A,p dông chøng minh víi mäi sè nguyªn n gi¸ trÞ c¶... chøng minh BD.CE= BC.[r]
Trang 1
Bài 1 ( 3 điểm )
a Phân tích đa thức thành nhân tử:
A = x4 - 6x3 + 27x2- 54x +32
b Áp dụng chứng minh với mọi số nguyên n giá trị cả biểu thức A là số chẵn
A = n4 -6n3 +27n 2 -54n +32 là số chẵn
Bài 2 ( 4 điểm )
Cho hai biểu thức :
:
A
2 3
2 1
x x B
x
a Rút gọn A , B
b Với giá trị nào của x thì A + B có giá trị lớn nhất ? Tìm giá trị lớn nhất đó
Bài 3 ( 4 điểm )
a) Giải phơng trình : 1
x2+9 x +20+
1
x2+11 x+30+
1
x2+13 x +42=
1 18 b) Cho a , b , c là 3 cạnh của một tam giác Chứng minh rằng :
A = a
b+c − a+
b a+c −b+
c a+b − c ≥ 3
Bài 4 ( 3 điểm )
Cho hình chữ nhật ABCD ,vẽ BH vuông góc với AC (H AC) Gọi M,N lần
l-ợt là trung điểm của các đoạn thẳng AH và CD Chứng minh : BM MN
Bài 5 ( 4 điểm )
Cho tam giác đều ABC , gọi M là trung điểm của BC Một góc xMy bằng 600
quay quanh điểm M sao cho 2 cạnh Mx , My luôn cắt cạnh AB và AC lần lợt tại D và E Chứng minh :
a) BD.CE= BC2
4 b) DM,EM lần lợt là tia phân giác của các góc BDE và CED.
c) Chu vi tam giác ADE không đổi.
Bài 6 ( 2 điểm )
Tìm tất cả các tam giác vuông có số đo các cạnh là các số nguyên dơng và số
đo diện tích bằng số đo chu vi.
Đáp án và thang điểm
Bài 1
3 điểm a, Phân tích đa thức thành nhân tử : (1,5 đ) A = x4 - 6x3 + 27x2- 54x +32
0,5 đ = ( x - 1)( x – 2 )( x2-3x + 16)
b A, p dụng chứng minh với mọi số nguyên n giá trị cả
Đề kiểm tra chọn nguồn học sinh giỏi
Môn toán 8
Năm học 2009 – 2010 (Thời gian làm bài 120 phút )
Trang 2biÓu thøc A lµ sè ch½n : 1,5 ®
Víi ∀ n Z gi¸ trÞ c¶ biÓu thøc:
A = n4 -6n3 +27n 2 -54n +32
A = ( n - 1)( n – 2 )( n2-3n + 16)
0,5 ®
∀ n Z => n – 1 , n – 2 Z => ( n - 1); ( n – 2 ) lµ hai sè
nguyªn liªn tiÕp
0,5 ®
=> ( n - 1)( n – 2 ) ⋮ 2 => ( n - 1)( n – 2 ) = 2 k
víi k Z => A = 2k.( n2-3n + 16) => A lµ sè ch½n
0,5 ®
Bµi 2
4 ®iÓm a Rót gän A : ( 1,5 ® )
§KX§ x 1 vµ x 2
:
A
2
:
x A
0,25 ®
0,25 ®
2
x A
x
0,5 ®
1 1
x A
0,5 ®
Rót gän B : ( 1 ® )
§KX§ x 1
2
2
2
x+2 =
B
x
b T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña A + B : 1, 5®
Víi §KX§ x 1 vµ x 2 ta cã
0,25 ®
0,5 ® 0,25 ®
0,25 ®
Trang 3
2
2
1 1 1
A B
A B
A B
x
0,25 đ
Vì
2
x
1
do đó : A + B
3 4
0,5 đ
Vậy giá trị lớn nhất của A + B là
1 Khi đó x + = 0 nê n
0,5 đ
Bài 3
4
điểm
a) Giải ph ơng trình : 2 điểm
Phân tích các mẫu : x2+9x+20 =(x+4)(x+5) ;
x2+11x+30 =(x+6)(x+5) ;
x2+13x+42 =(x+6)(x+7) ;
ĐKXĐ : x ≠ − 4 ; x ≠ −5 ; x ≠ − 6 ;x ≠ −7
0,5 đ
Phơng trình trở thành :
¿
1 (x+4)(x +5)+
1 (x+5)(x +6)+
1 (x+6)(x +7)=
1 18
¿
<=> 1
x +4 −
1
x +5+
1
x +5 −
1
x +6+
1
x+6 −
1
x +7=
1 18
0,5 đ
0,5 đ
<=> 1
x +4 −
1
x +7=
1 18
<=> 18(x+7)-18(x+4)=(x+7)(x+4)
<=> (x+13)(x-2)=0
Trang 40,2 5đ
Đối chiếu ĐK có S = { -13; 2 }
b Chứng minh rằng :2 điểm
A = a
b+c − a+
b a+c −b+
c a+b − c ≥ 3
Đặt b+c-a=x >0; c+a-b=y >0; a+b-c=z >0
Từ đó suy ra a= y +z
2 ;b=
x+z
2 ;c=
x + y
2 ;
0,5
Thay vào ta đợc A= y +z
2 x +
x +z
2 y +
x+ y
2 z =
1
2[(y
x+
x
y)+(
x
z+
z
x)+(
y
z+
z
y)] A'p dụng tính chất a2 + b2 ≥ 2ab => y
x+
x
y ≥ 2 ;
x
z+
z
x ≥2 ;
y
z+
z
y ≥ 2
Từ đó suy ra A ≥1
2(2+2+2) hay A 3
0,25đ 0,5 đ
0,5 đ
0,5 đ 0,25 đ
Bài 4
3 diểm
*Gọi E là trung điểm của BH
Dễ thấy tứ giác MECN là hình bình hành
MN// EC
* c/m E là trực tâm tam giác MBC:
do AB BC
ME //AB ME BC
E là trực tâm của tam giácMBC
* CEMB MNMB
0,25đ
1,5đ 1,0 đ
0,25 đ
Trang 5Bài 5
4 điểm
a.
chứng minh BD.CE= BC2
4 : 1,5 đ
Trong tam giác BDM ta có : ^D1=1200− ^ M1
Vì ^M2 =600 nên ta có : ^M3 =1200− ^ M1
Suy ra ^D1=^M3
Chứng minh ΔBMD ∾ ΔCEM (1)
Suy ra BD
BM=
CM
CE , từ đó BD.CE=BM.CM
Vì BM=CM= BC
2 , nên ta có BD.CE=
BC2
4
b.C/m : DM,EM lần l ợt là tia phân giác của các góc BDE
và CED.(1 điểm )
Từ (1) suy ra BD
CM=
MD
EM mà BM=CM nên ta có
BD
BM=
MD
EM
Chứng minh ΔBMD ∾ ΔMED
Từ đó suy ra ^D1= ^D2 , do đó DM là tia phân giác của góc BDE
Chứng minh tơng tự ta có EM là tia phân giác của góc CED
c) C/m : Chu vi tam giác ADE không đổi (1 điểm )
Gọi H, I, K là hình chiếu của M trên AB, DE, AC
Chứng minh DH = DI, EI = EK
Tính chu vi tam giác bằng 2AH; Kết luận
0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,5 đ 0,25 đ 0,25 đ
0,25 đ
0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ
0,5 đ 0,5 đ
Bài 6
2 điểm Gọi các cạnh của tam giác vuông là x , y , z ; trong đó cạnh huyền là z (x, y, z là các số nguyên dơng )
Ta có xy = 2(x+y+z) (1) và x2 + y2 = z2 (2)
Từ (2) suy ra z2 = (x+y)2 -2xy , thay (1) vào ta có :
z2 = (x+y)2 - 4(x+y+z)
z2 +4z =(x+y)2 - 4(x+y)
0,25 d 0,25 đ
3 2 1
2 1 x
y
E
D
B
A
Trang 6z2 +4z +4=(x+y)2 - 4(x+y)+4 (z+2)2=(x+y-2)2 , suy ra z+2 = x+y-2 z=x+y-4 ; thay vào (1) ta đợc :
xy=2(x+y+x+y-4) <=> xy-4x-4y=-8
Từ đó ta tìm đợc các giá trị của x , y , z là :
(x=5,y=12,z=13) ; (x=12,y=5,z=13) ;
(x=6,y=8,z=10) ; (x=8,y=6,z=10)
0,5 đ
0,25đ 0,25 đ 0,25 đ
0, 25 đ
*Chú ý mọi cách giải khác đúng đều cho điểm tối đa