De thi chon HSG

Trường THCS HỒ TÔNG THỐC ĐỀ THI THỬ CỤM 1 TOÁN 9.. Chứng minh A không phải là số chính phương..[r]

ĐỀ THI THỬ CỤM 1 TOÁN 9 GV: Phan Quốc Hòa

Câu 1 (4,0 điểm)

a) Cho các số nguyên a1, a2, a3, , an

Đặt S = a13 a32  a3n và P a1 a2  an

Chứng minh rằng: S chia hết cho 6 khi và chỉ khi P chia hết cho 6

n  n 2n 2n (với nN, n > 1)

Chứng minh A không phải là số chính phương

Câu 2 (4,0 điểm)

a, Giải phương trình: x2 4x+5 = 2 2x+3

b) Cho (x+ √x2

+ 3 )(y+ √y2

+ 3 ) = 3

T×m gi¸ trÞ cña biÓu thøc P = x + y

Câu 3 (4điểm)

a, Cho a, b, c > 0 Chứng minh:

abc + ac

b +

bc

a ≥ a+b+c

b, Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 2

4x+3 A

x 1





Câu 4: ( 6đ )

Cho ABC vuông tại A Đường phân giác trong AD, đặt BC = a, AC = b, AB = c,

AD = d Chøng minh r»ng:

a) Chứng minh:

2

d =

1

b+

1

c

b, Sin A

2≤

a

2√bc

c) Chứng minh:

1 sin 2

A

+

1 sin 2

B

+

1 sin 2

C

> 6

Câu 5(2đ) Cho 100 số tự nhiên tuỳ ý Chứng minh rằng tồn tại 10 số sao cho

hiệu hai số bất kỳ đều chia hết cho 11

……….Hết………

ĐÁP ÁN

1a

(2đ)

Với aZ thì a3  a(a 1)a(a1) là tích 3 số tự nhiên liên tiếp nên chia hết cho 2 và 3 Mà (2.3)=1

3

a a 6

  

S P (a a ) (a a ) (a a ) 6

Vậy S 6  P 6

1b

(2đ)

n  n 2n 2n n (n1) (n  2n2) với nN, n > 1 thì n2  2n 2 (n 1) 2 1 >

2 (n 1)

và n2  2n2n2  2(n 1) < 2

n

Vậy (n 1) 2< 2

n  2n2< 2

n  n2  2n2 không là

số chính phương  đpcm Câu2

a, Giải phương trình x2 4x+5=2 2x+3 (1)

(2đ) Điều kiện:

3 2x+3 0 x

-2

   (1)  x2 4x+5-2 2x+30

 x2 2x+1+2x+3-2 2x+3 1 0

 (x1)2 ( 2x+3 1)2 0

x 1 0 2x+3 1 0

 



 

 

  x1 thỏa mãn điều kiện

(2đ)

(x+ √x +3 )(y+

√y2+3 ) = 3 (1) Nhân 2 vế của (1) với (x- √x2+3 )

0 ta đợc:

-3(y+ √y2 +3 ) = 3(x- √x2 +3 )

<=> -(y+ √y2+3

) = (x- √x2+3 ) (2)

Nhân 2 vế của (1) với (y- √y2 +3 )

0 ta đợc:

-3(x+ √x2 +3 ) = 3(y- √y2+3 )

<=> -(x+ √x2+ 3 )

= (y- √y2+3 ) (3)

Lấy (2) cộng với (3) ta đợc:

-(x+y) = x+y =>

x+y = 0 Vậy A = x+y = 0 Bài3

a

(2đ)

dễ dàng chứng minh

2

bc ac

c

a  b  

đpcm

b

(2đ)

Tỡmgiỏ trị nhỏ nhất của 2

4x+3 A

x 1





Ta cú:

2



2 2

(x 2)

x 1



 Dấu "=" xảy ra  x  2 0 x2 Vậy Amin 1 khi x = -2

Bài 4

(6đ)

a, (2đ)

Vẽ hỡnh đỳng a) SΔABD =

2

4 cd;

0,25 1,5 0,25

(2đ)

C,

(1,5đ)

SΔACD =

2

4 bd;

SΔABC =

2

4 bc

 2bd + 2dc

= 2bc



1

b +

1

c=

2

d

(chia 2 vế cho 2 dbc) (đpcm)

b, Vỡ AD là tia phân giác của góc BAC, kẻ BM

AD và CN AD

Từ hai tam giác vuông AMB và ANC, ta có:

Sin MAB = Sin

A

2=

BM

AB => BM

= c.sin A

2

SinNAC = sin

A

2 =

CN

AC =>

CN = b.sin A

2

Do đó BM + CN = sin A

2 (b+c)

Mặt khác ta có

BM + CN BD +

CD = BC = a

=> sin A

2 (b+c)

a, vì sin A

2 <

1

Do b+c 2 √bc

nên 1

b+c ≤

1

2√bc

Hay sin A

2

a

2√bc ( đpcm)

c, Từ sin A

2

(b+c) a ⇒

0,25

0,5

0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5

sin A 2

a

Tương tự:

1 sinB 2

≥ c +a

b ;

1 sinc 2

≥ b+a c

Cộng từng vế suy

ra đpcm

Câu 5: (2đ) Bài toán thực chất là đi chứng minh tồn tại 10 số trong 100

số đã cho có cùng số dư khi chia cho 11

Khi chia cho 11 ta nhận được tất cả 11 số dư: 0, 1,…,10

Ta xét 11 cái lồng: lồng thứ i bao gồm các số chia cho 11 dư i 0 i 10.Ta có

100 chú thỏ là 100 số đã cho, nhốt vào 11 cái lồng nói trên Theo nguyên tắc

Dirichlet thì tồn tại một lồng chứa ít nhất:

100

1 10 11

 

 

 

  số Các số này thoả mãn yêu cầu bài ra, tức là hai số bất kỳ có hiệu chia hết cho 11 (ĐPCM)