Xác định tọa độ các đỉnh B và C, viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.... Viết phương trình đường thẳng d ’ là hình chiếu của đường thẳng d lên.[r]
Trang 1ĐÁP ÁN ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC LẦN V NĂM HỌC 2012 – 2013
Khu vực: Đà Nẵng ĐÁP ÁN CHÍNH THỨC
(Đáp án gồm 09 trang)
Ngày 09/12/2012
Môn: TOÁN ; Khối : A và A1
Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề (Thi thử lần VI sẽ được tổ chức vào ngày 23 tháng 12 năm 2012)
1.a
(1,0
điểm)
Cho hàm số: 1 3 2
y x 2x 3x 1 (C)
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho
A Giải theo chương trình nâng cao
2) Sự biến thiên của hàm số:
a) Giới hạn vô cực: lim ; lim
2
3
x y
x
0,25
b) Bảng biến thiên:
y’ + 0 - 0 +
y
7
1
Hàm số đồng biến trên khoảng(;1)và(3;),nghịch biến trên 1;3
Hàm số đạt cực đại tạix1và 7,
3
cđ
y hàm số đạt cực tiểu tạix3vày ct 1
0,25
c) Đồ thị:
Đồ thị hàm số cắt trục Oy tại điểm (0;1)
Đồ thị nhận điểm uốn 2;5
3
I
làm tâm đối xứng.
(Lời giải: Nguyễn Xuân Nam)
0,25
B Giải theo chương trình chuẩn
Trang 2+ Chiều biến thiên: 2
3
x y
x
- Hàm số đồng biến trên các khoảng;1và3;
- Hàm số nghịch biến trên khoảng 1;3
+ Cực trị: Hàm số đạt cực đại tại 1, 7
3
cđ
Hàm số đạt cực tiểu tạix3,y ct 1
+ Bảng biến thiên:
y’ + 0 - 0 +
y
7
1
3) Đồ thị:
+ Đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm 0;1
+ Đồ thị nhận điểm uốn 2;5
3
làm tâm đối xứng.
0,25
4) Vẽ đồ thị:
(Lời giải: Nguyễn Xuân Nam)
0,25
1.b
(1,0
điểm)
Tìm các giá trị k, để tồn tại hai tiếp tuyến với (C) phân biệt và có cùng hệ số góc k, đồng thời đường thẳng đi qua các tiếp điểm của hai tiếp tuyến đó tạo với đường thẳng d : x 2y 3 0
góc, biếtcos 1
17 Phương trình tiếp tuyến của (C) có dạng:ykx m
Hoành độ tiếp điểmx là nghiệm của phương trình: 0
0
2
k y x x k
Để có 2 tiếp tuyến thì phương trình (1) có 2 nghiệm k phân biệt
'
0,25
Tọa độ các tiếp điểmx y0; 0của 2 tiếp điểm là nghiệm của hệ: 0,25
Trang 33 2
Phương trình đường thẳng ’d đi qua các tiếp điểm là: 2 9 2
’
d có vecto pháp tuyến là: 1 2; 1
3
k
d có vecto pháp tuyến là: n2 1; 2
Theo bài ra ta có: 1 2
2
1 2
2 2
17 2
3
k
n n cos
0,25
2
11 ( ) 2
31 ( ) 2
Kết luận: Vậy k cần tìm là: 11
2
2
k
(Lời giải: Nguyễn Xuân Nam)
0,25
2
(1,0
điểm)
Giải phương trình:
2 10
16
4 2 3
x
2 3 4 x x 2 3 4 x x 9 2 3 4 x 1
2 3 4 x x 9 2 3 4 x 1
2 9
2
9
x
2 3 4 x x x x 6 2 3 4 x 3 x
0,25
6 3
3
x
x
Kết luận: Bất phương trình đã cho có tập nghiệm: ; 3 3;
(Lời giải: Nguyễn Xuân Nam)
0,25
3
(1,0
điểm)
Giải phương trình: 2sin 6 cos 4 cos 2 cos sin 4 cos 4 cos 5
cos sin 6 sin 4 sin 4 cos 2 cos 2 cos 2 cos 5 0
Trang 42sin cos cos 5 cos 2 sin 2 cos 2 cos 2 cos 2 cos 5 0
2 cos 5 sin cos 1 cos 2 sin 2 cos 2 cos 0
2 cos 5 sin cos 1 2 cos cos 2 sin cos 1 0
0,25
sin cos 1 (1)
2 cos 5 cos cos 2 0 (2)
x x
3
2
x
VN x
0,25
2 (2)cosx(4cos 2xcos2x 1) 0
cos
k
x
k
k Z
Kết luận: Phương trình đã cho có nghiệm:
2
x k
;
1
x k
1
x k
kZ
(Lời giải: Nguyễn Xuân Nam)
0,25
4
(1,0
điểm)
Tính tích phân:
2 4
x
x x
4
2
1
x x
Đặtt 1 dx 12
Khi
1 2
2
0,25
1
1 2
1 4
1
1
d t dt
I
Trang 5 3
4
1 2
2 2 2 27
t
(Lời giải: Nguyễn Xuân Nam)
0,25
5
(1,0
điểm)
Cho hình chóp S ABC có đáy ABC là tam giác đều ABa 3.Biết mặt bênSBC vuông với đáy và hai mặt bênSAB , SAC cùng tạo với đáy một góc bằng thỏa mãn tan 2.
3
chiếu của A lên SB và SC Tính thể tích khối AMNBC và diện tích tam giác. AMN.
Gọi O là hình chiếu của đỉnh S lên mặt phẳngABC
GọiE F, lần lượt là chân đường cao của điểm O lên AB AC,
SO AB
SE AB
SOE
vuông tạiO )
Tương tự: SAC , ABC SFO
Theo bài ra ta có:
𝑡𝑎𝑛𝛼 = 𝑡𝑎𝑛𝑆𝐸𝑂 = 𝑡𝑎𝑛𝑆𝐹𝑂
O là trung điểm của BC
0,25
Ta có:
4
OA OB
a
a
0,25
Ta có:
2 2
13 3
4 3
SE AB
SB
a
a
2 2
.
3
15 4
16
ABCMN
S ABC
Thể tích khối ABCMN là:
2
3
0,25
Trang 63 4
1
4
1
4
Gọi H là trung điểm của MN,suy raAHvuông góc vớiMN
2
17 8
Diện tích tam giác AMN là: 1 1 3 17 .3 3 9 2
5 64
1
AMN
S AH MN a a a (đvdt)
(Lời giải: Nguyễn Xuân Nam)
0,25
6
(1,0
điểm)
Cho , ,x y z là các số thực dương thỏa mãn x2y2z23.Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
.
P
Sử dụng bất đẳng thức Cauchy ta có:
2 2 2 3 2 2 2
Đặta 1,b 1,c 1 abc 1
A
0,25
Sử dụng bđt Cauchy ta có:
3
Tương tự với 2 BĐT còn lại Cộng vế ta được:
0,25
Vậy GTNN của A bằng 1
3, đạt được khi x y z 1
(Lời giải: Giang Mạnh Doanh) 0,25
7.a
(1,0
điểm)
Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độOxy cho hình chữ nhật ABCD có phương trình đường thẳng,
BD x y đường thẳng AB đi qua M 5;1 và đường thẳng BC đi qua N 9;3 Biết hoành độ
điểm B lớn hơn 5, tìm tọa độ đỉnh B
Phương trình tham số của đường thẳngBDcó dạng:
12 2
x t
Gọi tọa độ điểmBtheo tham sốt thuộc đường thẳng BDlà:B t ,12 2 t
Ta có:BM 5 t t; 2 11 , BN 9 t t, 2 9 0,25
Do ABCD là hình chữ nhật nên ta có: BM BN 0
5 t9 t 2t 9 2 t 11 0
2
5t 54t 144 0
6( )
24 loai 5
t tm t
0,25
Trang 7Kết luận: Tọa độ điểmBlà:B 6;0
(Lời giải: Nguyễn Thị Thi Anh) 0,25
8.a
(1,0
điểm)
Trong không gian với hệ trục tọa độOxyz,cho điểmA1, 1, 2 vàB 3, 2, 1 Viếtphương trình mặt phẳng P đi qua hai điểmA B, biết mặt phẳng P vuông góc với mặt phẳng
Q :x 2y 2z 3 0.
Ta có: Vecto chỉ phương củaABlà:AB2; 1; 1
Vecto pháp tuyến của mặt phẳng Q là: nQ 1; 2; 2 0,25
P đi qua A B, và vuông góc với mặt phẳng Q nên có vecto pháp tuyến là:
, 0; 5;5
n AB n
Mặt phẳng P có:
1;
0; 5;5
1; 2
P
qua A
n
Phương trình mặt phẳng P là:
0 x1 – 5 y 1 5 z2 0 y z 3 0
0,25
Kết luận: Phương trình mặt phẳng P là: y z 3 0
(Lời giải: Nguyễn Thị Thi Anh) 0,25
9.a
(1,0
điểm)
Một đoàn tàu gồm có 3 toa, có 5 hành khách chờ lên tàu Mỗi người chọn cho mình một toa một cách ngẫu nhiên và độc lập Tìm xác xuất để cho mỗi toa có ít nhất 1 hành khách mới lên tàu.
Do có 5 lần chọn toa nên có cách chọn là: 5
Mỗi toa có ít nhất một hành khách mới lên tàu nên ta có số cách chia 5 hành khách ra 3
Với một thứ tự cố định ta tìm được số cách chọn là:
TH1: 2+2+1: C C52 32 30
TH2 :3+1+1: C C53 22 20
Nhưng thứ tự nhóm không cố định, tức là có các nhóm: (2,2,1),(2,1,2),(1,2,2)và
(3,1,1),(1,3,1),(1,1,3) nên số cách chọn sẽ là : 3.(30+20)=150
0,25
Vậy xác suất để mỗi toa có ít nhất 1 hành khách mới lên tàu là: 150 50
243 81
(Lời giải: Đỗ Thanh Xuân)
0,25
7.b
(1,0
điểm)
Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độOxy cho tam giác ABC có phương trình các đường thẳng,
AB x y AC x y và trực tâmH 3;1 Xác định tọa độ các đỉnh B và C, viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giácABC.
GọiM N lần lượt là chân đường cao hạ từ đỉnh ,, C B của
tam giácABC
Suy raCM AB BN, AC
0,25
Phương trình đường thẳngCM: 3x 3 1 y 1 0 3x y 100
Trang 8B là giao điểm của BN và AB nên tọa độ điểm B là nghiệm của hệ phương trình:
5;5
B
C là giao điểm của CM và AC nên tọa độ điểm C là nghiệm của hệ phương trình:
2; 4 2; 4
0,25
VìACnên tam giácABC bị suy biến thành đoạn thẳng, vậy không tồn tại đường tròn
ngoại tiếp tam giácABC
(Lời giải: Nguyễn Xuân Nam) 0,25
8.b
(1,0
điểm)
Trong không gian với hệ trục tọa độOxyz cho đường thẳng, : 2 1
và mặt phẳng
P : 3x 2y 2z 12 0 Viết phương trình đường thẳng ’d là hình chiếu của đường thẳng dlên
P .
Gọi Q là mặt phẳng chứa d và vuông góc với mặt phẳng P : nQ u n d, P2,1, 4 0,25
Vì Q chứa d nên đi qua M2,1, 0
Vậy phương trình mặt phẳng Q là:2x2 1 y 1 4z0 2x y 4z 5 0 0,25 Hình chiếu 'd của đường thẳng d trên mặt phẳng P là giao tuyến của P và Q
Đường thẳng 'd có: ud' n n Q; P10; 16;1
Gọi N là giao điểm của đường thẳng d với mặt phẳng ( ) :P N t 2; 2t2;td
VìN( )P nên ta có:
0,25
Đường thẳng 'd qua 22 17 4; ;
9 9 9
thuộc P và có vecto chỉ phương ud' 10; 16;1
Vậy phương trình tham số của đường thẳng 'd là:
10 16
22 9 17 9 4 9
(Lời giải: Đỗ Thanh Tâm)
0,25
9.b
(1,0
2
2
1 cos tan
4x 12.2x 32 log 2 1 0
x x
x
Điều kiện:
0
2
1
1 2
2
k Z x
x
0,25
Trang 9 1 cos22 1 1 1
2 1
0
4
cosx
k Z
0,25
2
2
2 8
4 12.2 32 0
2 4
4 12.2 32 0
4 2 8 log 2 1 0
1
x
x
x
x
x x
x
0,25
Từ (1);(2) và kết hợp điều kiện ta có:
1
2
1
4
2
2 2
2
k k
k k
k
k
1
k
Vậy hệ phương trình có nghiệm: 3
4
(Lời giải: Đỗ Thanh Xuân, Nguyễn Xuân Nam)
0,25
CHÚC CÁC EM HỌC TẬP TỐT!
“Con đường thành công không phải là con đường được vẽ sẵn”