De luyen thi so 2

Tính thể tích khối chóp S.ABCD và khoảng cách giữa hai đường thẳng SB và AD.. Tìm tọa độ các đỉnh hình thang biết A có tung độ dương.[r]

Đề luyện thi ĐH&CĐ năm 2013 - 2014

ĐỀ LUYỆN THI SỐ 2

3

y = − x + m + x + mx + ,với m là tham số thực

a) Kh ảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho với m = − 1

b) Tìm m để hàm số đồng biến trên khoảng (0; 2)

Câu 2 (1,0 điểm) Gi ải phương trình: sin 4 x + = 2 cos3 x + 4sin x + cos x

Câu 3 (1,0 điểm) Gi ải hệ phương trình:

2

x y







Câu 4 (1,0 điểm). Tính di ện tích hình phẳng (D) được giới hạn bởi các đường

2

( ) : P y = 4 x và ∆ : 2 x − − = y 4 0

Câu 5 (1,0 điểm). Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O Biết

AC = a BD = a Hình chi ếu đỉnh S lên mặt phẳng (ABCD) là trung điểm H của

OB Góc gi ữa hai mặt phẳng (SCD) và (ABCD) bằng 600

Tính th ể tích khối chóp

S.ABCD và kho ảng cách giữa hai đường thẳng SB và AD

Câu 6 (1,0 điểm). Tìm m để hệ phương trình sau có nghiệm thực :

x y m y







Câu 7 (1,0 điểm). Trong m ặt phẳng hệ tọa độ Oxy cho hình thang ABCD vuông tại A

và D có ph ương trình đường thẳng AD : 2 x + + = M(2;5) là trung điểm BC và y 6 0

DC = BC = AB Tìm t ọa độ các đỉnh hình thang biết A có tung độ dương

Câu 8 (1,0 điểm). Trong không gian v ới hệ toạ độ Oxyz , cho đường thẳng (d):

2

1 2

x t

y t

= −



 =



 = − −



và m ặt phẳng (P): x + − + = Gọi (d y z 1 0 ’

) là hình chi ếu của (d) lên mặt

ph ẳng (P) Tìm toạ độ điểm H thuộc (d’

) sao cho H cách điểm K ( 1;1;4 ) m ột khoảng

b ằng 53

Câu 9 (1,0 điểm). Trong m ặt phẳng tọa độ Tìm tập hợp điểm biểu diễn các số phức z

th ỏa mãn các điều kiện: z − = − − i z 2 3 i

===========================

Đáp số:

Câu 1: 2

3

m≥ Câu 2: x= π / 6 +k2 ; π x= 5 / 6 π +k2 ; π x=k2 π Câu 3: (3;10), (2;17) Câu 4: s= 9

Câu 5:

3

2

SABCD

a

14

a

d AD SB = Câu 6: m≥ − Câu 7: ( 5;4); ( 1;6); (5;4) ( 3;0) 1 A− B− C D − Câu 8: H −( 3;0; 2 − ), 275; 112 202;

39 39 39

  Câu 9: ∆ −:x 2y− =3 0

Đề luyện thi ĐH&CĐ năm 2013 - 2014

HƯỚNG DẪN VÀ ĐÁP SỐ Câu 1 (2,0 điểm) Cho hàm số 2 3 2

3

y= − x + m+ x + mx+ ,với m là tham số thực

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho với m= − 1

b) Tìm m để hàm số đồng biến trên khoảng (0; 2)

HD:

Ta có : 2

' 2 2( 1) 2

y = − x + m+ x+ m

⇒ Hàm số đồng biến trên khoảng (0; 2) ⇔ y'≥ ∀ ∈0 x ( )0; 2 (*)

Vì y x′( ) liên tục tại x = 0 và tại x = 2 nên (*) ⇔ y '≥ ∀ ∈0 x [ ]0; 2

[ ]

2

2x 2(m 1)x 2m 0 , x 0; 2

⇔ − + + + ≥ ∀ ∈

2

( 1) , 0; 2 ( ) , 0; 2

m x x x x m g x x

⇔ + ≥ − ∀ ∈ ⇔ ≥ ∀ ∈ (Trong đó ( ) 2

1

g x

x

−

=

[ ] 0;2ax ( )

m M g x

⇔ ≥

Xét hàm số ( ) 2

1

x x

g x

x

−

= + trên đoạn [ ]0; 2

2

x

+ −

[ 0; )

(0) 0 ; (2) ; ( 1 2) 3 2 2 ax ( )

+∞

= = − + = − + ⇒ = tại x= 2

Vậy 2

3

m≥ thì hàm số đồng biến trên khoảng (0; 2)

Câu 2 (1,0 điểm) Giải phương trình : sin 4x+ =2 cos 3x+4 sinx+cosx

HD:

sin 4x+ =2 cos 3x+4 sinx+cosx⇔sin 4x+ =2 2 cos 2 cosx x+4 sinx

4 sin cos cos 2x x x 2 cos 2 cosx x 4 sinx 2 0

cos 2 cos (2 sinx x x 1) (2 sinx 1) 0

2

(2 sinx 1) cos (2 cos x x 1) 1 0

3

/ 6 2 1

2 sin 1 0 sin

5 / 6 2 ( ) 2

2 cos cos 1 0

x x

π





− =



− − =

Vậy phương trình có nghiệm

/ 6 2

5 / 6 2 ( ) 2

x k

π





 =



Câu 3 (1,0 điểm) Giải hệ phương trình :

2

1 6

x y

x x y x y y

 + − =



 + + + − + − =



HD:

Đặt u= +x 1;v= y− ≥1 0 Ta có hệ phương trình :

2 29 7

7

2 29

4 116 841

uv

u v

u v

u v uv

u v u v uv

 ≤ + =

+ + =

Đề luyện thi ĐH&CĐ năm 2013 - 2014

2 2

2 29

7

4 114 792 0

uv

u v

u v uv

 ≤





Với u = 4 ; v = 3 Ta có : 1 4 3

10

1 3

y y

+ =

 − =  =



Với u = 3 ; v = 4 Ta có : 1 3 2

17

1 4

y y

+ =

 − =  =



Vậy hệ phương trình có nghiệm (3;10) ; (2 ; 17)

Câu 4 (1,0 điểm) Tính diện tích hình phẳng (D) được giới hạn bởi các đường ( ) :P y2=4x và

: 2x y 4 0

HD:

4

2

Phương trình tung độ gio điểm của (P) và ∆

4

y

y

= −



= + ⇔ − − = ⇔  =



Diện tích hình phẳng cần tìm 4 2 4 2

= ∫ − + = ∫ − −

2

4 4

= − − − = −  − − 

∫

1 1

.72 12 48 9

4 3

= −  − − =

  (đvdt)

Câu 5 (1,0 điểm) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O Biết

AC= a BD= a Hình chiếu đỉnh S lên mặt phẳng (ABCD) là trung điểm H của OB Góc giữa

hai mặt phẳng (SCD) và (ABCD) bằng 600

Tính thể tích khối chóp S.ABCD và khoảng cách giữa hai đường thẳng SB và AD

HD:

tanBAO OB 3 tan 60 BAO 60

OA

⇒ Các tam giác ABC ; ADC là các tam giác đều cạnh 2a

Kẻ HE⊥CD E( ∈CD) ; Lại có CD SH⊥

CD SHE CD SE

Vậy góc giữa (SCD) và (ABCD) là
0

60

SEH=

2 3

a

DH = BD= a =

.sin 30

4

a

tan 60

4

a

SH =HE = ; S ABCD =2a2 3

3 2

V = SH S = a = (đvtt)

Ta có ( ; ) ( ; ( )) ( ; ( )) 3 SABC

SBC

V

d AD SB d AD SBC d A SBC

S

Kẻ HI⊥BC I( ∈BC)lại có BC⊥SH⇒BC⊥(SHI)⇒BC⊥SI

E

H

D

C

B A

S

Đề luyện thi ĐH&CĐ năm 2013 - 2014

0

SI = SH +HI = + = ⇒S = SI BC=

3

3 3

SABCD

SABC

3 2

SABC SBC

d AD SB

Câu 6 (1,0 điểm) Tìm m để hệ phương trình sau có nghiệm thực :

1 1

x x y x y y

x y m y

 + + + = + +







HD:

Điều kiện x ,y ≥ 0

Hệ phương trình tương đương với

( ) 2 1 ( 1) 0

1 1

x x y x y y

x y m

y

 − + + + − + =





+ − =



2 2

1

1

x y

x y do x

m x

x

+



⇔ 

 = −



Hệ phương trình có nghiệm ⇔ phương trình (*) có nghiệm thuộc [0 ; +∞)

Xét hàm số ( ) 2 1 ; [0; )

1

x

3

2 ( 1)

= + > ∀ ∈ +∞

+

⇒ f(x) đồng biến trên [0 ; +∞) ⇒ f x( )≥ f(0)= − ∀ ∈ +∞1 x [0; )

Vậy hệ phương trình có nghiệm khi m≥ − 1

Câu 7 (1,0 điểm) Trong mặt phẳng hệ tọa độ Oxy cho hình thang ABCD vuông tại A và D có phương

trình đường thẳng AD: 2x+ + =y 6 0 M(2;5) là trung điểm BC và DC=BC 2 =2AB Tìm tọa độ

các đỉnh hình thang biết A có tung độ dương

HD:

Giả sử AB= ⇒a CD=2 ;a BC=a 2 Kẻ BE⊥CD⇒CE=ED= ⇒a; BE= =a AD

Gọi N là trung điểm AD ⇒MN⊥ AD Phương trình đường

thẳng MN x: −2y+ =8 0

Tọa độ N là nghiệm hệ phương trình :

( 4; 2)

N

+ + = = −

 − + =  =

3

2

a

NM = ⇒MN = = ⇒ =a



A,D thuộc đường tròn (T) tâm N bán kính 5

2

a

R= =

E

B A

Đề luyện thi ĐH&CĐ năm 2013 - 2014

( ) : (T x+4) + −(y 2) =5

Tọa độ A,D là nghiệm hệ phương trình :

5; 4 ( 4) ( 2) 5 5( 4) 5

x y

 + + − =  + =  = − =

Vì A có tung độ dương nên A( 5; 4); ( 3; 0)− D −

2

(4; 2) ( 1;6) 3

AB= NM = ⇒ −B







M là trung điểm BC nên C(5; 4)

Vậy A( 5; 4); ( 1;6); (5; 4) ( 3;0)− B − C D −

Câu 8 (1,0 điểm) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho đường thẳng (d):

2

1 2

x t

y t

= −



 =



 = − −



và mặt

phẳng (P): x+ − + =y z 1 0 Gọi (d’

) là hình chiếu của (d) lên mặt phẳng (P) Tìm toạ độ điểm H thuộc

(d’) sao cho H cách điểm K(1;1; 4) một khoảng bằng 53

HD:

I = d ∩ (P) ⇒ Tọa độ điểm I ứng với t thỏa mãn :

Đường thẳng d có VTCP u d = −( 2;1; 2)−



Mặt phẳng (P) có VTPT n P =(1;1; 1)−



(Q) là mặt phẳng chứa d và vuông góc với (P) ⇒ (Q) có VTPT

n

Q=u n

d,

P=(1; 4; 3)− −

Đường thẳng d’ là hình chiếu của d lên (P) ⇒ d’ = (P) ∩ (Q) ⇒ d’ có VTCP

' , ( 7; 2; 5)

u

=n n



= − −

Đường thẳng d’ có phương trình :

4 7 ' : 2 2 ( )

3 5

= −



 = − + ∈



 = −



H ∈ d’ ⇒ H có tọa độ : H(4 7 ; 2 2 ;3 5 )− m − + m − m

25 (3 7 ) (2 3) (5 1) 53

KH = ⇔ − m + m− + m+ =

78 44 34 0 39 22 17 0

17 / 39

m

m

=



⇔ − − = ⇔ − − = ⇔  = −



Với m = 1 Ta có điểm H −( 3; 0; 2)− )

Với m = –17/39 Ta có điểm 275; 112 202;

39 39 39

Câu 9 (1,0 điểm) Trong mặt phẳng tọa độ Tìm tập hợp điểm biểu diễn các số phức z thỏa mãn các điều kiện:

z i− = − −z 2 3i

HD:

Đặt z= +x yi ( ;x y∈R)

2 3 ( 1) ( 2) ( 3)

z i− = − − ⇔ + −z i x y i = x− − +y i

2 ( 1)2 ( 2)2 ( 3)2

⇔ + − = − + +

Vậy tập hợp điểm M(x;y) biểu diễn số phức z là đường thẳng ∆ − − =:x 2y 3 0