Trong mặt phẳng Oxy, cho tam giác ABC có trọng tâm G1;2.. Viết phơng trình đờng tròn ngoại tiếp tam giác ABC.. K là giao điểm của EF và AA’.. G là trọng tâm tam giác ABC.. I, J lần lợt l
Trang 1Đáp án: Đề thi HSG Toán 12 – năm học 2012- 2013
Trình bày lời giải: Lê Thanh Bình
-Câu I:
2 Viết phơng trình tiếp tuyến của ( ): 2
2
x
C y
x
= + sao cho khoảng cách từ điểm I(− 2; 2)
đến tiếp tuyến đó là lớn nhất.
Giải: Ta có ( )2
4 '
2
y x
= + Gọi hoành độ tiếp điểm là a (a≠ − 2).
2 2
a
a a
+
0 2 2
a
x a y
a
+
Khoảng cách từ I(− 2; 2) đến ( )∆ là ( )
2
2
2
2
Cauchy
d I
a
a
+
2
2
0 16
4 2
a
a a
=
4
a a
=
= −
Khi đó phơng trình tiếp tuyến ∆ là
8
y x
y x
=
= +
Câu II:
1 Giải phơng trình:
sin sin 3 cos cos3 1
8 tan( ) tan( )
x−π+ x+π = − (1)
Â
sin sin 3 cos cos3 sin sin sin 3 cos cos cos3
Kết hợp điều kiện (*) ta đợc x= − +π6 kπ (k∈ )
Â
2 Giải hệ phơng trình: ( ) ( )
4
x y
−
Giải: Điều kiện x y, > − 3 (*)
Trang 2( ) 1 2 4 2 2
x y x y
x y
−
t
= ữ ữ+ − −
t
Do đó ( )3 ⇔ f (2x y− ) = f ( )1 ⇔ 2x y− = ⇔ = 1 y 2x− 1 4( ) .
x
= + ữ ⇔ln2x x++32ữ+x4−1=0 (5)
g x
x
+
với x> −1, ta có '( ) ( ( 5) ( ) ( 1) )
g x
=
1 1;
x
g x
x
= − ∉ − +∞
Ta có bảng biến thiên của g x( ) trên (− +∞ 1; ) là:
Từ bảng biến thiên, suy ra g x( ) = ⇔ = 0 x 1
Do đó y= 1 Vậy hệ có nghiệm (x y; ) ( )= 1;1 .
Câu III:
1 Cho x y z, , là các số thực dơng thỏa mãn x y z+ + = 3 Chứng minh rằng:
x y z y z x z x y
xyz
( )1 ( ( ) ) ( ( ) ) ( ( ) ) 2
+
18
2
6 3
2 Tìm các giá trị thực của tham số m để hệ bất phơng trình sau có nghiệm thực:
( ) ( )
3
1
4x 3.2 x x 4 x 0 2
x mx
2 ⇔ 2x − 3.2 2x x− 4 2 x ≤ ⇔ 0 2x+ 2 x 2x− 4.2 x ≤ ⇔ 0 2x≤ 4.2 x
( )
Vì x= 0 không thỏa mãn (1) nên ( )1 x3 2 m( )4
x
+
Trang 3Xét hàm số f x( ) x3 2
x
+
2
f x
x
−
= , f x'( ) = ⇔ = 0 x 1.
Bảng biến thiên của f x( ) là:
Từ bảng biến thiên suy ra min(0;4] ( ) 3
x f x
x
∈
Câu IV:
1 Cho khai triển ( 2 14)15 2 210
1 + + + +x x x = +a a x a x+ + + a x Chứng minh rằng:
15 15 15 14 15 13 15 0 15
C a −C a +C a − −C a = − .
Giải: Ta có ( 15) (15 2 14)15( )15 210 15 ( )
15
0 0
i
i k
= =
Suy ra hệ số của 15
x trong khai triển ( 15)15
15 15 15 15 14 15 13 15 0 15
i
i k
C a C a C a C a C a
+ =
∑
1 −x = − 1 15x + − x Suy ra hệ số của x15 trong khai triển ( 15)15
1 x− là − 15
15 15 15 14 15 13 15 0 15
2 Trong mặt phẳng Oxy, cho tam giác ABC có trọng tâm G(1;2) Phơng trình đờng tròn đi qua trung điểm của hai cạnh AB, AC và chân đờng cao hạ từ đỉnh A đến cạnh
BC của tam giác ABC là ( ) (2 )2
x− + +y = Viết phơng trình đờng tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
Giải: Gọi D, E, F là trung điểm BC, CA, AB A’ là chân
đ-ờng cao hạ từ A xuống BC K là giao điểm của EF và AA’
G là trọng tâm tam giác ABC I, J lần lợt là tâm đờng tròn
ngoại tiếp tam giác A’EF và ABC
với A qua EF Suy ra ∆AEF = ∆A EF' ⇒EA Fã ' =EAFã
Mặt khác AFDE là hình bình hành nên EDFã =EAFã .
Suy ra EA Fã ' =EDFã Hơn nữa A’ và D nằm cùng phía đối với
EF, suy ra D nằm trên đờng tròn ngoại tiếp tam giác A’EF
(3; 2)
Vì phép vị tự V(G; 2−) biến tam giác DEF thành tam giác ABC nên đờng tròn ngoại tiếp tam giác ABC là ảnh của đờng tròn ngoại tiếp tam giác DEF qua V(G; 2− )
Từ đó suy ra đờng tròn ngoại tiếp tam giác ABC có tâm J thỏa mãn GJuuur= − 2GIuur⇒J(− 3;10)
và bán kính R' 2 = R= 10 Vậy phơng trình đờng tròn ngoại tiếp tam giác ABC là:
( ) (2 )2
x+ + −y =
Câu V.
K G I D A'
J
E F
A
Trang 41 Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác cân tại C, cạnh đáy AB bằng 2a và ã 0
30
ABC= Tính thể tích của khối lăng trụ ABC.A’B’C’ biết khoảng cách giữa hai đờng thẳng AB và CB’ bằng
2
a
.
Giải: Gọi M, M’ lần lợt là trung điểm của AB và A’B’.
H là hình chiếu của M trên CM’ Khi đó:
Vì tam giác ABC cân tại C nên CM ⊥ AB, suy ra A B' ' ⊥CM
Vì ABC.A’B’C’ là lăng trụ đứng nên MM' ⊥ A B' '
Vậy A B' ' ⊥(MM C' ) ⇒ A B' ' ⊥MH Từ đó suy ra MH ⊥(A B C' ' ) .
2
a
Ta có BM=a, MBCã = 30 0 nên MC= a3 Suy ra
2
3
ABC
a
'
MM +MC = MH ⇔ h +a = a
h a
3
ABC A B C
a
2 Trong không gian Oxyz cho hai điểm A(-1;-2;-3) và B(-6;10;-3) Viết phơng trình mặt phẳng (P) sao cho khoảng cách từ A đến (P) bằng 15 và khoảng cách từ B đến (P) bằng 2.
Giải:
Gọi H, K lần lợt là hình chiếu của A, B trên (P)
Ta có uuurAB= −( 5;12;0) suy ra AB=13
Vì AH=15, BK=2 nên AB+BK=AH
Do đó (*) phải xảy ra dấu “=” Điều này xảy ra khi và
chỉ khi A, B, K thẳng hàng (B nằm giữa A và K) và K
trùng với H Suy ra AB vuông góc với (P) tại K và B
nằm giữa A và K
BK
AB
uuur uuur uuur
Mặt phẳng (P) đi qua K và nhận uuurAB làm vectơ pháp tuyến nên (P) có pt là:
⇔5x−12y+176 0= .
Hết
-30*
a
h
a
M'
M
B A
B'
C H
P
B A