Dap an de thi HSG Toan QTri 2014

Tính diện tích tứ giác APQB theo R Giải: Câu 1: Cách 1: Sử dụng máy tính bỏ túi tính góc BAH, sau đó dùng tỉ số lượng giác tính CH rồi từ đó tính SABC Cách 2: Chia góc HAD thành ba góc b[r]

Bài 1: Cho biểu thức P =

x y

a) Tìm điều kiện của x và y để biểu thức P có nghĩa

b) Rút gọn P

c) Tính giá trị của P khi x = 5 2 6 ; y = 5 2 6

Giải: a) Điều kiện x > 0, y > 0, x ≠ y

b) P =

4

xy

c) x = 5 2 6  3 2; y = 5 2 6  3 2

Thay vào P = 4

Bài 2: Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của tam giác Chứng minh

M =

26

b c a c a b a b c        

Giải: Đặt b + c – a = x; c + a – b = y; a + b – c = z Ta có

a = 2

y z

, b = 2

x z

; c = 2

x y Khi đó

M =

=

2

nên a + b > c, a + c > b và b + c > a nên x, y, z là các số dương Áp dụng bất đẳng thức Cô si cho từng cặp số trong ngoặc, ta có:

M ≥

2

Vậy M ≥ 26

Bài 3: Giải phương trình  x 5 x2 1   x2 7x10 3

(*)

Giải: Điều kiện x ≥ -2 Đặt a x5; b x khi đó a > b ≥ 02

Khi đó ta có hệ phương trình sau: 2 2

3

a b a b

a b





Nếu a = 1 thì x  5 1 x (không thỏa mãn điều kiện)4

Nếu b = 1 thì x2 1  x (thỏa mãn điều kiện)1

Vậy nghiệm của phương trình là x = -1

Bài 4: Tìm các số nguyên x, y, z thỏa mãn x2 + y2 + z2 + 3 < xy + 3y + 2z

Giải: x2 + y2 + z2 + 3 < xy + 3y + 2z ⇔ x2 + y2 + z2 + 3 – xy – 3y – 2z < 0

 4x2 + 4y2 + 4z2 – 4xy – 12y – 8z + 12 < 0

⇔ (4x2 – 4xy + y2) + (3y2 – 12y + 12) + (4z2 – 8z + 4) < 4

⇔(2x – y)2 + 3(y – 2)2 + 4(z – 1)2 < 4

Nếu z ≠ 1 thì 4(z – 1)2 ≥ 4 Suy ra VT ≥ VP, không thỏa đề bài nên z = 1 Bất phương trình trên trở thành: (2x – y)2 + 3(y – 2)2 < 4 (*)

Nếu y  2  thì VT > VP nên 2 y  2 1

TH y  2 1 ⇒ y = 3 hoặc y = 1 khi đó (*) ⇔

2 2

x x



nghiệm nguyên

TH y  2  ⇒ y = 2 khi đó (*)⇔ (2x – 2)0 2 < 4⇔ (x – 1)2 < 1⇔ x= 1 Vậy các số nguyên (x, y, z) là (1; 2; 1)

Bài 5: 1) Cho tam giác ABC có độ dài đường cao AH = 6cm, BH = 3cm (H nằm

giữa BC), số đo góc CAH bằng ba lần số đo góc BAH Tính diện tích tam giác ABC

2) Cho đường tròn tâm O bán kính R Vẽ hai đường kính AE và BF vuông góc với

nhau Trên cung nhỏ EF lấy điểm C Dây AC cắt đường kính BF tại P, dây BC cắt đường kính AE tại Q Tính diện tích tứ giác APQB theo R

Giải:

Câu 1: Cách 1: Sử dụng máy tính bỏ túi tính góc BAH, sau đó dùng tỉ số lượng

giác tính CH rồi từ đó tính SABC

Cách 2:

Chia góc HAD thành ba góc bằng

nhau như trên hình Kẻ DK vuông

góc với AE Đặt DE = x, EC = y

Theo tính chất của đường phân giác trong tam giác AHE ta có AE/DE = 6/3 = 2 Suy ra AE = 2x Ta dễ dàng chứng minh được AH = AK = 6cm, DK = HD =3cm Suy ra KE = 2x – 6 Áp dụng định lý Pyta go cho tam giác DEK ta có phương trình: x2 – 9 = (2x – 6)2 ⇔ x2 – 8x + 15 = 0 Giải thấy nghiệm x = 5 là thỏa mãn Trong tam giác ADC, theo tính chất đường phân giác ta có

5

3 5

AD AC  AC

Trong tam giác ABC, theo tính chất đường phân giác ta có:

15 5

AC



⇒ y = 25 ⇒ BC = 36

SABC = 6.36:2 = 108 cm2

Câu 2: Nối AF, BE, CF, CE

AQC BQE g g

x

6

K

B

A

Q B

C F

P

O

E A

AQ

(1)

APF BPC g g

BP

(2)

thế vào (2) ta có

2

2

AO AE BC R BC BC

thế vào (1) ta có

2

BO BF AC AC

SABQP =

1

2 AQ.BP=

2

1

2