Chú ý : Nếu để tránh định lý đảo về dấu tam thức bậc hai khi xét.. giác trong AL và AL 2 b Tính và cosA.[r]
Trang 1THAM KHẢO ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TỈNH HÀ TĨNH ngày 04/04/2013.
Giáo viên giải: Nguyễn Tiến Minh.
Câu 1.a) giải bất ptrình x2−6 x +2 ≥2(2− x)√2 x − 1
Điều kiện: x ≥1
2 . Bpt ⇔ x2
+2 x√2 x − 1+2 x −1 ≥ 4(2 x −1)+4√2 x −1+1
⇔(x +√2 x −1)2≥(2√2 x −1+1)2
⇔ x+√2 x −1 ≥2¿ √2 x −1+1¿ do 2 vế dương )
⇔√2 x −1 ≤ 2 x − 1 ⇔{2 x − 1≤ x x ≥ 12− 2 x +1 ⇔ x ≥ 2+√2
Đối chiếu đk ta có nghiệm bất phương trình là x ≥ 2+√2
b) Giải hệ { x5+xy4=y10+y6(1)
√4 x+5+√y2+8=6 (2)
Điều kiện: x −5
4 .
Ta thấy nếu ( x; y ) = (0; 0 ) không phải là nghiệm của hê Từ (1 ) ⇒ x >0
Từ (2 ) ta có
+nếu x > 1 ⇒ y2
<1⇒ y4
>y6⇒ x5
+xy4>1+ y4>y10+y6⇒(1) vn ⇒ hêvn + nếu x < 1 ⇒ y2>1⇒(1)vn ( tương tự cm như trên ) ⇒ hệ vn
Vậy x = 1 thay vào (2 ) ta dễ dàng có y =1 vậy hệ dã cho có 2 nghiệm ( x : y) = ( 1 ; 1 )
Và ( x ; y ) = (1 ; -1 )
Câu 2 Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hệ sau có nghiệm : {x2−m= y (x +my)
Hệ đã cho ⇔{x2− xy − my2
=m
x2− xy − y=0 ⇔{my2− y +m=0(1)
x2− yx − y=0(2)ỹỹ
Gọi f ( y ) = my ❑2 -y + m
Hệ có nghiệm ⇔(1) có nghiệm y thõa mãn :
y ≥0 (3)
y ≤− 4 (4) Δ= y2+4 y ≥ 0⇔¿ +)nếu m = 0 hệ có nghiệm (x ; y ) = ( 0 ; 0 ) ⇒m=0 thõa mãn
++)nếu 0 : chú ý rằng ac = m ❑2 > 0 nên không thể có 2 nghiệm trái dấu
Thợp 2: ( 1) có 2 nghiệm x1; x2≥ 0 ⇔{Δ=1 −4 m1 2≥ 0
m>0
2
Thợp 3: (1) có 2 nghiệm x1; x2≤ − 4 ⇔{ s Δ≥ 0
2<−4
mf (− 4)≥0
⇒ vn
Trang 2: hệ có nghiệm ⇔0 ≤ m≤1
2 .
( Chú ý : Nếu để tránh định lý đảo về dấu tam thức bậc hai khi xét S2 ( không có trong chương trình sách giáo khoa ) ta có thể đặt y = t+4 đưa về pt ẩn t có cả 2 nghiêm
t1;t2≤ 0 .)
Câu 3 Trong mặt phẳng 0.xy cho I( 2 ;4 ) và các đường thẳng
d1:2 x − y − 2=0 ;d2:2 x + y −2=0 .Viết phương trình đường tròn ( C ) có tâm I sao
cho
( C ) cắt d1 tại A và B , cắt d tại C và D thõa mãn AB2
+CD2+16=5 AB CD
Giải : ( Bạn đọc tự vẽ hình )
ta có d ❑1 ( I ; d )=|4 − 4 −2|
2
√5 d ❑2 ( I ; d )=
|4+4 −2|
√5 =
6
√5 Goi
R là bán kính đường tròn Gọi H và K là trung điểm của AB và CD ta có :
AB= 2AH = 2√R2−d12=2√R2−4
5 CD = 2CK = 2√R2−d22=2√R2−36
5 Điều kiện đề bài trở thành :
=92+ 4√361 21
Ta có phương trình đường tròn là : ( x − 2)2+( y − 4 )2=92+4√361
21
Câu 4 (Bạn đọc tự vẽ hình )
1.Cho tam giác ABC có BC =a , CA = b, AB = c.Trung tuyến CM vuông góc với phân giác trong AL và CMAL =3
2√5 − 2√5 . Tính b
c và cosA.
Giải: Gọi H = AL CM Vẽ MK // AL Ta dễ dàng nhận thấy tam giác CAM cân tại A nên CA = AM = MB ⇒ c= 2b hay b
c=
1 2
Ta có HL = 12MK=1
4AH⇒ AL= 4
3AH .
Áp dung công thức trung tuyến ta có CM ❑2 = 2(b
2 +a2)− c2
2
Áp dụng Pi ta go ta có: AH ❑2=b2−CH2=b2−1
4CM
2
=b2−1
8(a
2
−b2)=9 b2−a2
8
Trang 3Nên CMAL =3
2√5 − 2√5
⇔
a2−b2
2
16
9 .
9 b2− a2
8
=9
4(5 −2√5)⇔ a2−b2
9 b2−a2=5 −2√5⇔(b a)2=23 − 9√5
3 −√5
Áp dụng định lý cos trong tam giác ABC ta có:
Cos A = b2
+c2− a2
2 bc =
5 b2− a2
4 b2 =
5 −(a b)2
5 − 23 − 9√5
3 −√5
√5 −1
4
Nhận xét: bài này đáng ra không nên câu : “ tính b c ” vì kết quả này ‘tầm thường”
2 Cho các số thực a và b thõa mãn: ( 2+a )(1+b ) = 9
2 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P = √16+a4+4√1+b4
Giải: Đặt 2b = x Điều kiện bài toán trở thành : ( 2+ a) ( 2+x ) = 9.Ta cần tìm Min của
P = √16+a4
+√16 +x4 Theo bất đẳng Co si :
√16+a4
+√16 +x4 2❑
√ √(16+a4)(16+x4
)≥2√4(5+4|a+2|)(5+4|x+2|)=¿
=2 √4 25+20(|a+ 2|+|x+2|)+16|(a+2)(x+ 2)|≥ 24√25+20 2 3+16 9=2√17
Dấu “ = “ xẩy ra ⇔{a=1 x=1 Vậy Min P = 2√17⇔{b= a=11
2
Câu 5 Cho f (x ) = x2
− ax+b với a,b là các số nguyên Biết rằng tồn tại các số nguyên đôi một phân biêt m,n,p mà 1 m ,n , p ≤9 sao cho |f (m)|=|f (n)|=|f ( p)|=7 Tìm tất cả các bộ số (a;b)
Giải:
Xét phương trình
x2− ax+b − 7=0(1)
x2− ax +b+7=0(2)
|f (x )|=7(∗)⇔¿ Theo đề ra (*) có ít nhất 3 nghiệm nguyên Nên ta suy ra (1) và (2 ) phải có 2 nghiệm nguyên ( dễ thấyNếu mỗi pt có một nghiệm nguyên thì nghiệm kia cũng nguyên )
⇒{Δ1=a2−4 b+28=m2
Δ2=a2− 4 b −28=n2 là các số chính phương Không mất tính tổng quát giả sử
m> 0 ,n > 0
⇒(m− n)(m+n)=56 ⇔{m+n=28 m −n=2 ⇔{m=15 n=13 hoặc {m+n=14 m− n=4 ⇔{m=9 n=5
Th1: (m;n ) = ( 15; 13) Khi đó các nghiệm của (1) là x1=1
2(a −15) , x2=1
2(a+15) và các nghiệm của (2) là x3=1
2(a− 13); x4=1
2(a+13)
Trang 4Do x1<x3<x4<x2 và tồn tại 3 giá trị nguyên đôi một phân biêt m,n,p mà 1
m ,n , p ≤9
{a − 152 ≥ 1
a+13
2 ≤ 9
{a − 132 ≥ 1
a+15
2 ≤ 9
⇒ vn
⇒¿
Th2: (m ; n ) = ( 9;5 ) Khi đó các nghiệm của (1) là x1=1
2(a −9 ), x2=1
2(a+9 ) và các nghiệm của (2) là x3=1
2(a− 5); x4=1
2(a+5)
Do x1<x3<x4<x2 và tồn tại 3 giá trị nguyên đôi một phân biêt m,n,p mà 1
m ,n , p ≤9
{a − 92 ≥ 1
a+5
2 ≤ 9
⇒ 11≤a ≤ 13
{a −52 ≥ 1
a+9
2 ≤ 9
⇒7 ≤ a ≤9
⇒¿
Do x ❑i Z ⇒a là số nguyên lẻ
Thử trực tiếp Ta có 4 cặp (a;b ) sau đây
(a;b) = (11;17 ) ứng với với |x2− 11x +17|=7 có 3 nghiệm nguyên 1;3;8 thõa mãn bài toán
(a;b ) = ( 7;-1) ứng với với |x2− 7 x −1|=7 có 3 nghiệm nguyên 1;6;8 thõa mãn bài toán
Cặp ( a; b ) = ( 9;7 )
ứng với với |x2− 9 x+7|=7 có 3 nghiệm nguyên 2;7;9 thõa mãn bài toán
căp (a;b ) = ( 13;29)
ứng với với |x2− 13 x +29|=7 có 3 nghiệm nguyên 2;4;9 thõa mãn bài toán