Vài ứng dụng của lý thuyết cơ sở groebner

Luận văn đã tập trung trình bày một số định nghĩa và tính chất của lý thuyết Cơ sở Groebner, nghiên cứu một số tính chất về thứ tự từ - kháiniệm mở đầu trong lý thuyết Cơ sở Groebner.. C

Bộ giáo dục và đạo tạo

Trờng Đại học Vinh -

1.2 Iđêan khởi đầu và cơ sở Grobner………. 8

Chương 2 ỨNG DỤNG CỦA LÍ THUYẾT CƠ SỞ GROBNER 14

2.1 Ứng dụng của Lí thuyết cơ sở Grobner trong bài toán

2.2 Ứng dụng của Lí thuyết cơ sở Grobner trong Lí thuyết mã 25

Hạt nhân của tính toán hình thức bằng máy tính trong Đại số giao hoán

và Hình học Đại số chính là lý thuyết Cơ sở Groebner Lý thuyết này do nhàToán học người Áo, Bruno Buchberger đưa ra trong luận án Tiến sĩ của mìnhnăm 1965 dưới sự dẫn dắt của người thầy là Wolfgang Groebner [3] Điểmmấu chốt khởi đầu cho sự hình thành lý thuyết của Buchberger chính là việc

mở rộng thuật toán chia hai đa thức một biến sang trường hợp các đa thứcnhiều biến

Cơ sở Groebner về phương diện lý thuyết còn được khẳng định bằngviệc cung cấp chứng minh cho ba Định lý của Hilbert: Định lý về cơ sở, Định

lý về xoắn và Định lý về không điểm

Định lý cơ sở Hilbert cho ta cách xác định nghiệm của một hệ cácphương trình đa thức Một hệ gồm một số vô hạn các phương trình đều tươngđương với một hệ hữu hạn các phương trình đa thức

Với mục đích tìm hiểu Lý thuyết Cơ sở Groebner và ứng dụng của nó,

chúng tôi quyết định chọn đề tài “Vài ứng dụng của Lí thuyết Cơ sở

Grobner” Luận văn đã tập trung trình bày một số định nghĩa và tính chất

của lý thuyết Cơ sở Groebner, nghiên cứu một số tính chất về thứ tự từ - kháiniệm mở đầu trong lý thuyết Cơ sở Groebner Trình bày cơ sở Lý thuyết Cơ

sở Groebner xung quanh các định lý Hilbert và tìm tòi các ứng dụng củachúng trong bài toán quy hoạch nguyên và lý thuyết mã

Luận văn được chia làm hai chương cùng với phần mở đầu, kết luận vàdanh mục tài liệu tham khảo

Chương 1 trình bày một số khái niệm cơ sở của lý thuyết Cơ sởGroebner, nghiên cứu một số tính chất về thứ tự từ - khái niệm mở đầu để xâydựng cơ sở Lý thuyết Cơ sở Groebner Sau đó trình bày định nghĩa iđêan và

từ khởi đầu cũng như định nghĩa và một số tính chất cơ bản của Cơ sởGrobner; Thuật toán chia đa thức cho cách xây dựng đa thức dư thỏa mãnđịnh lí chia đa thức

Chương 2 giới thiệu thuật toán Conti-Traverso để giải nó bằng lí thuyết

cơ sở Grobner và tìm tòi các ứng dụng của chúng trong bài toán quy hoạchnguyên và lý thuyết mã

Để hoàn thành luận văn này tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tớiPGS TS Nguyễn Thành Quang đã giao đề tài và tạo mọi điều kiện thuận lợinhất cho việc nghiên cứu và hoàn thành luận văn Tác giả xin gửi lời cảm ơncác thầy cô giáo trong Khoa Toán, các thầy cô trong Bộ môn Đại số đã giúp

đỡ, góp ý kiến chỉ bảo để tác giả hoàn thành luận văn này cũng như trong suốt

khoá học vừa qua Tác giả cũng xin cảm ơn đến các thầy cô giáo Khoa đàotạo Sau đại học đã tạo điều kiện cho chúng tôi trong thời gian học tập.

Mặc dù đã có nhiều cố gắng nhưng không tránh khỏi những thiếu sót,hạn chế Tác giả rất mong nhận được sự góp ý kiến quý báu của các thầy cô

LÝ THUYẾT CƠ SỞ GROEBNER

1.1 THỨ TỰ TỪ 1.1.1 Thứ tự, giả thứ tự

Đề các X X Để thuận tiện, thường viết xRy thay cho ( x,y ) R và dùng kýhiệu ~, , , … để chỉ R

điều kiện sau đây đối với mọi x,y,z X :

(i) x R x (tính chất phản xạ)

(ii) Nếu xRy và yRz thì xRz (tính chất bắc cầu)

(iii) Nếu xRy và yRx thì x y (tính chất phản đối xứng)

Thông thường để chỉ thứ tự bộ phận thì ký hiệu bởi  , 

Nếu R là một thứ tự bộ phận thì quan hệ ngược

1

cũng là thứ tự bộ phận và gọi là thứ tự ngược của R Và dùng  để chỉ thứ tự

ngược của thứ tự  tương ứng và ngược lại

Trên X cho một thứ tự bộ phận  thì X là tập được sắp.

Nếu x y X,  mà x y hoặc y x thì x, y so sánh được với nhau, nếu trái lại

x, y không so sánh được với nhau

Quan hệ thứ tự  trên X được gọi là thứ tự toàn phần nếu mọi cặp phần tử của X đều so sánh được với nhau và X được gọi là tập được sắp hoàn toàn.

Quan hệ chỉ thỏa mãn tính chất phản xạ (i) và bắc cầu (iii) ở trên được gọi là

giả thứ tự.

Phần tử a A được gọi là phần tử tối tiểu (tương ứng tối đại) nếu  b A mà

Tập X được gọi là tập sắp thứ tự tốt nếu nó sắp hoàn toàn và mọi tập con

khác rỗng đều có phần tử nhỏ nhất Thứ tự tương ứng gọi là thứ tự tốt

1.1.2 Thứ tự từ Thứ tự từ  là một thứ tự toàn phần trên tập M tất cả các

đơn thức của vành K[x] thỏa mãn các điều kiện sau:

(i) Với mọi m M , 1m

Giả sử  là một thứ tự từ nào đó đã được xác định Giả thứ tự trên tập các từ

của vành R = K[x] (cũng được ký hiệu là ) được định nghĩa:

Nếu 0 ,  Kvà m n M,  sao cho m n (tương ứng m n ) thì .m.n

(tương ứng .m.n)

1.1.3 Thứ tự theo trọng liên kết và tích từ điển của các thứ tự (bộ phận)

+ Hàm trọng số  tương thích với thứ tự từ  nếu m1  m2 kéo theo m1 m 2

+ Cho   1, , s là các thứ tự bộ phận trên tập X Tích từ điển R của các thứ

tự này là quan hệ được xác định x y X xRy,  , khi và chỉ khi tồn tại 1 i s

để x, y không so sánh được với nhau theo   1, , i1 và x< y i

Ví dụ

+ Các hàm deg( )a a1a2  a (gọi là hàm bậc tổng thể) và hàm ( ) n i a a i,

1 i n  là những hàm trọng số

+ Hàm bậc tổng thể tương thích với một thứ tự từ thì thứ tự từ đó gọi là thứ tự

từ phân bậc Theo đó, thứ tự từ điển phân bậc và thứ tự từ điển ngược là

những thứ tự từ phân bậc

+ Thứ tự theo trọng là một thứ tự bộ phận, không phải là thứ tự từ

Nhận xét: (a) Cho  là thứ tự theo trọng liên kết vớiλ Khi đó với mỗi

(i) m m so sánh được với nhau theo 1, 2  khi và chỉ khi m1 m2 hoặc

(b) Cholà thứ tự theo trọng Khi đó (1) 0

1.1.4 Định lý Cho  là một thứ tự từ Khi đó nếu m m thì 1 2 m1 m2 Tuy nhiên điều ngược lại không đúng.

Vì  là thứ tự từ nên 1 m  m1.1m m1  m1 m2  Điều ngược lại không đúng Chẳng hạn xét cho thứ tự từ điển lex:

Chọn m1 x x1 2, 2

m x Rõ ràng m1lex m2 nhưng m không chia hết cho 2 m 1

1.1.5 Định lý Cho  là một thứ tự từ và m1 m2

Chứng minh Gọi n1 deg( ),m n1 2 deg( )m2  n n   và 1, 2 n1 n2

(vì nếu ngược lại n2 n1 deg( ) deg( )m2  m1  m2 m1 trái giả thiết)

+ Nếu đơn thức m ở giữa m m ; tức là 1, 2 m1 m m 2 Khi đó

là hữu hạn nên tập các đơn thức m nằm giữa m 1 , m 2 là hữu hạn 

+ Nếu  là thứ tự từ bất kỳ giữa m m có thể có vô hạn đơn thức 1, 2

Thật vậy, chẳng hạn xét cho thứ tứ tự từ điển lex:

m x m x thì m1 m2

Ta có 2

n

Rõ ràng m xác định như vậy là vô hạn 

n i i i

n i

n

i i

u b u

i i

u b

1.2 IĐÊAN KHỞI ĐẦU VÀ CƠ SỞ GROEBNER 1.2.1 Từ khởi đầu, đơn thức đầu Cho  là thứ từ từ và f R K x [ , , ]1 x n

Nếu in f( ) , 0x a   Kthì lc f( ) gọi là hệ số đầu và lm f( )x alà

đơn thức đầu của f đối với thứ tự từ 

Nếu  đã được ngầm hiểu thì viết in f( ), lc f( ), lm f( ) tương ứng thay cho( )

Dấu < xảy ra khi và chỉ khi in f( )in g( ).

1.2.3 Iđêan khởi đầu Cho I là iđêan của R và  là một thứ tự từ Iđêan

phần tử của I, nghĩa là in I( ) ( ( ) / in f f I)

Viết in I( ) thay cho in I( ) nếu  đã rõ

Rõ ràng cũng có in( I ) ( lm( f )| f I ) nên in I( ) là iđêan đơn thức

1.2.4 Tính chất Cho  là một thứ tự từ và I, J là hai iđêan của R Khi đó

(i) Tập tất cả các đơn thức của in I( )là lm f( ) / f I .

(ii) I là iđêan đơn thức thì in I( )I

(iii) Nếu I J thì in I( )in J( ) Hơn nữa nếu I J và in I( )in J( )thì I J (iv) ( ) ( ) in I in J in I J( ).

(v) ( ) in I in J( )in I J(  )

1.2.5 Cơ sở Grobner Cho  là một thứ tự từ và I là một iđêan của R

Tập hữu hạn các đa thức khác không g1, ,g s  gọi là một cơ sở Groebner I của I đối với thứ tự từ  nếu in I( ) (in g( ), ,1 in g( ))s

Tập g1, ,g gọi là một cơ sở Groebner, nếu nó là cơ sở Groebner của iđêan s

sinh bởi chính các phần tử này

Cơ sở Groebner tối tiểu của I đối với một thứ tự từ đã cho là một cơ sở

(i) ( ) 1,lc g   g G

(ii) g G , không tồn tại g' G để ( ') ( ) in g in g

Cơ sở Groebner rút gọn của iđêan I đối với một thứ tự từ đã cho là một cơ sở Groebner G  I thỏa mãn 2 điều kiện:

(i) ( ) 1,lc g   g G

(ii) g G và mọi từ m của g đều không tồn tại g'G\ g để ( ')in g m

Nhận xét: Mọi cơ sở Groebner rút gọn là cơ sở Groebner tối tiểu.

1.2.6 Tính chất (i) Cho I là một iđêan tuỳ ý của R Nếu g1, ,g là cơ sở s

(ii) Cho  là một thứ tự từ Khi đó mọi iđêan đều có cơ sở Groebner tối tiểu và mọi cơ sở Groebner tối tiểu của cùng một iđêan đều chung số lượng phần tử và chung tập từ khởi đầu.

Groebner rút gọn

(iv) Cho trước s là một số nguyên dương Khi đó tồn tại iđêan I sinh tối tiểu bởi f1, , f nhưng s in I( ) thực sự chứa ( ( ), , ( ))in f1 in f s .

1.2.7 Định lý Cho GI là một cơ sở hữu hạn của iđêan I Khi đó, G là cơ

Chứng minh G là cơ sở Groebner của I  in I( ) ( ( ), , ( ))in g1 in g s

1.2.8 Định lý Với mỗi đa thức f R K x [ ], kí hiệu M(f) là tập tất cả các

- Nếu M f( )M g( ) thì f * g và g* f

- Nếu M f( )M g( )thì f * g

- Nếu M f( )M g( ), sắp xếp các đơn thức của M f( )và M g( ) theo thứ

tự giảm dần Tại cặp đơn thức khác nhau đầu tiên kể từ bên trái, đa thức nào có đơn thức bé hơn thì bé hơn.

của R

tự toàn phần Cần chứng minh nó là giả thứ tự tốt

và A không có phần tử nhỏ nhất theo giả thứ tự *

tồn tại do  là thứ tự tốt trên M) Tương tự :

Trên A 1 : Gọi A 2 là tập các đa thức có cùng đơn thức thứ hai bé nhất (đa thứcđược viết theo thứ tự giảm dần các đơn thức)

Trên A n : Gọi A n+1 là tập các đa thức có cùng đơn thức thứ n +1 bé nhất

Rõ ràng AA1  A n 

Gọi m i là đơn thức thứ i của A i , i = 1, 2, … m1m2  m n 

Điều này mâu thuẫn với M(A) - tập các đơn thức của các đa thức của A là có

phần tử nhỏ nhất 

1.2.9 Định lý Cho I là iđêan của vành R = K[x] Trên R cố định một thứ tự từ

chỉ có một phần tử tối tiểu (theo giả thứ tự định nghĩa như ở Định lý 1.2.8) Chứng minh Theo Định lý 1.2.8 thì tập đó có phần tử tối tiểu Bây giờ chứng

minh nó duy nhất Thật vậy, giả sử ngược lại, tập đó có ít nhất 2 phần tử tối

tiểu khác nhau f và g Khi đó chúng có dạng:

1.3 THUẬT TOÁN CHIA

1.3.1 Định lí.( Định lí chia đa thức) Cố định một thứ tự từ  trên M và cho

 1, , ,2 s [x , ,x ]1 n

được dưới dạng f q f1 1 q f s s r

(i) Hoặc r = 0 hoặc không có từ nào của r chia hết cho một trong các từ

(ii) Nếu q i  0 thì in(q i f i )  in(f), i =1 ,s

1.3.2 Định nghĩa Đa thức r ở trên gọi là đa thức dư (hoặc phần dư ) của f

khi chia cho F và ký hiệu là r =Rem F (f).

Biểu diễn trên của f gọi là biểu diễn chính tắc của f theo f 1 , , f s

1.3.3 Chú ý Đa thức dư RemF(f) không xác định duy nhất.

Định lý được chứng minh nhờ vào thuật toán chia đa thức sau:

Tìm PHANDU( ; , , ) :f f1 f s r khi chia f cho f 1 , …, f s

Input: f1, , ,f f : các đa thức trong K[x] s

Output: q1, , ,q r : các đa thức trong K[x] s

:q i  q i in p in f( ) / ( )i :p  p ( ( ) / ( ))in p in f i f i Chiahet := true

1.3.4 Tính chất (i) Giả sử F ={f 1 , …, f s } là một cơ sở Groebner đối với một

chia f cho hệ F (trong Định lý chia đa thức 1.3.1) là xác định duy nhất.

chia f cho hệ F bằng 0.

1.3.5 Định lý Trong Định lý chia đa thức, khi hệ đa thức chia chỉ gồm một đa

thức thì đa thức dư và do đó cả đa thức "thương" được xác định duy nhất.

Chứng minh Gọi g là đa thức chia (giả thiết cho hệ đa thức chia chỉ gồm một

đa thức) và f là đa thức "bị chia"

Giả sử đa thức dư không xác định duy nhất, tức là tồn tại các đa thức

Do q1 q2 nên in r( 1 r2) chia hết cho in g( ).

(Điều này là mâu thuẫn với đơn thức của in r( 1  r2) là đơn thức của r 1 hoặc r 2

nên nó không chia hết cho in g( )) 

CHƯƠNG 2 ỨNG DỤNG CỦA LÝ THUYẾT CƠ SỞ GROEBNER

2.1 ỨNG DỤNG CỦA LÝ THUYẾT CƠ SỞ GROEBNER TRONG BÀI TOÁN QUI HOẠCH NGUYÊN TUYẾN TÍNH.

2.1.1 Bài toán quy hoạch nguyên tuyến tính

A u b u

Trong đó u 0 hiểu theo nghĩa x1 0, ,x n 0

Phương trình a u i1 1  a u i n n b d được gọi là một ràng buộc Vectơ c là giá thành.

Mỗi vectơ u   n thỏa mãn Au b u , 0 được gọi là phương án (nghiệm) chấp nhận được.

Nếu phương án chấp nhận được u mà tại đó 0 c u đạt giá trị bé nhất thì nó

được gọi là phương án (nghiệm) tối ưu.

Tích c u được gọi là giá trị tối ưu của bài toán quy hoạch 0 LP b A c, ( )

Rõ ràng bài toán qui hoạch nguyên IP b có phương án chấp nhận được khi A c, ( )

và chỉ khi

Tích vô hướng c.u là một hàm trọng số Do đó nó xác định một thứ tự theo

khi bài toán IP b có phương án tối ưu Hơn nữa, nếu A c, ( ) IP A, *( )b

án tối ưu thì đó là phương án tối ưu duy nhất và là phương án tối ưu của bàitoán IP b Do vậy cần tìm cách giải bài toán A c, ( ) , *( )

được gọi là iđêan xuyến của A.

Cho u  n Giá của u là tập hợp

' ( )

u u v v

Cần chứng minh mỗi đa thức của I là tổ hợp tuyến tính trên K của nhị thức này A

Cố định một thứ tự * trên K x[ ] Giả sử f I A không viết được thành

tổ hợp tuyến tính của nhị thức đó Chọn trong số những đa thức như vậy một

đa thức f sao cho ( ) in f x u bé nhất có thể có đối với thứ tự từ *

nhiên khi khai triển f t( , , t )a1 a n phải bằng 0 Nói riêng, đơn thức t ( )u ˆ( )x u



phải bị triệt tiêu khi đơn giản biểu thức đó Suy ra có một từ khác chứa đơnthức x v xuất hiện trong f với ( )v ( )u và x v *x u

A

nhị thức dạng trên Mâu thuẫn vì in f( ')in f( ) 

2.1.3 Định lí Giả sử ma trận A thỏa mãn điều kiện

un| Au 0,u0  0

Khi đó luôn có thể giả thiết các phần tử của A không âm và mỗi cột chứa ít nhất một phần tử khác 0.

tức là cột a chứa một phần tử âm, thì đưa thêm biến ' j x và ràng buộc j

' 0

j j

x x  (1)

dưới, mở rộng b và c bằng cách thêm 0 vào các thành phần tương ứng với các ràng buộc mới và biến mới để nhận được b’ và c’ Khi đó bài toán qui hoạch

nguyên mới IP A c', '( ')b tương đương với bài toán qui hoạch nguyên ban đầu.

Ma trận A’ rõ ràng có tất cả các phần tử nguyên không âm.

Nhận xét rằng, nếu biến 'x được đưa thêm vào thì do ràng buộc (1) cả hai j

cột ứng với cặp biến ( , ')x x đều khác 0 Do đó, nếu A’ có một cột là vectơ 0 thì j j

ma trận A ban đầu có một cột a bằng 0 Lấy u là vectơ có tất cả các thành phần j

0,

i

Từ bây giờ trở đi, giả sử A thỏa mãn định lí 2.1.3 Kí hiệu d là tổng của j

các phần tử của vectơ cột a của A Như vậy j d1, ,d  Trên vành K[x] xét n 0cấu trúc phân bậc cho bởi deg( )x j d j, tức là

I là iđêan thuần nhất được suy ra từ tính chất 2.1.2 

2.1.5 Định lí Xét cấu trúc phân bậc trên K[x] cho bởi deg( ) x j d j Tồn tại c’ với các phần tử dương sao cho:

có tất cả các thành phần dương Ta chứng tỏ c' này thỏa mãn kết luận củamệnh đề.

tại các đa thức thuần nhất q1, , ,q r sao cho s

UCLN lm f lm g

( )( ( ), ( ))

gf

in g m

UCLN lm f lm g

cũng thuần nhất.

Đặc biệt, trong quá trình thực hiện thuật toán chia đa thức 1.3.3 cũng

(i) Cần chứng minh tại mỗi bước của thuật toán 1.3.3, q là đa thức thuần i

nhất bậc d deg( )f i và p r, là các đa thức thuần nhất bậc d

Tại bước khởi đầu q i 0,r 0 và p f điều khẳng định đúng

Khi một trong hai đa thức thay đổi, có 2 trường hợp xảy ra:

Trường hợp 1: in p( ) chia hết cho ( )in f thì giá trị mới của i q là i

Giá trị mới của p là ' p  p ( ( ) / ( ))in p in f i f i

Do p là đa thức thuần nhất bậc d và f là đa thức thuần nhất nên p’ cũng là đa i thức thuần nhất bậc d.

các giá trị mới của p r, tương ứng là p' p in p( ) và r' r in p( )

Theo giả thiết qui nạp suy ra p r, là các đa thức thuần nhất bậc d.

(ii) Được suy ra từ định lí 2.1.5(i) 

2.1.7 Hệ quả 1 Tồn tại cơ sở Groebner G C của I A đối với thứ tự *