ỨNG DỤNG của một bất ĐẲNG THỨC đơn GIẢN

H THỨNG DỤNG CỦA MỘT BẤT ĐẲNG THỨC ĐƠN GIẢN Đinh Thị Quyến-Ngô Văn Thái Trong Toán học sơ cấp có nhiều bất đẳng thức đơn giản, nhưng hiệu quả áp dụng lại không nhỏ, dưới đây là một bấ

H TH

ỨNG DỤNG CỦA MỘT BẤT ĐẲNG THỨC ĐƠN GIẢN Đinh Thị Quyến-Ngô Văn Thái

Trong Toán học sơ cấp có nhiều bất đẳng thức đơn giản, nhưng hiệu quả áp dụng lại không nhỏ, dưới đây là một bất đẳng thức như vậy

Cho bốn số thực a 1 , a 2 , b 1 , b 2 thỏa mãn

1  2 ; 1  2

a a b b hoặc a1 a b2; 1 b2 Thì a b1 1 a b2 2 a b1 2 a b2 1 (*)

Chứng minh:

Dễ thấy: (*) a b1 1 b2a b2 1 b2 0  a1 a2b1 b2  0

Với giả thiết đã cho điều cuối cùng này đúng, đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi hoặc a1 = a2 hoặc b1 = b2

Bất đẳng thức được chứng minh 

1 Một số ví dụ áp dụng minh họa

Ví dụ 1

Cho a, b là hai số thực dương Chứng minh rằng a b  2

Lời giải

Không mất tính tổng quát giả sử a b  0  1  1

b a Theo (*) sẽ được a b  a b  2

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a=b

Bài toán được chứng minh 

Ví dụ 2 (Bất đẳng thức AM-GM ba số)

Cho a, b, c là ba số thực không âm

Chứng minh rằng a3 b3 c3  3abc

Lời giải

* Nếu abc  0 ta được bất đẳng thức đúng

H TH

* Trường hợp cả ba số a, b, c đều dương, không mất tính tổng quát

Theo (*) suy ra

bc ca ca bc c c (1)

ca ab ab ca a a (2)

bc ab ab bc b b (3)

Cộng vế với vế của (1), (2), (3) sẽ được:

2           2 2 2    6

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a=b=c

Bài toán được chứng minh 

Ví dụ 3 (Bất đẳng thức Nesbitt)

Cho a, b, c là ba số thực dương

2

Lời giải

Đặt vế trái của bài toán là A

Theo (*) thì

b c c a c a b c (4)

b c a b a b b c (5)

c a a b a b c a (6)

Cộng vế với vế của (4), (5), (6) ta được

3

2

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a=b=c

Bài toán được chứng minh 

Ví dụ 4

H TH

Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác

Lời giải

Đặt vế trái của bài toán là B

Vì a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác nên:

b c a c a b a b c

Không mất tính tổng quát giả sử

Theo (*) thì

b c a c a b c a b b c a (7)

           a c a c b c a a b c a b c b c a (8)

           b c b c c a b a b c a b c c a b (9)

Cộng vế với vế của (7), (8), (9) và rút gọn sẽ được: 2             a c c b b a B c a b b c a a b c 3                        a c b c b a b a c B c a b c a b b c a b c a a b c a b c Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi tam giác đã cho là tam giác đều Bài toán được chứng minh  Ví dụ 5 (Bất đẳng thức Chebyshev) Cho sáu số thực a 1 , a 2 , a 3, b 1 , b 2 , b 3 thỏa mãn 1  2  3 ; 1  2  3 a a a b b b hoặc a1 a2 a b3; 1 b2 b3 Chứng minh rằng 3a b1 1 a b2 2 a b3 3  a1 a2 a3b1 b2 b3 Lời giải Theo (*) thì a b1 1 a b2 2 a b1 2 a b2 1 (10)

a b1 1 a b3 3 a b1 3 a b3 1 (11)

a b2 2 a b3 3 a b2 3 a b3 2 (12)

a b1 1 a b2 2 a b3 3 a b1 1 a b2 2 a b3 3 (13)

Cộng vế với vế của (10), (11), (12), (13) và rút gọn ta được điều phải chứng minh

Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi hoặc a1=a2=a3 hoặc b1=b2=b3 

H TH

Ví dụ 6 (IMO 1964)

Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác

Chứng minh rằng a b c a2   b c a b2   c a b c2    3abc

Lời giải

Vì a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác nên:

b c a c a b a b c

Không mất tính tổng quát giả sử

0

Theo (*) sẽ được

a a bc b b ca a b ca b a bc

(14)

a a bc c c ab a c ab c a bc

(15)

b b ca c c ab b c ab c b ca

(16)

Cộng vế với vế của (14), (15), (16) và rút gọn sẽ được:

a b c abc a b ab b c bc c a ca

3

a b c a  b c a b  c a b c   abc

Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a=b=c

Khi đó bài toán đã cho là tam giác đều

Bài toán được chứng minh 

Ví dụ 7

Cho a, b, c là ba số thực dương

Chứng minh rằng

2

b c c a a b

Lời giải

Đặt vế trái của bài toán là C

Theo (*) thì

b c c a c a b c (17)

c a a b a b c a (18)

b c a b a b b c (19)

H TH

Cộng vế với vế của (17), (18), (19) ta được:

  2  2 2

2

2

2

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a=b=c

Bài toán được chứng minh 

Ví dụ 8

Cho a, b, c là ba số thực dương, n N n,  2

Chứng minh rằng

2

b c c a a b

Lời giải

Đặt vế trái của bài toán là D

Không mất tính tổng quát giả sử

;

n n n

Theo (*) thì

b c c a c a b c (20)

c a a b a b c a (21)

b c a b a b b c (22)

Cộng vế với vế của (20), (21), (22) ta được:

n n n n n n

D

Mặt khác dễ thấy với x, y là hai số thực dương và nN n,  2 thì

 ,  1  1

Hay

2





n n n n

Vậy

n n n n n n n n n n n n

Do đó

2

2

n n n

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c

H TH

Bài toán được chứng minh 

Ví dụ 9

Cho bốn số thực không âm a 1 , a 2 , b 1 , b 2 , thỏa mãn

1  2 ; 1  2

a a b b hoặc a1 a b2; 1 b2

Chứng minh rằng a1 b1 3  a2 b23 a1 b2 3  a2 b13

Lời giải

1  2  0; 1  2  0  1  2 , 1  2

1 1  2 2  1 2  2 1

a b a b a b a b (23)

2 2 2 2

1 1  2 2  1 2  2 1

a b a b a b a b (24)

Cộng vế với vế của (23), (24), ta được:

(a b a b )  a b a b  (a b a b ) (  a b a b )

 a b  a b  a b  a b  a b  a b  a b  a b

Cộng vào cả hai vế của bất đẳng thức này với 3 3 3 3

1  1  2  2

a b a b và rút

gọn ta được điều cần chứng minh

* Trường hợp a1 a b2; 1 b2 chứng minh tương tự

Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a1=a2 và b1=b2

Bài toán được chứng minh.

Ví dụ 10

Cho a, b, c là ba số thực không âm, thỏa mãn a b c.

Chứng minh rằng a b a b2   b c b c2   c a c a2     0

Lời giải

Với giả thiết đã cho thì a2 ab ab, b a2 ; 2 ac ac, c b2 ; 2 bc bc, c2

2

a ab b ab a b (25)

a ac c ac2  2  2a c2 2 (26)

b bc c bc2  2  2b c2 2 (27)

Cộng vế với vế của (25), (26), (27) sẽ được

a b b c c a3  3  3   a c b a c b3  3  3  2(a b2 2 b c2 2 c a2 2 )

Mặt khác lại từ giả thiết suy ra

     2   2  2   2 0

 a b b c  b c a b 

a b b c c a  a c b a c b 

Vậy 2(a b b c c a3  3  3 ) 2(  a b2 2 b c2 2 c a2 2 )

H TH

a b b c c a  a b b c c a

     

a b a b b c b c c a c a 

Dấu đẳng thức của bài toán xảy ra khi và chỉ khi:

Hoặc a b c, hoặc a b  0,c  0

Bài toán được chứng minh.

Ví dụ 11

Cho bốn số thực không âm a 1 , a 2 , b 1 , b 2 , thỏa mãn

1  2 ; 1  2

a a b b hoặc a1 a b2; 1 b2 và mN m,  1

Chứng minh rằng a1 b1m a2 b2m a1 b2m a2 b1m

Lời giải

* Xét trường hợp

Theo (*) thì 1  1 2  2 1 2 2  1

m k k m k k m k k m k k

1  1 2 2 1  2 2  1

C a m k m k k b C a m k m k k b C a m k m k k b C a m k m k k b (28)

Từ (28) cho k lần lượt bằng 0,1,…,m sẽ được m+1 bất đẳng thức cùng chiều, sau đó cộng vế với vế của m+1 bất đẳng thức này lại rồi áp dụng nhị thức Newton sẽ được điều cần phải chứng minh Tức là

a1 b1m a2 b2m a1 b2m a2 b1m

* Trường hợp a1 a b2; 1 b2 chứng minh tương tự

Dấu đẳng thức của bài toán xảy ra khi và chỉ khi hoặc a1=a2 và b1=b2, hoặc m  1

Bài toán được chứng minh 

2 Bài tập tự giải

1 Cho a, b, c là ba số thực dương Chứng minh rằng

2 Cho a, b, c là ba số thực dương Chứng minh rằng

 

3 Cho a, b, c là ba số thực dương thỏa mãn abc=1 Chứng minh rằng

     

2

a b c b c a c a b

4 Cho a, b, c là ba số thực dương Chứng minh rằng

H TH

0

5 Cho a, b, c là ba số thực không âm thỏa mãn a+b+c=1

27

a b b c c a

6 Cho a, b, c là ba số thực dương Chứng minh rằng

3 3 3

a b c

7 Cho a, b, c là ba số thực dương và nN n,  2 thỏa mãn abc=1

2

a b c c c a c a b