Tài liệu BÀI GIẢNG MÔN XÁC SUẤT THỐNG KÊ pptx

Khái niệm và định nghĩa về xác suất: Khi thực hiện lặp đi lặp lại một phép thử nhiều lần trong cùng một điềukiện, tính ngẫu nhiên của biến cố mất dần đi và khả năng xẩy ra biến cố sẽ đượ

Bài giảng

XÁC SUẤT THỐNG

KÊ

Mục lục

CHƯƠNG I: BIẾN CỐ NGẪU NHIÊN VÀ XÁC SUẤT 3

I.1-BỔ TÚC VỀ ĐẠI SỐ TỔ HỢP (1) 3

1.Hoán vị: 3

Giả sử có n phần tử được xếp ở n vị trí Ta đooir chỗ các phần tở cho nhau Số cách đổi chỗ của na phần tử cho nhau gọi là số hoán vị của n phần tử Số cách ấy được chứng mih bằng: n! = n.(n-1)(n-2)….2.1 Quy ước 0! = 1 3

2.Tổ hợp: 3

Ta lấy tùy ý k phần tử từ tập n phần tử ( k ≤ n ), sao cho hai cách lấy được gọi là khác nhau nếu chúng có ít nhất một phần tử là khác nhau Số cách lấy k phần tử như vậy gọi là mọt tổ hợp chập k của n ký hiệu: k n C và được chứng minh là : k n C = k (n n! k)!  3

3.Chỉnh hợp: 3

4.Luật tích: 4

5 Công thức Newton: 4

I.2 BIẾN CỐ NGẪU NHIÊN VÀ XÁC SUẤT (2+1) 4

1 Phép thử và biến cố: 4

2 Khái niệm và định nghĩa về xác suất: 5

2.2.Định nghĩa thống kê về xác suất 8

3 Nguyên lý xác suất lớn và xác suất nhỏ 9

4.Quan hệ giữa các biến cố 9

BÀI TẬP 11

I.3 CÁC ĐỊNH LÝ CƠ BẢN VỀ XÁC SUẤT ( 2 + 1 ) 15

1.Định lý cộng xác suất: 15

2 Định lý nhân xác suất 16

3 Công thức Becnuni: 18

4 Công thức xác suất đầy đủ: 19

5.Công thức Bayes: 20

BÀI TẬP 21

CHƯƠNG II: BIẾN NGẪU NHIÊN VÀ QUY LUẬT PHÂN PHỐI XÁC SUẤT 22

II.1.ĐỊNH NGHĨA VÀ PHÂN LOẠI ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN (1) 22

1.Định nghĩa: 22

2 Phân loại biến ngẫu nhiên: 22

II.2.QUY LUẬT PHÂN PHỐI XÁC SUẤT CỦA BIẾN NGẪU NHIÊN 23

CHƯƠNG I: BIẾN CỐ NGẪU NHIÊN VÀ XÁC SUẤT

I.1-BỔ TÚC VỀ ĐẠI SỐ TỔ HỢP (1)

1.Hoán vị:

Giả sử có n phần tử được xếp ở n vị trí Ta đooir chỗ các phần tở cho nhau Số cách đổi chỗ của na phần tử cho nhau gọi là số hoán vị của n phần tử

Số cách ấy được chứng mih bằng: n! = n.(n-1)(n-2)….2.1 Quy ước 0! = 1

Thí dụ 1: Có 3 người : A, B, C xếp vào 3 chỗ ngồi có các cách xếp như sau: ABC, ACB, CAB, CBA, BCA, BAC Cả thảy có 3! = 1.2.3 = 6 cách xếp

2.Tổ hợp:

Ta lấy tùy ý k phần tử từ tập n phần tử ( k ≤ n ), sao cho hai cách lấy được gọi là khác nhau nếu chúng có ít nhất một phần tử là khác nhau Số cách lấy k phần tử như vậy gọi là mọt tổ hợp chập k của n ký hiệu: k

n

k k n

n k

n n k n

(

! )!

( )!

C

C

C

n n n

n n n

n

) 1 ) (

1

A k

Thí dụ 3: Chọn ngẫu nhiên 2 người trong nhóm 3 người A, B, C để đi làm một nhiệm vụ nào đó Ai được chọn đầu tiên sẽ làm nhóm trưởng

Giải: Theo thí dụ 2 ta đã có 3 cách chọn AB, AC, BC

Do hai cách chọn khác nhau còn kể đến thứ tự nên có thêm 3 cách chọn: BA,

CA, CB do đó có tất cả 6 cách chọn theo công thức: 2 3 2 1 6

A

Nhận xét: Mỗi cách chọn theo nghĩa tổ hợp, do cách chọn theo nghĩa chỉnh hợp

có kể tới thứ tự chọn ( có k! cách hoán vị k phần tử ) nên sẽ có:

) 1 ) (

1 (

n k

k n k

n k

Thí dụ 4: Có bao nhiêu cách lấy ra 5 con bài từ 52 quân bàì của bộ tú lơ khơ sao cho có 3 con át và 2 con 10

Giải: Số cách lấy ra 3 con át: 3 4

n n

n n

n n n

k

k k n k n

n C a b C a b C a b C a b C ab C b b

Việc thực hiện một nhóm các điều kiện cơ bản để quan sát một hiện tượng nào đó có sảy ra hay không được gọi là một phép thử, còn hiện tượng có thể xảy

ra trong kết quả của phép thử đó gọi là biến cố.

Thí du 1: Từ một lô sản phẩm gồm chính phẩm và phế phẩm lấy ngẫu nhiên mộtsản phẩm Việc lấy ngâu nhiên một sản phẩm là một phép thử còn việc lấy đượcchính phẩm hay phế phẩm là biến cố

Vậy một biến cố chỉ có thể xảy ra khi một phép thử gắn liền với nó đượcthực hiện

Thí dụ 3: Thực hiện phép thử tung một con xúc xắc Gọi V là biến cố “ xuất hiệnmặt có số chấm nhỏ hơn hay bằng 7 “ V là biến cố không thể có.

+Biến cố ngẫu nhiên: Là biến cố có thể xảy ra hoặc không xảy ra khi phép thửđược thực hiện Ký hiệu: A, B, C, …hoặc A1, A2, ….B1, B2, …

+ Biến cố sơ cấp là biến cố không thể phân tích được nữa

(i:=1;2;3;4;5;6) Ai là một biến cố ngẫu nhiên Và thêm nữa đó là các biến cố sơ

hoặc A4, hoặc A6 xảy ra nên B không là biến cố sơ cấp

2 Khái niệm và định nghĩa về xác suất:

Khi thực hiện lặp đi lặp lại một phép thử nhiều lần trong cùng một điềukiện, tính ngẫu nhiên của biến cố mất dần đi và khả năng xẩy ra biến cố sẽ đượcthể hiện theo những quy luật nhất định Từ đó cho thấy có thể định lượng ( đolường) khả năng khách quan xuất hiện một biến cố nào đó

Xác suất của một biến cố là một số đặc trưng cho khả năng khách quan xuất hiện biến cố đó khi thực hiện phép thử.

2.1.Định nghĩa cổ điển về xác suất:

Xác suất xuất hiện biến cố A trong một phép thử là tỉ số giữa số trường hợp thuận lợi cho A và tổng số trường hợp duy nhất đồng khả năng có thể xảy

2.1.2 Các phương pháp tính xác suất bằng định nghĩa cổ điển

+ Phương pháp suy luận trực tiếp:

Thí dụ 1: Gieo một lần con xúc xắc cân đối và đồng chất Tìm xác suất xuất hiệnmặt có số chấm chẵn

Giải: Gọi a là biến cố” xuất hiện mặt có số chấm chẵn “ khi gieo một lần conxúc xắc số trường hợp duy nhất đồng khả năng có thể xảy ra là n = 6 Biến cố A

sẽ xảy ra khi xuất hiện mặt 2 chấm, hoặc 4 chấm, hoặc 6 chấm, nên m = 3 Ta có

2

1 )

n

m A P

Có 36 trường hợp duy nhât đồng khả năng, n = 36

Có 10 trường hợp thuần lợi cho A, m = 10

Vậy P(A) = 185

n m

1 người chơi bóng đá, bóng chuyền và bóng rổ

Lấy ngẫu nhiên 1 học sinh trong lớp Tìm xác suất để người đó chơi ít nhất 1môn bóng

Giải: gọi A là biến cố “ lấy ngẫu nhiên một học sinh và học sinh đó biếtchơi ít nhất 1 môn bóng “

Ta minh họa bởi sơ đồ sau:

Số trường hợp thuận lợi là m = 8+5 + 3+7+4+1+2 = 30

Số trường hợp có thể là n = 50

5

3 )

n

m A

P

+ Phương pháp dùng các công thức của giải tích tổ hợp:

Thí dụ 4: Một người khi gọi điện thoại quên mất hai số cuối của số điện thoại vàchỉ nhớ là chúng khác nhau Tìm xác suất để quay ngẫu nhiên một lần đượcđúng số cần gọi

Giải: gọi B là biến cố “ quay ngẫu nhiên một lần được đúng số cần gọi “

Số trường hợp duy nhất đồng khả năng là số các trường hợp lập được hai số cuối

Thí dụ 5: Một hộp có 10 sản phẩm, trong đó có 6 chính phẩm và 4 phế phẩm.lấy ngẫu nhiên từ hộp đó 3 sản phẩm Tìm xác suất để;

!*(

3

! 10

b Gọi B là biến cố “Trong 3 sản phẩm lấy ra có đúng 2 chính phẩm” Số

C ) (

1 3

2 6



B P

suất để không có ngày nào có quá 1 máy bị hỏng

Giải; Gọi A là biến cố “ không có ngày nào có quá 1 máy bị hỏng” Sốtrường hợp có thể đồng khả năng là chỉnh hợp lặp chập 5 của 92 phần tử

5 5

- Để tìm xác suất của một biến cố bằng định nghĩa cổ điển, ta không cần thựchiện phép thử ( phép thử chỉ là giả định

- Cho phép tính chính xác giá trị của xác xuất ( nếu đáp ứng đầy đủ các yêucầu của định nghĩa )

- Định nghĩa cổ điển về xác suất chỉ dùng được trong trường hợp số trườnghợp duy nhất đồng khả năng có thể xảy ra trong phép thử là số hữu hạn

- Việc đáp ứng đầy đủ các yêu cầu của định nghĩa cổ điển xác suất trên thực

tế là khó đạt được chẳng hạn tính cân đối và đồng chất của một con xúc xắc

2.2.Định nghĩa thống kê về xác suất

2.2.1 Định nghĩa 1: Tần suất xuất hiện biến cố trong n phép thứ là tỷ số giữa

số phép thử trong đó biến cố xuất hiện và tổng số phép thử được thực hiện

Ký hiệu : tần suất của biến cố A là f(A); k là số lần xuất hiện biến cố A; sốphép thử là n thì: f(A) n k

Thí dụ 1: khi kiểm tra ngẫu nhiên 90 sản phẩm sản xuất do một xí nghiệp sảnxuất, phát hiện ra 7 phế phẩm gọi A là biến cố: “xuất hiện phế phẩm” Vậytần suất xuất hiện phế phẩm là: f(A) 907

` Người ta nhận thấy rằng nếu tiến hành thí nghiệm trong những điều kiệnnhư nhau và số phép thử khá lớn thì tần suất thể hiện tính ổn định của nó khálớn

2.2.2 Định nghĩa 2: Xác suất xuất hiện biến cố A trong một phép thử là một

số p không đổi mà tần suất f xuất hiện biến cố đó trong n phép thử sẽ dao động rất ít xung quanh p khi số phép thử tăng lên vô hạn.

Như vậy với n đủ lớn ta có thể lấy: P(A) f(A)

2.3 Định nghĩa tiên đề về xác suất:

Gọi ( E1, E2,….,En ) là không gian các biến cố sơ cấp ( Thực tế là tập hợptất cả các khả năng có thể của một phép thử ) Mỗi biến cố A là một tập controng không gian đó

Tiên đề 2: Nếu ( E1, E2,….,En ) tạo nên không gian các biến cố sơ cấp thì :

P(E1) + P(E2)+….+ P(En) = 1Tiên đề 3: Nếu biến cố A1; A2;….Ak;…là các tập con không giao nhau củacác biến cố sơ cấp thì:

) ( )

(

i

i i

A P

3 Nguyên lý xác suất lớn và xác suất nhỏ

3.1 Nguyên lý xác suất nhỏ: Nếu một biến cố ngẫu nhiên có xác suất rất nhỏ

thì thực tế có thể cho rằng trong một phép thử biến cố đó sẽ không xảy ra

Tuy nhiên một xác suất như thế nào được xem là nhỏ phải tùy thuộc vàotừng bài toán cụ thể Ví như xác suất để dù (dùng cho nhảy dù) không mở là0,01 thì cũng không thể coi là nhỏ và không thể dùng loại dù đó Nhưng nếu xácxuất để tàu về ga chậm là 0,01 thì lại có thể xem là tàu về ga đúng giờ

3.2 nguyên lý xác suất lớn: Nếu một biến cố ngẫu nhiên có xác suất gần bằng 1

thì thực tế có thể cho rằng biến cố đó sẽ xảy ra trong một phép thử

4.Quan hệ giữa các biến cố.

chỉ nếu A xảy ra suy ra B xảy ra

+ Quan hệ tương đương: Hai biến cố A và B gọi là tương đương với nhau, kýhiệu A = B khi và chỉ khi ABvàBA

+Tổng của hai biến cố: Tổng của hai biến cố A và B là một biến cố ký hiệu là

B

xảy ra

( hay A.B) xảy ra khi và chỉ khi cả hai biến cố A và B đồng thời xảy ra

+ Hai biến cố A và B là xung khắc với nhau khi và chỉ khi xảy ra A thì không

+ Hiệu của biến cố A và biến cố B: là một biến cố ký hiệu là A \ B xảy ra khi vàchỉ khi A xảy ra nhưng B không xảy ra

BÀI TẬP1.lấy ngẫu nhiên ba quân bài từ một cỗ bài có 52 quân Tìm xác suất để :

52 51 50

! 49

!.

3

! 52

b.Gọi B là biến cố ‘ lấy 2 con bài được 1 con át”

48

1

cách đó lại có tổ hợp chập 2 của 48 con bài không có át)

5525

1128 )

c Mỗi người ra ở một tầng khác nhau

Giải: Gọi biến cố tương ứng với a, b, c là A, B, C

hợp lặp chập 3 của 6 phần tử do mỗi khách đều có 6 khả năng để ra ở 6 tầng cònlại của tòa nhà )

a Số trường hợp thuận lợi cho A là: m = 1 Do đó P(A) = 1/216

b Số trường hợp thuận lợi cho B là: m = 6 ; P(B) = 6/216 = 1/36

c Số trường hợp thuận lợi cho C là: m = 3 6 5 4 120

Bài 5 Tại một thành phố có 7 siêu thị khác nhau Có 3 khách du lịch, mỗi người ngẫu nhiên

đi đến một siêu thị để mua sắm Tính xác suất để

a- ba người đến 3 siêu thị khác nhau.

b- ba người không cùng đến một siêu thị.

c- có ít nhất 2 người cùng đến một siêu thị.

Giải: Số trường hợp có thể: mõi người đều có đồng khả năng để đến các hách sạn nên n =

7

1  3 

c Gọi C 1 là biến cố có đúng hai người vào cung một siêu thị; C là biến cố có ít nhất 2 người vào cung một siêu thị, thì : C = C 1 + A, do C 1 và A là các biến cố độc lập nên P(C) = P(C 1 ) + P(A).

7 3 6 ) ( 7

3

a Có ngày sinh nhật khác nhau

b Có ngày sinh nhật trùng nhau

Số trường hợp thuận lợi cho b là: 1 P(B) = 1/7711320

4 Có thể xem xác suất sinh con trai là bao nhiêu nếu theo dõi 88200 trẻ sơ sinh

ở một vùng thấy có 45.600 con trai

Giải: Gọi A là biến cố “sinh con trai ở vùng nọ”

 )

Trên 40 400 230 630

Tìm xác suất để lấy ngẫu nhiên một người của công ty thì được:

a.Một nhân viên từ 40 tuổi trở lên

b.Một nam nhân viên trên 40 tuổi

c một nữ nhân viên từ 40 tuổi trở xuống

Giải:

1600

680 290 ) (

a Chị A đánh vỡ 3 chén và chị B đánh vỡ 1 chén

b Một trong 3 người đánh vỡ 3 chén

c Một trong 3 người đánh vỡ cả 4 chén

Giải: Do khả năng vỡ của 4 chén đều có thể vỡ vào một ngày nào đó của tháng

4

có 3 cách chọn 1 trong 3 người làm vỡ 3 chén

có 103 khả năng người làm vỡ 3 chén trong 10 ngày mình phụ trách

có 2 khả năng cho hai người còn lại làm vỡ 1 chén, mỗi trường hợp này lại có

10 khả năng làm vỡ trong 10 ngày mà họ phụ trách Các khả năng trên xảy raliên tiếp nên:

Số trường hợp thuận lợi cho b là : m = 4.3.103.2.10

Vậy P(B) = 8/27

I.3 CÁC ĐỊNH LÝ CƠ BẢN VỀ XÁC SUẤT ( 2 + 1 )

n i

i P A A

P

1 1

) ( )

(

Thí dụ 1: Xác suất để một xạ thủ bắn bia trúng điểm 10 là 0,1; trúng điểm 9 là0,2; trúng điểm 8 là 0,25 và ít hơn 8 điểm là 0,45 xạ thủ đó bắn một viên đạn.tìm xác suất để xạ thủ đó bắn được ít nhất 9 điểm

Giải: gọi A là biến cố “ Xạ thủ bắn được ít nhất 9 điểm”, A1 là biến cố “ Xạ thủbắn trúng điểm 10”; A2 là biến cố “Xạ thủ bắn trúng điểm 9 “ khi đó A1 và A2 làxung khắc với nhau và A = A1+ A2 theo định lý công xác suất

P(A) = P(A1) + P(A2) = 0,1 + 0,2 = 0,31.2.Nhóm đầy đủ các biến cố: Các biến cố A1, A2, …, An được gọi là một nhómđầy đủ các biến cố nếu chúng xung khắc từng đôi với nhau và tổng của chúng làmột biến cố chắc chắn

Thí dụ 2: Khi gieo một con xúc xắc, gọi Ai (i:= 1,2, ,6) là biến cố xuất hiện mặt

i chấm thì các biến cố Ai lập nên một nhóm đầy đủ các biến cố

Hệ quả 2: Nếu các biến cố A1, A2, …, An là nhóm đầy đủ các biến cố thì tổng cácxác suất của chúng bằng 1

đủ các biến cố ( AAU )

Thí dụ 3: Bắn một viên đạn vào bia, gọi A là biến cố “ bắn trúng bia” A là biến

cố “ bắn không trúng bia thì A va A là đối lập nhau

Hệ quả 3: Tổng xác suất của hai biến cố đối lập nhau bằng 1

Thí dụ 4: Trong hòm có n sản phẩm, trong đó có m chính phẩm Lấy ngẫu nhiên

k sản phẩm tìm xác suất để trong đó có ít nhất một chính phẩm

Giải: Gọi A là biến cố “ Trong k sản phẩm lấy ra có ít nhất một chính

m n n

C

C A

P



 )

Thí dụ 5: Trong hòm có 10 chi tiết, trong đó có 2 chi tiết hỏng Tìm xác suất đểkhi lấy ra 6 chi tiết thì có không quá một chi tiết hỏng.

Giải: gọi A0 là biến cố “ 6 chi tiết lấy ra không có chi tiết nào hỏng”; A1 làbiến cố ‘ trong 6 chi tiết lấy ra có 1 chi tiết hỏng”; A là biến cố “ trong 6 chi tiếtlấy ra có không quá một chi tiết hỏng”

Vậy ; A = A0 + A1 vì A0 và A1 là xung khắc do đó

10

5 8

1 2 6 10

6 8





C

C C C C

2 Định lý nhân xác suất

2.1.Định nghĩa 1: Hai biến cố A và B gọi là độc lập với nhau nếu việc xảy ra haykhông xảy ra của biến cố này không làm thay đổi xác suất của biến cố kia vàngược lại còn nếu không như thế tức là việc xảy ra hay không xảy ra của biến

cố này làm thay đổi xác suất của biến cố kia thì hai biến cố đó gọi là phụ thuộcnhau

Thí dụ 1: Trong bình có 2 quả cầu trắng và 3 quả cầu đen Lấy ngẫu nhiên mộtquả cầu Gọi A là biến cố “ lấy được cầu đen Khi đó P(A) = 3/5 Quả cầu được

bỏ lại bình và tiếp tục lấy ngẫu nhiên 1 quả Gọi B là biến cố lấy được cầu đenlần thứ hai, khi đó P(B) = 3/5 Vậy A và B là độc lập nhau

Nếu sau khi lấy ra 1 quả cầu lần thứ nhất ta lại hoàn quả cầu lại và lấyngấu nhiên 1 quả lần thứ hai, thì:

Lần thứ nhất P(A) = 3/5, và nếu biến cố A xảy ra thì P(B) = 1/2 òn nếu biến cố

A không xảy ra thì P(B) = 3/4 Vậy A và B là phụ thuộc nhau

*Chú ý: Nếu A và B độc lâp thì A và B ; A và B ; B và A cũng độc lập vớinhau

2.2.Định nghĩa 2: Các biến cố A1, A2, …, An gọi là độc lập từng đôi với nhau nếumỗi cặp hai trong n biến cố đó độc lập với nhau

2.3.Định nghĩa 3: Các biến cố A1, A2, …, An gọi là độc lập toàn phần với nhaunếu mỗi biến cố độc lập với một tổ hợp tùy ý của các biến cố còn lại

Nhiều bài toán khi biểu diễn các biến cố phức hợp dưới dạng các biến cố đơngiản hơn bằng việc sử dụng phép nhân các biến cố

Thí dụ 2: Một máy sản xuất ra ba sản phẩm Ta xét các biến cố sơ cấp sau:

) ( ) (

B P

B A P A

A P

B A P B

i n

i

i P A A

P

1 1

) ( )

(

Thí dụ 3: Có hai cái hộp đưcngj chi tiết hộp thứ nhất đựng 10 cái ốc, trong đó

có 6 cái tốt hộp thứ hai đựng 15 cái vít, trong đó có 9 cái tốt Lấy ngẫu nhiên từmỗi hộp một chi tiết tìm xác suất để lấy được bộ ốc vít tốt

Giải: gọi A1 là biến cố lấy được ốc tốt ở hộp thứ nhất A2 là biến cố lấy được vít

tố ở hộp thứ hai.Goi A là biến cố “ lấy được bộ ốc vít tốt”

Vậy: A = A1.A2 vì các biến cố này độc lập với nhau nên;

P(A) = P(A1).P(A2) = .159 259

Giải: do A đã xẩy ra nên khi lấy cầu lần thứ hai trong bình chỉ còn 4 cầu trắng

và 3 cầu đen P(B/A) = 4/7

2.6.Định lý 2: Xác suất của tích hai biến cố phụ thuộc A và B bằng tích xác suấtcủa một trong hai biến cố với xác suất có điều kiện của biến cố còn lại

P(A.B) = P(A).P(B/A) = P(B).P(A/B)

Hệ quả 1: Nếu P(B) > 0 thì xác suất của biến cố A với điều kiện biến cố B đã

B P

B A P B A

không xác định

Tương tự với P(A) > 0

Hệ quả 2: Xác suất của tích n biến cố phụ thuộc bằng tích xác suất của n biến cố

đó, trong đó xác suất của mỗi biến cố tiếp theo sau đều được tính với điều kiệntất cả các biến cố xét trước đó đã xảy ra

P( A1A2….An) = P(A1).P(A2/A1).p(A3/A1A2) ….P(An/A1A2… An-1)

Hệ quả 3: Nếu A và B là các biến cố độc lập thì

P(A/B) = P(A) và P(B/A) = P(B)Thí dụ 5: Một xí nghiệp có 3 ô tô hoạt động độc lập Xác suất để trong một ngàycác ô tô bị hỏng tương ứng là: 0,1; 0,2; 0,15 Tìm xác suất để: a) Một ngày cóđúng 1 ô tô bị hỏng b) một ngày có ít nhất 1 ô tô bị hỏng

Giải: Gọi Ai là biến cố ô tô thứ i bị hỏng trong ngày i = 1;2;3

Gọi A là biến cố “ một ngày có đúng 1 ô tô bị hỏng”

Gọi B là biến cố “một ngày có ít nhất 1 ô tô bị hỏng.”

3 2 1 3 2 1 3

2

1A A A A A A A A

A

và trong mỗi nhóm các biến cố lại độc lập tòn phần với nhau nên:

P(A) = P(A)1P(A2)P(A3) P(A1)P(A2)P(A3) P(A1)P(A2)P(A3)  0 , 329

B = A1A2A3  A1A2A3 A1A2AA1A2A3 A1A2A3 A1A2A3 A1A2A3 Và áp dụng cách tính tương tựnhư trên

i) Mỗi phép thử xảy ra hai biến cố A hoặc A

ii) P(A) = p, P(A) như nhau với mọi phép thử

3.2 Bài toán: Cho phép thử bernoulli Tìm xác suất để biến cố A xảy ra x lần

Gọi Ai là biến cố xảy ra biến cố A ở phép thử thứ i ( i : 1,2,…,n ) như vậy

A i là biến cố “ không xảy ra biến cố A trong lần thử thứ i

Gọi B là biến cố “ trong n phép thử biến cố A xảy ra x lần”