Các số học trên vành các số nguyên gauss

Nội dung chính của chương này là giới thiệu các tính chất số học của vành Z[i] các số nguyên Gauss, trong đó có Định lý cơ bản của Số học, thuật toán Euclid, bài toán mô tả các phần tử b

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH

PHAN THỊ LỆ HẰNG

SỐ HỌC TRÊN VÀNH CÁC SỐ NGUYÊN GAUSS

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGHỆ AN 12-2011

MỞ ĐẦU

Một số nguyên Gauss là một số phức với phần thực và phần ảo đều là các

số nguyên Tập các số nguyên Gauss là một miền nguyên, được ký hiệu là Z[i]

Trong Đại số và Số học, chúng ta gặp các bài toán về đa thức và số nguyên mà lời giải có thể trình bày ngắn gọn dựa vào công cụ các số phức Chính những bài toán như vậy đã thôi thúc chúng tôi viết luận văn này với niềm tin những nội dung này, ngoài việc giới thiệu những hiểu biết toán học mới, còn có thể giúp ích tích cực trong việc giải quyết một số bài toán Đại số và Số học Luận văn này giới thiệu một số tính chất số học của vành các số nguyên Gauss và các ứng dụng của nó trong Đại số và Số học

Trong sự trình bày, chúng tôi có tham khảo nhiều nguồn khác nhau, trong

đó chủ yếu là bài báo The arithmetic of Gaussian integers của A B Gonrachov trong Kvant, No.12, 1985, pp 8-13 và bài viết Các số nguyên Gauss của tác giả

Nguyễn Chu Gia Vượng (Viện Toán học) đăng trong Thông tin Toán học của

Hội Toán học Việt Nam, Tập 15, Số 1 và Số 2, năm 2011

Nội dung của luận văn gồm hai chương:

Chương 1: Trình bày các khái niệm và kết quả cơ sở của vành các số

nguyên Gauss Z[i] Nội dung chính của chương này là giới thiệu các tính chất số học của vành Z[i] các số nguyên Gauss, trong đó có Định lý cơ bản của Số học, thuật toán Euclid, bài toán mô tả các phần tử bất khả quy trên vành Z[i]

Chương 2: Giới thiệu các ứng dụng của số nguyên Gauss trong việc

chứng minh và tìm tòi các suy rộng của Định lý Fermat về tổng của hai số chính phương; tìm các bộ số Pythagore; giải một số bài tập số học và đa thức

Albert Girard là người đầu tiên đưa ra nhận xét rằng “mỗi số nguyên tố lẻ

bất kì mà đồng dư với 1 theo môđun 4, đều biểu diễn được dưới dạng tổng của hai số chính phương” vào năm 1632 (xem [9]) Fermat là người đưa ra chứng

minh đầu tiên Fermat đã thông báo điều này trong một lá thư gửi cho Marin

Mersenne vào ngày 25 tháng 12 năm 1640, ngày giáng sinh; vì thế định lý này đôi khi còn được gọi là “Định lý ngày giáng sinh” của Fermat

Nhờ công cụ số nguyên Gauss, Định lý Fermat về tổng hai số chính phương có thể được mở rộng tới Định lý 2.2.2 và được diễn đạt như sau:

“Cho một số nguyên dương n Khi đó, số nghiệm nguyên của phương trình

2 2

x  y n bằng 4 lần hiệu của số các ước đồng dư với 1 theo mod4 của n trừ đi

số các ước đồng dư với 3 theo mod4 của n.”

Tác giả xin trân trọng cảm ơn thầy giáo hướng dẫn khoa học - PGS.TS Nguyễn Thành Quang - đã tận tình hướng dẫn và chỉ bảo, giúp đỡ để tác giả hoàn thành luận văn

Tác giả xin cảm ơn các thầy cô giáo trong chuyên ngành Đại số và Lý thuyết số, Khoa Toán học, Khoa Đào tạo Sau đại học – Trường Đại học Vinh –

đã giảng dạy và hướng dẫn cho chúng tôi trong học tập và nghiên cứu

Tác giả xin cảm ơn Trường Đại học Sài Gòn đã giúp đỡ, tạo điều kiện thuận lợi cho mỗi học viên chúng tôi trong học tập và nghiên cứu của chương trình đào tạo sau đại học

Xin cảm ơn cơ quan công tác của tôi, gia đình, bạn hữu đã quan tâm giúp

đỡ trong suốt thời gian học tập vừa qua

Tuy đã cố gắng trong quá trình học tập, nghiên cứu và viết luận văn, song chắc chắn vẫn còn có nhiều thiếu sót, rất mong được sự góp ý, chỉ bảo của các thầy cô và các bạn đồng nghiệp

Nghệ An, tháng 01 năm 2012

Tác giả

CHƯƠNG 1 MỘT SỐ TÍNH CHẤT SỐ HỌC TRÊN VÀNH CÁC SỐ NGUYÊN GAUSS

1.1 Các hái ni cơ sở

1.1.1 Vành các số nguyên Gauss Ta nhắc lại định ngh a tập hợp các số nguyên

Gauss:

[ ] {i  a bi a b ; ,  } , trong đĩ là trường các số phức, 2

1

i   Chú ý rằng, ta cĩ thể coi [ ]i là một vành con của Điều này cĩ ngh a là, với các phép tốn cộng và nhân quen thuộc trên các số phức, với mọi

, [ ],i

  ta cĩ

     ,   ;

   i

1.1.2 Chuẩn của ột số phức Về mặt hình học, nếu ta biểu diễn các số phức

bằng các điểm trên mặt ph ng tọa độ, mỗi số phức zx yi với điểm M cĩ tọa

độ (x,y) thì mơđun của số phức z đo khoảng cách từ điểm M biểu diễn nĩ tới gốc toạ độ

Rõ ràng là, tập các số nguyên Gauss là ổn định dưới phép lấy liên hợp: nếu

 i

 thì   i Ngồi ra, nếu như mơđun của một số nguyên thơng thường chính là giá trị tuyệt đối của nĩ, cụ thể là một số nguyên khơng âm, thì mơđun của một số nguyên Gauss nĩi chung khơng cịn là một số nguyên nữa,

ch ng hạn 1i  2 Chính vì vậy, ta đưa các khái niệm chu n thay thế cho các khái niệm mơđun, để thuận tiện hơn khi làm việc với số học của vành các số nguyên Gauss Theo định ngh a, chu n của một số nguyên Gauss là bình phương của mơđun của nĩ Nĩi khác đi, nếu    a bi  i thì

.)

b a

N    

Ta có N:  i  ,N( )   0  0 và do phép lấy liên hợp giao hoán với phép nhân, nên hàm chu n c ng vậy Vì vậy, ta nói rằng hàm chu n có tính chất nhân: (N )N( ) ( ) N 

N   N  N  và N()N( ) ( ) N  lần lượt cho ta các đ ng th c quen thuộc sau

(1) (acbd)2 (ad bc)2 (a2 b2)(c2 d2); (2) (acbd)2 (ad bc)2 (a2 b2)(c2 d2)

1.2 Quan h chia h t, phần t hả ngh ch và

phần t ất hả quy trên vành các số nguyên Gauss

1.2.1 Quan h chia h t trên vành các số nguyên Gauss Với hai số nguyên

Gauss  và , ta nói rằng  là một ước của  hay là bội của , kí hiệu là

 , nếu tồn tại  [ ]i sao cho    Khái niệm này là mở rộng của khái niệm chia hết quen thuộc trên vành số nguyên

Một số nguyên Gauss được gọi là khả nghịch nếu n là ước của 1, nói một cách khác, nếu n0 và sao cho nghịch đảo của n trong c ng là số nguyên Gauss Chú ý rằng, do 1 là ước của mọi số nguyên Gauss, nên một phần tử là khả nghịch nếu và chỉ nếu nó là ước của mọi số nguyên Gauss Tập  i  các phần

tử khả nghịch của  i được miêu tả như sau

phải có N() N(1) 1 Ngược lại, nếu N( ) 1  thì N( )  1 nên 

là nghịch đảo của Cuối cùng nhận xét rằng từN(abi)a2 b2 1 kéo theo

)0

Ta nói hai số nguyên Gauss là liên kết với nhau, kí hiệu là  , nếu  

và  Nhận xét rằng, hai số nguyên Gauss là liên kết với nhau khi và chỉ khi chúng sai khác với nhau qua phép nhân với một phần tử khả nghịch

1.2.3 Phần t ất hả quy của vành các số nguyên Gauss

Khái niệm quan trọng nhất trong quan hệ chia hết là phần tử bất khả quy, khái niệm này đóng vai trò tương tự như các số nguyên tố trong vành số nguyên

Ta nói  [ ]i là phần tử bất khả quy trong vành [ ]i nếu  0, không khả nghịch và nếu   thì hoặc  khả nghịch (khi đó  ) hoặc  khả nghich (khi đó   ) Nói cách khác, một số nguyên Gauss là bất khả quy nếu

nó khác 0 và không có ước thực sự Lưu ý rằng, nếu a là bất khả quy trong

[ ]i thì a là một số nguyên tố thông thường Tuy nhiên, điều ngược lại là

không đúng, ch ng hạn 2 không phải là phần tử bất khả quy của [ ]i bởi vì

2

)

1

(

2i i Ta sẽ nghiên cứu các phần tử bất khả quy một cách chi tiết hơn

1.3 Tính Euclid và Đ nh lý cơ ản của Số học

của vành các số nguyên Gauss

Tính chất của chu n cho phép ta xác định phép chia Euclid với các số nguyên Gauss như sau

1.3.1 M nh đề (Phép chia Euclid trên vành các số nguyên Gauss) Cho  , 

là các số nguyên Gauss với  0. Khi đó, tồn tại duy nhất các số nguyên Gauss

với x y,  Trong mặt ph ng phức với trục

tung i và trục hoành , tập các sốnguyên Gauss chính là tập các điểm có tọa

độ nguyên Ta chọn  [ ]i là một điểm tọa độ nguyên gần x yi nhất Khi

đó, khoảng cách giữa  và x yi không vượt quá một nửa độ dài đường chéo

)())(

()

Nhân xét rằng, cặp , như trong mệnh đề nói trên là duy nhất ■

i i

i

i i

i

i

58

7158

11)37)(

37(

)37)(

85(37

11

 là i Ta có thể lấy thương của phép chia Euclid là i , khi đó ta nhận được phần dư   2i Đ ng thức 8 5  i (7 3 )( )i   i (2 i), là một phép chia Eculid 85i cho 73i.

Ví dụ Cho các số nguyên Gauss: a = − 36 + 242i, b = 50i + 50i Ta có:

Trong hình vẽ dưới đây, trên mặt ph ng số phức, thương a

b được biểu thị

bằng một chấm đen, nằm trong ô vuông độ dài đơn vị với 4 đỉnh là 4 số nguyên

Gauss, ô vuông này được tô màu đỏ nâu nhạt Do khoảng cách giữa điểm a

b và q

không quá 1, nên giá trị của q chỉ có thể là số nguyên Gauss biểu thị bởi 4 đỉnh

này Ta vẽ 4 đường tròn bán kính đơn vị nhận 4 đỉnh trên làm tâm (các đường

tròn này tô màu xanh nhạt) Nếu điểm a

b nằm trong đường tròn nào thì q có thể

nhận giá trị tại tâm đường tròn đó Nhìn vào hình vẽ ta thấy q chỉ nằm trong 3

đường tròn có tâm là điểm tô màu đỏ, và do đó có thể nhận một trong các giá trị

bằng: 2 + 2i; 2 + 3i; 3 + 3i

Kết quả này cho thấy sự tồn tại của thuật toán Eculid trên vành các số nguyên Gauss Thuật toán này áp dụng cho cặp số  ,  [ ],i  0 cho phép ta tìm được ước chung lớn nhất  của ,  theo ngh a sau:

Ta nói rằng hai số nguyên Gaus khác 0 là nguyên tố cùng nhau nếu 1 là ước chung lớn nhất của chúng

nhau như trong vành số nguyên khi và chỉ khi chúng nguyên tố cùng nhau trong vành các số nguyên Gauss

Tính Euclid của vành [ ]i cho ta một trường hợp đặc biệt của Bổ đề Gauss

thì   hoặc 

Ch ng minh Giả sử rằng  không là ước của  Khi đó, sử dụng thuật toán

Euclid cho bộ , (điều kiện   bất khả quy đảm bảo  0) cho ta sự tồn tại

ước chung lớn nhất  của , cùng với các số nguyên Gauss  ,v sao cho

v





   Vì  và  bất khả quy theo giả thiết, nên  hoặc là một phần tử

khả nghịch hoặc là một phần tử liên kết với  Nhưng  không thể là một liên

kết của  vì khi đó ta có   và  , dẫn tới   Như vậy  là một phần tử

khả nghịch Ta suy ra   1 1v Vì   nên từ đ ng thức này kéo

theo . Ta có điều cần phải chứng minh ■

Như một hệ quả, tồn tại phép chia Euclid trên vành các số nguyên Gauss, ta

có Định lý cơ bản của Số học cho vành [ ]i như sau:

1.3.3 Đ nh lý (Định lý cơ bản của Số học cho vành số nguyên Gauss) Mọi số

nguyên Gauss khác 0 đều có thể được viết dưới dạng

1 n

   ,

trong đó  là một phần tử khả nghịch, 1, ,n là các phần tử bất khả quy (không nhất thiết phân biệt, thậm chí không nhất thiết đôi một không liên kết) Cách phân tích này là duy nhất theo nghĩa sau: Nếu  1 m là một phân tích tương tự của  thì m = n và tồn tại một hoán vị  trên tập {1,2,…,n} sao cho với mọi i , ta có  i ( )i .

Ch ng minh Sự tồn tại: Ta tiến hành quy nạp theo N() Trường hợp N()1

là tầm thường vì khi đó  là một phần tử khả nghịch Giả sử phân tích như vậy tồn tại với mọi   i sao cho N()k với k1 là một số nguyên dương nào đó và  là một số nguyên Gauss với N()k Nếu  là một phần tử bất khả quy thì định lý được chứng minh Giả sử  là khả quy, viết  v với ,v

là các phần tử không khả nghịch DoN()N()N(v) nên 1N(),N(v)k

Ap dụng giả thiết quy nạp cho  và v ta nhận được một phân tích thỏa mãn các

yêu cầu của định lý

Tính duy nhất: Nếu  là một phần tử khả nghịch thì Định lý là hiển nhiên Giả

sử  không khả nghịch Không mất tính tổng quát, ta có thể phân tích thành một tích các phần tử bất khả quy dưới dạng  12 mvới i là các phần tử bất khả quy, không nhất thiết đôi một không liên kết Chú ý rằng, phần tử khả nghịch của phân tích này được nhập vào một trong các phần tử bất khả quy

Giả sử ta có một phân tích khác  1 m Áp dụng Bổ đề 1.3.2 ở trên, từ

ta suy ra 1 liên kết với một trong các phần tử i nào đó Thật vậy,

do11 m, nên tồn tại i sao cho 1i Thế nhưng i c ng là một phần tử bất khả quy nên ta phải có 1 i Bây giờ, chia cả hai vế của đ ng thức

tính ước chung lớn nhất và bội chung nhỏ nhất (mà định nghĩa hoàn toàn giống như các số nguyên thông thường) Tuy nhiên, trong thực tế, đây thường không phải là cách tốt nhất để tìm đại lượng này

Ta mở rộng được Bổ đề 1.3.3 tới

,

  nguyên tố cùng nhau thì  

1.4 M tả các phần t ất hả quy của vành Gauss

Định lý cơ bản của Số học cho vành  i mà ta đã thiết lập ở trên cho thấy sự cấn thiết của việc nghiên cứu các phần tử khả nghịch và các phần tử bất khả quy của vành này Đối với các phần tử bất khả quy, trước hết ta có kết quả sau

nhất một số nguyên tố p sao cho  p trong vành  i

Ch ng minh Ta có    N( ) . Như vậy, theo Bổ đề 1.3.2,  là ước của một

ước số nguyên tố p nào đó của N  Số nguyen tố p như vậy là duy nhất

Thật vậy, nếu tồn tại một số nguyên tố q p sao cho  q Theo Định lý Bezout

cho các số nguyên, tồn tại các số nguyên a,b sao cho ap+ bq = 1 , do đó 1 , mâu thuẫn với giả thiết  bất khả quy ■

Nh n t Mệnh đề trên, đơn giản nhưng rất sâu sắc, nói rằng mọi phần tử bất

khả quy của vành  i đều nằm trong một số nguyên tố nào đó Đây là một mô

tả ban đầu các phần tử bất khả quy vành  i

Theo Mệnh đề 1.4.1 và Định lý 1.3.3, việc miêu tả các phần tử bất khả quy của  i tương đương với việc miêu tả các nhân tử bất khả quy của các số

nguyên tố thông thường p trong vành  i Ta bắt đầu với p = 2

một phần tử bất khả quy

Ch ng minh Thật vậy, nếu   thì N( ) ( ) N  N( ) là một số nguyên tố,

ta suy ra N( ) 1  hoặc N( ) 1  ngh a là một trong hai phần tử  , là khả

Với các số nguyên tố p lẻ, ta chia làm hai trường hợp:

1

p (mod 4) và p 3 (mod 4)

bất khả quy của  i

Ch ng minh Giả sử p không bất khả quy Ta viết p với ,  là các phần

tử không khả nghịch, như vậy ( ), ( ) 1N  N   Từ tính nhân của chu n

N  a b  p (mod 4), nhưng đồng dư này rõ ràng không thể x y ra

Như vậy p là một phần tử bất khả quy của [ ] i ■

(1) Tồn tại duy nhất một bộ nguyên dương (a,b), chính xác tới th tự, sao cho

5 1 2 Số nguyên tố 5 không bất khả quy trong [ ]i mà có

hai ước bất khả quy 1 2 ,1 2 i  i Có ngh a là 5 có 8 ước bất khả quy gồm các

phần tử liên kết với 1 2i , đó là 1 2 , 1 2 , 2 i   i  i,2i và các phần tử liên

kết với 1 2i , đó là 1 2 , 1 2 ,2 i   i   i, 2 i

Ta chứng minh Định lý 1.4.6 bằng việc nhắc lại bổ đề sau

đó, tồn tại một số nguyên n sao cho 2

Theo Bổ đề Lagrangge, tồn tại một số nguyên n sao cho 2

N  N   Từ tính nhân của chu n

của p (chỉ cần lấy liên hợp hai vế của một phân tích của p thành tích các phần tử

bất khả quy trong  i ) Ta sẽ chỉ ra abi a bi,  là các ước bất khả quy duy

nhất (sai khác phép liên kết) của p Thật vậy giả sử c di (và do đó cdi) là

một ước bất khả quy của p không liên kết với abi a bi,  Ta suy ra

(abi a bi c)(  )( di c)( di p) (trong  i )

Điều này dẫn đến 2 2 2 2

(a b )(c d ) p(trong  i , hay một cách tương đương trong ) Ta gặp phải một mâu thuẫn Vì vậy, kh ng định (2) của Định lý 1.4.6 được chứng minh ■

Kh ng định (1) của Định lý 1.4.6 được biết đến dưới tên gọi Định lý Fermat

Kết hợp các Mệnh đề 1.4.4, 1.4.5 và Định lý 1.4.6 ta thu được kết quả sau

(1) 1 i và các phần tử liên kết của nó, nghĩa là 1 i  ;

(2) Các số nguyên tố p3 (mod 4) và các phần tử liên kết của nó, nghĩa là  p, pi;

(3) Hai phần tử bất khả quy abi a bi,  trong phân tích ra tích các nhân tử bất khả quy của một số nguyên tố p1(mod 4)và các phần tử liên kết của nó Các số (a,b) có thể được đặc trưng như là bộ số nguyên duy nhất, chính xác tới dấu và tới th tự thỏa mãn 2 2

a b  p

CHƯƠNG 2 MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA VÀNH CÁC SỐ NGUYÊN GAUSS

2.1 Đ nh lý Fer at về tổng hai số chính phương

2.1.1 Đ nh lý Fer at về tổng của hai số chính phương Số nguyên tố lẻ p biểu

diễn được dưới dạng tổng của hai số chính phương: p = x 2

+ y 2 , với x,y là các số

tự nhiên lớn hơn 0, khi và chỉ khi p đồng dư với 1 theo môđun 4

Ví dụ: Các số nguyên tố lẻ 5, 13, 17, 29, 37, 41 đều đồng dư với 1 theo mô-đun

4, do đó chúng biểu diễn được dưới dạng tổng của hai số chính phương:

5 = 12 + 22; 13 = 22 + 32; 17 = 12 + 42; 29 = 12 + 52; 37 = 12 + 62

Mặt khác, các số nguyên tố lẻ 7, 11, 19, 23 và 31 đều đồng dư với 3 theo môđun 4, do đó chúng không thể biểu diễn được dưới dạng tổng của hai số chính phương

Albert Girard là người đầu tiên đưa ra nhận xét rằng “mỗi số nguyên tố lẻ

bất kì mà đồng dư với 1 theo môđun 4, đều biểu diễn được dưới dạng tổng của hai số chính phương” vào năm 1632 (xem [9]) Fermat là người đưa ra chứng

minh đầu tiên Fermat đã thông báo điều này trong một lá thư gửi cho Marin Mersenne vào ngày 25 tháng 12 năm 1640, ngày giáng sinh; vì thế định lý này đôi khi còn được gọi là định lý ngày giáng sinh của Fermat

2.1.2 Các ước chứng inh của Đ nh lý về tổng của hai số chính phương

Nếu số nguyên tố lẻ p mà biểu diễn được dưới dạng tổng của hai số chính

phương, thì do số chính phương khi chia cho 4 chỉ dư 0 hoặc 1, nên p chia cho 4 chỉ có thể dư 1 Vì vậy, điều kiện cần của định lý là hiển nhiên Vấn đề còn lại là điều kiện đủ Sau đây chúng tôi trình bày chứng minh của Euler

Euler đã chứng minh thành công “Định lý Fermat về tổng của hai số chính

phương” vào năm 1747, khi đã 40 tuổi Ông thông báo điều này trong một lá thư

gửi cho Goldbach vào ngày 6 tháng 5 năm 1747 Chứng minh gồm có 5 bước; bước thứ năm được trình bày trong một lá thư gửi cho Goldbach vào năm 1749

Trong chứng minh trình bày dưới đây, bước 1, 2, 3 dựa hoàn toàn vào chứng minh của Euler, bước 4 và 5 có sửa đổi (dùng Định lý Lagrange)

2) Tích của hai số, mà mỗi số là tổng của hai số chính phương, cũng là tổng

của hai số chính phương:

Chứng minh điều này dựa vào Định thức Brahmagupta–Fibonacci:

(a2 + b2)(c2 + d2) = (ac + bd)2 + (ad − bc)2

2 Nếu một số tự nhiên n mà chia hết cho số nguyên tố p và cả n lẫn p đều có thể

biểu diễn thành tổng của hai số chính phương, thì n

p cũng có thể biểu diễn thành tổng của hai số chính phương:

Trước hết ta biểu diễn:

n = a2 + b2; p = c2 + d2, với a,b,c,d là các số tự nhiên

được thành tổng của hai số chính phương

Trường hợp còn lại (ac + bd) chia hết cho p, lúc này ta phân tích:

và lặp lại các bước tương tự như trên

3 Nếu n chia hết cho m, mà n có thể biểu diễn thành tổng của hai số chính

phương còn m thì không, thì tỷ số n

m có ước không thể biểu diễn thành tổng của hai số chính phương:

Chứng minh bằng phản chứng Giả sử mọi ước của n

m đều có thể biểu diễn

thành tổng của hai số chính phương Đặt:

1 2 k

n

p p p

m với đều là các số nguyên tố (không nhất thiết đôi một khác nhau)

Do đều biểu diễn được thành tổng của hai số chính phương, nên

áp dụng bước 2 chia n liên tiếp k lần cho ta suy ra:

1 2 k

n m

p p p



có thể biểu diễn thành tổng của hai số chính phương Ta gặp một mâu thuẫn

4 Nếu a và b nguyên tố cùng nhau thì mọi ước của a 2

+ b 2 đều có thể biểu diễn thành tổng của hai số chính phương:

Chứng minh phản chứng Giả sử tồn tại các số tự nhiên a,b nguyên tố cùng nhau sao cho a2 + b2 có ít nhất một ước không thể biểu diễn thành tổng của hai số

chính phương Trong các cặp số đó ta xét cặp (a, b) thỏa mãn tổng (a + b) nhỏ nhất Xét x là ước của a2

+ b2 mà không thể biểu diễn thành tổng của 2 số chính phương Đặt:

trong đó c, d là số tự nhiên lớn hơn 0 và không vượt quá x – 1

Ta có:

a2 + b2 = m2x2 + 2mxc + c2 + n2x2 + 2nxd + d2 = Ax + (c2 + d2)