RÚT GỌN BIỂU THỨC CĂN BẬC HAI KHÔNG CHỨA BIẾN Bài 1... RÚT GỌN BIỂU THỨC CĂN BẬC HAI VÀ CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN CHỨA BIẾN Bài 1... Tìm giá trị lớn nhất của A.. Tìm các giá trị của x, y
Trang 1Bạn có thể download tài liệu của Thầy Hiệp Toán Pháp tại https://www.facebook.com/Thayhieptoanphap-277328232336605/ Trang 1
I RÚT GỌN BIỂU THỨC CĂN BẬC HAI KHÔNG CHỨA BIẾN
Bài 1 (HSG Tân Bình 2008 – 2009) Rút gọn A =(4 3−4) 3+ 5− 13 2 12+
Đáp số: A =4 2
Bài 2 (HSG Quảng Ninh 2006 – 2007) Rút gọn A = 13 30 2+ + 9 4 2+
Bài 3 (HSG Quảng Ninh 2008 – 2009) Chứng minh rằng 8 3 5 13 4 3
A + − +
=
phương của một số nguyên
Bài 4 (HSG Huế 2008 – 2009) Rút gọn 2 4 5 21 80
=
Bài 5 (HSG Quận 1 2015 – 2016) Rút gọn 2 4 5 21 80
=
Đáp số: M = 1
Bài 6 (HSG Long An 2011 – 2012) Rút gọn 2 3 4 15 10
23 3 5
A= − + − +
Bài 7 (HSG Bắc Ninh 2008 – 2009) Rút gọn 2 3 2 3
A= + + −
Bài 8 (HSG Tân Phú 2012 – 2013) Rút gọn A =( 3 1) 10 2 2 3.+ − 2+ 48+ 51− 392
Đáp số: A = 2
Bài 9 (HSG Phú Thọ 2012 – 2013) Rút gọn 2 10 30 2 2 6 : 2
A= + − −
Bài 10 (HSG Tân Bình 2012 – 2013) Rút gọn
Đáp số: A = 8
Bài 11 (HSG Quận 1 2009 – 2010 Vòng 1) Tính giá trị của 3 3
Đáp số: A = − 2
Bài 12 (HSG Long An 2010 – 2011) Không sử dụng máy tính, thực hiện phép tính
A= + + −
Bài 13 (HSG Quận 5 2012 -2013) Rút gọn 1 7 1 7
A= + + −
Đáp số: A = −4 2
Bài 14 (HSG Quảng Ninh 2010 – 2011) Rút gọn
A
Trang 2
Bài 15 (HSG Long An 2013 – 2014) Rút gọn 3 1 3 1
Bài 16 (HSG Trần Đại Nghĩa 2011 – 2012) Rút gọn 3 3 4 3 4
A= − − +
Đáp số: A = − 2
Bài 17 (HSG Quận 5 2013 – 2014) Rút gọn
Bài 18 (HSG Lâm Đồng 2010 – 2011) Rút gọn A = 127 48 7− − 127+48 7
Bài 19 (HSG Hải Dương 2008 – 2009) Rút gọn A = 4+ 10 2 5+ + 4− 10 2 5+ − 5
Bài 20 (Nguyễn Du 2014) Rút gọn (27 10 2) 27 10 2 (27 10 2) 27 10 2
=
Đáp số:
Bài 21 (Tân Bình 2015 – 2016) Rút gọn 21 3 5 21 3 5 11 6 2
21 6 11
Đáp số: M = 3
Bài 22 (HSG Tân Bình 2014 – 2015) Rút gọn
2 2 5
A= + + + − + +
Đáp số: A =4 2
Bài 23 (HSG Quận 3 2011 – 2012 Vòng 2) Tính giá trị của 2 2 2 5 1
Đáp số: A = 3
Bài 24 (HSG Bình Tân 2015 – 2016) Rút gọn 1 1 1 5 1
12
6
A =
Bài 25 (HSG Bình Thạnh 2015 – 2016) Rút gọn
A = + + + + + − +
Đáp số: A =5 2
Bài 26 (HSG Tân Bình 2013 – 2014) Rút gọn ( 3 5 1)[ 3 5 (3 5) 1] 5
Đáp số: M = 2
Bài 27 (HSG Bình Tân 2015 – 2016) Rút gọn A = 5 2 3− − 3 − 3+ 3+ 2+ 3
Đáp số: A = 2
Bài 28 (HSG Ninh Bình 2008 – 2009) Rút gọn 1 1 1
Trang 3Bạn có thể download tài liệu của Thầy Hiệp Toán Pháp tại https://www.facebook.com/Thayhieptoanphap-277328232336605/ Trang 3
Bài 29 (HSG Phú Thọ 2010 – 2011) Tính 4 3 8 15 240 14399
hạng có dạng
2
Bài 30 (HSG Thái Bình 2010 – 2011) Chứng minh rằng 87 1 1 1 88
892 1+3 2 + +2011 2010 45
II RÚT GỌN BIỂU THỨC CĂN BẬC HAI VÀ CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN CHỨA
BIẾN
Bài 1 (Quảng Ninh 2006 – 2007) Chứng minh rằng với x0;x thì biểu thức sau không phụ 1
thuộc vào x:
2
1
A
Bài 2 (HSG Quận 3 2011 – 2012 Vòng 1) Rút gọn
: 1
A
x
+
1
x A x
+
=
−
Bài 3 (HSG Trần Đại Nghĩa 2011 – 2012) Rút gọn
Đáp số: B= x−1
Bài 4 (HSG Nguyễn Du 2014) Rút gọn 3 2( 3) 3 : 8
1
B
x
x x x
Đáp số: B= x−1
Bài 5 (HSG Quảng Nam 2008 – 2009) Cho 2 9 3 2 1
A
a) Tìm điều kiện xác định của A
b) Rút gọn A
Bài 6 (HSG Tân Bình 2012 – 2013) Rút gọn
2
2
: 1
B
x x x B
=
Bài 7 (HSG Đà Nẵng 2008 – 2009) Cho
2
:
x x
a) Rút gọn P
b) Tính giá trị của P khi 1
2 1
x =
−
Bài 8 (HSG Trà Vinh 2008 – 2009) Cho 1 : 1 2
P
a) Rút gọn P
Trang 4b) Tính giá trị của P khi x = +3 2 2
c) Tìm x để P = 7
Bài 9 (HSG Ninh Bình 2012 – 2013) Cho
2
a) Rút gọn P
b) Tìm x để P = 3
Bài 10 (HSG Vĩnh Phúc 2014 – 2015) Cho 3 16 7 1 7 : 2
A
a) Rút gọn A
b) Tìm x để A = - 6
Bài 11 (HSG Quận 3 2011 – 2012 Vòng 2) Cho 2 1 1
1
B
x
−
a) Rút gọn B
3
B x x Đáp số
a)
1
x B
=
b) Đưa về ( x −1)2 0
Bài 12 (HSG Sóc Trăng 2010 – 2011) Cho 2 1 1
1
A
a
−
a) Rút gọn biểu thức A
b) Tìm giá trị của a để 1
3
A
Bài 13 (HSG Thanh Hóa 2014 – 2015) Cho biểu thức
A
a) Rút gọn A
7
A −
Bài 14 (HSG Quận 1 2013 – 2014) Cho 2 2 4 : 3
4
P
x
−
x x x
a) Rút gọn P
b) Tìm các giá trị nguyên của x để P chia hết cho 20
Đáp số
3
x P
x
=
36
x
x
=
=
Trang 5Bạn có thể download tài liệu của Thầy Hiệp Toán Pháp tại https://www.facebook.com/Thayhieptoanphap-277328232336605/ Trang 5
Bài 15 (HSG Vĩnh Long 2008 – 2009 + HSG Bắc Ninh 2014 - 2015) Cho
2
x
a) Rút gọn P
b) Tìm giá trị của x để P = 3
( )
x P
P x
Bài 16 (HSG Cần Thơ 2012 – 2013) Cho 2 16 6 2 3 2
P
a) Rút gọn P
b) Tìm giá trị của m để P là số tự nhiên
Bài 17 (HSG Ninh Bình 2014 – 2015) Cho
2
: 4
A
x
−
x x
a) Rút gọn A
b) Chứng minh rằng A < 1 với mọi x thỏa điều kiện đầu bài
c) Tìm x để A là số nguyên
Bài 18 (HSG Thanh Hóa 2008 – 2009) Cho 2 1
1
P
x
−
a) Rút gọn P
Bài 19 (HSG Bình Thuận 2008 – 2009 + HSG Hải Dương 2014 - 2015) Cho
2
A
x
=
a) Rút gọn A
b) Tìm x, biết 1
2
A
Bài 20 (HSG Huế 2007 – 2008) Cho 4 4
A
=
a) Tìm x để A có nghĩa và rút gọn A
b) Tìm các giá trị x nguyên để A nguyên
Bài 21 (HSG Quận 1 2009 – 2010 Vòng 1) Cho biểu thức 3 1 2 5 4 2
B
a) Rút gọn B
b) Tìm tất cả các giá trị của x để B nguyên
Đáp số
2
x B
x
−
= + b)
9 1 4
x
x
=
=
Trang 6
Bài 22 (HSG Hòa Bình 2010 – 2011) Tìm giá trị nhỏ nhất của 1
1
x A x
−
= +
Bài 23 (HSG Tân Bình 2013 – 2014) Tìm giá trị nhỏ nhất của 2 9
2
B
−
Đáp số: minB= = 2 x 1
Bài 24 (HSG Long An 2011 – 2012) Cho 3 6 1 2
B
a) Tìm điều kiện xác định và rút gọn B
b) Tìm giá trị lớn nhất của B
Bài 25 (HSG Quận 5 2012 – 2013) Cho biểu thức
a) Rút gọn P
b) Tìm giá trị nhỏ nhất của P, lúc đó x nhận giá trị bằng bao nhiêu
Đáp số
1
x P
x
+
= + b) minP= = 4 x 4
Bài 26 (HSG Lê Quý Đôn 2012 – 2013) Cho 2 2
P
x x x x x x x
+
a) Rút gọn P
b) Tính giá trị của P khi x = +3 2 2
c) Tìm giá trị nguyên của x để P nhận giá trị nguyên
Đáp số
1
x P
x
+
=
− b) P = +1 2
c) x =0; 4;9
Bài 27 (HSG Vĩnh Phúc 2014 – 2015) Cho 2 16 4 2 1
M
giá trị nguyên của a để giá trị của M là một số nguyên
Bài 28 (HSG Huế 2006 – 2007) Cho
3
3
3
x
a) Rút gọn biểu thức A
b) Tìm các giá trị nguyên của x để A nhận giá trị nguyên
Bài 29 (HSG Tân Bình 2015 – 2016) Rút gọn (1 2) : 1 1 1
1
A
x
=
−
Trang 7Bạn có thể download tài liệu của Thầy Hiệp Toán Pháp tại https://www.facebook.com/Thayhieptoanphap-277328232336605/ Trang 7
Bài 30 (HSG Tuyên Quang 2008 – 2009) Rút gọn 2 1 2 1
x x x x Q
x x x x
=
Bài 31 (HSG Quận 5 2013 – 2014) Rút gọn
A
2 2
x x
−
Đáp số: A = x
Bài 32 (HSG Quận 9 2013 – 2014) Rút gọn
2
A
−
(với x 2)
Đáp số: A = − 4
Bài 33 (HSG Quảng Bình 2010 – 2011) Cho
2
1
x x
− +
a) Rút gọn A
b) Tìm x nguyên để A nguyên
Bài 34 (HSG Vĩnh Phúc 2011 – 2012) Cho
2
1
P
a) Rút gọn P
b) Tìm x sao cho P nguyên
Bài 35 (HSG Đắc Lak 2010 – 2011) Cho
P
a) Rút gọn P
b) Tìm tất cả các số thực x để P nguyên
Bài 36 (HSG Hải Phòng 2007 – 2008) Cho M x 2 2x y2 : 1 1
a) Rút gọn M
b) Tính giá trị của M khi x= 3− 5 ;y= 3+ 5
Bài 37 (Huế 1995 – 1996) Cho hai biểu thức A ( x y) 4 xy;B x y y x
a) Tìm điều kiện xác định của A, B
b) Rút gọn A, B
c) Tính giá trị của A.B với x= 3− 2;y= 3+ 2
Bài 38 (HSG Ninh Bình 2014 – 2015) Rút gọn
2
1 4
M
Bài 39 (Hà Tây 1995 – 1996) Cho biểu thức
2
A
xy y x x xy y x
−
x y x y
a) Rút gọn A
b) Tìm tất cả các giá trị nguyên dương x để y = 625 và A < 0,2
Trang 8Bài 40 (HSG Quận 9 2015-2016) Cho 1 : 1 ( , 0; 1)
x
a) Rút gọn A
xy
x + y = Tìm giá trị lớn nhất của A
Bài 41 (Chuyên Ngữ 2008 – 2009) Cho biểu thức
3
2
x y x y x y y P
x y x y
x y y x x y y x
Chứng minh rằng P luôn nhận giá trị nguyên với mọi giá trị nguyên của x, y thỏa mãn
x y x y
Bài 42 (HSG Hà Nam 2012 – 2013) Cho
P
a) Rút gọn P
b) Tìm các giá trị nguyên x, y sao cho P = 2
Bài 43 (Chuyên Ngữ 2011 – 2012) Cho biểu thức
A
x y
a) Rút gọn A
36
xy= A=
Bài 44 (HSG Bắc Kan 2010 - 2011) Cho biểu thức
A
x y
với x, y > 0
a) Rút gọn A
b) Biết xy = 16 Tìm các giá trị của x, y để A có giá trị lớn nhất Tìm giá trị lớn nhất đó
Bài 45 (HSG Ninh Bình 2007 – 2008) Cho các số dương a và b, đặt 22
1
ab x
b
= + Xét biểu thức 1
3
P
b
a) Chứng minh rằng P xác định và rút gọn P
b) Khi a, b thay đổi, hãy tìm min của P
III RÚT GỌN CĂN BẬC BA VÀ BÀI TOÁN LIÊN QUAN
Bài 1 (HSG Bắc Giang 2012 – 2013) Tính 3 3
A = + − −
Bài 2 (HSG Nghệ An 2007-2008) Chứng minh rằng 3 3
7− 50 + 7+ 50 là số tự nhiên
Bài 3 (HSG Hòa Bình 2008 – 2009) Rút gọn
3
10 6 3 ( 3 1)
Bài 4 (HSG Đồng Tháp 2008 – 2009) Cho
3
10 6 3 ( 3 1)
x= + −
P x = x − x+
Trang 9Bạn có thể download tài liệu của Thầy Hiệp Toán Pháp tại https://www.facebook.com/Thayhieptoanphap-277328232336605/ Trang 9
Bài 5 (HSG Gò Vấp 2012 – 2013 Vòng 2) Cho
3
4
x =
P= x − x−
Đáp số: x= − 2;P=1
Bài 6 (HSG Ninh Bình 2009 – 2010) Cho 3 3
3
15
A= +x x
Bài 7 (HSG Bắc Ninh 2009 – 2010) Cho hàm số f x( )=(x3+6x−5)2010 Tính f(a) với
a = + + −
Bài 8 (HSG Quảng Ngãi 2009 – 2010) Tính giá trị của 3
f x =x − x với
Bài 9 (HSG Quảng Bình 2013 – 2014) Cho x = 37 5 2+ +37 5 2− Chứng minh rằng x là
nghiệm của phương trình x3+3x− = 14 0
Bài 10 (HSG Nghệ An 2009 – 2010) Cho hàm số f x( )=(x3+12x−31)2010 Tính f(a) tại
x = − + +
Bài 11 (HSG Cần Thơ 2012 – 2013) Tính giá trị của (a3+15a−25)2013 với
a = − + +
Bài 12 (HSG Đà Nẵng 2008 – 2009) Cho a = 3 2− 3+32+ 3 Chứng minh rằng
64
3
Bài 13 (HSG Phú Thọ 2013 – 2014) Tính giá trị của
3
P
=
a = + + −
Bài 14 (HSG Bình Định 2014 – 2015) Tính giá trị của A= −(x y)3+3(x−y xy)( + , biết 1)
x= + − + y= + − −
Bài 15 (HSG Hải Dương 2006 – 2007) Tìm số thực x để biểu thức 33+ x +33− x là số
nguyên
IV MỘT SỐ BÀI TOÁN KHÁC
Bài 1 (HSG Gò Vấp 2013-2014) Cho xy Tính giá trị của 0
Đáp số: A = 0
Bài 2 (HSG Nguyễn Du 2014) Cho 1 1 1
5
x
Bài 3 (HSG Gò Vấp 2013 – 2014 Vòng 2) Cho a, b, c > 0 và ab bc ca+ + = Tính 1
Đáp số: M = 2
Trang 10Bài 4 (HSG Bình Thạnh 2015 – 2016) Cho (x+ x2+1)(y+ y2+ =1) 1 Tính x+ y
Bài 5 (HSG Trần Đại Nghĩa 2011 – 2012) Tính giá trị của x y2+ +2 y x2+2 khi
(x+ x +2)(y+ y +2)=2
Bài 6 (HSG Phú Thọ 2014 – 2015)
a) Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n ta có
2
b) Tính
S= + + + + + + + + +
Bài 7 (HSG Tân Bình 2008 – 2009) Tính 1 12 12 1 12 12 1 12 12
B = + − =
Bài 8 (HSg Vĩnh Phúc 2012 – 2013) Tính 1 12 12 1 1 2 1 2
V BÀI TẬP TỔNG HỢP
Bài 1 (HSG Hải Dương 2014 – 2015) Tính giá trị của A=2x3+3x2−4x+ với 2
x= + + + − + − − −
Bài 2 (HSG Quảng Ngãi 2014 – 2015) Cho 3 3; 0; 3 2 3 2
trị của
2
6 2 9 4x
P
x
Bài 3 (HSG Thái Bình 2014 – 2015) Chứng minh rằng
Bài 4 (HSG Yên Bái 2006 – 2007) So sánh A= 2005+ 2007;B=2 2006
Bài 5 (HSG Đồng Nai 2006 – 2007) So sánh 123 22 2− +3 77 2 155− và 6
Bài 6 (HSG Nghệ An 2009 – 2010 Bảng B) Cho hàm số f x( )=(x3+12x−31)2010 Tính f(a) với
a = + − +
Bài 7 (HSG Hải Phòng 2013 – 2014) Cho
a
Chứng minh rằng a là
nghiệm của phương trình 2013x2 −2014x+ = 1 0
Bài 8 (HSG Hải Dương 2012 – 2013) Rú gọn
2
Bài 9 (HSG Quảng Ninh 2007- 2008 + HSG Bắc Giang 2011 - 2012) Rút gọn
2
2
Trang 11Bạn có thể download tài liệu của Thầy Hiệp Toán Pháp tại https://www.facebook.com/Thayhieptoanphap-277328232336605/ Trang 11
Bài 10 (HSG Bắc Giang 2012 – 2013) Rút gọn
P
a
−
Bài 11 (HSG Hải Dương 2011 – 2012) Rút gọn
2
A
=
Bài 12 (HSG Thanh Hóa 2008 – 2009) Cho 3 2 9 : 1 3 9
9
P
x
−
a) Rút gọn P
b) Tính giá trị của P khi
3
10 6 3 ( 3 1)
x= + −
Bài 13 (HSG Thanh Hóa 2010-2011) Cho 1 8 : 3 1 1 1
10
P
x
−
a) Rút gọn P
b) Tính giá trị của P khi 4 3 2 2 4 3 2 2
x= + − −
Bài 14 (HSG Thái Bình 2011 – 2012) Cho 2 2
2012
x = −
Bài 15 (Hà Nam 2010 – 2011) Cho 6 2 5 13 48
3 1
=
a) Rút gọn A
b) Với A tìm được, tìm nghiệm nguyên của phương trình y2− =A x A x A x( + )( + 2)