a Chứng minh tứ giác IHSE nội tiếp trong một đường tròn : Ta có SA = SB tính chất của tiếp tuyến Nên SAB cân tại S Do đó tia phân giác SO cũng là đường cao SO AB I là trung điểm[r]
Trang 1PHÒNG GD&ĐT HÀ ĐÔNG
TRƯỜNG THCS PHÚ LƯƠNG
ĐỀ ĐỀ XUẤT
KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT
NĂM HỌC 2013 – 2014
Môn thi: TOÁN
Thời gian làm bài: 120 phút (không kể thời gian giao đề)
Câu 1 (2.5 điểm)
Cho
: 4
A
x
a/ Nêu điều kiện xác định và rút gọn biểu thức A
b/ Tìm x sao cho
3 5
A
c/ Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P= (x – 4)A
Câu 2 (2,0 điểm)
Cho phương trình bậc hai x2 – 2(m - 1)x + 2m – 4 = 0 (1), ( m là tham số)
a/ Giải phương trình khi m = 3
b/ Với x1, x2 là nghiệm của phương trình (1) Tìm giá trị của m để biểu thức: B= x1 x2 đạt giá trị nhỏ nhất
Câu 3 (1,5 điểm)
Một thửa ruộng hình chữ nhật có chu vi bằng 400 m Nếu tăng chiều rộng 20 m, giảm chiều dài 30 m thì diện tích không đổi Tính diện tích của thửa ruộng
Câu 4 (3,5 điểm)
Cho đường tròn tâm O đường kính AB=2R Gọi M là một điểm bất kỳ thuộc đường tròn (O) khác A và B Các tiếp tuyến của (O) tại A và M cắt nhau tại E Vẽ MP vuông góc với AB (P thuộc AB), vẽ MQ vuông góc với AE (Q thuộc AE)
a) Chứng minh rằng AEMO là tứ giác nội tiếp đường tròn
b) Gọi K là giao điểm của EB và MP Chứng minh: K là trung điểm của MP c) Đặt AP = x Tính MP theo R và x Tìm vị trí của M trên (O) để tứ giác APMQ
có diện tích lớn nhất
Câu 5 (0,5 điểm).Cho các số dương a , b , c Chứng minh bất đẳng thức:
√ a b+c+√ b
c+a+√ c
a+b>2 Hết
Trang 2-HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI THỬ VÀO LỚP 10
NĂM HỌC 2013 – 2014 Môn: Toán
1 (3 đ)
a/
ĐKXĐ:
0 1 4
x x x
1 2
x A x
0,25
0,75
b/
Để
3 5
A
5 2 11 2 121
4
x x x
Vậy: để
3 5
A
thì x=
121 4
0,25
0,25
0,25
c/
2
2
x
Dấu “=” xảy ra khi
9 4
x
Vậy: GTNN của
1 4
P
khi
9 4
x
0,25 0,25
0,25
2 (2 đ)
a/
Thay m = 3 vào PT (1) ta được pt: x 2 – 4x +2 = 0
Giải pt ta được:
1 2
x x
Vậy: với m = 3 thì pt (1) có 2 nghiệm:
1 2
x x
0,25 0,5 0,25
b/
Để pt (1) có nghiệm x1, x2 thì:
2
( vì
2
m ) Theo định lí Vi- ét ta có: x1x2 = 2m- 4; x1 + x2 = 2m - 2
0,25
0,5
Trang 3Nên
1 22 4 1 2 2 42 4
4 2
Dấu “=” xảy ra khi m= 2
Vậy: GTNN của B 2 khi m 2
0,25
3
(1,5 đ)
Gọi x ( m) là chiều rộng thửa ruộng HCN
y (m) là chiều dài thửa ruộng HCN ( đk: y > x > 0, y > 30)
Vì chu vi mảnh đất bằng 400 m nên ta có pt:
x + y = 200 (1)
tăng chiều rộng 20 m ta được: x + 20 (m)
giảm chiều dài 30 m ta được: y – 30 (m)
thì diện tích không đổi nên ta có pt: (x+20)(y- 30) = xy (2)
Từ (1), (2) ta có hpt:
200
x y
Giải hpt: ta được
68 132
x y
( tmđk) Vậy: Diện tích thửa ruộng là: 8976 ( m 2 )
0,25 0,25
0,25
0,25 0,25 0,25
4
(3,5 đ)
K
O
B A
M E
P
Q
0,5
a/
Xét tứ giác AEMO có :
EAO 90 0(vì AE là tiếp tuyến của (O)) và EMO 90 0 (vì EM là tiếp tuyến của (O))
EAO EMO 90 90 180 nên tứ giác AEMO là tứ giác nội tiếp.( tổng số đo 2 góc đối = 180 0 )
0,25
0,25 0,25 0,25
hai tam giác AEO và PMB đồng
dạng vì chúng là 2 tam giác vuông có 1 góc
bằng nhau và AOE ABM , (vì OE // BM)
=>
BP MP (1)
0,25
0,25
Trang 4Mặt khác, vì KP//AE, nên ta có tỉ số
AE AB (2)
Từ (1) và (2) ta có : AO.MP = AE.BP = KP.AB,
mà AB = 2.OA => MP = 2.KP
Vậy K là trung điểm của MP
0,25
0,25
c/
dễ dàng chứng minh được :
abcd
4
a b c d 4
(*) Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a = b = c = d (BĐT Cauchy với 4 số không âm)
MP = MO2 OP2 R2 (x R) 2 2Rx x 2
Ta có: S = SAPMQ = MP.AP x 2Rx x 2 (2R x)x 3
S đạt max (2R x)x 3 đạt max x.x.x(2R – x) đạt max
x x x (2R x)
3 3 3 đạt max Áp dụng (*) với a = b = c =
x 3
Ta có :
4
Do đó S đạt max
x (2R x)
3
2
0,25
0,25
0,25 0,25
5
(0,5đ)
Vì các số a , b , c dương nên áp dụng bất đẳng thức Côsi cho hai số ta có:
√a (b+c ) ≤ a+(b+c)
b+c=
a
√a (b+c ) ≥
2 a
a+b+c
Tương tự ta cũng có:
√ b
c +a ≥
2b
a+b+c , √ c
a+b ≥
2 c
a+b+ c
Cộng các bất đẳng thức cùng chiều trên ta có
√ a
b+ c+√ b
c+a+√ c
a+b ≥
2 a+ 2b+2 c
a+b+c =2 .
Dấu bằng xảy ra
⇔ a=b+c b=c +a c=a+b
¿ { {
⇔ a=b=c=0 , không thoả mãn.
Vậy √ a
b+ c+√ b
c+ a+√ c
a+ b>2
0.25
0.25
( HS giải bằng cách khác đúng vẫn cho điểm tối đa )
Trang 5Trờng THCS Nam Dơng - Lớp 9A
Đề thi thử lần 1 tuyển sinh lớp 10 Năm học 2012 - 2013
Môn: Toán (Thời gian làm bài:120 phút) Ngày thi 25 / 5/ 2012
Phần I: Trắc nghiệm (2,0 điểm) Mỗi câu sau có nêu bốn phơng án trả lời, trong đó
chỉ có một phơng án đúng Hãy chọn phơng án đúng
Câu 1: Phơng trình (x – 1)(x + 2) = 0 tơng đơng với phơng trình
A x2 + x – 2 = 0 B 2x + 4 = 0 C x2 - 2x + 1 = 0 D x2 + x +
2 = 0
Câu 2: Phơng trình nào sau đây có tổng hai nghiệm bằng 3?
A x2 - 3x + 14 = 0 B x2 - 3x - 3 = 0 C x2 - 5x + 3 = 0 D x2 - 9 = 0
Câu 3: Trong các hàm số sau, hàm số nào đồng biến trên R?
A y = - 5x2 B y = 5x2 C y = ( √3 - 2)x D y = x – 10
Câu 4; Phơng trình x2 + 4x + m = 0 có nghiệm khi và chỉ khi
Câu 5: Phơng trình √3 x +4= x có tập nghiệm là
Câu 6: Nếu một hình vuông có cạnh bằng 6 cm thì đờng tròn ngoại tiếp hình vuông
đó có bán kính bằng
2√6 cm
Câu 7: Cho hai đờng tròn (O;R) và (O’;R’) có R = 6 cm, R’ = 2 cm, OO’ = 3 cm Khi
đó, vị trí tơng đối của hai đờng tròn đã cho là:
A cắt nhau B (O;R) đựng (O’;R’) C ở ngoài nhau D tiếp xúc trong
Câu 8: Cho một hình nón có bán kính đáy bằng 3, thể tích bằng 18 cm3 Hình nón
đã cho có chiều cao bằng
Phần II: Tự luận (8,0 điểm)
Câu 1 (1,5 điểm) Cho biểu thức P =
:
(với x > 0, x 1) a) Rỳt gọn biểu thức P.
b) Tỡm cỏc giỏ trị của x để P >
1
2.
Câu 2: (1,5 điểm) Cho phương trỡnh ẩn x: x 2 – 2mx + 4 = 0 (1)
a) Giải phương trỡnh đó cho khi m = 3.
b) Tỡm giỏ trị của m để phương trỡnh (1) cú hai nghiệm x , x thỏa món: ( x + 1 ) 2 + ( x + 1 ) 2 = 2.
Trang 6C©u 3: (1,0 ®iÓm) Giải hệ phương trình: a,
x − 1 x+1+
y −2 y+1=2
¿
2 x − 1
x+1 +
y − 1
y +1=2
¿
¿ {
¿
¿ ¿
¿
b,
C©u 4: (3,0 ®iÓm) Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB = 2R và tia tiếp tuyến Ax cùng phía với nửa đường tròn đối với AB Từ điểm M trên Ax kẻ tiếp tuyến thứ hai MC với nửa đường tròn (C là tiếp điểm) AC cắt OM tại E; MB cắt nửa đường tròn (O) tại D (D khác B).
a) Chứng minh: AMCO và AMDE là các tứ giác nội tiếp đường tròn.
b) Chứng minh gãc ADE = gãc ACO.
c) Vẽ CH vuông góc với AB (H AB) Chứng minh rằng MB đi qua trung điểm của CH.
C©u 5: (1,0 ®iÓm) a, Cho các số dương a , b , c Chứng minh bất đẳng thức:
√ a
b+c+√ b
c+a+√ c
a+b>2 .
b, Giải phương trình: x + 5 x + 2 1 x 2 7x + 10 3
-HÕt Câu 5
Vì các số a , b , c dương nên áp dụng bất đẳng thức Côsi cho hai số ta có:
√a (b+c ) ≤ a+(b+c)
b+c=
a
√a (b+c ) ≥
2 a
a+b+c
Tương tự ta cũng có:
√ b
c +a ≥
2b
a+b+c , √ c
a+b ≥
2 c
a+b+c
Cộng các bất đẳng thức cùng chiều trên ta có
√ a
b+c+√ b
c+a+√ c
a+b ≥
2 a+2b+2 c
a+b+c =2 .
Dấu bằng xảy ra
⇔ a=b+c b=c +a c=a+b
¿ { {
⇔ a=b=c=0 , không thoả mãn.
Vậy √b+c a +√c+a b +√a+b c >2
Câu 5:
( ) ( )
Từ (1) suy ra: x4 1 x 1 Tương tự y 1 (3).
( ) ( ) ( ) (4), Từ (3) suy ra vế trái của (4) không âm nên
Trang 7(4)
2
2
Thử lại thì hệ chỉ có 2 nghiệm là:
Câu 4:
a) Vì MA, MC là tiếp tuyến nên:
MAO MCO 90 AMCO là tứ giác
nội tiếp đường tròn đường kính MO.
ADB 90 (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)
ADM 90
Lại có: OA = OC = R; MA = MC (tính chất tiếp tuyến).
Suy ra OM là đường trung trực của AC
AEM 90
x N
I H E
D M
C
A
Từ (1) và (2) suy ra MADE là tứ giác nội tiếp đường tròn đường kính MA.
b) Tứ giác AMDE nội tiếp suy ra:
ADE AME AMO (góc nội tiếp cùng chắn cung AE) (3)
Tứ giác AMCO nội tiếp suy ra:
AMO ACO (góc nội tiếp cùng chắn cung AO) (4)
b) Đk: x ≥ - 2 (1)
Đặt x + 5 a; x + 2 b a 0; b 0
(2)
Ta có: a 2 – b 2 = 3; x 2 7x + 10 x + 5 x + 2 ab
Thay vào phương trình đã cho ta được:
(a – b)(1 + ab) = a 2 – b 2 (a – b)(1 – a)(1 – b) = 0
a - b = 0
1 - a = 0
1 - b = 0
x + 5 x + 2 (VN)
x = - 4
x + 5 1
x = - 1
x + 2 1
Đối chiếu với (1) suy ra phương trình đã cho có nghiệm duy nhất x = - 1.
KỲ THI THỬ VÀO LỚP 10 THPT LẦN THỨ I
NĂM HỌC 2011 - 2012 Môn thi: Toán
Thời gian làm bài: 120 phút
-
Bài 1 (2,0 điểm).
1 Thực hiện phép tính : A =3 2 - 4 9.2
2 Cho biểu thức P =
a + a a - a
a +1 a -1
với a 0; a 1
Trang 8a) Chứng minh P = a -1.
b) Tính giá trị của P khi a = 4 + 2 3
Bài 2 (2,5 điểm).
1 Giải phương trình x2- 5x + 6 = 0
2 Tìm m để phương trình x2- 5x - m + 7 = 0 có hai nghiệm x1; x2 thỏa mãn hệ thức
x12x22 13
3 Cho hàm số y=x2 có đồ thị (P) và đường thẳng (d) : y= - + 2x
a) Vẽ (P) và (d) trên cùng một hệ trục tọa độ
b) Bằng phép tính hãy tìm tọa độ giao điểm của (P) và (d)
Bài 3 (1,5 điểm).
Hai vòi nước cùng chảy vào một cái bể không có nước thì trong 5 giờ sẽ đầy bể Nếu vòi thứ nhất chảy trong 3 giờ và vòi thứ hai chảy trong 4 giờ thì được
2
3bể nước
Hỏi nếu mỗi vòi chảy một mình thì trong bao lâu mới đầy bể ?
Bài 4 (3,0 điểm).
Cho đường tròn (O; R) và một điểm S nằm bên ngoài đường tròn Kẻ đường thẳng đi qua S (không đi qua tâm O) cắt đường tròn (O; R) tại hai điểm M và N với M nằm giữa S và N Gọi H là giao điểm của SO và AB; I là trung điểm MN Hai đường thẳng OI và AB cắt nhau tại E
a) Chứng minh tứ giác IHSE nội tiếp trong một đường tròn
b) Chứng minh OI.OE = R2
Bài 5 (1,0 điểm) Giải phương trình : 2010 x x 2008 x 2 4018x 4036083
-KỲ THI THỬ VÀO LỚP 10 THPT LẦN THỨ 1
NĂM HỌC 2011 - 2012
Trang 9Đáp án chấm Môn thi: Toán
Thời gian làm bài: 120 phút
Bài 1 : (2,0 điểm)
Bài 1.1 (0,5 điểm)
3 2 - 4 9 2 = 3 2 -12 2 = - 9 2
Bài 1.2 (1,5 điểm)
a) Chứng minh P = a - 1:
P =
a + a +1 a - a -1
a +1 a -1
a ( a +1) a ( a -1)
= ( a +1)( a -1) = a -1 Vậy P = a - 1
b) Tính giá trị của P khi a = 4 + 2 3
a = 4 + 2 3 = 3+ 2 3 +1 = 3 +1 = 3 +1
P = a -1 = 3 +1-1 = 3
0,25điểm 0,25điểm
0, 5 điểm 0,25 điểm
0,5 điểm 0,25 điểm
Bài 2 : (2,5 điểm)
1 (0,5 điểm)
Giải phương trình x2 5x + 6 = 0
Ta có 25 24 1
Tính được : x1= 2; x2 = 3
2 (1,0 điểm)
Ta có = 25 4( m 7) = 25 + 4m 28 = 4m 3
Phương trình (1) có hai nghiệm x x1 2 ; 4m 3 0
3 4
m
Với điều kiện
3 4
m
, ta có: x + x = x + x12 22 1 22- x x2 1 2 =13 25 - 2(- m + 7) = 13
2m = 2 m = 1 ( thỏa mãn điều kiện )
Vậy m = 1 là giá trị cần tìm
3.(1,0 điểm)
0,25 điểm 0,25 điểm 0,25 điểm 0,25 điểm 0,25 điểm 0,25 điểm
Trang 10a) Vẽ Parabol (P) và đường thẳng (d) :
Bảng giá trị tương ứng:
b) Hoành độ giao điểm của (P) và (d) là nghiệm của phương trình :
x2 + x -2 = 0 ; Giải phương trình ta được x1 = 1 và x2 = -2
Vậy tọa độ giao điểm là (1 ; 1) và (-2 ; 4)
0,25 điểm
0,25 điểm
0,25 điểm 0,25 điểm
Bài 3 (1,5 điểm)
Gọi thời gian vòi thứ nhất chảy một mình đầy bể nước là x (h) và thời gian
vòi thứ hai chảy một mình đầy bể nước là y (h).
Điều kiện : x , y > 5.
Trong một giờ, vòi thứ nhất chảy được
1
x bể
Trong một giờ vòi thứ hai chảy được
1
y bể
Trong một giờ cả hai vòi chảy được :
1
5 bể
Theo đề bài ta có hệ phương trình :
Giải hệ phương trình ta được x = 7,5 ; y = 15 ( thích hợp )
0,25 điểm
0,25 điểm
0,5 điểm
0,25 điểm
Trang 11Trả lời : Thời gian vòi thứ nhất chảy một mình đầy bể nước là 7,5 (h)
(hay 7 giờ 30 phút )
Thời gian vòi thứ hai chảy một mình đầy bể nước là 15 (h)
0,25 điểm
Bài 4 (3,0 điểm)
Vẽ hình đúng
a) Chứng minh tứ giác IHSE nội tiếp trong một đường tròn :
Ta có SA = SB ( tính chất của tiếp tuyến)
Nên SAB cân tại S
Do đó tia phân giác SO cũng là đường cao SOAB
I là trung điểm của MN nên OI MN
Do đó SHE SIE 1V
Hai điểm H và I cùng nhìn đoạn SE dưới 1 góc vuông nên tứ giác
IHSE nội tiếp đường tròn đường kính SE
b) SOI đồng dạng EOH ( g.g)
OI OS
OI.OE OH.OS
mà OH.OS = OB2 = R2 ( hệ thức lượng trong tam giác vuông SOB)
nên OI.OE = R2
c) Tính được OI=
2
2 OI
3R
EI OE OI
2
Mặt khác SI =
SO OI
2
R 3( 5 1)
SM SI MI
2
0,25 điểm
0,25 điểm 0,25 điểm 0,25 điểm
0,25 điểm
0,25 điểm 0,25 điểm 0,25 điểm
0,25 điểm 0,25 điểm 0,25 điểm
E
H
A I M
B
N
Trang 12Vậy SESM =
2
SM.EI R 3 3( 5 1)
Bài 5 (1,0 điểm)
Phương trình : 2010 x x 2008 x 2 4018x 4036083 (*)
Điều kiện
2010 x 0
2008 x 2010
x 2008 0
Áp dụng tính chất a + b2 2 a + b 2 2
với mọi a, b
Ta có : 2010 x x 2008 2 2 2010 x x 2008 4
1
Mặt khác x2 4018x 4036083 x 2009 2 2 2 2
Từ (1) và (2) ta suy ra : (*) 2010 x x 2008 x 2009 2 2 2
x 2009 2 0 x 2009 ( thích hợp)
Vậy phương trình có một nghiệm duy nhất là x = 2009
0,25 điểm
0,25 điểm 0,25 điểm
0,25 điểm
Ghi chú:
- Hướng dẫn chấm chỉ trình bày một trong các cách giải, mọi cách giải khác nếu đúng vẫn cho điểm tối đa theo biểu điểm qui định ở từng bài
- Đáp án có chỗ còn trình bày tóm tắt, biểu điểm có chỗ còn chưa chi tiết cho từng bước biến đổi, lập luận; tổ giám khảo cần thảo luận thống nhất trước khi chấm
- Điểm toàn bộ bài không làm tròn số
Trang 13
-KỲ THI THỬ VÀO LỚP 10 THPT LẦN THỨ II
NĂM HỌC 2011 - 2012 Môn thi: Toán
Thời gian làm bài: 120 phút
-
-Bài 1 (3 điểm):
A) Giải hệ phương trình sau:
2x-3y=-13 3x+5y=9
B) TÝnh 1) 2 √5−√80+√125
2) 1
√3 −1 −
1
√3+1 ; C) Cho phương trình: x2 + mx - 4 = 0 (1) (với m là tham số)
1 Giải phương trình (1) khi m= 3
2 Giả sử x1, x2 là các nghiệm của phương trình (1), tìm m để:
x1(x2
2 + 1) + x2(x2
1 + 1) > 6
Bài 2 (1.5 điểm):
Cho biểu thức: B = ( - )( - ) với b > 0; b≠ 9
1 Rút gọn B
2 Tìm b để biểu thức B nhận giá trị nguyên
Bài 3(1.5 điểm):
Một công ty vận tải điều một số xe tải để chở 90 tấn hàng Khi đến kho hàng thì có 2
xe bị hỏng nên để chở hết lượng hàng thì mỗi xe còn lại phải chở thêm 0,5 tấn so với dự định ban đầu Hỏi số xe được điều đến chở hàng là bao nhiêu ? Biết rằng khối lượng hàng chở ở mỗi xe là như nhau.
Bài 4 (3.0 điểm):
Cho tam giác ABC có ba góc đều nhọn nội tiếp đường tròn tâm O, các đường cao
BM, CN của tam giác cắt nhau tại H
1 Chứng minh tứ giác BCMN là tứ giác nội tiếp trong một đường tròn
2 Kéo dài AO cắt đường tròn (O) tại K Chứng minh tứ giác BHCK là hình bình hành
3 Cho cạnh BC cố định, A thay đổi trên cung lớn BC sao tam giác ABC luôn nhọn Xác định vị trí điểm A để diện tích tam giác BCH lớn nhất
Trang 14Bài 5 (1.0 điểm):
Cho a, b là c ác số dương thảo mãn a + b = 4
Tìm giá trị nhỏ nhất của P = a2 + b2 + 33ab
-Hết
-KỲ THI THỬ VÀO LỚP 10 THPT LẦN THỨ 2
NĂM HỌC 2011 - 2012 Đáp án chấm Môn thi: Toán
Thời gian làm bài: 120 phút
-
1 Cho phương trình: x2 + mx - 4 = 0 (1) (với m là tham số)
1 Giải phương trình (1) khi m= 3:
- Phương trình trở thành: x2 + 3x - 4 = 0
- Vì tổng các hệ số: 1 + 3 + (-4) = 0 nên phương trình có nghiệm
x1=1 v à x2=- 4
Vậy khi m = 3 th ì phương trình có 2 nghiệm x1=1 v à x2=- 4
0,25
0,5 0.25
2 Giả sử x1, x2 là các nghiệm của phương trình (1), tìm m để:
x1(x2
2 + 1) + x2(x2
1 + 1) > 6
- Phương trình có hai nghiệm x1, x2 thì: ∆ ≥ 0 mà ∆ = m2 + 16≥16 với
mọi m Khi đó theo Vi-ét ta có:
¿
x1+x2=− m(∗)
x1x2=− 4 (**)
¿ {
¿
- Ta lại có x1(x2
2+1)+x2(x2
1+1)> 6<=> x1x2
2+x1 +x2x2
1+x2 > 6<=>
x1x2(x1+ x2) + x1+ x2> 6 <=> (x1+ x2)(x1x2+1)>6 (***)
- Thay (*), (**) vào (***) ta có: -m(-4+1) > 6 <=> 3m>6 <=> m >2
- Vậy khi m >2 th ì phương trình (1) có 2 nghiệm x1,x2 thỏa mãn
x1(x2
2+1)+x2(x2
1+1)> 6
0,25
0,25 0,25 0,25
2 Bài 2 (2.0 điểm):
Cho biểu thức: B = = ( + )( - ) với b > 0; b 9
1 Rút gọn B
Với b > 0; b 9 B = ((√b+3)(√b+3)−(√b −3)(√b −3)
(√b −3)(√b+3) ) (√3b −3√b ) 0,5