Vẽ đúng hình chứng minh đợc 4 điểm A,O,S,B cùng thuộc 1 đờng tròn đờng kính SO b.Cm đợc AC2=AB.AE.. y=3 Chú ý: Nếu học sinh làm cách khác đúng vẫn cho điểm..[r]
Trang 1Phòng GD huyện Thanh Oai
Trờng THCS Bỡnh Minh
Đề thi chọn học sinh giỏi lớp 9 năm học 2014- 2015
Thời gian làm bài 150 phút (không kể thời gian giao đề)
Bài 1: (6đ)
a Cho biểu thức:
3
P
1.Rút gon P
2.Tìm các giá trị của x để P=
8 9
3 Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của P
b Chứng minh rằng
A=
1 2 3 4 5 6 7 8 79 80
Bài 2:(4đ)
a) Giải phơng trình:
2x x 6 x x 2 x
x
b)Chứng minh rằng : n2 + 7n + 2014 không chia hết cho 9 với mọi số tự nhiên n
Bài 3:(3đ)
a) Tìm nghiệm nguyên của phơng trình
1 + x + x2 + x3 = y3
b)Cho a,b,c là các số dơng và a+b+c=1 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A= a3+b3+c3
Bài 4:(6đ)
Cho đờng tròn tâm O bán kính R, từ một điểm S ở ngoài đờng tròn vẽ các tiếp tuyến SA.SB ( A, B là các tiếp điểm) Kẻ đờng kính AC của (O) cắt AB tại E Chứng minh:
a) Bốn điểm A,O,S,B thuộc cùng một đờng tròn
b) AC2 = AB.AE
c) SO // CB
d) OE vuông góc với SC
Bài 5: (1đ) Tìm a,b là các số nguyên dơng sao cho: a + b2 chia hết cho a2b-1
Đáp án + biểu điểm
Bài 1: a) (4đ)
1.(2đ)
Trang 22 1 4
3
3
3
4
x
0,5đ 0,5đ
0,5đ 0,25đ
2 (1đ)
9 x x x x 4(TMĐK)
1đ
3.Với x 0;3(x x 1) 0 P 0, minP=0 khi x=0
Với x>0,P=
4 1
x
vì
1 2
x x
nên
1
1 1
x x
Do đó P
4 3
Dấu ”=” xảy ra khi x=1 Vậy maxP=
4
3khi x=1
0,5đ 0,25đ 0,25đ
b A=
1 2 3 4 5 6 79 80
A>
2 3 4 5 6 7 80 81
2A >
1 2 2 3 3 4 4 5 79 80 80 81
2A > 2 1 3 2 4 3 5 4 81 80
2A > 81 1 9 1 8 A 4(đpcm)
1đ
1đ
Bài 2:(4đ)
a) (2đ)
ĐK: x>0
Nhận thấy 2x2 x 6 x2 x 2với mọi x
Biến đổi:
0,25đ
0,5đ 0,25đ
Trang 3
4
x
x
2 x x 2
x
(x 1)(x 2x 4x 4) 0
0,5® 0,5®
b)(2®) Gi¶ sö n2 +7n +20149
2 7 2014 3 4 2 28 8056 3 (2 7) 2 8007 3
v× 80073 (2n 7) 32 (2n 7) 92
mµ 8007 kh«ng chia hÕt cho 9 Nªn (2n+7)2+8007 kh«ng
chia hªt cho 9 n2 7n 2014kh«ng chia hÕt cho 9 m©u thuÉn víi gi¶ sö
nªn ®iÒu gi¶ sö lµ sai VËy n2+7n +2014 kh«ng chia hÕt cho 9 (®pcm)
0,5® 0,5® 1®
Bµi 3: (3®iÓm)
a (1,5d) Giải: Ta có x2+x+1=(x+
1
2)2 +
3
4>0 5x2+11x+7=5(x+
2
11 19 )
10 20 >0 Nên(1+x+x2+x3)-(1+x+x2)<1+x+x2+x3<(1+x+x2+x3)+(5x2+11x+7)
x3<1+x +x2+x3<(x+2)3 hay x3<y3<(x+2)3 Do đó y3=(x+1)3
=>(x+1)3=1+x+x2+x3 x(x+1)=0
0 1
x x
*x=0=>y=1
*x=-1=>y=0
Vậy nghiệm nguyên của PT là : (0;1), (-1;0)
b) (1,5®)
ta cã a>0 nªn
3
a
( b®t c«si cho 3 sè d¬ng)
3 27
a
a
t¬ng tù
;
b c
,
0,25® 0,25® 0,5®
0,5®
0,5®
0,5®
0,5®
Trang 4⇒ a3
+b3+c3 13(a b c ) 29 1 23 919
Do đó A
1
9
Dấu “=” xảy ra khi a=b=c=
1 3
Vậy min A=
9 a b c 3
Bài 4:(6đ)
a
Vẽ đúng hình chứng minh đợc 4 điểm A,O,S,B cùng thuộc 1 đờng tròn
đ-ờng kính SO
b.Cm đợc AC2=AB.AE
c Cm đợc SO//CB
d CmAECđồng dạng SOA
OA SA OC SA OCE đồng dạng SAC từ đó suy ra OE vuông góc với SC
1,5đ 1,5đ
1,5đ 1,5đ
Bài 5: (1đ)
x xy y x xy x xy x y xy
2(x y xy) 2
Đặt 2(x+y)=k(xy+2) với k Z
Nừu k=1 2x 2y xy 2 (x 2)(y 2) 2
Tìm đợc x=4 ; y=3
Nừu k 2 2(x y ) 2( xy 2) x y xy 2 (x 1)(y 1) 1 0 vô lí (loại)
Vậy x=4 y=3
1,0đ
Chú ý: Nếu học sinh làm cách khác đúng vẫn cho điểm
y
O
C S
E