lý thuyết về la bàn con quay

www.hanghaikythuat.edu.tf Muốn khử sai số ñó ta dịch chuyển trọng tâm của con quay về phía S của trục chính con quay sao cho mô men trọng lượng con quay sẽ tạo nên tiến ñộng trong mặt ph[r]

www.hanghaikythuat.edu.tf Chương 1 Lý thuyết cơ bản về la bàn con quay

1.1 Khái niệm về con quay

Nói chung con quay là một cấu trúc gồm có thành phần quay hoặc dao ñộng, và

nó cho phép ta ño ñạc và phát hiện sự quay trong không gian quán tính của nền tảng

mà trên ñó ta ñặt con quay

Trong các dụng cụ con quay có hình dạng ñối xứng quay quanh một ñiểm cố ñịnh và sự quay của nó có thể chuyển ñộng tự do trong không gian Với ñiểm tức thời

ñó gọi là ñiểm treo của vật

- Trong trường hợp ñiểm treo của con quay trùng với trọng tâm của con quay gọi là con quay cân bằng

- ðối với con quay trong chế tạo la bàn con quay là một con quay có hình dạng là một hình trụ dẹt

Con quay tự do: Là con quay có tổng mô men ngoại lực tác dụng lên nó bằng 0

Nếu gọi L là tổng mô men ngoại lực thì: L = 0

1.2 Hệ toạ ñộ sử dụng trong la bàn con quay

1.2.1 Hệ toạ ñộ vuông góc

- ðiểm 0 trùng với tâm của con quay

- OX là trục chính của con quay

- OY, OZ nằm trong mặt phẳng quỹ ñạo chuyển ñộng của con quay

Trục 0X trùng với trục chính của con quay và con quay quay quanh trục này với vận tốc góc là Ω

1.2.2 Hệ tọa ñộ oX0Y0Z0 cố ñịnh trong không gian

Hình vẽ 1-1

Các trục Y và Z ñược gắn chặt với con quay và quay cùng với con quay nhưng không tham gia vào chuyển ñộng quay riêng của con quay

1.2.3 Hệ tọa ñộ OX1Y1Z1

Hệ toạ ñộ chuyển ñộng trong không gian có trục Z1, Y1nằm trong mặt phẳng quỹ ñạo chuyển ñộng của con quay và quay với con quay quanh trục X

Hình vẽ 1-2

www.hanghaikythuat.edu.tf

Giả sử con quay quay một góc ϕ quanh trục X khi ñó góc ϕ xác ñịnh bởi ZZ1hay YY1 và nằm trong mặt phẳng Y0Z Khi ñó góc ϕ gọi là góc quay riêng của con quay

Với các góc α, β lập nên bởi 3 hệ toạ ñộ ta có thể xác ñịnh vị trí tức thời của con quay trong không gian

1.3 Mô men ñộng lượng

Trong phần cơ lý thuyết ta ñã biết:

v m

q = Nếu lấy một ñiểm I có trọng khối là m

thì khi ñó: qi = m vi

Hình vẽ 1-3

Hình vẽ 1-4

www.hanghaikythuat.edu.tf

i

v là tốc ñộ dài tại ñiểm ñó

Giả sử con quay quay với vận tốc góc làΩ thì khi ñó tại ñiểm I cách trọng tâm

O một khoảng cách là r thì vận tốc dài tại ñiểm ñó sẽ là:

r d dt

h

i i i i

= ;

ta có : i × mivi = 0

dt

r d

;

J m r dt

v d m

ri× i i = i ∧ i (1.2) (Trong ñó J là gia tốc của chất ñiểm)

Từ công thức (2) suy ra L i L

dt

H d

=

∑

= (Trong ñó L là tổng mô men ngoại lực)

Vậy ñạo hàm của véc tơ mô men ñộng lượng theo thời gian sẽ bằng tổng véc tơ

mô men ngoại lực tác dụng vào con quay

Véc tơ h nằm trên trục XX và có chiều sao cho từ ñó ta nhìn thấy ñiểm A quay ngược chiều kim ñồng hồ

Mô men ñộng lượng của toàn bộ vật sẽ là:

www.hanghaikythuat.edu.tf

n

h

h 1, là mô men ñộng lượng của từng phần tử

H là mô men ñộng lượng toàn bộ

Khi ñó ñộ lớn:

h1= m1.v1.r1

h2= m2.v2.r2 +

H

12

Mà Ω tại mọi ñiểm của vật ñều bằng nhau:

www.hanghaikythuat.edu.tf

Từ (1.4) suy ra véc tơ Hicùng chiều với tốc ñộ góc Ω

Từ công thức mô men quán tính của vật ta thấy:

Ta thấy nếu tập trung khối lượng càng xa trục thì càng tăng j lên do ñó người ta cấu tạo con quay như một ñĩa dẹt có khối lượng tập trung ở vành ñĩa

Một ñại lượng khác cũng phụ thuộc vào H ñó là tốc ñộ quay, do ñó ñể tăng Ω

bằng cách tăng tần số nguồn ñiện cung cấp cho mô tơ con quay

Ta có ñịnh lý về mô men ñộng lượng ñược phát biểu như sau:

“ðạo hàm theo thời gian của véc tơ mô men ñộng lượng ñối với một ñiểm nào ñó của vật bằng mô men ngoại lực chính tác dụng lên vật ”

Từ (1.2) ta có : i i i li

dt

v dm r

h d

=

www.hanghaikythuat.edu.tf

1.4 Các tính chất của con quay

1.4.1 Tính bền vững của con quay

Con quay ñược gọi là con quay tự do khi mà có tổng mô men các ngoại lực (L) tác dụng lên nó bằng không Theo ñịnh lý về mô men ñộng lượng của con quay ta có:

= (Tức là ñại lượng hướng không ñổi)

Nếu con quay không bị một ngoại lực nào tác dụng lên con quay thì trục chính của con quay giữ nguyên hướng trong không gian

1.4.2 Tính tiến ñộng của con quay

Cũng như ñịnh lý về véc tơ mô men ñộng lượng ta có:

U L U

dt

H d

y L dt

H d

y

r r

www.hanghaikythuat.edu.tf

H

L H

www.hanghaikythuat.edu.tf

1.5 Mô men kháng con quay

Giả sử con quay có một lực F tác dụng thì theo ñịnh luật của Niu tơn, con quay xuất hiện một lực F'cùng ñộ lớn nhưng ngược chiều, '

F

F = − Ta nhân cả hai vế

r

F r

F

r ∧ = − ∧ ′

ngoại lực là Ly Xét chuyển ñộng của một con quay ñồng nhất và ñang quay xung quanh trục X với vận tốc góc Ω = const Với lực F = const tác ñộng gây mô men theo chiều dương (+) của trục Y, ta thấy trục chính con quay chuyển ñộng quay quanh trục OZ về trùng với mô men ngoại lực ngược chiều kim ñồng hồ một góc bé nhất;

vận tốc góc tiến ñộng là ñều, có giá trị là:

www.hanghaikythuat.edu.tf

Ta xét một chất ñiểm thứ i có khối lượng mitrong con quay, theo cơ lý thuyết

ta coi chất ñiểm này chuyển ñộng phức hợp có gia tốc:

c e r

J = + +

Trong ñó, Jalà gia tốc tuyệt ñối , Jr là gia tốc tương ñối, Jclà gia tốc Cliolit

Ta xét từng thành phần gia tốc riêng biệt:

+ Jr = J τ + Jn ; J τ là gia tốc tiếp tuyến, trong chuyển ñộng ñều có giá trị bằng không; Jnlà gia tốc pháp tuyến hướng tâm, nó cân bằng với gia tốc quán tính ly tâm Vậy lực quán tính ly tâm trong chuyển ñộng tương ñối là: fr = − mi Jndấu trừ (-) trong công thức nó biểu thị ngược chiều với gia tốc pháp tuyến mặt trong mặt phẳng chính con quay ñi qua tâm, không gây mô men bỏ qua không xét

+ Xét thành phần Je:

Trong chuyển ñộng theo thì trục chính con quay, quay quanh trục OZ ta có:

en e

J = τ + Trong ñó Jeτ là gia tốc tiếp tuyến trong chuyển ñộng theo bằng không (vì ωt = const), lúc này còn lại gia tốc pháp tuyến Jenhướng tâm sinh ra lực quán tính ly tâm theo:

en i

f = − , nó nằm trong mặt phẳng chính con quay song song với trục

X gây mô men với trục X chỉ làm tăng hoặc giảm vận tốc quay riêng của con quay, không gây tiến ñộng nên bỏ qua

www.hanghaikythuat.edu.tf

γ

ϕ dr d h r

m =

Trong ñó h là ñộ dày của hình trụ dẹt con quay

Ta thấy fcgây mô men với hai trục:

ϕ ϕ γ

ω ϕ

ω γ

d r

fc = 2 t Ω cos = 2 t Ω 2 cos

Mô men gây với trục Y có ñộ lớn là:

ϕ ϕ γ

ω

r f a

dRy = c = 3 cos 2 t Ω cos (1.8)

(a = r cos ϕ là khoảng cách từ chất ñiểm ñến trục Y)

ðể xét toàn bộ mô men kháng trên trục Y con quay ta tích phân hai vế phương trình (8), vì con quay là ñồng chất nên γ cố ñịnh và các số là hằng số ta ñưa ra ngoài tích phân, ta có:

Ω

= Ω

2

1

cos

.

0

20

23

t

R t

www.hanghaikythuat.edu.tf

Trong ñó:

2

R2M

J = là mô men quán tính của hình trụ dẹt ñối với trục chính con quay

Tính mô men kháng Rz của con quay:

3 sin cos 0

.

ϕ ϕ ϕ

ω γ

Vì 2∫π ϕ ϕ ϕ =

0

0

cos

- Mô men kháng trong con quay là do lực Cliolit sinh ra

- Mô men kháng là một ñại lượng véc tơ có hướng ñược xác ñịnh sao cho, khi ñứng theo chiều của nó, nhìn xuống chân thấy véc tơ mô men ñộng lượng chuyển ñộng ngược chiều kim ñồng hồ ñến trùng với vận tốc góc tiến ñộng của con quay một góc bé nhất

1.6 Ảnh hưởng của ngoại lực tác dụng liên tục và xung lực tới con quay

Ứng dụng phương pháp Kudrevit:

1- Lập hệ toạ ñộ OX0Y0Z0 cố ñịnh

2- Không tính ñến tốc ñộ góc của quả ñất chuyển ñộng

3- Lập hệ toạ ñộ OXYZ gắn liền với con quay

4- Cho con quay lệch sang chiều dương một góc α và chếch lên một góc β

www.hanghaikythuat.edu.tf

5- Lập các véc tơ tốc ñộ góc α & , β &

6- Xác ñịnh các hình chiếu trên trục Y là q và trên trục Z là R

Ta có: q = β & ; R = α & cos β

7- Tìm mô men kháng con quay

Ry = Hα&.cosβ và Rz = H β& (1.9)8- Tìm gia tốc góc α & và β &

9- Xác ñịnh mô men quán tính

Iα & cos β và Iβ & (I mô men quán tính ñối với trục Y và Z)

10-Ta giả thiết rằng: Có một lực F tác dụng lên con quay và gây lên mô men ñối với trục OY, véc tơ mô men nằm trên trục Y hướng về chiều dương và cho rằng ngoài mô men ngoại lực ñó không còn mô men nào khác nữa 11-Tích mô men quán tính ở ñây mô men quán tính bằng 0 vì ñiểm O ñứng yên hoặc chuyển ñộng ñều

12-Ta cộng các mô men theo các trục Y và Z:

Hình vẽ 1-11

y yR I

L R I

β α

0 cos

cos

β β

α

β α

L H

0

β α

L H

Ta có:

yL iHZ Z

I & − = (1.12)

Tìm phương trình tương ñương

IP – iH = 0 trong ñó P là một nghiệm âm P i o

Z = . ωo +

Trong ñó: N là hằng số phức bất kỳ; ở ñây cho N = C1 + iC2

C1 & C2 là những số thực thuộc nghiệm của phương trình (1.12)

Zr là nghiệm riêng của phương trình (1.12) Zr= -

H

L i iH

t Cos iC

Cos i

t t

Cos

Z =C1 ω0 −C2sinω0 + (C2 ω0 +C1sinω0 + y ) (C) Suy từ (A) ta có các Y và X tương ứng kết hợp với (B) và (C) ta có:

Cos X

t t

Cos

y C

C

C

ωω

ωω

α

β

0 1

0 2

0 2

0 C1

sin

sin Y

&

&

(1.13)

Khi t = 0 thì trục chính con quay có toạ ñộ:

H L

t H

L t

y y

y

ωβ

ω

ωω

β

α

β

0 0

0

0 0

0

sin cos

sin cos

C y

t H

L t t

H

L

t H

L t

4 0

0

0 0

0

3 0

0

0 0

0

cos sin

.

cos sin

.

ωω

βω

ω

ωω

ωω

α

β

β &

(1.15)

Dựa vào ñiều kiện ban ñầu ñể tìm C3 và C4

ðiều kiện như ở trên: t = 0

ωβ

0

0 0 4

0 0

3

C

y C

H

L

(1.16)

Thay C3 và C4 ở (16) vào (15) ta có:

+

− +

=

t H

L t H

L t

t t

H L

y y

y

ωω

ωω

βα

ωω

βω

ω

α

β β

0 0

0 0

0 0

0 0

0 0

0 0

sin )

cos 1 (

sin )

cos 1 (

&

(1.17)

Biểu thức (1.17) biểu thị quy luật chuyển ñộng của con quay dưới tác ñộng của ngoại lực liên tục nếu phân tích α và β ta rút ra kết luận:

Dưới tác dụng của ngoại lực con quay sẽ hoàn thành chuyển ñộng phức hợp

gồm góc tiến ñộng với tốc ñộ góc tiến ñộng

H

LY

*Kết luận: Tiến ñộng của con quay không có quán tính nghĩa là khi mô men

ngoại lực thôi tác dụng thì con quay thôi tiến ñộng ngay Quán tính của con quay sinh

ra trong trường ñộng chứ không sinh ra trong tiến ñộng, do ñó khi có một mô men ngoại lực tác dụng tức thời Xung lực thì sẽ làm cho con quay có tốc ñộ góc ban ñầu

=

+

=

) cos 1 ( ' sin

0 0

0 0

0 0

0 0'

t

t

ω ω

β α

1.7 Phương trình rút gọn của chuyển ñộng con quay

0

β α

Ly H

I

(1.19)

Từ phương trình (19) là phương trình ñầy ñủ của chuyển ñộng con quay dưới tác dụng của ngoại lực: Nếu ta không tính ñến trương ñộng thì (18) trở thành:

L H

C y

t H L

t H L

Với ñiều kiện ban ñầu t = 0, αt=0 = α0,βt=0 = β0

Thay vào (21) ta tính ñược:

0 1

t H L

=

+

=

) cos 1 (

sin

0 0

0 0

0 0

0 0

t

t

ωω

βα

ωω

ββ

α β

Như vậy nghiệm của nó giống nhau

Tóm lại: Khi có ngoại lực tác dụng vào con quay thì con quay sẽ chuyển ñộng

có cả tiến ñộng và trương ñộng Khi có xung lực tác dụng thì nó quay trong mặt phẳng cân bằng của nó, nghĩa là không lệch khỏi mặt phẳng kinh tuyến

1.8 Chuyển ñộng quay của trái ñất

Giả sử tốc ñộ góc quay của quả ñất là ωñ ñược phân thành hai phần:

www.hanghaikythuat.edu.tf

E luôn ñi xuống, phần W luôn ñi lên Tại xích ñạo ω1= ωñ có trị số lớn nhất, thành phần ω2 ñặc trưng cho chuyển ñộng của quả ñất quanh trục thẳng ñứng Z,n

ω2 thay ñổi theo vĩ ñộ người quan sát

Tốc ñộ góc ωñ =

h

h 12 24

∆≈900 - δ với ñại lượng β và α luôn luôn thay ñổi Ta có công thức tính ñộ cao thiên thể trong thiên văn:

Sin h = sinϕ sinδ + cosδ Cost

Tương tự ta có: Sin β = sinϕ sinδ + cosϕ Cosδ.cost

Ta lại có công thức tính phương vị trong thiên văn:

CotgA= cosϕ tgδ Cost - sinϕ tgt Tương tự ta sẽ có: Cotgα = cosϕ tgδ Cost - sinϕ tgt

Nếu ñặt trục chính con quay song song với trục PNPS thì nó chỉ cho ta vĩ ñộ người quan sát:

Hình vẽ 1-12

1.10 Thí nghiệm Fucô

10.1 Thí nghiệm 1

Fucô ñã dùng con quay và hạn chế chiều quay của nó quanh trục Y

ðầu tiên ông ñặt nó nằm trong mặt phẳng chân trời và lệch khỏi mặt phẳng kinh tuyến một góc α

Ta có:

ωx= ωñ cosϕ cosα

ωY = ωñ cosϕ sinα

ωY là thành phần hữu ích do chuyển ñộng quay của quả ñất gây nên con quay

sẽ chuyển ñộng xung quanh trục Y với một tốc ñộ góc ωY Như vậy con quay ngoài chuyển ñộng với tốc ñộ góc Ω còn quay quanh trục Y một tốc ñộ góc ωY

Do hạn chế chiều quay quanh trục Y sẽ sinh ra một mô men kháng Ry Dưới tác dụng của mô men kháng Ry con quay sẽ chuyển ñộng quanh trục Z và ñi về mặt

Hình vẽ 1-13

T = Π = Π Ω

Nếu không có ma sát thì nó là dao ñộng không tắt

Nếu có ma sát thì nó là dao ñộng tắt dần

1.10.2 Thí nghiệm 2

Hạn chế chiều quay của nó quanh trục Z

ðặt con quay có vị trí ban ñầu nằm trong mặt phẳng kinh tuyến trục chính lệch với PNPS một góc θ Như vậy con quay có thể quay quanh trục X và Y

Ta phân tích ωñ ra làm hai thành phần ωX và ωY

- Thành phần ωX làm cho con quay quay quanh trục X trục chính con quay không biến ñộng

- Thành phần ωZ làm cho con quay, quay quanh trục Z

Như vậy thành phần ωX làm cho con quay quay chậm ñi với tốc ñộ góc ωX =

ωñ cosθ, thành phần ωZ = ωñ sinθ là thành phần do chuyển ñộng trái ñất gây nên

Trong trường hợp này con quay ngoài chuyển ñộng tự quay với tốc ñộ góc Ω

còn tiến ñộng quay trục Z với ωZ = ωñ sinθ

Do hạn chế chiều quay của con quay quanh trục Z nên sinh ra một mô men kháng RZ làm cho trục chính con quay quanh trục Y trở về trục PNPS

Qua thí nghiệm thứ 2 của Fucô này cho chúng ta thấy nếu ta hạn chế chiều quay của con quay quanh trục Z thì trục chính con quay chỉ vĩ ñộ nơi ñặt máy

Chu kỳ dao ñộng của con quay ñến trục và trụ là:

Hình vẽ 1-14

www.hanghaikythuat.edu.tf

ωd

j

I T

.

2

Ω Π

=

Chu kỳ này không phụ thuộc vào vĩ ñộ người quan sát

1.11 Các phương pháp biến con quay thành la bàn con quay

1.11.1.Phương pháp hạ thấp trọng tâm con quay

Hạ thấp trọng tâm của con quay bằng cách hạ thấp trọng tâm ở phần vỏ của nó

ðầu tiên ñặt trục con quay song song với mặt phẳng chân trời và lệch khỏi mặt phẳng kinh tuyến một góc 900

Hình vẽ 1-15

B

ω = . sin (1.26) Trong trường hợp góc lệch bé thì: sinβ≈β

Thay vào (26) ta có góc tiến ñộng con quay là ω β

H

B

t = lớn nhất Thành phần ωt lớn nhất ở kinh tuyến do ñó trục chính con quay không thể dừng lại ở ñó ñược mà vẫn tiếp tục sang (W)

Mặt phẳng chân trời ở W ñi lên, trục chính con quay ñi xuống cho ñến khi trục chính con quay gặp mặt phẳng chân trời phía W thì β = 0, ỏ = -ỏ max Trục chính con quay chuyển ñộng về hướng N và ñi xuống cho ñến khi gặp mặt phẳng kinh tuyến thì ỏ = 0, õ = -õ max ðiều này cũng có nghĩa là vẫn tồn tại mô men Ly làm cho trục chính con quay không dừng lại mà tiếp tục chuyển ñộng sang phía E ñể hoàn thành một chu kỳ dao ñộng không tắt của nó

Nếu ñem trải ra mặt phẳng, quỹ ñạo chuyển ñộng của ñầu nút trục chính con quay chuyển ñộng trên thì nó là một hình elíp dẹt

Tóm lại con quay có trọng tâm thấp hoàn toàn thành một chu kỳ dao ñộng không tắt quanh mặt phẳng kinh tuyến, quỹ ñạo ñầu mút trục chính con quay là một hình elíp dẹt

www.hanghaikythuat.edu.tf

1.11.2 Phương pháp dựng bình thuỷ ngân thông nhau

ðể biến con quay thành la bàn con quay người ta sử dụng bình thuỷ ngân N, S thông nhau ( hiện nay chất lỏng thuỷ ngân có thể thay thế bằng một chất lỏng khác có tính chất tương ñương)

Giả sử tại vị trí 1: ðặt trục chính con quay lệch khỏi mặt phẳng kinh tuyến một

góc 900 và song song với mặt phẳng chân trời do vậy không có lượng thuỷ ngân dư

sinh ra

Khi quả ñất quay làm lệch mặt phẳng chân trời với trục chính con quay một góc β Tại vị trí 2, làm cho thuỷ ngân dịch chuyển từ bình nọ sang bình kia sinh ra một lượng thuỷ ngân dư có trọng lượng là P

Hình vẽ 1-16

P1 = P.sinβ: Không gây mô men ñối với một trục nào

P2 = P.cosβ: gây mô men ñối với trục Y, mô men Ly có hướng về phía sau con quay dẫn ñến xuất hiện ωt làm cho ñầu N của trục chính con quay tiến về phía S ngược với trường hợp con quay có trọng tâm thấp

- γ là khối lượng riêng của chất lỏng

- s là thiết diện của ống

- ρ là khoảng cách từ tâm con quay ñến tâm của khối chất lỏng dư

Tóm lại ta thấy trục chính con quay lệch khỏi mặt phẳng kinh tuyến một góc β

nào ñó thì nó cũng sẽ trở về mặt phẳng kinh tuyến Bởi có góc β khi mặt phẳng chân trời quay quanh ñường NS sinh ra vận tốc góc ωt phụ thuộc vào góc lệch β nó cũng như con quay có trọng tâm thấp sẽ dao ñộng không tắt quanh mặt phẳng kinh tuyến Quỹ ñạo của ñầu nút trục chính con quay trên mặt phẳng là một hình elíp dẹt

Chương 2 Lý thuyết về con quay chuyển ñộng trên nền cố ñịnh

2.1 Khảo sát chuyển ñộng của la bàn con quay có bình thuỷ ngân thông nhau

Trước tiên ñặt sao cho trục chính của la bàn con quay lệch khỏi mặt phẳng kinh tuyến một góc α và chênh một góc β

α& là vận tốc góc con quay, quay quanh trục Z

β& là vận tốc góc con quay, quay quanh trục Y

Với trục Z: - H(β& - cosϕ sinα) = 0

Trong kỹ thuật người ta thường bỏ qua giá trị a mà vẫn ñảm bảo ñược kỹ thuật

vì cosϕ, cosα, cosβ ñều nhỏ hơn 1

Với góc lệch α và β bé thì ta có:

Sin α≈α Sinβ≈β

Cosα≈ 1 Cosβ≈ 1

Hình vẽ 2-1

www.hanghaikythuat.edu.tf

(2.1a, 2.1b) là hệ phương trình vi phân chuyển ñộng của con quay có bình thuỷ ngân thông nhau

Lấy phương trình (2.1.a) vi phân lần nữa ta có:

Hα & + C β & (theo góc) ta cóβ = α ( − )

m:khối lượng con lắc

l: chiều dài cánh tay ñòn

g: gia tốc trọng trường I: Mô men quán tính ñối với trục lắc

So sánh (2.2) với (2.3) ta thấy:

C

H2tương ứng với I gọi là mô men quán tính ñộng

Hωñcosϕ ứng với mgl (là mô men quán tính hồi của con lắc) gọi là mô men ñịnh hướng của con quay

Trường hợp ñã ñịnh hướng với một góc α nào ñó thì: Hωñcosϕα

Bây giờ ta ñi tìm nghiệm riêng của phương trình (2.2) nó ñặc trưng cho vị trí cân bằng ñộng của trục chính con quay

phương trình tại vị trí cân bằng ñộng Vậy trục chính của con quay ở vị trí cân bằng ñộng nằm trong mặt phẳng kinh tuyến

Ta có thể viết (2.2) dưới dạng khác:

0 cos

cos

.

H