b Tính khoảng cách từ O đến SBC c Tính góc giữa SBC và ABCD.[r]
Trang 1ĐỀ KIỂM TRA HỆ SỐ 2 MÔN TOÁN 11 NH 2013 2014
THỜI GIAN 90 PHÚT
Ngày 19 tháng 4 năm 2014
I/ PHẢN CHUNG (7.0 điểm)
Câu 1 : (1.5 đ) Tính các giới hạn sau :
a) 3
lim
3
x
x x
c)
2 2
lim
x
Câu 2 : (1.0 đ) Tìm a để hàm số liên tục tại x 1
3 2 2
khi x
Câu 3 : (1.5 đ) Tính đạo hàm của các hàm số sau :
b)
2
3 4
y
x
cos
sin
y
Câu 4 : (3.0 đ) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O cạnh a ,
3 3
a
OB
,
a) Chứng minh : SAC vuông và SC vuông góc với BD
b) Tính khoảng cách từ O đến (SBC)
c) Tính góc giữa (SBC) và (ABCD)
II/ PHẦN TỰ CHỌN (3.0 điểm)
Phần A.
Câu 5a) Cho đường cong (C) : y x 3 3x22 Viết phương trình tiếp tuyến của (C) :
a) Tại điểm có hoành độ bẳng 2
b) Biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng
1 1 3
Câu 6a) Chứng minh phương trình x3 3x 1 0 có 3 nghiệm thuộc ( 2;2)
Phần B
Câu 5b) Cho hàm số
1 1
x y x
có đồ thị (C)
a) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại A(2 ; 3)
b) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến song song với đường thẳng
1 5 8
Câu 6b) Chứng minh rằng phương trình x3 2mx2 x m 0 luôn có nghiệm với mọi m.
Trang 2 HẾT
ĐÁP ÁN VÀ THANG ĐIỂM
1
a) 3
lim
3
x
x x
= +
0.25 0.25
b) lim 4 2 4 1 2 3
=
2
lim
x
0.25
lim
x
x
8
4
x
x
0.25
c)
2
2
2
x
=
2 3
0.25 +0.25
+
2
f x
2 1
lim
x
x x
0.25 0.25
Hàm số f liên tục tại x = 1 1
3
3
'
y
0.25
'
y
0.25
b)
2
3 4
y
x
2
'
(3 4 )
y
x
0.25
2 2
2
'
(3 4 )
x
y
x
=
0.25
c)
cos
sin
y
'
sin
y
'
sin
y
Trang 3Hình vẽ đúng (hình chóp S.ABCD , SO, nét đứt liền) ; 0.25
Hoàn chỉnh : 0.25đ
a)+ SOB = COB (OB chung, SB = BC =a) suy ra SO = OC = OA =
1
2AC
tính được SO =
3
a
hoặc tính được OC =
6 3
a
(0.25)
SAC có SO là trung tuyến nên SAC vuông tại S
0.25
0.25 + Do SO (ABCD) nên OC là hình chiếu của SC lên (ABCD) mà BD AC
b) kẻ OK BC và BC SO (SO (ABCD)) BC (SOK) BC SK 0.25 Trong (SOK) kẻ OH SK OH BC vì BC (SOK) nên OH (SBC)
d(O,(SBC)) = OH
0.25
2 3
a
a OH
0.25
c)
0.25
vuông SOK có :
OK
A
5a a) y' 3 x2 6x
0 0
2 2
'(2) 0
y x
y
pt tiếp tuyến cần tìm là : y = 2
0.5
b) Vì tiếp tuyến vuông góc với
1 1 3
0.25
Trang 4 hệ số góc của tiếp tuyến là k = 3
0 2
0
x
x
0 0
2 2
y y
0.25
Vậy có hai tiếp tuyến cần tìm là :
1 : y3x 3 4 2 và 2 : y3x 3 4 2
0.25 + 0.25
f x x x là hàm đa thức nên f x( ) liên tục trên 0.25
Ta có : f(2) = 1, f(0) = 1, f(1) = 1, f(2) = 3
f(2).f(0) < 0 và f liên tục trên [2 ; 0] x1 (2 ; 0) : f(x1) = 0
Và f(0).f(1) < 0 và f liên tục trên [0 ; 1] x1 (0 ; 1) : f(x2) = 0
f(1).f(2) < 0 và f liên tục trên [1 ; 2] x1 (1 ; 2) : f(x3) = 0
0.25 0.25
Vậy phương trình x3 3x 1 0 có 3 nghiệm thuộc ( 2;2) 0.25
B
5b
2 '
y
x
0.25
Vì tiếp tuyến song song với đường thẳng
1 5 8
nên tiếp tuyến có hệ số góc k =
1 8
0.25
0 2
0 0
1 4
x
x x
0 0
5 3
x x
0
0
3 2 1 2
y
y
0.25
vậy có hai tiếp tuyến thỏa mãn là :
1 :
1 :
0.25 0.25
6b Đặt f x( )x3 2mx2 x m là hàm đa thức nên f x( ) liên tục trên 0.25
Nếu m = 0 : pt hiển nhiên có nghiệm x = 0, 0.25 Nếu m 0 : f (0) (1)f m2 0,m và f liên tục trên [0 ; 1]
x0 (0 ;1) : ( ) 0f x0
Vậy pt đã cho luôn có nghiệm với mọi m
0.25