Tài liệu La bàn con quay doc

La Bàn Con Quay 1.4.2 Tính tiến động : Khi có lực ngoại tác dụng lên con quay tự do mà moment của nó không trùng với hướng trục chính thì trục chính con quay sẽ theo phương vuông với p



La bàn con quay

Thành phố Hồ Chí Minh, tháng năm …

La Bàn Con Quay

CHƯƠNG 1 NHỮNG KHÁI NIỆM CƠ BẢN

§ 1.1 Khái Niệm Về Con Quay

Nếu tâm treo trùng với trọng tâm con quay : gọi là con quay cân bằng

Nếu tâm treo không trùng với trọng tâm con quay : gọi là con quay không cân bằng hay con quay nặng

Con quay tự do là con quay mà trục chính của nó có thể quay tự do trong không gian

Nếu con quay bị hạn chế quay với 1 trục nào đó(Y,Z) gọi là con quay hai bậc tự do nều hạn chế hai chiều chuyển động gọi là con quay một bậc tự do

Tốc độ con quay từ 300 - 600 v/s thường sử dụng nguồn điện 3 pha có tần số từ

330 - 500 Hz

Có rất nhiều phương pháp treo con quay nhưng ngày nay trong la bàn con quay hàng hải chỉ phổ biến một vài phương pháp chính

a Phương pháp treo bằng thủy tĩnh

thừơng người ta kết hợp với các phương pháp khác

√ Phương pháp treo bằng chất lỏng nâng kết hợp với đàn hồi

√ Phương pháp treo bằng chất lỏng nâng kết hợp với gối đỡ thuỷ ngân

√ Phương pháp treo bằng chất lỏng nâng kết hợp với cuộn dây nâng điện từ

b Phương pháp treo bằng vòng các đăng (hình c)

c Treo tĩnh điện

d treo khí động lực

e treo điện từ

f Treo đàn hồi quay

Đại đa số la bàn con quay được trang bị trên tàu biển việt nam áp dụng phương pháp treo thủy tĩnh và cácdang

§ 1.2 Hệ Tọa Độ Để Khảo Sát Chuyển Động Của Con Quay

1.2.1 Hệ tọa độ cố định 0XoYoZo(hệ toạ độ chân trời )

- Gốc trùng với điểm treo con quay

-0Xo trùng với đường N-S

-0Zo ,0Yo nằm trong mặt phẳng xích đạo

của con quay và cùng với trục chính con quay tạo

thành hệ toạ độ decac thuận

-0Yo trùng với đường E-W

0Zo trùng với đường dây dọi người quan sát

1.2.2 Hệ tọa độ biến đổi(Rezal) 0XYZ

- Gốc trùng với điểm treo con quay

-0X trùng với trục chính con quay

-0Z ,0Y nằm trong mặt phẳng con quay và cùng với trục chính con quay tạo thành hệ toạ độ decac thuận

-0Y ,0Z không tham gia vào chuyển động riêng của con quay mà chỉ chuyển động khi trục chính con quay chuyển động

1.2.3 Hệ tọa độ tự do 0X1Y1Z1

- Gốc trùng với điểm treo con quay

-0X1 trùng với trục chính con quay

-0Z1 ,0Y1 nằm trong mặt phẳng con quay và cùng với trục chính con quay tạo thành hệ toạ độ decac thuận

-0Y1 ,0Z1 tham gia vào chuyển động riêng của con quay

Hệ tọa độ 0XoYoZo , 0XYZ xác định chuyển động của con quay trong không gian Hệ tọa độ 0X1Y1Z1 xác định chuyển động của con quay trong lòng nó

W

Z

α β

X O

Z O

Y O Y

La Bàn Con Quay

§ 1.3 Moment động lượng con quay

Giả sử có một vật rắn quay quanh điểm O không đổi Ta tách từ vật một chất điểm A có khối lượng mi Vị trí của A hoàn toàn được xác

định bởi bán kinh vector ri Giả sử trong vật tại thời điểm

đang xét có ngoại lực tác dụng fi Moment Li của lực đối với

điểm O l i r i f i

r r r

∧

Dưới tác dụng của ngoại lực vật sẽ chuyển động quay

quanh 0 với vận tốc góc Ω

Động lượng của một vật chuyển động bằng tích khối lượng với vận tốc chuyển động của vật thể trên quỹ đạo Đối với chuyển động quay thì động lượng của nó là tích giữa khối lượng và vận tốc tiếp tuyến của vật chuyển động quanh một trục bất kỳ

Động lượng : qr =m.vri

Động lượng của con quay chưa biểu hiện rõ quy luật quay của con quay vì vector vạn tốc tiếp tuyến vi luôn đổi hướng Nó chỉ biểûu thị vận tốc chuyển động của vật thể có khối lượng Động lượng càng lớn thì khối lượng hoặc vận tốc của nó càng lớn

Moment động lượng của một chất điểm trong con quay là một đại lượng vector bằng tích có hướng giữa bán kính của chất điểm đó với động lượng của nó:

i q i

1

Ω

= Ω

∑

=

∧ Ω

r r r

r

r

)

(

1 2 1

J r

m r

r m v

m r

H

n

i n

i i i

=

=

Ω

= Ω

=

i i i n

i

o i

i

r H

1 2 1

(vri =rri ∧ Ωr , J= M R2 -moment quán tính của con quay đối với trục X )

Hướng của moment động lượng H

r

được xác định theo hướng của Ωr tức hướng của H

r

trùng với hướng của Ωr

Vậy Hr đặc trưng cho tính định hướng của con quay , H

r

càng lớn thì tính định hướng càng cao chính vì vậy cần phải tăng H

con quay n (v/p) =

K

60f (f: tần số từ 330 - 500 Hz; K: số cặp cực)

+Tăng kết hợp J , Ω

i q i

l f r a m r v m v dt

v dm r v m dt

r d dt

v m r d

=

∧ +

H d l dt

h l

rvector vận tốc của điểm mút vector moment động lượng thì theo toán học đạo hàm bậc nhất theo thời gian của vector quãng đường bằng vector vận tốc dài của vector quãng đường đó nghĩa là ta có :

V dt

= Vậy “tốc độ điểm mút vector moment động lượng của vật rắn đối với một điểm bằng vector moment ngoại lực chính tác dụng lên vật đối với cùng điểm đó“

§ 1.4 Những tính chất cơ bản của con quay tự do

1.4.1 Tính bền vững :

Nếu tổng các moment ngoại lực tác dụng lên con quay tự do bằng 0 (ngoại trừ mômen nằm trên trục chính) thì trục chính của nó giữ nguyên hướng trong không gian Điều đó có nghĩa là trục chính con quay hướng về một ngôi sao nào đó thì dù dịch chuyển nền trên đó có đặt con quay thế nào chăng nữa thì trục chính của nó không thay đổi hướng tới ngôi sao đó

Thật vậy theo định lỳ moment động lượng ta có

La Bàn Con Quay

1.4.2 Tính tiến động :

Khi có lực ngoại tác dụng lên con quay tự do mà moment của nó không trùng với hướng trục chính thì trục chính con quay sẽ theo phương vuông

với phương của ngoại lực tác dụng đây gọi là tính tiến động

của con quay

Chiều của vận tốc góc tiến động là chiều sao cho ta đứng

trên nó nhìn xuống chân thấy chiều của vector momen động

= hướng tiến động của trục chính con quay trùng với hướng của Lr , tức

vuông góc với lực tác dụng

Tốc độ góc tiến động ωp có trị số bằng tốc độ dài chia cho bán kính H

Dưới tác dụng của xung lực thì trục chính con quay tự do thực tế không đổi hướng ban đầu mà chỉ dao động quanh vị trí cân bằng với biên độ nhỏ và tần số lớn dao động này gọi là chương động

+ Theo định lý moment động lượng : L

§ 1.5 Moment kháng con quay

Khi nghiên cứu về tính tiến động của con quay ta đã biết rằng trục chính của con quay chuyển động không phải theo chiều tác dụng của ngoại lực mà chuyển động theo chiền vuông góc với ngoại lực tác dụng Hiện tượng đó chỉ co thể giải thích rằng bản than con quay sinh ra một lực kháng cân bằng với lực tác dụng vào con quay, lực kháng đó sẽ cản trở trục chính con quay chuyển động theo chiều tác dụng của ngoại lực tác dụng ta gọi đó là lực kháng con quay Moment sinh ra bởi lực kháng con quay gọi là moment kháng con quay hay moment con quay

* Công thức tính moment con quay :

Từ tính chất tiến động cua con quay ta có

H

L

p =

ω L = H.p Mặt khác Rr = −Lr ⇒ R=H.ωp

* Chiều của vector moment kháng con quay được xác định theo quy tắc Phuco tức là nó có chiều hướng về phía mà hầu như nó làm trùng vector moment động lượng với vector vận tốc góc tiến động, nghĩa là đối với hệ tọa độ phải thì vector R

r

sẽ hướng về phía mà từ đó ta nhìn thấy vector moment động lượng H

r

quay sang vector vận tốc góc tiến động ωrp theo con đường ngắn nhất và ngược chiều kim đồng hồ Moment kháng con quay là do quán tính của con quay sinh ra Để chứng minh điều này ta làm như sau :

Giả sử có một roto con quay hình đĩa dẹp quay với vận tốc góc Ω và trục chính con quay quay quanh trục z với vận tốc góc ωz như vậy con quay sẽ chuyển động phức hợp gồm chuyển động tương đối với vận tốc góc và chuyển động tương đối với vận tốc góc ωz

Theo định lý Koriolit ta có :

ao =ar +ae +ac

a0 : Gia tốc tuệt đối

ar : Gia tốc tương đối

ae : Gia tốc theo

ac : Gia tốc Criolit

Bây giờ ta tính từng thành phần gia tốc :

Gia tốc tương đối ar được tính bởi công thức :

ρ : khoảng cách từ điểm treo đến chất điểm thứ i

Để đơn giản ta bỏ qua trục chính con quay chuyển động quanh trục Z Vì chuyển động đều nên gia tốc tiếp tuyến bằng không mà chỉ còn gia tốc hướng tâm

ar hướng vào tâm

Gia tốc theo ae : để thuận lợi cho việc tính toán ta coi con quay không chuyển động quanh trục X mà trục chính con quay chuyển động quanh trục Z với vận tốc góc

ωz

Độ lớn are

X F

La Bàn Con Quay

e

ar hướng vào trục Z

Gia tốc Criolit ac : ac được tính theo công thức cơ học như sau :

ac =2.ωz∧vir

Hướng của arcđược xác định như sau nếu ta đứng theo racnhìn xuống chân thấy

ωz quay ngược chiều kim đồng hồ đến trùng với véctơ vận tốc dài tương đối rvirtheo góc nhỏ nhất

Độ lớn : a c = 2 ωz v ir sin(ωrz , vrir)

a c= 2 ωz v ir sinϕ

Khi có các gia tốc trên sẽ sinh ra các lực quán tính :

fir = −m a fi ,r ie = −m ai ,e fic = −m ai c

mi là khối lượng của chất điểm khảo sát

Hướng được xác định như hình vẽ

Lực quán tính trong chuyển động theo và chuyển động tương đối đều nằm trong mặt phẳng con quay chỉ gây moment với trục chính nên ta bỏ qua còn lực quán tính Criolit gây moment với trục Y , z

riy = fic ρie = fic ρi sinϕ = mi ac ρi sinϕ = 2 mi ωZ ρi2 Ω sin 2ϕ (1)

riz = fic ρi cosϕ = mi ac ρi cosϕ = 2 mi ωZ ρi2 Ω sinϕcosϕ

Để tính toán khối lượng mi ta xét một mẩu vi phân khối

lượng của con quay

mi = γ ui

γ : khối lượng riêng (tấn /m3)

ui : Thể tích của chất điểm (m3)

2

π

ϕ ϕ ϕ ρ

ρ ω

Ry = Ω∫ ∫

R i

π

ϕ ϕ ρ

ρ ω

2

2 .ω .Ω = J ω Ω

h ρ

dρ ρdϕ

dϕ

Hay Ry = H.ωz (3)

Trong đó J= MR

2

2 moment quán tính con quay đối với trục X

H : moment động lượng của con quay

Giả sử có lực F tác dụng bất kỳ thì ta có công thức moment kháng tổng quát Giả sử có lực F tác dụng bất kỳ thì ta có công thức moment kháng tổng quát

r

,ωrp)

=0

§ 1.6 Phương trình vi phân biểu thị chuyển động của con quay

1.6.1 Thiết lập hệ phương trình

Có rất nhiều phương pháp để thiết lập phương trình vi phân chuyển động của con quay nhưng ở đây ta chỉ xét trường hợp đặc biệt để làm cơ sở nghiên cứu chuyển động của con quay trong không gian Để thuận lợi giáo sư CUDREVIT đưa ra các bước sau :

Bước 1 :Lập hệ toạ độ cố định OXoYoZo

Bước 2 : Lập hệ toạ độ OXYZ

Bước 3 : cho trục chính con quay lệch khỏi

mặt phẳng kinh tuyến một góc α , chênh khỏi mặt

phẳng chân trời một góc β

Bước 4 tìm vận tốc góc trên các trục Y, Z

ωy = d

dtα cosβ Bước 5 : Tìm gia tốc quán tính trên các trục

Y, ,Z

εyqt = d

dt

2 2

β = β’’ εzqt = d

dt

2 2

α cosβ = α’’.cosβ ≈ α’’

Bước 6 : Tìm moment kháng vá moment quán tính trên các trục Y , Z

x

x o

R y qt

R z qt

H

z

R z

La Bàn Con Quay

z qt

ββαα

Hướng của moment quán tính trên trục Y ,Z bao giờ cũng ngược hướng với gia tốc

Bước 7 : Giả sử có một lực tác động gây moment ngoại lực trên trục Y và có chiều dương

Bước 8 : Bỏ qua sự ảnh hưởng chuyển động quay của trái đất đến hệ trục con quay

Bước 9 : Tìm moment quán tính của điểm treo con quay (O) với hệ toạ độ cố định , ở đây ta coi điểm treo con quay chuyển động đều hoặc cố định do đó quán tính bằng 0

Bước 10 : Tổng các moment trên các trục Y Z, do hệ thống con quay cân bằng nên :

với phương trình thuần nhất β′′+ ωk2 = 0 thì β= C2 cosωkt + C3 sin ωk .t

Nghiệm riêng của phương trình (1) βtt = (ωk2 β0 +

Nghiệm tổng quát : β = C2 cosωkt + C3 sin ωk .t + βtt (d)

C2 ,C3 là các hằng số tích phân, để tìm chúng ta xét

điều kiện ban đầu t = 0 β=βo , βt′0 = β0′

vi phân biểu thức (d) β‘ = - C2 ωk.sinωkt + C3 .ωk.cosωkt = β0′ C3

o k K

y

ω

β ω ω

β

.

′ +

− +

Thay biểu thức (e) vào biểu thức (c) ta có :

La Baøn Con Quay

k

ω

β0′ cos ω k t + α 0 +

− +

=

+ +

−

′ +

=

t t

H L

t H

L t H

L t

k k

o k k

y o

y k k

y k

k

o o

ωω

βω

ωβ

β

ωω

ωω

βα

α

sin )

cos 1 (

sin ) cos 1 (

(1)

H : moment ñoông löôïng cụa con quay

k

ω : taăn soâ goùc cụa con quay khi coù ngoái löïc taùc dúng

Phöông trình (1) bieơu dieên toá ñoô cụa trúc chính con quay theo maịt phaúng kinh tuyeân vaø maịt phaúng chađn trôøi döôùi taùc dúng cụa ngoái löïc coâ ñònh ñoù laø moôt haøm soâ phöùc hôïp bao goăm dao ñoông phaăn tieân ñoông cụa con quay vôùi vaôn toâc goùc

H

k

laø noù gaăn baỉng trò soâ vaôn toâc goùc, nhöng vôùi bieđn ñoô cụa dao ñoông lái raât beù vì ωk

lôùn lái naỉm ôû maêu do ñoù maø maĩt thöôøng khođng theơ nhìn thaẫy Trong tính toaùn ta boû qua thaønh phaăn naøy

Khi coù xung löïc taùc dúng (Ly= 0 )

Khi coù xung löïc taùc dúng phöông trìng (1) coù dáng nhö sau :

=

−

′ +

=

t

t

k k

o o

k k

o o

ω ω

β β

β

ω ω

β α

α

sin

) cos 1 (

Nhuu7 vaôy thaønh phaăn tieân ñoông cụa trúc chính con quay khođng coøn nöõa maø chư coøn thaønh phaăn chöông ñoông hay noùi caùch khaùc trúc chính con quay chư dao ñoông raât nhanh quanh vò trí cađn baỉng vôùi taăn soâ cao vaø bieđn ñoô nhoû maø maĩt thöôøng khođng theơ nhìn thaây ñöôïc sau ñoù trôû lái vò trí cađn baỉng ban ñaău

Phöông trình ruùt gón cụa con quay ( söû dúng ñeơ nghieđn cöùu chuyeơn ñoông cụa con quay ) Trong moôt soâ tính toaùn ngöôøi ta chư caăn quan tađm ñeân ñái löôïng moment khaùng coøn moment quaùn tính boû qua khođng caăn xeùt ñeân thì phöông trình vi phađn ñôn giạn hôn nhieău

Giạ söû coù moôt ngoái löïc taùc dúng vaøo con quay theo phöông baât kyø gađy ra moment Ly ,Lz laøm trúc chính con quay tieân ñoông theo trúc Y, Z y , z laø toơng caùc vaôn toâc goùc tređn caùc trúc Y, Z luùc naøy phöông trình vi phađn chuyeơn ñoông cuạ con quay coù dáng :

§ 1.7 Chuyeơn ñoông quay cụa traùi ñaât

Chuyeơn ñoông cụa traùi ñaât

Traùi ñaẩt töï quay xung quanh mình noù ñoăng

thôøi chuyeơn ñoông quay xung quanh maịt trôøi theo

ñònh luaôt Kepper nhöng ta chư xeùt ñeân chuyeơn ñoông

quay xung quanh mình noù (chuyeơn ñoông ngaøy ñeđm)

Giạ söû moôt ngöôøi quan saùt ñöùng ôû vó ñoô ϕ ta

thaây vaôn toâc goùc cụa traùi ñaât ωñ ñöôïc chia ra hai

thaønh phaăn

Thaønh phaăn theo ñöôøng NS : ω1 = ω ñ cosϕ

Thaønh phaăn naøy bieơu dieên chuyeơn ñoông cụa

maịt phaúng chađn trôøi xung quanh ñöôøng N S ÔÛ

phía E ñöôïc há xuoâng ta coù cạm giaùc taât cạ caùc

thieđn theơ ñang ñi leđn ñađy chính laø hieôn töôïng móc cụa caùc thieđn theơ ÔÛ phía W ñöôïc nađng leđn ta coù cạm giaùc taât cạ caùc thieđn theơ ñang ñi xuoâng ñađy chính laø hieôn töôïng laịn cụa caùc thieđn theơ

Thaønh phaăn theo ñöôøng dađy dói cụa ngöôøi quan saùt ω2= ωñ.sinϕ

Thaønh phaăn naøy ñaịc tröng cho maịt phaúng kinh tuyeân chuyeơn ñoông quanh ñöôøng dađy dói cụa ngöôøi quan saùt phía N quay veă tađy coøn phía S quay veă E

Ñeơ xeùt ạnh höôûng cụa chuyeơn ñoông quay cụa traùi ñaât tôùi trúc chính con quay ta cho trúc chính con quay leôch khoûi maịt phaúng kinh tuyeân moôt goùc α vaø leôch khoûi maịt phaúng chađn trôøi moôt goùc β

La Bàn Con Quay

Tìm vận tốc do chuyển động của trục chính

con quay trên các trục :

ωy =d

dtβ = β‘ (+)

ωz = α‘ cosβ (+)

Chiếu ωđ lên các trục X ,Y ,Z

ωxđ = ωđ cosϕcosα cosβ

ωyđ = ωđ cosϕsinα (- )

ωzđ =-ωđ sinϕcosβ + ωđ cosϕcosα sinβ

Vì β rất nhỏ cosβ ≈1 , sin α ≈ α bỏ VCBBC cosϕcosα sinβ ≈ 0 ta có

ta không xét đến

chuyển động nhìn thấy của con quay tự do đối với mặt phẳng kinh tuyến và mặt phẳng chân trời :

Khảo sát chuyển động nhìn thấy của trục chính con quay tự do đặt ở một điểm bất kỳ của trái đất đối với hệ tọa độ chân trời Như ta đã biết trục chính con quay tự

do giữ nguyên hướng trong không gian tự do Vị trí của nó đối với mặt phẳng chân trời và mặt phẳng kinh tuyến được xác định bởi α,β Trong thiên văn hàng hải những góc đó hay những cung tương ứng của các cung vòng lớn của tam giác cầu ZPnA ( A là điểm mút của trục chính con quay) những góc đó chính là phương vị và độ cao của điểm A (tương ứngvới điểm cuối của trục chính con quay)do trục chính con quay luôn giữ hướng không đổi trong không gian còn độ cao

và phương vị luôn thay đổi do chuyển động quay

của trái đất như vậy chuyển động nhìn thấy của

trục chính con quay tự do sẽ quay quanh trục vũ

trụ theo hình nón có đáy với bán kính: ∆=900 -δ,

∆ là cực cự , δ là xích vĩ của điểm A Các góc này

được xác định bởi hệ thức lượng trong tam giác

cầu

sinβ = sinh = sinϕ.sinδ +cosϕ.cosδ cost

cotgα= cotagA = cosϕ.tgδ.cosect + sinϕ.cotgt

Trường hợp đặc biệt là khi trục chính con

quay tự do đặt song song với trục trái đất khi đó

xích vĩ δ =900 theo hệ công thức trên thì

sinβ = sinϕ.sinδ +cosϕ.cosδ cost = sinϕ

cotgα = cosϕ.tgδ.cosect + sinϕ.cotgt = ∞

g

cot

sin sin

ϕ β

ϕ β

Hay là trục chính con quay chênh khỏi mặt phẳng chân trời một góc bằng vĩ độ người quan sát và nằn trong mặt phẳng kinh tuyến người quan sát

Đối với bất kỳ cách sắp đặt trục chính con quay khác đều sảy ra chuyển động nhìn thấy đối với mặt phẳng kinh tuyến và mặt phẳng chân trời thật

Trực quan hơn ta đặt con quay tại vĩ độ vĩ ϕ sao cho trục của nó nằm song song với mặt phẳng chân trời và mằm trong mặt phẳng

kinh tuyến vị trí (I) sau 6 giờ mặt phẳng kinh

tuyến quay được 900 nhưng trục chính con quay

vẫn giữ nguyên hướng trong không gian tuyệt đối

để dễ quan sát ta giả sử trái đất đứng yên còn

con quay chuyển về vị trí (II) lúc này trục chính

con quay không còn trùng với mặt phẳng kinh

tuyến nữa mà hợp với mặt phẳng kinh tuyến một

góc α và chênh khỏi mặt phẳng chân trời nhưng ở

vị trí này chúng ta không thấy rõ Sau 6 giờ nữa thí mặt phẳng kinh tuyên lại quay được một góc 900 cũng như trên ta giả sử con quay ở vị trí (III) lúc này ta thấy rõ trục chính con quay chênh khỏi mặt phẳng chân trời một góc 2β

Như vậy theo thời gian trục chính con quay sẽ chuyển động không ngừng theo hình chóp nón với góc mở là 2β

P N

2β β

ϕ α

I

II

III

La Bàn Con Quay

CHƯƠNG 2 CHUYỂN ĐỘNG CỦA LA BÀN CON QUAY

TRÊN NỀN CỐ ĐỊNH

§ 2.1 Chuyển động của con quay hai bậc tự do

Fuco sử dụng con quay cân bằng và hạn chế chiều

quay với trục Y sau đó đặt trục chính con quay lệch khỏi

mặt phẳng kinh tuyến một góc α kết quả nhận được trục

chính con quay chuyển động về mặt phẳng kinh tuyến

người quan sát Điều này chỉ có thể giải thích như sau :

Do chuyển động quay của trái đất mà mặt phẳng

chân trời luôn quay quanh xuống ở phía E với vận tốc

ωđcosϕ nhưng do trục chính con quay bị hạn chế chiều

chuyển động với trục Y nên nó phải chuyển động cưỡng bức xung quanh trục Y với vận tốc góc

ωyđ =ωđcosϕ.α (sinα ≈ α)

Do đó trong bản thân con quay sẽ sinh ra một momen kháng Rrz =Hr ∧ ωryd

về độ lớn Rz = H ωđ cosϕ α ( < 0 )

Momen kháng này làm có tác dụng làm cho góc hợp bởi vector momen động lượng và vector vận tốc góc bằng 0 hay α → 0 Nếu trục chính con quay lại chuyển động khỏi mặt phẳng kinh tuyến về phía tây của mặt phẳng chân trời ωyđ

sẽ đổi hướng và theo chiều dương Rz cũng đổi dấu và tiếp tục đưa trục chính con quay về mặt phẳng kinh tuyến

Vậy con quay có xu hướng ổn định trong mặt phẳng kinh tuyến và gọi là LBCQ

Để tìm quy luật chuyển động của trục chính con quay theo mặt phằûng kinh tuyến ta thiết lập phương trình vi phân trong trường hợp này ta có

∑ Rz = 0 hay qt z

R

r r + =0 ⇔Iω′z +Hωy = 0

ωy , ωz là tổng các vận tốc góc trên các trục Y ,Z có kể đến chuyển động của trái đất

α ϕ ω

ω

sin

cos

d z

d y

⇒ ω’z = α”

0

= +

⇔ α′′ +ω02.α = 0 (* ) với 2

0

ωϕ

H

d

Nghiệm của (*) α = C1 cos cosω0t +C2 sin ω0t

C1 , C2 là các hằng số tích phân

điều kiện đầu α = α0 , α’ = α’0 = 0 ta có C1 = α0

đạo hàm (*) α’ = - C1 ω0 sinω0t +C2ω0 .cosω0t =0 ⇒ C2 = 0

⇒ α = α0cosω0t

Vậy con quay hạn chế chiều quay với trục Y thì trục chính con quay dao động không tắt theo hàm cosin quanh mặt phẳng kinh tuyến người quan sát với chu kỳ

Fuco sử dụng con quay cân bằng và hạn chế

chiều quay với trục Z sau đó đặt trục chính con

quay lệch khỏi mặt chân trời một góc β và hợp với

trục vũ trụ một góc θ kết quả nhận được trục chính

con quay chuyển động về song song với trục vũ trụ

Điều này chỉ có thể giải thích như sau :

La Bàn Con Quay

Do chuyển động quay của trái đất mà mặt phẳng kinh tuyến luôn quay quanh đường dây dọi với vận tốc ωđsinϕ nhưng do trục chính con quay bị hạn chế chiều chuyển động với trục Z nên nó phải chuyển động cưỡng bức xung quanh trục

Z với vận tốc góc ωđ sinβ Do đó trong bản thân con quay sẽ sinh ra một momen kháng Rry =Hr ∧ ωrzd

Về độ lớn R y =Hωd sinβ

Momen kháng này làm có tác dụng làm cho góc hợp bởi vector momen động lượng và vector vận tốc góc bằng 0 tức là β tăng dần hay trục chính con quay tiến về song song với trục vũ trụ thì Ry =0 Nếu trục chính con quay lại chuyển động chênh cao hơn thiên trục thì ωzđ sẽ đổi hướng và theo chiều dương Ry cũng đổi dấu và tiếp tục đưa trục chính con quay về song song với thiên trục

Vậy trục chính con quay có xu hướng ổn định song song với thiên trục hay độ cao của trục chính con quay bằng vĩ độ đặt con quay

Để tìm quy luật chuyển động của trục chính con quay ta thiết lập phương trình vi phân

ωy , ωz là tổng các vận tốc góc trên các trục Y ,Z có kể đến chuyển động của trái đất

β ω

sin

d z

θϕω

d z

0

= +

Tương tự ta có θ = θ0cosω0t

Vậy con quay hạn chế chiều quay với trục z thì trục chính con quay dao động không tắt theo hàm cosin quanh trục vũ trụ với chu kỳ

d

H

I T

ω

π ω

π 2 2

0

Như vậy độ cao của trục chính con quay chỉ vĩ độ người quan sát

§ 2.2 Các phương pháp biến con quay tự do thành la bàn con quay

2.2.1 Aùp dụng theo kiểu con lắc vật lý – Hạ thấp trọng tâm

Trong phương pháp này người ta hạ thấp trọng tâm của con quay dọc trên trục Z xuống một đoạn là a so với tâm treo Để hạ thấp trọng tâm của rôto ta hạ thấp trọng tâm của vỏ treo rôto con quay (Hạ thấp hộp đựng rôto con quay)

Tại vị trí I:

Giả sử trục chính con quay lệch khỏi mặt phẳng kinh tuyến 1 góc α về phía E của mặt phẳng chân trời đồng thời nằm trong mặt phẳng chân trời ngườiø quan sát ( β= 0), lúc này trọng lực P đi qua tâm treo nên không gây ra moment.Nhưng do chuyển động quay của trái đất mặt phẳng chân trời ở phía E đi xuống và phần N của mặt phẳng kinh tuyến quay sang phía W mà trục chính con quay vẫn giữ nguyên hướng trong không gian tự do, do đó so với mặt phẳng kinh

tuyến và mặt phẳng chân trời nó sẽ đi lên với vận tốc V Tg

moment trên trục Y làm cho trục chính con quay tiến động về mặt phẳng kinh tuyến với vận tốc V c

r

Dr V

r

Tg V

r

Dr V

r

C V

r

Dr V

r

C V

r

Dr V

r

Dr V

r

C V

r

C V

r

Dr V

r

C V

r

Tg V

r

Dr V

r

C V

r

Tg V

r

Dr V

r

C V

La Bàn Con Quay

Tại vị trí III:

Trục chính con quay nằm trong mặt phẳng kinh tuyến (α=0) nên V Tg

r

=0 do đó trục chính con quay không nâng thêm độ cao nữa (β=βmax ) V c V cMAX

r r

= >V Dr

r

nó lại trượt khỏi mặt phẳng kinh tuyến về phía W qua vị trí III thì trục chính con quay lại hạ xuống với vận tốc V Tg

Trục chính con quay lệch khỏi mặt phẳng kinh tuyến 1 góc α về phía

W của mặt phẳng chân trời đồng thời nằm trong mặt phẳng chân trời ngườiø quan sát ( β= 0), lúc này trọng lực P đi qua tâm treo nên không gây ra moment.Nhưng

do chuyển động quay của trái đất mặt phẳng chân trời ở phía W đi lên và phần S của mặt phẳng kinh tuyến quay sang phía E do đó so với mặt phẳng kinh tuyến và mặt phẳng chân trời trục chính con quay sẽ hạ thấp độ cao với vận tốc V Tg

r

và tiếp tục tiến về mặt phẳng kinh tuyến với vận tốc V Dr

r

qua khỏi vị trí V trục chính con quay chìm xuống một góc β so với mặt phẳng chân trời nên trọng lượng P gây ra moment trên trục Y(lúc này đã đổi dấu ) làm cho trục chính con quay tiến động về mặt phẳng kinh tuyến với vận tốc V c

* Sơ bộ nhận thấy rằng : trục chính con quay chuyển động quanh mặt phẳng kinh tuyến và mặt phẳng chân trời theo một hình Elíp Và chuyển động này là không tắt Trong thực tế con quay được treo tốt đến đâu chăng nữa thì cũng tồn tại moment ma sát cho nên trục chính con quay về mặt phẳng kinh tuyến buộc theo một quy luật dao động tắt dần Ngày nay trong kỹ thuật chế tạo ổ bi treo con quay hầu như ma sát không đáng kể nên trục chính con quay về mặt phẳng khuyến trong một thời gian rất lâu khoảng 10 15 ngày đêm

2.2.2 Aùp dụng theo kiểu con lắc thủy lực

Tron phương pháp này người ta gắn vào hộp rôto con quay hai bình chất lỏng thông nhau ,chất lỏng chứa trong bình có độ nhớt bé nhưng tỉ trọng lớn (thông thường : Thủy ngân), chúng được gắn vào hộp rô to con quay đối xứng với nhau qua trục X của con quay sao cho trọng tâm của nó trùng với trọng tâm con quay được gọi là bình N và bình S Do cấu tạo như trên khi trục chính con quay nghiêng một góc β so với mặt phẳng chân trời thì lượng chất lỏng dư ở bình thấp hơn sẽ tạo

La Bàn Con Quay

) 90 ( sin

L y= ⇔ L y= 2 S.h l.tgβ.γ.g.lcosβ ⇔ 2 γ 2 sinβ

l g h S

⇔ L y=Cβ với (C= 2 S.h.γ.g.l2) (S:Thiết diện bình)

Momen này sẽ làm cho trục chính con quay tiến động về mặt phẳng kinh tuyến và mặt phẳng chân trời như trong phương pháp hạ thấp trọng tâm Ở phương pháp này hướng của moment động lượng chỉ về phía S

Phương pháp này khác phương pháp con lắc vật lý là dùng máy cảm biến độ nghiêng chân trời để tạo ra các tín hiệu điện đưa vào các động cơ tạo moment Ly ,

Lz đưa trục chính con quay ổn định về mặt phẳng kinh tuyến (học sau)

2.2.4 Dao động không tắt của la bàn con quay thủy ngân

Như ta đã biết theo nguyên lí, phương pháp gắn bình thủy ngân vào rôto con quay thì trục chính con quay sẽ dao động xung quanh mặt phẳng kinh tuyến và mặt phẳng chân trời theo hình Elip dao động trên được gọi là dao động không tắt của la bàn con quay Để chứng minh dao động không tắt bằng định lượng nghĩa là ta phải thiết lập phương trình vi phân chuyển động của con quay khi đặt trên nền cố định từ đó nêu lên những kết luận cơ bản

Từ phươnh trình vi phân rút gọn của

= + 0

0

z z

y y

L R

L R

r r

r r

∧

= +

ωy, ωz là tổng các vận tốc góc trên

các trục Y, Z có kể đến ảnh hưởng chuyển

động của trái đất theo công thức

d z

L

C L

cos sin

β

αϕωβω

ϕωαω

′

) ( )

cos (

H

) (

C ) sin

1 0

αϕω

β

βϕ

0β

α

ϕωβ

Khi xuất hiện góc nghiêng βr thì sẽ gây lượng chất lỏng dư ở bình thấp hơn lương chất lỏng này gây ra mômen tiến động quanh trục Z với vận tốc góc

ϕω

β

ω = = = đsin

H

C H

Z

Vậy tại vị cân bằng trục chính con quay nằm trong mặt phẳng kinh tuyến (vì

αr=0) và chênh khỏi mặt phẳng chân trời một góc βr và trục chính con quay quay dường dây dọi với vận tốc góc bằng vận tốc góc của mặt phẳng kinh tuyến người quan sát xung quanh đường dây dọi hay nói cách khác tại vị trí này trục chính con quay luôn bán sát kinh tuyến người

Để tìm quy luật chuyển động của trục chính con quay ta giải hệ phương trình

ωϕω

t

⇒α =α0cosω0t ⇔α′ =α0ω0sinω0t thay vào (1) với β ωđsinϕ

C H

r=

La Bàn Con Quay

⇒ sin t r

C

H

βωωα

o

o o

t sin C

H

t.

cos

βω

αωβ

ωα

H

t cos

o r

o o

ωα

ω

ββ

ωα

α

2 2

0 0

2 2

2

0 0

ββα

α

C H

r o

Đây là phương trình elip nó biểu diễn quy luật chuyển động của trục chính con quay theo mặt phẳng kinh tuyến và mặt phẳng chân trời

ϕω

π

cos 2

0

d

J

I T

Ω

= thì chu kỳ dao động không tắt của con quay có bình thủy ngân lớn hơn nhiều lần và vì có chu kỳ dao động lớn nên nó ít bị ảnh hưởng của các ngoại lực tác động

Nếu chỉ dùng phương pháp đặt bình thủy ngân vào con quay cân bằng mà không có thiết bị hiệu chỉnh khác thì không thể làm con quay chỉ hướng được vì trục chính con quay không ổn định

§ 2.3 Các phương pháp tạo dao động tắt dần

Để cho la bàn con quay ổn định về mặt phẳng kinh tuyến người quan sát càng nhanh càng tốt thì người ta có nhiều phương pháp tạo dao động tắt dần cho la bàn con quay về nguyên tắc thì có 2 phương pháp đó là tạo ra mômen tiến

1 chu kỳ nghĩa khi trục chính con quay nằm trong mặt phẳng chân trời thi lượng dầu dư ở một bình là lớn nhất lúc này γmax (γ góc hợp bởi trục chính con quay và đường thẳng nối điểm giữa bề mặt chất lỏng của bình) khi trục chính con quay nằm trong mặt phẳng kinh tuyến thì lượng dầu ở hai bình là bằng nhau lúc này γ=0 vì vậy có thể sử dụng góc

γ để đặc chưng cho mức độ dầu dư ở một bình

Do cách gắn hộp treo Rôto con quay với bình chất lỏng tạo thành một cơ cấu thống nhất khi trục chính con quay dịch chuyển xung quanh trục Oy, Oz thì bình chất lỏng cũng quay

Dr V

r

Dr V

r

C V

r

Dr V

r

Tg V

r

Dr V

r

C V

r

D V

r

C V

r

D V

r

Dr V

r

C V

r

0

= γ

X P

r

Dr V

r

H

M

Tg V

r

Dr V