BÀI TẬP CÔNG CỤ PHÁI SINH

Lợi nhuận này nhận được khi nhà đầu tư đóng vị thế hợp đồng thành công..  Ký hợp đồng kỳ hạn để bán cổ phiếu đó với ngày chuyển giao sau 6 tháng..  Thanh toán tiền mua cổ phiếu 30,05$,

-  -

NHÓM THỰC HIỆN : NHÓM 01

TRẦN THỊ CẨM TÚ PHAN THỊ MINH THẢO

VÕ THỊ ÁI NGÂN NGUYỄN HỒNG MƠ

Đà Nẵng, tháng 09 năm 2014.

B À I T Ậ P

C Ô N G C Ụ P H Á I S I N H

Nhóm 01 – TCNH K28 – Đà Nẵng 1

Câu 1:

Nhà đầu tư nắm vị thế bán hợp đồng tương lai

- Tình huống nhà đầu tư được yêu cầu phải nộp thêm tiền vào tài khoản ký quỹ

F1 là giá tương lai cần tìm nên (F1 – 2,5) x 5000 > 1000

 F1 > 2,7$/bushel hay F1 > 270 cents/bushel

- Tình huống nhà đầu tư có thể rút 1500$ ra khỏi tài khoản ký quỹ

F2 là giá tương lai cần tìm, (2,5 – F2) x 5000 = 1500

 F2 = 2,2$/bushel hay F2 = 220 cents/bushel

Câu 2:

Lợi nhuận của nhà đầu tư trong trường hợp đóng vị thế hợp đồng vào tháng 8/2012: (18,3 – 17,5) x 1000 = 800 $

Lợi nhuận này nhận được khi nhà đầu tư đóng vị thế hợp đồng thành công

Câu 3:

Theo đề: T = 0.5 S0 = 30$ r = 12%

Giá kì hạn để không có cơ hội arbitrage F0 = S0erT = 30e0.12x0.5 = 31,86$

Cách kinh doanh chênh lệch giá trong các trường hợp:

a Giá kỳ hạn 6 tháng của cổ phiếu F1 = 32,05$:

- Hiện nay:

 Vay 30$ trong 6 tháng theo lãi suất phi rủi ro 12%/năm để mua 1 cổ phiếu với giá giao ngay 30$ trong ngày hôm nay

 Ký hợp đồng kỳ hạn để bán cổ phiếu đó với ngày chuyển giao sau 6 tháng

- Sáu tháng sau:

 Nhà đầu tư chuyển giao cổ phiếu và nhận 32,05$

 Số tiền phải trả cho khoản vay trong 6 tháng: 30e0,12x0,5 = 31,86$

Vậy lợi nhuận thu được sau 6 tháng là: 32,05-31,86 = 0,19$

b Giá kỳ hạn 6 tháng của cổ phiếu F2 = 30,05$:

- Hiện nay:

 Bán khống 1 cổ phiếu nhận được 30$, sau đó đầu tư 30$ thu được từ việc bán khống ở mức lãi suất phi rủi ro 12%/năm trong 6 tháng

 Ký hợp đồng kỳ hạn để mua 1 cổ phiếu với ngày chuyển giao là 6 tháng sau

- Sáu tháng sau:

 Nhà đầu tư nhận được khoản tiền từ việc đầu tư: 30$: 30e0,12x0,5 = 31,86$

 Thanh toán tiền mua cổ phiếu 30,05$, và nhận cổ phiếu theo hợp đồng kỳ hạn, cổ phiếu này được sử dụng để đóng vị thế bán khống trước đó

Nhóm 01 – TCNH K28 – Đà Nẵng 2

Vậy lợi nhuận thu được sau 6 tháng là: 31,86 – 30,05 = 1,81$

Câu 4:

a Với S0 = 40$, r= 10%/năm

Ta có giá kỳ hạn của cổ phiếu tại thời điểm hợp đồng được thiết lập:

F0 = 40xe0.1x1 = 44,21 $

Tại thời điểm hợp đồng kỳ hạn được ký kết, giá trị của hợp đồng kỳ hạn: f=0

b Với S’0 = 45$, r = 10%/năm Ta có giá kỳ hạn của cổ phiếu sau 6 tháng là:

F’0 = 45xe0.1x0.5 = 47,31 $

Lúc này, giá trị của hợp đồng kỳ hạn là:

f0= (F0-K) e-rT = ( 47,31 – 44,21)e –(0.1x0.5) = 2,95$

Câu 5:

T = 0,5 năm S0 = 50$ r = 8%/năm

Gọi I là giá trị hiện tại của cổ tức trong khoảng thời gian tồn tại hợp đồng kỳ hạn

I = 1e-0,08x1/6 + 1e-0,08x5/12 = 1,954$

a Xác định giá kỳ hạn của cổ phiếu tại thời điểm ký hợp đồng:

F0 = (S0 – I)erT = (50 – 1,954)e0,08x1/2 = 50,0068$

b Giá cổ phiếu sau 3 tháng S0’ = 48$, r = 8%/năm

Gọi I’ là giá trị hiện tại của khoản cổ tức 1$ trong tháng thứ 5

I’ = 1e-0,08x1/6 = 0,987$

Giá kỳ hạn của cổ phiếu sau 3 tháng:

F0’ = (S0’ – I’)erT = (48 – 0,987)e0,08x3/12 = 47,96$

Câu 6:

rf = rCHF = 3%/năm

r = rUSD = 8%/năm

S0 = 0,6500 F0 = 0,6600

T = 2 tháng =

6

1 năm

Ta có 0 , 6500 6 0 , 6554 0 0 , 6600

1 ) 03 , 0 08 , 0 ( )

(

F e

e

S r r f T

 Tồn tại cơ hội kinh doanh chênh lệch giá

Nhóm 01 – TCNH K28 – Đà Nẵng 3

Cách khai thác cơ hội kinh doanh chênh lệch giá:

- Hiện nay:

 Vay 1000 USD với lãi suất 8%/năm trong thời gian 2 tháng, đổi sang thành

46 , 1538

6500

,

0

1000  CHF và đầu tư theo lãi suất 3%/năm

 Kí hợp đồng kì hạn bán 1538,46 CHF với thời hạn chuyển giao sau 2 tháng

- Hai tháng sau:

 Số USD phải trả cho khoản vay 1000 USD: 1000 6 1013,4226

1 08 , 0





 Số CHF nhận được từ việc đầu tư theo lãi suất 3%/năm:





6

1 03 , 0

46

,

1538 e 1546,17 CHF

 Số USD nhận được theo hợp đồng kì hạn:

1546,17x0,6600 = 1020,4722 USD

 Lợi nhuận thu được: 1020,4722 – 1013,4226 = 7,0496 USD

Câu 7:

T = 9 tháng =

4

3 năm u = 0,24$/ounce/năm S0 = 9$/ounce

r = 10%/năm

Gọi U là giá trị hiện tại của tất cả các khoản chi phí lưu kho phải trả trong thời gian tồn tại của hợp đồng tương lai

U = 0,06 + 0,06 0,06 12 0,176$

6 1 , 0 12

3 1 , 0







e

Giá tương lai 9 tháng của bạc: F0 = ( ) ( 9 0 , 176 ) 4 9 , 89 $

3 1 , 0

Câu 8:

Có: σS = 1,2 σF = 1,4 ρ = 0,7 NA = 200.000 QF = 40.000

Vì công ty dự kiến mua gia súc sống vào ngày 15 tháng 11 nên công ty có thể phòng ngừa rủi ro biến động giá của gia súc sống bằng cách giữ một vị thế mua tương lai tháng 12 trên gia súc sống và đóng vị thế vào ngày 15 tháng 11 Số lượng hợp đồng tương lai được tính như sau:

Tỷ lệ phòng ngừa rủi ro theo phương sai nhỏ nhất (h*) sẽ là:

H* = ρ x σS/σF = 0,7 x 1,2 / 1,4 = 0,6

Mỗi hợp đồng tương lai trên gia súc sống được giao dịch có quy mô là 40.000 pounds Do đó, số lượng hợp đồng tương lai tối ưu sẽ là:

N* = h* x NA / QF = 0,6 x 200.000 / 40.000 = 3

Nhóm 01 – TCNH K28 – Đà Nẵng 4

Như vậy, công ty cần giữ vị thế mua 3 hợp đồng tương lai tháng 12 trên gia súc sống

Câu 9:

Giá trị hiện tại của số cổ phiếu A cần phòng ngừa P = 50.000x30$ = 1.500.000$ Quy mô của hợp đồng tương lai trên chỉ số S&P 500: A = 1500x50$ = 75.000$

Hệ số β của cổ phiếu là 1,3

Nhà đầu tư đang nắm giữ 50.000 cổ phiếu A, và muốn phòng ngừa rủi ro giảm giá bằng hợp đồng tương lai trên chỉ số S&P500, nhà đầu tư cần nắm giữ vị thế bán hợp đồng tương lai Và số lượng hợp đồng cần nắm giữ ở vị thế bán là:

N= βxP/A = 1,3x1.500.000/75.000 = 26 hợp đồng

Câu 10:

Có: P = 4.000.000 A =250x1200 r = 10% q = 5%

Nhà đầu tư đang nắm giữ một danh mục đầu tư chứng khoán Để phòng ngừa rủi ro do sự biến động giá của danh mục chứng khoán, nhà đầu tư có thể sử dụng vị thế bán hợp đồng tương lai trên chỉ số chứng khoán S&P 500 để phòng ngừa rủi ro cho một danh mục đầu tư chứng khoán này Lúc này:

Số lượng hợp đồng tương lai tối ưu cần phải giữ cho vị thế bán là:

Nx = βxP / A = 1,5x4.000.000 / (250x1200) = 20 hợp đồng

Giá tương lai của chỉ số ở thời điểm hiện tại là:

F0 = S0e(r-q)T = 1.200e(0,10-0,05)x4/12 = 1220,2

Giả sử sau 3 tháng, chỉ số có giá trị là 900

Khi đó, giá tương lai của chỉ số là:

F0 = S0e(r-q)T = 900e(0,10-0,05)x1/12 = 903,8

Do vậy, lợi nhuận trên vị thế bán hợp đồng tương lai là:

20x(1220,2 - 903,8)x250 = 1.582.000$

Câu 11:

Trong trường hợp chia tách cổ phiếu theo tỷ lệ m:n, giá thực hiện được giảm xuống còn m/n so với giá thực hiện trước đó và số lượng cổ phiếu trong mỗi hợp đồng quyền chọn sẽ gia tăng đến n/m so với số lượng cổ phiếu trước khi chia tách

Do đó khi công ty thông báo chia tách cổ phiếu theo tỷ lệ 1:3, các điều khoản trong hợp đồng quyền chọn cũng sẽ thay đổi để cho phép nhà đầu tư nắm giữ quyền chọn được mua với giá 20$/1 cổ phiếu và số lượng cổ phiếu trong mỗi hợp đồng quyền chọn tăng gấp 3 lần so với trước khi chia tách

Nhóm 01 – TCNH K28 – Đà Nẵng 5

Câu 12:

Có: T = 4 tháng = 1/3 năm r = 12%/năm S0 = 64$ K = 60$ c = 5$

Gọi D là giá trị hiện tại của toàn bộ số cổ tức nhận được trong thời gian tồn tại của quyền chọn D = 0,8e-rT = 0,8e-0,12x1/12 = 0,792$

Ta có S0 – D – Ke-rt = 64 – 0,792 – 60e-0,12x1/3 = 5,56 > c= 5$

 Tồn tại cơ hội kinh doanh chênh lệch giá

Cách khai thác cơ hội kinh doanh chênh lệch giá như sau:

- Hiện nay:

Mua một quyền chọn mua với giá c = 5$

Bán khống 1 cổ phiếu với giá S0 = 64$

Vào thời điểm này, dòng tiền có được là 64$-5$ = 59$

Đầu tư số tiền 0,792$ trong kỳ hạn 1 tháng với lãi suất 12%

Đầu tư số tiền còn lại 58,208$ trong kỳ hạn 4 tháng với lãi suất 12%

- Một tháng sau:

Dùng khoản tiền có được từ khoản đầu tư 0,792$ là 0,8$ để trả cổ tức

- Khi đến hạn:

Số tiền nhận được từ khoản đầu tư 58.208$ là 58,208e0,12x1/3= 60,584$

 Nếu giá cổ phiếu lớn hơn giá thực hiện 60$, nhà đầu tư sẽ thực hiện quyền chọn mua cổ phiếu với giá 60$ và đóng vị thế bán khống trước đó Lợi nhuận nhà đầu

tư có được là: 60,584$ - 60$ = 0,584$

 Nếu giá cổ phiếu nhỏ hơn giá thực hiện, ví dụ 57$, thì nhà đầu tư sẽ mua cổ phiếu trên thị trường để đóng vị thế bán khống, lợi nhuận mà ông ta nhận được là:

60,584$ - 57$ = 3,584$

Câu 13:

Có: T = 1 tháng =

12

1 năm r = 6%/năm S0 = 47$ K = 50$ p = 2,5$

1 06 , 0



e S

 Tồn tại cơ hội kinh doanh chênh lệch giá

Cách khai thác cơ hội kinh doanh chênh lệch giá:

- Tại thời điểm hiện tại:

Vay 49,5$ với lãi suất 6%/năm trong thời hạn 1 tháng

Mua 1 quyền chọn bán với giá p = 2,5$

Mua một cổ phiếu với giá S0 = 47$

Nhóm 01 – TCNH K28 – Đà Nẵng 6

- Một tháng sau:

Số tiền phải thanh toán cho khoản vay: 49,5 12 49,748$

1 06 , 0





e

 Nếu ST < 50$, thực hiện quyền chọn bán với giá thực hiện K = 50$

 Lợi nhuận kiếm được: 50 – 49,748 = 0,252$

 Nếu ST ≥ 50$ (ST = 52$), bán cổ phiếu trên thị trường

 Lợi nhuận thu được: 52 – 49,748 = 2,252$

Câu 14:

T = 6 tháng = 0,5 năm S0 = 29$

Giá thực hiện quyền chọn mua K = 30$ c = 2$ r = 10%/ năm

p: giá quyền chọn bán

Cổ tức 0,5$ sau 2 tháng và 5 tháng

a Xác định giá quyền chọn bán kiểu châu Âu trên cùng cổ phiếu, T = 0,5 năm, giá thực hiện K = 30$:

Gọi D là giá trị hiện tại của toàn bộ số cổ tức nhận được trong thời gian tồn tại của quyền chọn: D = 0,5e-0,1x1/6 + 0,5e-0,1x5/12 = 0,971$

Quan hệ ngang giá giữa quyền chọn bán và quyền chọn mua kiểu châu Âu trong trường hợp có cổ tức: c + D + Ke-rT

= p + S0

 p = c + D + Ke-rT

– S0 = 2 + 0,971 + 30e-0,1*0,5 – 29 = 2,5$

 Giá quyền chọn bán kiểu châu Âu là 2,5$

b Giả sử giá quyền chọn bán p = 3$ Có tồn tại cơ hội kinh doanh chênh lệch giá Cách khai thác như sau:

- Hiện nay:

Mua quyền chọn mua kiểu châu Âu với giá c = 2$

Bán quyền chọn bán kiểu châu Âu với giá p = 3$

Bán khống cổ phiếu với giá S0 = 29$

Dòng tiền thu được 29 – 2 + 3 = 30$

Đầu tư 0,5e-0,1x1/6

= 0,492$ kỳ hạn 2 tháng với lãi suất 10%/năm Đầu tư 0,5e-0,1x5/12

= 0,48$ kỳ hạn 5 tháng với lãi suất 10%/năm

Đầu tư số tiền còn lại là 29,028$ kỳ hạn 6 tháng với lãi suất 10%/năm

- Đến các kỳ hạn trả cổ tức, sử dụng các khoản đầu tư kỳ hạn 2 tháng và 5 tháng

để thanh toán cổ tức

- Vào thời điểm đến hạn của quyền chọn:

Số tiền nhận được của khoản đầu tư 6 tháng là: 29,528e0,1x0,5 = 30,52$

Nếu giá cổ phiếu lớn hơn giá thực hiện 30$, quyền chọn mua sẽ được thực hiện

Nhóm 01 – TCNH K28 – Đà Nẵng 7

Nếu giá cổ phiếu thấp hơn giá thực hiện 30$, thì quyền chọn bán sẽ được thực hiện Trong cả hai tình huống, nhà đầu tư đều mua cổ phiếu với giá 30$, cổ phiếu này được dùng để đóng vị thế bán khống

 Lợi nhuận mà nhà đầu tư thu được là: 30,52$ - 30$ = 0,52$

Câu 15:

Sử dụng mô hình nhị thức một bước để định giá quyền chọn mua kiểu châu Âu Với dữ liệu đề bài, ta có thể xác định u=1.05 ; d=0.95 ; r=0.08 ; cu=3 ; cd=0 ; T=1/12

95 , 0 05 , 1

95 , 0

12 / 1 08 , 0













d u

d

e rT



Giá một quyền chọn mua kiểu châu Âu trên cổ phiếu đó:

c = e-rT[πxcu + (1- π)xcd] = e-0,08x1/12(0,567x1,05 + 0,433x0) = 0,591$

Câu 16:

Có: T = 6 tháng = 0,5 năm S0 = 50$ r = 10%/năm K = 50$

S0u = 55$  u =1,1 S0d = 45$  d = 0,9

Sử dụng mô hình nhị thức một bước để xác định giá quyền chọn bán kiểu châu

Âu Với dữ liệu đã cho, ta có xác suất trung tính rủi ro:

9 , 0 1 , 1

9 , 0

2

1 1 , 0

















e d u

d

e rT



Giá một quyền chọn bán kiểu châu Âu trên cổ phiếu đó:

p = e-rT[πxpu + (1- π)xpd] = e-0,1x1/2(0,756x0 + 0,244x5) = 1,16$

Câu 17:

S0 = 100$ r = 8%/năm K = 100$ δt = 6 tháng =

2

1 năm 1

, 1 100



100



d

Ta có π là xác suất trung tính rủi ro: 0,7040

9 , 0 1 , 1

9 , 0

2

1 08 , 0

















e d u

d

e rt



Nhóm 01 – TCNH K28 – Đà Nẵng 8

Tại nút D, giá cổ phiếu là 121$, giá trị của quyền chọn mua là:

cuu = Max [S0u2 – K; 0] = Max [121-100; 0] = 21$

Tại nút E, giá cổ phiếu là 99$, giá trị của quyền chọn mua là:

cud = Max [S0ud – K; 0] = Max [99-100; 0] = 0 Tại nút F, giá cổ phiếu là 81$, giá trị của quyền chọn mua là:

cdd = Max [S0d2 – K; 0] = Max [81-100; 0] = 0 Tại nút C, giá quyền chọn mua sẽ bằng 0 (cd = 0) vì giá quyền chọn ở cả hai nút

E và F đều bằng 0

Tại nút B, giá cổ phiếu là 110$, giá trị của quyền chọn mua là:

cu = [ (1 ) ] 20.7040 21 (1 0,7040) 0 14, $

1 08 , 0

















e c c

e rt  uu  ud Tại điểm A, giá quyền chọn mua ở thời điểm hiện tại là:

c = [ ( 1 ) ] 20 7040 14 , 21 ( 1 0 , 7040 ) 0 9 , 605 $

1 08 , 0

















e c c

e rt  u  d

Câu 18:

S0 = 100$ r = 8%/năm K = 100$ δt = 6 tháng =

2

1 năm

1 , 1 100



100



d

Ta có là xác suất trung tính rủi ro 0 , 7040

9 , 0 1 , 1

9 , 0

2

1 08 , 0

















e d u

d

e rt

 Tại nút D, giá cổ phiếu là 121$, giá trị của quyền chọn bán là:

cuu = Max [K - S0u2; 0] = Max [100-121; 0] = 0$

Tại nút E, giá cổ phiếu là 99$, giá trị của quyền chọn bán là:

cud = Max [K - S0ud; 0] = Max [100-99; 0] = 1$

Tại nút F, giá cổ phiếu là 81$, giá trị của quyền chọn bán là:

cdd = Max [K - S0d2; 0] = Max [100-81; 0] = 19$

Tại nút C, giá quyền chọn bán là:

cd = [ ( 1 ) ] 20 7040 1 ( 1 0 , 7040 ) 19 6 , 08 $

1 08 , 0

















e c c

e rt  ud  dd Tại nút B, giá cổ phiếu là 110$, giá trị của quyền chọn bán là:

cu = [ ( 1 ) ] 20 7040 0 ( 1 0 , 7040 ) 1 0 , 28 $

1 08 , 0

















e c c

e rt  uu  ud Tại điểm A, giá quyền chọn bán ở thời điểm hiện tại là:

p = [ ( 1 ) ] 20 7040 0 , 28 ( 1 0 , 7040 ) 6 , 08 1 , 918 $

1 08 , 0

















e c c

e rt  u  d

Nhóm 01 – TCNH K28 – Đà Nẵng 9

Ta có S0 = 100$, K = 100$, r = 8%/năm

Giá quyền chọn mua kiểu châu Âu là: c = 9,605$

Giá quyền chọn bán kiểu châu Âu là: p = 1,918$

Ta có:       0 , 08  1 

100 605 ,

Ke

p + S0 = 1,918 + 100 = 101,918$

 c + Ke-rT = p + S0 nên giá quyền chọn mua, giá quyền chọn bán vừa được xác định ở trên thỏa mãn quan hệ ngang giá giữa quyền chọn bán và quyền chọn mua (Put-Call Parity)

Câu 19:

Có: T = 3 tháng = 0,25 năm S0 = 50$ K = 50$ r = 10%/năm

Tính bất ổn định của giá cổ phiếu σ = 0,3

Áp dụng mô hình Black – Scholes để định giá quyền chọn bán kiểu Châu Âu trên một cổ phiếu không trả cổ tức:

T

T ) 2 / r ) K / S ln(

d

2 0

1









25 , 0

* 3 , 0

25 , 0

* ) 2 / 3 , 0 1 , 0 ( ) 50 / 50



T d

T

T r

K S













2

) 2 / (

) / ln(

= 0,2417 – 0,3x0,5 = 0,0917

Sử dụng bảng tra, ta có:

N(-d1) = N(-0,2417) = 0,4045 N(-d2) = N(-0,0917) = 0,4634

Giá quyền chọn bán kiểu Châu Âu với dữ liệu đã cho:

p = Ke-rTN(-d2) – S0N(-d1) = 50e-0,1x0,25 x 0,4634 – 50x0,4045 = 2,373$

Câu 20:

Áp dụng mô hình Black-Scholes để định giá quyền chọn mua kiểu châu Âu trên một cổ phiếu không trả cổ tức:

T

T ) 2 / r ) K / S

ln(

d

2 0

1









25 , 0

* 3 , 0

25 , 0

* ) 2 / 3 , 0 12 , 0 ( ) 50 / 52



T

T r

K S







2

) 2 / (

) / ln(

=0,5365 – 0,3x0,5=0,3865

Sử dụng bảng tra, chúng ta có:

N(d1) = 0,7042 và N(d2) = 0,6504

Giá trị quyền chọn mua trong trường hợp này sẽ là:

c = S0N(d1) - Ke-rTN(d2)=52x0,7042 – 50xe-0,12x0,25x0,6504=5,0595$