DE THI HSG TOAN 9 VONG 1 NAM 20152016 THANH CHUONG

- Học sinh không vẽ hình hoặc vẽ hình sai cơ bản thì không chấm bài hình..[r]

PHÒNG GD&ĐT THANH CHƯƠNG ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI HUYỆN LỚP 9

NĂM HỌC 2015-2016 MÔN THI: TOÁN

Câu 1 (2.0 điểm) a Rút gọn các biểu thức sau: A = (5 + 21)( 14 6) 5 21;

B =

b Chứng minh: 2n3 + 3n2 + n chia hết cho 6 ( nZ)

Câu 2 (2.0 điểm) Giải các phương trình sau:

a x2 4x 3 2 2x1

b 3 x 3 35 x 2

Câu 3 (2.0 điểm)

a Tìm giá trị nhỏ nhất của M =

2

2 2

x y





c Cho x;y > 0 và 2x > y Chứng minh rằng:

2

8

y

Câu 4 (4.0 điểm)

Cho đường tròn tâm O, đường kính AB C là điểm cố định nằm trên OA M là điểm

di động trên đường tròn.

a Chứng minh CM  BC

b Trên nửa mặt phẳng bờ AB có chứa điểm M, kẻ tia CN vuông góc với CM (N 

(O)) Gọi K là trung điểm của MN Chứng minh KO2 + KC2 có giá trị không đổi.

c Kẻ CH vuông góc với MN ( H  MN) Tính độ dài CK nếu biết tam giác MCN có chu vi bằng 72cm và CK – CH = 7cm.

d Từ M kẻ MI vuông góc với AB Trên OM lấy điểm P sao cho OP = MI Chứng minh rằng khi M di động trên đường tròn tâm O đường kính AB thì P thuộc một đường cố định?

Hết./

Họ và tên: Số báo danh

ĐỀ CHÍNH THỨC

(Đề gồm 01 trang )

PHÒNG GD&ĐT THANH CHƯƠNG

ĐÁP ÁN THI HSG HUYỆN NĂM HỌC 2015-2016

MÔN THI: TOÁN 9

Câu 1

a A = (5 + 21)

5 21=(5 + 21)

21)( 7 3)

( 7 3)= (5+ 21

)(10- 2 21) = 2.4 = 8

25

0.5

0.5

b Ta có: P = 2n3 + 3n2

+ n = n( 2n2 + 3n +1) = n(n + 1)( 2n + 1) Ta thấy P  2

Để c/m P 6 ta cần c/m P3 Thật vậy:

nếu n = 3k (kZ) thì

P3; Nếu n = 3k + 1 (kZ) thì 2n + 1 = 6k + 3 3 nên P3, Nếu

n = 3k + 2 thì n + 1 = 3k + 3 3 nên P3

0.5

0.5

ĐK x

1 2



,

0.5

2 4 3 2 2 1

x  x  x

 x2 + 2x + 1 + 2x

+1 - 2 2x 1+1 =0

 ( x + 1)2 +

2 ( 2x  1 1) 0 Suy ra phương trình

vô nghiệm

0.5

3 5 x  2 3 x3

Đặt t = 3 x 3  t3

= x + 3 suy ra x = t3

-3 suy ra

3 3

3 5 x  8 t

Ta phương trình đầu tương đương với

38 t3  2 t Lập phương cả 2 vế ta có:

t2 – 2t = 0 suy ra t = 0 hoặc t = 2 Từ đó tìm được x = -3; x = 5

0,25 0.5

0,25

M =

2

2 2

x y



Vậy Min M = -1 đạt được khi x = -y/3

0.75 0.25

b Vì x, y > 0 và 2x > y

nên suy ra

2 1

0

y x 

0,25

0,25

Lại có:

2 1

x

Ta xét 2 trường hợp

sau:

*) TH1 Nếu

2

y

y y



suy ra

2

BĐT đúng

*) TH2 Nếu

0

2

y

y y



Ta có VT =

2

 8VT =

4

4

81

8

0.5

Câu 4

H K

N

a Ta có CM  OC +

b

Ta có tam giác MCN vuông, có CK là trung tuyến nên CK =

KM (1)

Vì K là trung điểm

MN nên suy ra OK vuông góc với MN nên suy ra OK2 +

KM2 = OM2 = R2 (2)

Từ (1) và (2) suy ra :

KO2 + KC2 = R2 = không đổi

0.5

0.5

c Đặt CK = x suy ra

MN = 2x, CH = CK –

7 = x – 7 Ta có CM2

+ CN2 = MN2 = 4x2

(1) CM.CN = CH.MN = 2x( x – 7) suy ra 2

CM.CN = 4x(x – 7) (2) Từ (1) và (2) suy ra: (CM + CN )2 = 8x2- 28x (3)

Mặt khác theo bài ra

ta có: CM + CN +

MN = 72 suy ra CM + CN = 72 – MN = 72 -2x (4) Từ (3) và (4) suy ra: (72 – 2x)2

=8x2 – 28x Tìm được

0.5

0.5

x = 16.

d

E

I

M

P

Kẻ bán kính OE vuông góc với AB, E

cố định Ta có OE =

OM = R Vì EO //MI nên ta có

IMO EOM ( so le trong) mà OP = MI (gt) nên OEP =  MOI suy ra góc EPO

= 900 suy ra P thuộc đường tròn đường kính OE

Lưu ý:

- Học sinh giải cách khác mà đúng vẫn cho điểm tối đa.

- Học sinh không vẽ hình hoặc vẽ hình sai cơ bản thì không chấm bài hình.