Tìm m để đường thẳng d cắt đồ thị C tại hai điểm phân biệt A, B sao cho tam giác OAB vuông tại O trong đó, O là gốc tọa độ.. a Tính thể tích khối chóp S.ABC.. b Tính khoảng cách giữa hai
Trang 1TRƯỜNG THPT TRẦN QUỐC TUẤN ĐỀ KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG HSG 12
TỔ TOÁN Môn: Toán (Lần 2) – Năm học 2017 – 2018
Thời gian: 180 phút (không kể TG giao đề)
Câu 1(4.0 điểm)
1 Tìm các khoảng đơn điệu của hàm số y= x2+2+ 4−x2
2 Cho hàm số
1
1 2
+
−
=
x
x
y có đồ thị (C) và đường thẳng d:y=−x+m Tìm m để đường
thẳng d cắt đồ thị (C) tại hai điểm phân biệt A, B sao cho tam giác OAB vuông tại O (trong đó, O là gốc tọa độ)
Câu 2(5.0 điểm)
8
2 2
2
2 1 2log 1 log (3 1) log
2 Giải hệ phương trình
= +
− + +
−
+
= +
+ +
−
4 1 5 11 7 3
2 2 1 3
x
y x y
y x
Câu 3(3.0 điểm)
1 Tính tổng tất cả các số hạng hữu tỉ trong khai triển nhị thức ( ) n
3
5 3+ 7 ; biết n là số
tự nhiên thỏa mãn đẳng thức: 0+ 1+ 2+ + n =512
n n
n
2 Cho tam giác ABC có ba góc A, B, C
Chứng minh rằng ta luôn có: sin2 A+cosB+sin2C ≤ 1+ 2
Dấu bằng xảy ra khi nào?
Câu 4(5.0 điểm)
Cho hình chóp S.ABC có mặt bên (SBC) vuông góc với mặt đáy; cạnh SB = SC = 1; các góc ASB∧ =BSC∧ =CSA∧ =600
a) Tính thể tích khối chóp S.ABC
b) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AC và SB
c) Xác định tâm và tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC
Câu 5(3.0 điểm)
Cho ba số thực dương a, b, c Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
2 2
2
3 3
3
a ca
a c c bc
c b b ab
b a P
+
+ + +
+ + +
+
=
……… Hết ………
Trang 2ĐÁP ÁN
1
(4.0đ)
1
] 2
; 2 [−
=
4 2
'
x
x x
x y
−
− +
±
=
=
⇔
=
1
0 0
'
x
x
* BBT…
* KL: Hàm số đồng biến trên (-1;0), (1;2); nghịch biến trên (-2;-1), (0;1)
0.5 0.5 0.5 0.5 2
(2.0đ)
* TXĐ: D = R.
* Phương trình HĐGĐ:
1
1 2
+
−
x
x =−x+m (x≠−1) ⇔x2+(3−m)x−m−1=0 (1)
(1) có hai nghiệm phân biệt x1, x2 với mọi m
* Gọi: A(x1;−x1+m), B(x2;−x2+m) YCBT ⇔OA.OB=0
0 )
( 2
0 ) )(
(
2 1 2
1 2
1 2
2 0
) 3 ( 2
−
0.5 0.5
0.5 0.5
2
(5.0đ)
1
1
>
x
2
2 2
2 2
2
2 1 log 1 ] log 1 log (3 1) [log
2 x + +x + x + −x + x + +x = 3 x−
⇔ log ( 2 1 ) log2(3 1)
2 x + +x = x− ⇔ x2+1+x=3x−1
⇔ x2 +1=2x−1⇔ x2+1=4x2 −4x+1
=
=
⇔
3 / 4
0
x x
* Kết hợp ĐK => phương trình có 1 nghiệm x = 4/3
0.5
0.5
0.5 0.5 2
(3.0đ) * ĐK:
≤
<
−
−
≥
≥ +
7 / 11 1
, 5 / 1
0 2
y x
y x
* pt(1) của hệ ⇔x+2y+2 (x+2y)(y+1)−3(y+1)=0 (3)
+
−
= +
+
= +
⇔
=
− +
+ + +
+
⇔
) ( 1 3 2
1 2
0 3 1
2 2 1
2
VN y
y x
y y x y
y x y
y x
* x+2y = y+1⇔ y=−x+1, thay vào pt(2) của hệ được:
x2−3x−1+ 7x+4− 5x+1=0
=
− + + +
− + + +
=
−
=
−
− + + +
−
− + + +
−
⇔
=
−
− +
− +
− +
− +
⇔
) 4 ( 0
3 1 5 1
1 4
7 2 1
0 3
0 ) 3 ( 1 5 1
3 4
7 2 3
0 ) 3 ( 1 5 1 4
7 2
2
2 2
2
2
x x
x x
x x
x x x
x
x x x
x
x x
x x x
x x
x
−
=
⇒
=
=
⇒
=
⇔
=
−
) ( 2 3
1 0
0 3
2
VN y
x
y x
x x
* (4) vô nghiệm vì …
Vậy hệ có một nghiệm (0; 1)
0.25 0.25 0.5
0.5 0.5
0.25 0.25 0.5 3
(3.0đ)
1
2 1
0+ + + + n =
n n
n
7
3+
18 3
1 5
1
7 3
+
0.5
Trang 3* Số hạng tổng quát của khai triển là k k k
1 ) 18 ( 5 1 18
1 3 − 7
=
=
⇔
≤
≤
−
18
3 )
18 0
( 3
5 ) 18 (
k
k k
k
k
18 3 3 18 19
S
0.5
0.5 2
(1.5đ) * sin2A+cosB−sin2C=21(1−cos2A)−21(1−cos2C)+cosB
=1+sin(A+C)sin(A−C)+cosB=1+sinBsin(A−C)+cosB
4 sin 2 1 cos sin
+ +
= +
+
, đúng với mọi A, B,C
* Dấu “=” xảy ra khi
=
=
=
⇔
= +
=
−
8 /
4 /
8 / 5
2 4
2
π π
π π
π
π
C B A B
C A
0.5 0.5
0.5
4
(5.0đ)
a)
(2.0đ) * Gọi H là trung điểm của BC Chứngminh được SH ⊥BC và AH ⊥BC
* Đặt SA = x Tính AC theo x theo hai cách Tính được x=3/2,
2
6
=
AH
* Tính được V =
8 2
0.5 1.0 0.5
b)
(1.5đ) * Dựng hình bình hành ABEC Vì AC // (SBE) nên d(AC, SB) = d(C,(SBE)) = 2d(H,(SBE)).
* Tính được
3
6 6
2 ) , ( 6
HN
0.5 0.5 0.5 c)
(1.5đ)
* Gọi O, K lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp ∆ABC và ∆SBC Dựng được tâm I của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC Bán kính R = IS
*
2
7
=
=AC
Ta có:
24
6 5 24
6 7 4
=
r
BC AC AB
S ABC
* Tính được
8
38
=
=IS R
0.5
0.5 0.5
5
(3.0đ)
*
1
3 1
3 1
3 3
3 3
2 2
2
+
+ + +
+ + +
+
= +
+ + +
+ + +
+
=
a c a c
c b c b
b a b a a ca
a c c bc
c b b ab
b a P
1
3 )
+
+
t
t t
Khảo sát hàm số f(t), lập BBT ⇒(min0; ) ( )=2 2
Suy ra P≥6 2 , mọi a, b, c dương
Vậy minP=6 2 khi a = b = c
1.0
1.0 1.0
S
A
H O
K I E
M N
Trang 4……… Hết ………
0 sin 2 sin 4 3 sin 4
0 sin 2 sin 4 3
sin
4
sin x+ x− x+ x=
0 2 sin 4 cos 2 sin 2 2 cos
2
sin
0 ) 2 cos 2 (cos
2
sin
=
− +
=
⇔
0 3 cos cos
2
0 2 sin
2x x x
2 0
2 sin 1
cos
0 2
x
x
=
⇔
=
⇔
=
=
⇔
Một lớp học có 20 học sinh; trong đó có 6 học sinh giỏi môn Toán, 5 học sinh giỏi môn Văn và 4 học sinh giỏi cả 2 môn Toán và Văn Giáo viên chủ nhiệm muốn chọn trong lớp ra 2
em để tham gia một lớp tập huấn về kỹ năng sống Tính xác suất để 2 em được chọn đều là học sinh giỏi của ít nhất một trong hai môn Toán hoặc Văn
* Số phần tử của không gian mẫu là n(Ω)= 2 190
20 =
C
* Gọi A là biến cố cần tính xác suất Số khae năng thuận lợi cho biến cố A là
105 )
4
1 5
1 4
1 6
1 5
1 6
2 4
2 5
2
=C C C C C C C C C
A
n
* Vậy xác suất cần tính là
190
105 ) (A =
P