Từ M kẻ đường thẳng vuông góc với tia phân giác của goca BAC tại N, cắt tia AB tại E và tia AC tại F.. Trên tia đối của tia CB lấy điểm D sao cho CD = 2CB..[r]
Trang 1TRƯỜNG THCS TRẦN MAI NINH
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI MÔN TOÁN LỚP 7 Thời gian : 120 phút ( Không kể thời gian giao đề)
Năm Học : 2014 – 2015
-Câu 1 (4 điểm) : Thực hiện phép tính
a/
7 11 23 5 13
A
12 5 6 2 10 3 5 2
2 3 4 9 5 7 25 49
125.7 5 14
2 3 8 3
Câu 2 (5 điểm) :
a/ Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n thì 3n2 2n2 3n 2n chia hết cho 10 b/ Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : A2014 x 2015 x 2016 x
c/ Tìm x, y thuộc Z biết : 25 y2 8x 20152
Câu 3 (4 điểm) :
a/ Cho
x y z
và 4x 3 3 29 Tính x – 2y + 3z b/ Cho f x( ) ax 3 4x x 2 1 8
và g x( ) x 34x bx 1 c 3 Trong đó a, b, c là hằng số Xác định a, b, c để f(x) = g(x)
Câu 4 (5 điểm) : Cho tam giác ABC có (AB < AC) Gọi M là trung điểm của BC Từ M
kẻ đường thẳng vuông góc với tia phân giác của goca BAC tại N, cắt tia AB tại E và tia
AC tại F Chứng minh rằng
a/ BE = CF
AB AC
AE
Câu 5 (2 điểm) : Cho tam giác ABC có góc B bằng 45o , góc C bằng 120o Trên tia đối của tia CB lấy điểm D sao cho CD = 2CB Tính góc ADB
Trang 2
-LỜI GI I VÀ THANG I MẢ Đ Ể
Câu
1
7 11 23
A
7 11 23 5 13 10
3 3
13 31
5 13 10
7 11 23
A
2.0
12 5 6 2 10 3 5 2 12 5 12 4 10 3 10 4
2 3 4 9 5 7 25 49 2 3 2 3 5 7 5 7
2 3 2 3 5 7 5 7 2 125.7 5 14
2 3 8 3
2 3 3 1 5 7 1 7 2 5 6 1 10 21 7
2.0
Câu
2 a/ Ta có : 3n 2 2n 2 3n 2n 3 9 2 4 3n n n 2n 3 9 3n n 2 4 2n n
= 3 9 1n 2 4 1n 3 10 2 5 3 10 2 10 10 3n n n n 1 n 2n 1
chia hết cho 10 với n là số nguyên dương (ĐPCM)
1.5
b/ A2014 x 2015 x 2016 x
TH 1 : x < 2014
A = 2014 – x + 2015 – x + 2016 – x = 6045 – 3x > 3 (Vì x < 2014)(1)
TH 2 : 2014 ≤ x < 2015
A = x – 2014 + 2015 – x + 2016 – x = 2017 – x > 2 (Vì x < 2015)(2)
TH 3 : 2015 ≤ x < 2016
A = x – 2014 + x – 2015 + 2016 – x = x - 2013 ≥ 2 (Vì x ≥ 2015)(3)
TH 4 : x > 2016
A = x – 2014 + x – 2015 + x – 2016 = 3x – 6045 >3 (Vì x > 2016)(4)
Từ 1,2,3,4 => A ≥ 2 Vậy A nhỏ nhất = 2 khi x = 2015
Do 2015 x 0 => A2014 x 2015 x 2016 x 2014 x 2016 x
Dấu = xảy ra khi x = 2015 (1)
Ta có : 2014 x 2016 x x 2014 2016 x x 2014 2016 x 2
Dấu = xảy ra khi (x – 2014)(2016 – x) ≥ 0 => 2014 ≤ x ≤ 2016 (2)
2.0
Trang 3Từ 1,2 => A ≥ 2 Dấu = xảy ra khi x = 2015
Vậy A nhỏ nhất = 2 khi x = 2015
c/ Tìm x, y thuộc Z biết : 25 y2 8x 20152
Ta có 25 – y2 ≤ 25 => 8x 20152 ≤ 25 => x 20152
< 4
Do x nguyên nên x 20152 là số chính phương, nên có 2 trường hợp
TH 1 : x 20152 0 x 2015
thay v o => y = 5 ; y = -5à
TH 2 :
x
Thay vào => y2 = 17 (loại)
Vậy x = 2015, y = 5 và x = 2015, y = -5
1.5
Câu
3
a/ Cho
x y z
và 4x 3 3 29 Tính x – 2y + 3z
Ta có : 4x 3 3 29 => 4x3 32 x3 8 x 2 Thay vào tỷ lệ thức
=>
=> x – 2y + 3z = 2 – 2.(-7) + 3.1 = 2 + 14 + 3 = 19
2.0
b/ Cho f x( ) ax 3 4x x 2 1 8
và g x( ) x 34x bx 1 c 3 Trong đó a, b, c là hằng số Xác định a, b, c để f(x) = g(x)
Ta có : f x( ) ax 3 4x x 2 1 8 ax3 4x3 4x 8 a 4x3 4x 8
Do f(x) = g(x)
=> f(0) = g(0) => 8 = c – 3 => c = 11 => g x( ) x 3 4bx2 4x 8
=> f(1) = g(1) => a + 4 – 4 + 8 = 1 – 4b – 4 + 8 => a + 4b = -3 (1)
=> f(-1) = g(-1)=> -a – 4 + 4 + 8 = -1 - 4b + 4 + 8 => - a + 4b = 3(2)
Từ 1,2 => b = 0, a = -3
Vậy : a = -3 , b = 0 ; c = 11
2.0
Trang 44
2 1
1
1
D
F
E
N
M
C B
A
a/ BE = CF
Qua E kẻ đường thẳng song song với AC cắt ME tại D
BD//AC =>
1 1
1 1
(1) (2)
D F
D F
Tam giác AEF có AN vừa là đường phân giác vừa là đường cao => Tam giác AEF cân tại A => E F1
(3)
Từ (1) và (3) => E D 1 BE BD (4)
Xét BDM và CFM có : MB = MC (5), M 1 M 2 (6)
Từ 2,5,6 =>BDM = CFM (g.c.g) => BD = CF (7)
Từ 4,7 => BE = CF (ĐPCM)
AB AC
AE
Tam giác AEF cân tại A => AE = AF
2AE = AE + AF = (AB + BD) + (AC – CF)
2AE = ( AB + AC ) + (BD – CF) = AB + AC ( Do BE = CF)
AB AC
AE
(ĐPCM)
3.0
2.0
Câu
5
Cho tam giác ABC có góc B bằng 45o , góc C bằng 120o Trên tia đối của tia CB lấy điểm D sao cho CD = 2CB Tính góc ADB
Trang 515 o
120 o
15 o
2 1
2 1
F
E 2
1 2
1
2 1
D
A
B
C
Trên CA lấy điểm E sao cho B 1 ECA 15o, Gọi F là trung điểm CD
=> B 2 30o m à C 1 120o => Tam giác CBE cân tại C => CB = CE
Mà CD = 2CB => CB = CE = CF = FD
Do C 1 120o=> C 2 60o=> Tam giác CEF đều => FE = CF = FD
=> D1 E 3 mà D 1 E3 F2 60o ( CEF đều) => D 1 30o
Xét tam giác CDE ta có 0
2 1
CED C D
(1)
Ta có : D 1 B2 => EB = ED, A1 B 1 => EA = EB => ED = ED (2)
Từ 1, 2 => Tam giác EDA vuông cân tại E => D 2 45o
Vậy ADB D 1 D 2 30o 45o 75o
2.0
Học sinh làm cách khác đúng vẫn đạt điểm tối đa
Giáo viên : Nguyễn Đức Tính
Nhận dạy HS ở TP Thanh hóa
- Dạy toán 6,7,8,9
- Ôn thi lớp 10 THPT và THPT Lam Sơn
Địa chỉ : 07/335 – Đường Nguyễn Tĩnh – Đông Hương TP Thanh hóa, 0914853901