Bài 15 :Cho khối chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông cân tại B cạnh AB= a ,cạnh bên SA vuông góc với đáy và tam giác SAC cân.. 1/Tính thể tích khối chóp..[r]
Trang 1CHUYÊN ĐỀ:KHỐI ĐA DIỆN.
A/CƠ SỞ LÍ THUYẾT:
I/Khái niệm về khối đa diện:
1/Khối đa diện,khối chóp , khối lăng trụ :
*/Hình H cùng với các điểm nằm trong H gọi là khối đa diện giới hạn bởi hình H
*/Mỗi khối đa diện là một hình trong không gian gồ một số hữu hạn các đa giác thoã mãn 2 điều kiện sau:
+/Hai đa giác bất kì hoặc không có điểm chung hoặc có một đỉnh chung hoặc có một cạnh chung +/Mỗi cạnh của một đa giác là cạnh chung của đúng 2 đa giác
“Khối đa diện được gọi là khối chóp (khối lăng trụ) 1nếu khối đa diện được giới hạn bởi hình chóp(hình lăng trụ)”
2/Phân chia và lắp ghép khối đa diện :
Mọi khối chóp, khối lăng trụ luôn có thể phân chia thành các khối tứ diện (bằng nhiều cách khác nhau)
và điều này cũng đúng cho khối đa diện bất kì
3/Khối đa diện đều:
*/Khối đa diện (H) được gọi là khối đa diện lồi nếu đoạn thẳng nối 2 điểm bất kì của (H) luôn thuộc (H) Khi đó đa diện xác định (H) được gọi là đa diện lồi
*/Khối đa diện đều là khối đa diện lồi có các tính chất sau :
a/Mỗi mặt của nó là một đa giác đều p cạnh b/Mỗi đỉnh của nó là dỉnh chung của đúng q mặt Khối đa diện đều như vậy được gọi là khối đa diện đều loại {p;q},
Định lí :Chỉ có 5 loại khối đa diện đều Đó là 3;3 , 4;3 , 3; 4 , 5;3 , 3;5
II/Khái niệm về thể tích của khối đa diện:
1/Khái niệm thể tích khối đa diện :
Thể tích khối đa diện (H) là một số dương duy nhất V(H) thỏa mãn các tính chất : +/Hình lập phương (H) có cạnh bằng 1 có V(H)=1
+/Nếu 2 khối đa diện bằng nhau thì có thể tích bằng nhau
+/Nếu khối đa diện (H) được phân chia thành 2 khối đa diện (H1) và (H2) thì V(H)=V(H1)+V(H2)
=>Thể tích của khối lập phương có cạnh bằng a là a3
Thể tích của khối hộp chữ nhật bằng tích 3 kích thước của nó
2/Thể tích khối lặng trụ :
Thể tích khối lăng trụ có diện tích đáy bằng S và có chiều cao h là : V S h 3/Thể tích khối chóp :
Thể tích khối chóp có diện tích đáy S và chiều cao h là :
1 3
V S h
B/BÀI TẬP ÁP DỤNG:
Bài 1:Nếu ba kích thước của khối hộp chữ nhật được tăng lên k lần thì thể tích của nó tăng lên bao nhiêu lần ?., Bài 2:Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC là một tam giác vuông tại A,AC=b,
^ 0
60
C Đường
chéo BC’ của mặt bên BB’C’C tạo với mặt phẳng (AA’C’C) một góc 300
1/Tính độ dài đoạn AC’ 2/Tính thể tich khối lăng trụ
Bài 3:Tính thể tích của khối hộp ABCD.A’B’C’D’ biết rằng AA’B’D’ là khối tứ diện đều cạnh a.
Bài 4:Cho khối lăng trụ ABC.A’B’C’có đáy là một tam giác đều cạnh a Điểm A’ cách đều 3 điểm A,B,C.
cạnh bên AA’tạo với mặt phẳng đáy một góc 600
1/Tính thể tích của khối lăng trụ 2/Chứng minh rằng mặt bên BCC’B’ là một hình chữ nhật
Bài 5:Tính thể tích khối tứ diện đều cạnh a.
Bài 6:Cho khối tứ diện OABC ,OA,OB,OC đôi một vuông góc với OA=a,OB=b,OC=c
1/Tính thể tích khối tứ diện 2/Tính khoảng cách từ O đến mặt phẳng (ABC)
Bài 7:Cho khối chóp S.ABC với đáy ABC là tam giác vuông tại B ,AB=a,AC=2a, SA vuông góc với đáy,
SA=2a
1/Tính thể tích khối chóp 2/Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC)
Bài 8:Cho khối chóp tứ giác đều S.ABCD ,SA=2a,AB=a Tính thể tích khối chóp.
Bài 9:Cho khối chóp S.ABC có mặt bên SBC là tam giác đều cạnh a ,SA vuông góc với (ABC).Biết
^
0
60
BAC
Trang 2Tính thể tích khối chóp
Bài 10: Cho khối chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a; các cạnh bên tạo với đáy một góc 600 Gọi M là trung điểm của SC Mặt phẳng (P) đi qua AM đồng thời song song với BD; cắt SB, SD lần lượt tại E, F
a) Tính thể tích của khối chóp S.ABCD b) Tính thể tích khối chóp S.AEMF
Bài 11:Cho khối lăng trụ ABC.A’B’C’ đáy ABC là tam giác vuông cân tại A,AB=a, góc tạo bởi cạnh bên và
mặt đáy bằng 300 ,hình chiếu của A trên mặt phẳng (A’B’C’) trùng với trung điểm của B’C’
1.Tính thể tích khối lăng trụ 2.Gọi N là trung điểm của AA’ Tính tỉ số thể tích của NA’B’C’ và ABC.A’B’C’
Bài 12:Cho khối tứ diện đều cạnh a Tính thể tích khối tứ diện
Bài 13:Cho khối chóp S.ABC có đáy là tam giác cân ,AB=AC=5a,BC=6a và các mặt bên tạo với mặt đáy một
góc 300 Tính thể tích khối chóp
Bài 14:Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông tại B Cạnh bên SA vuông góc với đáy (ABC) Từ A kẻ
các đoạn thẳng AD vuông góc với SB và AE vuông góc với SC Biết AB=a,BC=2a,SC=3a
1/Tính thể tích khối chóp S.ABC và S.ADE 2/Tính khoảng cách từ E đến mặt phẳng (SAB)
Bài 15:Cho khối chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông cân tại B cạnh AB= a ,cạnh bên SA vuông góc với đáy
và tam giác SAC cân
1/Tính thể tích khối chóp 2/Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC)
Bài 16:Cho khối lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ với tam giác ABC vuông cân tại A hình chiếu vuông góc của A’
trên mặt phẳng (ABC) trùng với trọng tâm của tam giác ABC,góc tạo bởi cạnh bên và mặt đáy bằng 300
Tính thể tích khối lăng trụ
Bài 17:Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông tại B đường thẳng SA vuông góc với mặt phẳng
(ABC).Biết AB=a,BC a 3 và SA=3a
1.Tính thể tích khối chóp S.ABC theo a 2/Gọi I là trung điểm của cạnh SC tính độ dài đoạn thẳng BI theo a
Bài 18:Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông tại A AB=a,AC=a 2,mặt bên SBC là tam giác đều và vuông góc với đáy Tính thể tích khối chóp S.ABC
Bài 19:Cho hình chóp đều S.ABCD có AB=a và góc tạo bởi cạnh bên và mặt đáy bằng 300 Tính thể tích khối chóp
Bài 20:Cho tứ diện ABCD có tam giác BCD là tam giác đều cạnh a và AB=b ,AB tạo với mp(BCD) một góc 600
Tính thể tích khối tứ diện
CÁC ĐỀ THI TỐT NGHIỆP THPT CĐ-ĐH NHỮNG NĂM GẦN ĐÂY:
Câu 1(TNTHPT-2006):Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a ,cạnh bên SA
vuông góc với đáy ,cạnh bên SB =a 3
1/Tính thể tích của khối chóp S.ABCD
2/Chứng minh trung điểm của SC là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp
Câu 2(TNTHPT 2007):Cho hình chóp tam giác S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại Bcạnh bên
SA vuông góc với đáy Biết SA=AB=BC=a Tính thể tích của khối chóp
Câu 3(TNTHPT 2007 đ2):Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a ,cạnh
bên SA vuông góc với đáy và SA=AC Tính thể tích khối chóp
Câu 4(ĐH-KA-2007):Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a ,mặt bên SAD là tam giác
đều nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt đáy Gọi M,N,P lần lượt là trung điểm SB,BC,CD cm:Am vuông góc với BP và tính thể tích khối tứ diện CMNP
Câu 5(TNTHPT-2009)Cho hình chóp S.ABC có mặt bên SBC là tam giác đều cạnh a cạnh bên SA
vuông góc với mặt phẳng đáy Biết
^
0
120
BAC ,Tính thể tích của khối chóp S.ABC theo a
Câu 6(CĐKA-2008):Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang ,
0
90
BAD ABC
,AB=BC=a ,AD=2a,SA vuông góc với đáy và SA=2a.Gọi M,N lần lượt là trung điểm SA,SD Chứng minh rằng BCMN là hình chữ nhật và tính thể tích của khối chóp S.BCNM theo a
Câu 7(ĐHKA 2008):Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có độ dài cạnh bên bằng 2a, đáy ABC là tam giác
vuông tại A AB=a,AC=a 3 và hình chiếu vuông góc của đỉnh A’ trên mặt phẳng (ABC) là trung điểm của BC Tính theo a thể tích của khối chóp A’.ABC và tính côsin của góc giữa 2 đường thẳng
AA’,B’C’
Trang 3Câu 8(ĐHKB-2008):Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh 2a SA=a SB a 3 và mặt phẳng (SAB) vuông góc với cạnh đáy Gọi M,N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB,BC Tính theo a thể tích của khối chóp S.BMDN và tính côsin của góc giữa 2 đường thẳng SM,DN
Câu 9(CĐKA-2009):Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có AB=a,SA=a 2 Gọi M,N ,P lần lượt là trung điểm của các cạnh SA,SB,CD Chứng minh rằng đường thẳng MN vuông góc với đường thẳng SP.Tính theo a thể tích khối tứ diện AMNP
Câu 10(ĐHKA-2009):Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A,D
AB=AD=2a,CD=a góc giữa 2 mặt phẳng (SBC) và (ABCD) bằng 600 Gọi I là trung điểm của cạnh
AD Biết 2 mặt phẳng (SBI) và (SCI) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABCD),tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a
Câu 11(ĐHKB-2009):Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ có BB’=a góc giữa đường thẳng BB’ và
mặt phẳng (ABC) bằng 600, tam giác ABC vuông tại C và góc
^
0
60
BAC Hình chiếu vuông góc của điểm B’ lên mặt phẳng (ABC) trùng với trọng tâm của tam giác ABC Tính thể tích của khối tứ diện A’ABC theo a
Câu 12(ĐHKD-2009):Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông tại B,AB=a,
AA’=2a,A’C=3a Gọi M là trung điểm của đoạn thẳng A’C’, I là giao điểm của AM và A’C Tính theo a thể tích khối tứ diện IABC và khoảng cách từ A đến mặt phẳng (IBC)
Câu 13(ĐH-KA-2002):Cho hình chóp tam giác đều S.ABC đỉnh S có độ dài cạnh đáy bằng a Gọi M,N lần lượt
là trung điểm của các cạnh SB,SC.Tính theo a diện tích tam giác AMN , biết rằng mặt phẳng (AMN) vuông góc với mặt phẳng (SBC)
Câu 14(ĐHKB-2003):Cho hình lăng trụ đứng ABCD.A’B’C’D’có đáy ABCD là hình thoi cạnh a góc
^
0
60
BAD Gọi M là trung điểm của cạnh AA’ và N là trung điểm của cạnh CC’ chứng minh rằng 4 điểm
B’,M,D,N cùng thuộc một mặt phẳng Hãy tính độ dài cạnh AA’ theo a để tứ giác B’MDN là hình vuông
Câu 15(ĐHKD-2002):Cho tứ diện ABCD có cạnh AD vuông góc với mặt phẳng
(ABC);AC=AD=4cm,AB=3cm, BC=5cm.Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (BCD)
Câu 16(ĐHKD-2006):Cho hình chóp tam giác S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a ,SA=2a và SA vuông
góc với mặt phẳng (ABC) Gọi M,N lần lượt là hình chiếu vuông góc của A trên các đường thẳng SB,SC Tính thể của khối chóp A.BCNM
Câu 17(ĐHKB-2006): Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB=a,AD=a 2,SA=a ,SA
vuông góc với mặt phẳng (ABCD) Gọi M,N lần lượt là trung điểm của AD,SC ,I là giao điểm của BM và AC
.Chứng minh rằng mặt phẳng (SAC) vuông góc với mặt phẳng (SMB) Tính thể tích của khối tứ diện ANIB
Câu 18: (ĐHKB-2004) Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a ,góc giữa cạnh
bên và mặt đáy bằng φ.(00<φ<900)
1.Tính tang của góc giữa 2 mặt phẳng (SAB)và (ABCD) theo φ 2.Tính thể tích khối chóp S.ABCD
Câu 19:Cho hình chóp tam giác S.ABC có đáy là tam giác vuông cân AB=AC=a ,SA(ABC) và SA=a/ 2
1.Tính thể tích của khối chóp S.ABC 2.Tính góc giữa 2 mặt phẳng (SBC) và (SAC)
3.Tính khoảng cách giữa 2 đường thẳng AI,SC với I là trung điểm của BC
Câu20:Cho hình chóp tam giác S.ABC có đáy là tam giác vuông tại B ,SA(ABC),AB=a,BC=a 2,và SA=2a
1.Tính thể tích của khối chóp S.ABC 2.Tính khoảng cách từ A đến đường thẳng SB
Câu 21:Cho hình chóp tứ giácđều S.ABCD gọi O là tâm của đáy ABCD ,gọi I là trung điểm của CD
1/Chứng minh CD vuông góc với mp(SOI)
2/Giả sử SO=h và mặt bên tạo với đáy một góc α Tính theo h và α thể tích của hình chóp S.ABCD
Câu 22:Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a góc ABC 600
,SA= a,SA=SC,SB=SD 1/Tính thể tích khối chóp SABCD 2/Tính khoảng cách giữa 2 đường thẳng SA và BD
Câu 23:Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a ,SA=2a.
1/Tính diện tích xung quanh của khối chóp
2/Tính thể tích của khối chóp và khoảng cách giữa SA,BD
Câu 24:Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ có tất cả các cạnh đáy đều bằng a ,góc tạo bởi giữa cạnh bên và
mặt đáy bằng 600 và hình chiếu H của đỉnh A lên mặt phẳng (A’B’C’) trùng với trung điểm của B’C’
1/Tính khoảng cách giữa 2 mặt đáy 2/Tính thể tích của khối lăng trụ
Trang 4Câu25:Cho hình chĩp tứ giác S.ABCD cĩ đáy là hình thang vuơng tại A,D,SB(ABCD) và SA=a 5,
AB=AD=2a,.CD=a 1.Tính thể tích của khối chĩp S.ABCD
2.Gọi M là trung điểm của BC ,tính khoảng cách từ A đến đường thẳng SM
Câu 26 : Cho hình chĩp S.ABCD cĩ đáy ABCD là hình chữ nhật với AB=a AD=2a ,cạnh SA vuơng gĩc với đáy
,SB tạo với mặt phẳng đáy một gĩc 600.Trên cạnh SA lấy điểm M sao cho 3
a
AM
Mặt phẳng (BCM) cắt cạnh SD tại N Tính thể tích khối chĩp SBCNM
Câu 27:Cho hình chĩp tam giác đều S.ABC cĩ AB=a và gĩc tạo bởi cạnh bên và mặt đáy 300
1.Tính thể tích của khối chĩp S.ABC
2.Gọi M là giao điểm của SAvới mặt phẳng chứa BC và vuơng gĩc với SA tính SM
Câu 28:Cho hình chĩp SABC cĩ đáy ABClà tam giác vuơng tại B cạnh SA vuơng gĩc với đáy gĩc ACB=
600,BC=a ,SA a 3.Gọi M là trung điểm SB.Chứng minh rằng mp(SAB) vuơng gĩc với mp(SBC) Tính thể tích của khối chĩp
.Câu 29:Cho tam giác ABC vuơng cân ở A AB = a Trên đường thẳng qua C và vuơng gĩc với (ABC) lấy diểm
D sao cho CD = a Mặt phẳng qua C vuơng gĩc với BD cắt BD tại F và cắt AD tại E Tính thể tích khối tứ diện CDEF
Câu 30: Cho tứ diện đều ABCD cạnh bằng 2a Gọi M là trung điểm của CD.
1/ Chỉ ra một mặt phẳng đối xứng của tứ diện ABCD (Khơng yêu cầu chứng minh)
2/ Tính thể tích của khối tứ diện ABCD 3/ Tính khoảng cách từ điểm M đến mp(ABC)
Câu 31:Cho hình chĩp S.ABC cĩ SA vuơng gĩc với mặt đáy ,tam giác ABC vuơng tại B ,SA=AB=a
,BC=2a.Gọi M,N lần lượt là hình chiếu vuơng gĩc của A trên đường thẳng SB,SC.Tính diện tích tam giác AMN Thể tích khối chĩp
Câu 32: Cho khối lăng trụ tam giác đều ABC.A’B’C’ cĩ cạnh đáy 2a cạnh bên AA’=a 3.Gọi D,E là trung điểm AB, Á’B’ 1/Tính thể tích khối đa diện ABA’B’C 2/Tính khoảng cách giữa đường thẳng AB và mp(CEB’)
Câu 33.(ĐH2010KA):Cho hình chĩp S.ABCD cĩ đáy ABCD là hình vuơng cạnh a gọi M,N lần lượt là
trung điểm của các cạnh AB và AD ,H là giao điểm CN,DM Biết SH vuơng gĩc với mp(ABCD)và SH=
3
a .Tính thể tích khối chĩp SCDNM và khoảng cách giữa 2 đường thẳng DM và SC theo a.
Câu 34.( ĐHKB2010)Cho lăng trụ tam giác đều ABC.A’B’C’ cĩ AB=a ,gĩc giữa 2 mặt phẳng (A’BC)và (ABC)
bằng 600 Gọi G là trọng tâm của tam giác A’BC Tính thể tích khối lăng trụ đã cho và bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện GABC theo a
Câu 35 (ĐHKD 2010)Cho hình chĩp S.ABCD cĩ đáy ABCD là hình vuơng cạnh a , cạnh bên SA =a hình chiếu
vuơng gĩc của đỉnh trên mặt phẳng (ABCD) là điểm H thụơc đoạn AC , 4
AC
AH
Gọi CM là đường cao của tam giác SAC Chứng minh M là trung điểm của SA và tính thể tích khối tứ diện SMBC theo a
Câu 36.CĐ 2010 Cho hình chĩp S.ABCD cĩ đáy là hình vuơng cạnh a ,mặt phẳng (SAB) vuơng gĩc với mặt
phẳng đáy ,SA-SB, gĩc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng đáy bằng 450 Tính thể tích theo a khối chĩp S.ABCD
Cau37 Cho khối chóp tam giác S.ABC Trên ba đường thẳng SA,SB,SC lần lượt lấy ba
điểm A', B', C' khác với S Gọi V và V' lần lượt là thể tích của các khối chóp S.ABC và S.A'
B'C'
V' SA' SB' SC'
38 Cho hình chĩp S.ABC cĩ SA (ABC), SA = 2a, tam giác ABC vuơng tại C cĩ AB = 2a Gọi H, K lần lượt là hình chiếu của A trên SC, SB
a Tính thể tích của khối chĩp H.ABC
b Chứng minh AH SB và SB (AHK)
c Tính thể tích khối chĩp S.AHK.