1
15 1
Câu 13: Tìm hai phân số có mẫu khác nhau, các phân số này lớn hơn 1
5 nhưng nhỏ hơn
1
4
Trang 11Trang 11
ĐÁP ÁN Dạng 1: So sánh các phân số cùng mẫu
Câu 1
b) Ta có 2 2 2 2 2 2
9 Suy ra 8 7 6 5 4 2 2 2 2 2 2
;
c) Quy đồng các phân số với mẫu số chung là 24, ta được: 12 2. 3. 8
Suy ra 12 11 2 5 3 3 8
Câu 2
a) Các phân số sắp xếp theo thứ tự tăng dần là:
97 24
; 72 24
; 36 24
; 15 24
; 7 24
; 2 24
b) Các phân số sắp xếp theo thứ tự giảm dần là:
71
60;
60
60;
21
60;
13
60;
12
60;
8
60;
1
60
Dạng 2: So sánh các phân số không cùng mẫu
Bài tập cơ bản
Câu 1: So sánh các cặp phân số sau bằng cách quy đồng mẫu số:
a) Mẫu số chung là 6
Ta có: 2 2.2 4 5
3 3.2 6 6
Vậy 2 5
3 6
b) Mẫu số chung là 35
Ta có: 4 4.7 28
Vì 28 15
nên 4 3
c) Rút gọn phân số 63 63: 7 9 9
70 70 : 7 10 10
Mẫu số chung là 30
Ta có: 5 5.5 25
10 10.3 30
Trang 12
Trang 12
Vì 25 27
nên 5 63
d) Mẫu số chung là 11.13 143 (vì 11 và 13 là hai số nguyên tố cùng nhau)
Ta có: 3 3.13 39
11 11.13 143 ; 4 4.11 44
13 13.11 143
Vì 39 44
143 143 nên 3 4
11 13 Câu 2
a) Ta có: 3 3.2 6 6
4 4.2 Vậy 8 7 3 6
4 7 b) So sánh hai phân số 3
7 và
2
9:
Ta có 3 3.2 6
7 7.2 14 ; 2 2.3 6
9 9.327
Vì 6 6
14 27 nên 3 2
7 Vậy 9 3 2
c) So sánh hai phân số 4
9 và
3
13:
Ta có: 4 4.3 12
9 9.327; 3 3.4 12
13 13.4 52
Vì 12 12
2752 nên 4 3
9 13 Vậy 4 3
9 13
d) Ta có 13 13.3 39 39
27 27.3 81 47 Vậy 13 39
27 47 Câu 3:
a) Vì 2.4 8 3.3 9 nên 2 3
3 Vậy 4 3
4 giờ dài hơn
b) Ta có: 5 5.2 10 7
6 6.2 12 12 Vậy đoạn thẳng 7
12 m ngắn hơn
c) Ta có: 7 7.9 63
8 8.972; 8 8.8 64
99.872 Suy ra 7 8
8 9 Vậy 8
9 kg lớn hơn
d) Ta có: 4 4.2 8 9
5 5.2 10 10 Vậy vận tốc 4
5 km/h nhỏ hơn
Câu 4
Ta so sánh các phân số: 2
5;
3
8 và
5
12 Quy đồng tử số của các phân số:
2 2.15 30
5 5.1575; 3 3.10 30
8 8.1080; 5 5.6 30
12 12.6 72
Trang 13Trang 13
Vì 30 30 30
727580 nên 5 2 3
12 5 8 Vậy môn bóng đá được nhiều học sinh lớp 6A yêu thích nhất
Câu 5
a) Ta có: 5 1
7 (vì tử nhỏ hơn mẫu);
13 1
12 (vì tử lớn hơn mẫu)
Suy ra 5 13
7 12
b) Ta có 25 0
34
(vì tử và mẫu trái dấu);
26 0
35 (vì tử và mẫu cùng dấu)
Suy ra 25 26
3435
c) Ta có 120 0
133
(vì tử và mẫu trái dấu);
45 0 51
(vì tử và mẫu cùng dấu)
Suy ra 120 45
Câu 6
a) Ta thấy 9 1
4 và các phân số còn lại đều nhỏ hơn 1 nên 9
4 là phân số lớn nhất
Quy đồng mẫu số các phân số còn lại với mẫu số chung là 20
Ta có: 2 2.4 8
5 5.4 20; 1 1.10 10
2 2.10 20
Vì 7 8 10 13
202020 20 nên 7 2 1 13
20 5 2 20 Vậy các phân số được sắp xếp theo thứ tự tăng dần là:
7
20;
2
5 ;
1
2;
13
20;
9
4 b) Viết lại các phân số dưới dạng mẫu số dương:
50 50
25 25
Quy đồng mẫu số các phân số với mẫu số chung là 100:
25 25.4 100
10 10.10 100
5 5.20 100
100 100 100 100 100
Trang 14Trang 14
Vậy các phân số được sắp xếp theo thứ tự tăng dần là:
23 25
; 7 10
; 2 5
; 37 100
; 17 50
Câu 7
a) Ta có: 13 152
17 17 ; 5 13
21 21 Lại có 13 13
21 17 suy ra 5 13 13 152
21 21 17 17 Vậy các phân số được sắp xếp theo thứ tự giảm dần là: 152
17 ;
13
17;
13
21;
5
21 b) Trước hết ta so sánh các phân số 1
2;
3
4;
2
3;
4
5 Quy đồng tử số các phân số: 1 1.12 12
2 2.1224; 3 3.4 12
4 4.4 16 ;
3 3.6 18 ; 4 4.3 12
5 5.3 15
Vì 12 12 12 12
24 18 16 15 nên 1 2 3 4
2 3 4 5 Suy ra 1 2 3 4
Vậy các phân số được sắp xếp theo thứ tự giảm dần là: 1
2
; 2 3
; 3 4
;
4 5
Bài tập nâng cao
Câu 8
Ta có BCNN15, 40120 nên quy đồng mẫu số các phân số, ta được:
15.8 40.3 15.8
120 120 120
Suy ra 64 3. , do đó 56 3 63; 60; 57 21; 20; 19
Vậy các giá trị thích hợp là –21; –20; –19
Câu 9
a) Chọn phân số trung gian là 23
37
Ta có: 23 23
3537; 21 23
3737 Suy ra 23 21
3537 b) Ta so sánh hai phân số 17
24 và
13
28 Chọn phân số 17
28 làm phân số trung gian
Ta có 17 17
2428; 13 17
28 28 Suy ra 17 13
2428 Do đó 17 13
Trang 15Trang 15
c) Ta thấy cả hai phân số 9
16 và
11
24đều xấp xỉ
1
2 nên ta dùng phân số
1
2 làm phân số trung gian
Ta có: 9 8 1
16 16 ; 2 11 12 1
24 24 Suy ra 2 9 11
16 24 d) Ta thấy cả hai phân số 12
47 và
19
77 đều xấp xỉ
1
4 nên ta dùng phân số
1
4 làm phân số trung gian
Ta có: 12 12 1
47 48 ; 4 19 19 1
7776 Suy ra 4 12 19
47 77 Câu 10
a) Quy đồng mẫu số các phân số với mẫu số chung là 60, ta được:
1.12 2 1.15 5.12 30.2 4.15
x
60 60 60
x
Suy ra 12x.2 15 , do đó x.2 14 hay x Vậy 7 x 7
b) Quy đồng tử số các phân số với tử số chung là 40, ta được:
8.5 4.10 5.8 5.5 x.10 7.8 hay 40 40 40
25 x.1056 Suy ra 25x.10 56 , do đó x.1030; 40;50 Vậy x3;4;5
Câu 11
Quy đồng các phân số với mẫu số chung là 48, ta được:
1 1.12 12
4 4.12 48; 1 1.16 16
3 3.16 48
Ta có: 12 13 14 15 16
48 48 48 48 48
Rút gọn các phân số trên ta được: 1 13 7 5 1
4 4824 16 3 Vậy ba phân số cần tìm là: 13
48;
7
24 và
5
16 Câu 12
a) Ta thấy
89 99
98 1
1
98 1
(vì tử nhỏ hơn mẫu) nên:
88
98 98 1
Vậy A B
b) Ta thấy
16 17
15 1
1
15 1
(vì tử nhỏ hơn mẫu) nên:
15
15 15 1
Vậy C D
Câu 13
Trang 16Trang 16
Quy đồng hai phân số 1
5 và
1
4với mẫu số chung là 60, ta được:
1 1.12 12
55.1260; 1 1.15 15
4 4.1560
Ta có: 12 13 14 15
60 60 60 60
Rút gọn các phân số trên ta được: 1 13 7 1
56030 4 Vậy hai phân số cần tìm là: 13
60 và
7
30