bài giảng môn xác suất thống kê xác suất biến cố

CHƯƠNG 1: XÁC SUẤT CỦA BIẾN CỐ I/ Phép thử ngẫu nhiên và biến cố ngẫu nhiên: Phép thử ngẫu nhiên: là việc thực hiện 1 thí nghiệm/ thực nghiệm, hoặcviệc quan sát 1 hiện tượng tự nhiên

CHƯƠNG 1:

XÁC SUẤT CỦA BIẾN CỐ

I/ Phép thử ngẫu nhiên và biến cố ngẫu nhiên:

Phép thử ngẫu nhiên:

là việc thực hiện 1 thí nghiệm/ thực nghiệm, hoặcviệc quan sát 1 hiện tượng tự nhiên trong 1 số điềukiện nhất định Nó có thể dẫn đến kết cục này hoặckết cục khác (có ít nhất 2 kết cục) Và việc làm nàycó thể thực hiện bao nhiêu lần cũng được

Quy ước: Một đồng xu có 1 mặt Hình và 1 mặt Chữđược gọi là đồng xu Sấp Ngữa, với quy ước

mặt Hình = Sấp , mặt Chữ = Ngữa 2

33

Vd1: Tung 1 đồng xu Sấp Ngữa (cân đối, đồng chất),xét xem mặt nào xuất hiện (mặt nào được lật lên)

Đây là 1 phép thử ngẫu nhiên?

Vd2: Ném hòn đá xuống nước, xét xem hòn đá chìmhay nổi

Đây là 1 phép thử ngẫu nhiên?

Vd3: Hai vợ chồng cãi nhau Xét xem họ có ly dịnhau không

Đây là 1 phép thử ngẫu nhiên?

 VD4:

Bắn 1 phát súng vào bia

Đây là 1 phép thử NN?

Hộp có 7 bi Trắng Lấy ngẫu nhiên 1 bi ra xem màu

Đây là 1 phép thử NN?

VD7: (Phim “Hãy yêu đi rồi sẽ biết”)

Yêu 1 ngườikhác giới tính

Đây là 1 phép thử NN?

Từ đây trở đi khi ta nói phép thử thì có nghĩa là

Các kết cục của phép thử NN gọi là các biến cố

Có 3 loại biến cố: bc ngẫu nhiên, bc chắc chắn, bc không thể có

BcNN: là bc có thể xảy ra hoặc không xảy ra khi thực hiện phép thử Ký hiệu A, B, C,…

Bc chắc chắn: là bc luôn xảy ra khi thực hiện phép thử

(Con xúc xắc có các mặt được đánh số nút từ 16)

Đặt: A= bc xuất hiện mặt có số nút <=6

 B= bc xuất hiện mặt có số nút là 7

 C= bc xuất hiện mặt có số nút là số chẳn

Biến cố nào là biến cố chắc chắn, bc ktc, bcNN?

77

VD2:

Xét 1 gia đình văn hóa có 2 con

(Một người chỉ có thể là trai hoặc là gái, không xét hifi)

Đặt: A = bc gia đình có 1 trai, 1 gái

B = bc gia đình có 2 con

C = bc gia đình có 3 con

Bc nào là bccc, bcNN, bcktc?

II) QUAN HỆ GIỮA CÁC BIẾN CỐ

Thông thường sinh viên coi nhẹ phần này, cho rằng

“chuyện nhỏ như con thỏ”, “không có gì mà ầm ỉ”

Phải tính xác suất cái này, xác suất cái kia thì mới

“Xứng danh đại anh hùng”! Học xác suất mà “khôngthấy xác suất đâu”, học các quan hệ này thì chán chết!

Tuy nhiên khi gặp bài toán xác suất đòi hỏi phải biếtcáchtự phân tích, tự đặtcác biến cố,diễn tảcâu hỏi đềcho theo các biến cố đã đặt thì lại không làm được,hoặc diễn tả không đúng!

Hoặc đọc bài giảng trong sách thì lại không hiểu tạisao người ta biến đổi được như vậy!

Nếu đã hiểu rõ về các quan hệ giữa các biến cố thì cácvấn đề trên đúng là “chuyện nhỏ như con thỏ”!

Vậy bạn thích “con thỏ” nào !?

Một sv mua 1 tờ vé số

Đặt A= bc sv này trúng số độc đắcB= bc sv này trúng số

AB hay BA ?

11

1)KÉO THEO

VD2: Xét 1 gia đình văn hóa có 2 con

Đặt A= bc gia đình có con trai

B= bc gia đình có 2 con trai

AB hay BA ?

VD3: Xét 1 học sinh đi thi đại học khối A

Đặt A= bc học sinh này thi đậuB= bc học sinh này có điểm Toán là 10

2) TƯƠNG ĐƯƠNG (BẰNG NHAU):

bc A gọi là bằng bc B nếu bc A xảy ra thì bc B xảy

ra, và ngược lại bc B xảy ra thì bc A xảy ra, khi thựchiện phép thử Ký hiệu A=B hay AB

Vậy A=B nếu AB và BA

Vd1:

Tung 1 con xúc xắc

Đặt A= bc con xx xh mặt có số nút chẳnB= bc con xx xh mặt có số nút là: 2,4,6C= bc con xx xh mặt có số nút là: 2,4

2) TƯƠNG ĐƯƠNG

VD2:

Xét 1 gia đình văn hóa có 2 con

(Một người chỉ có thể là trai hoặc là gái, không xét hifi)

A= bc gia đình có 1 con trai

B= bc gia đình có 1 con gái

C= bc gia đình có con trai

D= bc gia đình có ít nhất 1 con trai

E= bc gia đình có nhiều nhất 1 con trai

2)TƯƠNG ĐƯƠNG

Vd3:

Hộp có 8 bi: 6T, 2 X Lấy 2 bi ra xem màu

Đặt A= bc lấy được 1 bi TB= bc lấy được 1 bi XC= bc lấy được 3 bi TD= bc lấy được bi T

15

2)TƯƠNG ĐƯƠNG

Vd4:

Hộp có 8 bi: 4T, 2X, 2Đỏ Lấy 2 bi ra xem màu

Đặt A= bc lấy được 1 bi TB= bc lấy được 1 bi XA=B?

16

2)TƯƠNG ĐƯƠNG

VD5:

Hộp có 7 bi Trắng và 5 bi Xanh Lấy ngẫu nhiên 3 bi

A= bc lấy được ít nhất 2 bi T

B= bc lấy được nhiều nhất 1 bi X

C= bc lấy được nhiều nhất 2 bi X

D= bc lấy được 2 bi T

E= bc lấy được 1 bi X

Tung 1 con xúc xắc Xét xem mặt nào xuất hiện.

Đặt C= bc con xx xh mặt có số nút chẳn

B= bc con xx xh mặt có số nút là 2A= bc con xx xh mặt có số nút là 4,6D= bc con xxxh mặt có số nút là 2,4

C= A+B? C= A+D?

3)HỢP

VD2:

Có 2 xạ thủ, mỗi người bắn 1 phát đạn vào bia

A= bc người thứ nhất bắn trúng

B= bc người thứ hai bắn trúng

C= bc bia trúng đạn

C= A+B?

3)HỢP

Vd3: Lớp có 50 sv, trong đó có: 20 sv giỏi AV, 15

sv giỏi PV, 7 sv giỏi cả 2 ngoại ngữ trên

Chọn NN 1 sv trong lớp

Đặt A= bc sv này giỏi Anh

B= bc sv này giỏi PhápC= bc sv này giỏi ít nhất 1 ngoại ngữ

D= bc sv này giỏi cả 2 ngoại ngữ

C= A+B? D= A+B?

Dùng biểu đồ Venn minh họa?

3)HỢP

Vd4:

Hộp có 9 bi T và 7 bi X Lấy NN 3 bi từ hộp

Đặt A= bc lấy được 2 bi T và 1 bi X

B= bc lấy được 3 bi TC= bc lấy được ít nhất 2 bi TD= bc lấy được nhiều nhất 1 bi X

Tổng quát: C= A1+A2+ +An

C xảy ra nếu có ít nhất 1 bc Ai xảy ra, khi thực hiệnphép thử

VD1: Có 3 người đi thi

Ai= bc người thứ i thi đậu

C= bc có ít nhất 1 người thi đậu

C= A1+A2+A3

Vd2: Kiểm tra chất lượng n sản phẩm

Đặt Ai= bc sp thứ i xấu

C= bc có ít nhất 1 sp xấu

Tung 1 con xúc xắc Xét xem mặt nào xuất hiện

Đặt A= bc con xx xh mặt có số nút là 2,4B= bc con xx xh mặt có số nút là 2,6C= bc con xx xh mặt có số nút là 2D= bc con xx xh mặt có số nút là 2,4,6

C= A.B? C= A.D?

VD2:

Có 2 xạ thủ, mỗi người bắn 1 phát đạn vào bia

A= bc người thứ nhất bắn trật

B= bc người thứ hai bắn trật

C= bc bia không trúng đạn

C= A.B? C= A+B?

4)TÍCH

Vd3:

Lớp có 50 sv, trong đó có: 20 sv giỏi AV, 15 sv giỏi

PV, 7 sv giỏi cả 2 ngoại ngữ trên

Chọn NN 1 sv trong lớp

Đặt A= bc sv này giỏi AnhB= bc sv này giỏi PhápC= bc sv này giỏi cả 2 ngoại ngữC= A.B?

27

4)TÍCH

VD4: Một sinh viên được gọi là có mái tóc highlightkiểu “tắc kè bông” khi trên đầu vừa có cọng tóc màuxanh, vừa có cọng tóc màu vàng

Lớp có 40 sv, trong đó có 5 sinh viên tóc màu vàng, 7sinh viên tóc màu xanh, 3 sinh viên tóc “tắc kè bông”

Chọn ngẫu nhiên 1 sinh viên trong lớp

A= bc sv này có tóc màu vàng

(Chỉ cần có 1 cọng tóc màu vàng là A xảy ra)

B= bc sv này có tóc màu xanh

C= bc sv này có tóc “tắc kè bông”

C= A.B ?

4) TÍCH

Vd5:

Chọn NN 1 lá bài từ bộ bài tây 52 lá

Đặt A= bc có được lá già

B= bc có được lá cơC= bc có được lá già cơ

C=A.B?

4)TÍCH

Tổng quát: C = A1.A2 An

C xảy ra nếu tất cả các Ai cùng xảy ra, khi thực hiệnphép thử

VD1: Có 3 người đi thi

Ai= bc người thứ i thi rớt

C= bc tất cả đều thi rớt

C = A1.A2.A3

Vd2: Kiểm tra chất lượng n sp

Đặt Ai= bc sp thứ i tốt

C= bc tất cả các sp đều tốt

C = A1.A2 An

Vậy “hiểu” dấu giữa các biến cố nghĩa là gì?

4)KẾT HỢP TỔNG VÀTÍCH

VD6: Hộp 1 có 6 bi T và 4 bi X Hộp 2 có 7 bi T và 3 bi X

Lấy NN từ hộp 1 ra 2 bi và lấy NN từ hộp 2 ra 1 bi

A= bc lấy được 2 bi T từ hộp 1

B= bc lấy được 1 bi T từ hộp 2

C= bc lấy được 3 bi T (trong 3 bi lấy ra)

D= bc lấy được 1T 1X từ hộp 1

E= bc lấy được 2T 1X (trong 3 bi lấy ra)

F= bc lấy được 1X từ hộp 2

Tung 1 con xúc xắc

đặt A= bc được mặt có số nút chẳn

B= bc được mặt có số nút là 2

C= bc được mặt có số nút lẻ

D= bc được mặt có số nút 1, 3

Xác định A.B? A.C?

A,B xung khắc? A,C xk? A,D xk?

Đặt T= bc được viên phấn T.

Đ= bc được viên phấn Đ

A= bc lấy được 1 viên phấnT,Đ xung khắc? T,A xk?

5)XUNG KHẮC

VD3:

Xét 1 gia đình văn hóa có 2 con.

(Một người chỉ có thể là trai hoặc là gái, không xét hifi)

A= bc gia đình có 0 con trai

B= bc gia đình có 1 con trai

C= bc gia đình có 2 con trai

A,B xk? A,C xk? B,C xk? 34

35

5)XUNG KHẮC

Ví dụ 4:

Hộp phấn có: 9 viên phấn trắng, 2 viên phấn đỏ

Lấy NN 2 viên phấn ra xem màu

Đặt A= bc được 1 viên phấn T

B= bc được 1 viên phấn Đ

C= bc được 2 viên phấn TD= bc lấy được viên phấn T

5)Xung khắc

VD5: Lớp có 50 sv, trong đó có 7 sv tóc highlight 7 màu(đỏ, xanh, vàng, lục, lam, chàm, đen), 15 sv tóc highlightmàu vàng, các sv còn lại tóc màu đen

Chọn NN 1 sv trong lớp

A= bc sv này có tóc màu đen (chỉ cần có 1 cọng tóc đen)

B= bc sv này có tóc màu vàng

A, B xung khắc?

VD6: giả thiết giống VD5 Lấy NN 2 sinh viên

A= bc 2 sv này có tóc màu đen

B= bc 2 sv này có tóc màu vàng

A, B xung khắc?

5)Xung khắc

VD8: Bộ bài tây có 52 lá Lấy ngẫu nhiên ra 1 lá

A= bc lấy được lá áchB= bc lấy được lá cơ

A, B xung khắc?

VD9: Bộ bài tây có 52 lá Lấy ngẫu nhiên ra 2 lá

A= bc lấy được 2 lá áchB= bc lấy được 2 lá cơ

A, B xung khắc?

5) XUNG KHẮC

VD10: Lớp có 7 sv nam và 5 sv nữ Chọn NN từ lớp ra

2 sv, rồi lại chọn NN tiếp 2 sv nữa (từ 10 sv còn lại)

A= bc chọn được 2 sv nam lần 1

B= bc chọn được 2 sv nam lần 2

A, B có xung khắc?

VD11: Lớp có 3 sv nam và 5 sv nữ Chọn NN từ lớp ra

2 sv, rồi lại chọn NN tiếp 2 sv nữa (từ 6 sv còn lại)

A= bc chọn được 2 sv nam lần 1

B= bc chọn được 2 sv nam lần 2

5) XUNG KHẮC

VD12:

Lớp 1 có 7 sv nam và 5 sv nữ, chọn NN từ lớp 1 ra 2

sv Lớp 2 có 4 sv nam và 6 sv nữ, chọn NN từ lớp 2

ra 2 sv

A= bc chọn được 2 nam từ lớp 1

B= bc chọn được 1 nam 1 nữ từ lớp 2

A, B có xung khắc?

6)ĐỐI LẬP:

 A, B gọi là đối lập nếu A và B không đồng thời xảy ra, và 1 trong 2 bc A hoặc B phải xảy ra, khi thực hiện phép thử Ký hiệu:

biến cố đối lập của A ký hiệu là A hay A*

 Với 2 bc A,B ta có 4 trường hợp xảy ra:

A xr, Bxr

A xr, Bkxr

A kxr, Bxr

A kxr, Bkxr Vậy trường hợp nào ứng với đối lập?

6)ĐỐI LẬP

Nhận xét sau đúng hay sai?

A, A* đối lập  A+A* = 

và A.A* = 



Nhận xét sau đúng hay sai?

6)ĐỐI LẬP

Vd1:

Tung 1 con xúc xắc

A= bc xuất hiện mặt có số nút chẳnB= bc xuất hiện mặt có số nút lẻC= bc xuất hiện mặt có số nút là : 2 hoặc 4D= bc xuất hiện mặt có số nút là : 1, 3, 5, 6E= bc xuất hiện mặt có số nút là : 1, 2, 4

A,B đối lập? B,C đối lập?

C,D đối lập? D,E đối lập?

43

6)ĐỐI LẬP

VD2: Xét phụ nữ sinh con (Không xét con hifi)

A= bc sinh con trai

B= bc sinh con gái

A, B đối lập?

VD3: Xét một sinh viên đi thi môn XSTK

(Thi đạt nếu điểm từ 5-10, thi rớt nếu điểm từ 0-4)

A= bc sinh viên thi đậu

B= bc sinh viên thi rớt

C= bc sinh viên có điểm thi từ 0-3

A, B đối lập?

6)ĐỐI LẬP

Ví dụ 4:

Hộp phấn có: 9 viên phấn trắng, 2 viên phấn đỏ Lấy

NN 1 viên phấn ra xem màu

Đặt T= bc được viên phấn T

Đ= bc được viên phấn Đ

A= bc lấy được 1 viên phấnT,Đ đối lập? T,A đối lập?

6)ĐỐI LẬP

Ví dụ 5:

Hộp phấn có: 9 viên phấn trắng, 2 viên phấn đỏ Lấy

NN 2 viên phấn ra xem màu

Đặt B= bc được 2 viên phấn T

C= bc được 2 viên phấn Đ

A= bc lấy được nhiều nhất 1 viên phấn ĐD= bc lấy được viên phấn T

6)ĐỐI LẬP

Ví dụ 6:

Hộp phấn có: 10 viên phấn trắng, 9 viên phấn đỏ Lấy

NN 9 viên phấn ra xem màu

Đặt A= bc được ít nhất 1 viên phấn T

B= bc được 9 viên phấn Đ

C= bc lấy được ít nhất 2 viên phấn TD= bc lấy được ít nhất 8 viên phấn ĐE= bc lấy được nhiều nhất 2 viên phấn TF= bc lấy được nhiều nhất 6 viên phấn ĐA,B đối lập? C,D đối lập? E,F đối lập?

BIỂU ĐỒ VENN MINH HỌA CÁC LOẠI QUAN HỆ

47

Biến cố C gọi là hiệu của biến cố A với biến cố B, kýhiệu là C= A\B hay C= A-B

Biến cố C xảy ra nếu bc A xảy ra nhưng biến cố Bkhông xảy ra

 Xem mỗi biến cố là 1 tập hợp thì bc C= A\B là phầnhình tô màu, tức là những gì thuộc tập A nhưng khôngthuộc tập B



48

6BIS) BIẾN CỐ HIỆU

A = (A\B)+A.B , với (A\B) và A.B xung khắc nhau

Biến cố B dùng tách (phân hoạch) bc A ra thành tổngcủa 2 bc xung khắc nhau

c) A.B = {3, 5} , A\B= {1, 4}  A = (A\B)+A.B

d) A.B = {3, 5, 6} , A\B= {1}  A = (A\B)+A.B

B = (B\A)+A.B , với (B\A) và A.B xung khắc nhau 50

6BIS) BIẾN CỐ HIỆU

6BIS) BIẾN CỐ HIỆU

VD2: Có 2 người đi thi

A= bc người thứ nhất thi đậu

B= bc người thứ hai thi đậu

A\B= A.B* = bc chỉ có người thứ nhất thi đậu

B\A= B.A* = bc chỉ có người thứ hai thi đậu

AB*+A*B = bc chỉ có 1 người thi đậu

VD3:

A= chàng yêu nàng

B= nàng yêu chàng

A\B = anh yêu em mà em chẳng yêu anh (oa oa oa!)

A.B = chúng mình cùng yêu nhau đi nào (là lá la!) 52

7)NHÓM BIẾN CỐ XUNG KHẮC TỪNG ĐÔI:

Nhóm biến cố A, B, C xung khắc từng đôi nếu A,Bxung khắc; A,C xung khắc; B,C xung khắc

Nhóm (họ) n biến cố A1,A2, ,An gọi là xung khắctừng đôi nếu hai biến cố bất kỳ trong nhóm là xungkhắc nhau (nghĩa là Ai.Aj = , với mọi ij)

54

7)NHÓM BIẾN CỐ XUNG KHẮC TỪNG ĐÔI:

VD1:

Tung 1 con xúc xắc

Đặt A= bc con xx xh mặt có số nút là 1,2B= bc con xx xh mặt có số nút là 4,6C= bc con xx xh mặt có số nút là 5D= bc con xx xh mặt có số nút là lẻA,B,C xktđ? A,B,D xktđ?

T,Đ,X xktđ?

56

7)XKTĐ

Vd3:

Hộp phấn có: 9 viên phấn trắng, 2 viên phấn đỏ Lấy

NN 2 viên phấn ra xem màu

A= bc được 2 viên phấn TB= bc được 2 viên phấn ĐC= bc được 1 viên phấn T

A,B,C xktđ?

T= bc chọn được mặt có sơn T

(Chỉ cần mặt có dính tí xíu sơn trắng là T xảy ra)X= bc chọn được mặt có sơn X

V= bc chọn được mặt có sơn V

C= bc lấy được nhiều nhất 1 bi T

D= bc lấy được nhiều nhất 2 bi T

E= bc lấy được nhiều nhất 3 bi T

T,Đ,X là nhóm bc đđ (và xktđ)?

63

9)NHÓM BC ĐĐ (VÀ XKTĐ)

Vd3:

Hộp phấn có: 5 viên phấn trắng, 3 viên phấn Xanh

Lấy NN 2 viên phấn ra xem màu

A= bc được 2 viên phấn TB= bc được 2 viên phấn XC= bc được 1 viên phấn X

A,B,C là nhóm bc đđ (và xktđ)?

64

10)BIẾN CỐ SƠ CẤP:

Biến cố sơ cấp là biến cố không thể phân chia thànhtổng các biến cố khác Biến cố sơ cấp là kết cục đơngiản nhất có thể có của phép thử

Tập hợp các bc sơ cấp tạo thành không gian các bc sơcấp, hay không gian mẫu Ký hiệu 

Bcsc còn được gọi là kết cục tối giản

Biến cố sơ cấp đồng khả năng: Các biến cố sơ cấpgọi là đồng khả năng xảy ra nếu khả năng xảy ra củacác biến cố là như nhau, khi thực hiện phép thử

10) BIẾN CỐ SƠ CẤP

Vd1:

Tung 1 con xúc xắc, xét xem mặt nào xuất hiện

Ai= bc con xúc xắc xuất hiện mặt có số nút là i, i=1,…,6

B= bc con xúc xắc xuất hiện mặt có số nút chẳn

Ta có: Ai, i=1,6 là các bc sơ cấp (đồng khả năng)

B không là bcsc (đkn) vì: B= A2+A4+A6

= {A1, A2, , A6} : kg mẫu

Lưu ý:

10) BIẾN CỐ SƠ CẤP

Chú ý Vd1:

Tung 1 con xúc xắc, xét xem mặt nào xuất hiện

B= bc con xúc xắc xh mặt có số nút chẳn

A= bc con xúc xắc xh mặt có số nút lẻ

Ai= bc con xúc xắc xuất hiện mặt có số nút là i, i=1,…,6

Ta có A+B = 

Nếu ta “cố xem” A, B là 2 bc “sơ cấp” đồng khả năngthì ta chỉ tính được xác suất của A, B mà thôi; takhôngthể tính được xác suấtcủa các Ai

 Điều này cực kỳ nguy hiểm!!!

67

10)BC SƠ CẤP

Vd2:

Xét gia đình có 2 con

1) Hãy xác định các bc sơ cấp (đồng khả năng) và kgmẫu?

2) Đặt:

A= bc gia đình có 0 TraiB= bc gia đình có 1 TraiC= bc gia đình có 2 Trai

10)BC SƠ CẤP

Giải vd2:

1) = {TT, TG, GT, GG}

2) Ta chỉ có thể “cố xem” A, B, C là các bc “sơ cấp”

không đồng khả năng

Để tính xác suất theo định nghĩa cổ điển thì ta chỉquan tâm các bc sơ cấpđồng khả năng

Vd3:

Tung 1 đồng xu sấp ngữa (cân đối, đồng chất) 2 lần

Hãy xác định các bc sơ cấp (đkn) và kg mẫu?

10)BC SƠ CẤP

Giải VD3:

= {SS, SN, NS, NN}

BT1: Tung 1 đồng xu sấp ngữa 3 lần

Hãy xác định các bcsc (đkn) và kg mẫu

BT2: Tung 1 con xúc xắc và 1 đồng xu sấp ngữa

Hãy xác định các bcsc (đkn) và kg mẫu

BT3: Tung 1 con xúc xắc 2 lần

Hãy xác định các bcsc (đkn) và kg mẫu

Đánh số các bi

THEO BẠN, CÁC ĐIỀU SAU ĐÚNG HAY SAI?

BT5:

Hộp có 3 bi T và 2 bi X Lấy ngẫu nhiên từ hộp

ra 1 bi.

Đặt:

T: biến cố lấy được bi T

X: biến cố lấy được bi X

T, X là 2 biến cố sơ cấp vì T+X = 

T, X là 2 biến cố sơ cấp đồng khả năng xảy ra

72

Và A+B = {1,3,4,6}  (A+B)* = {2,5}

Ta thấy: (A+B)* = A*.B* 74

75

III)TÍNH CHẤT

Vd1: Kiểm tra chất lượng 4 sản phẩm

Đặt Ak= bc sp thứ k tốt Biểu diễn các bc sau theo Ak:

A= bc cả 4 sp đều tốtB= bc có 3 sp tốt , C= bc có ít nhất 1 sp xấuD= bc có ít nhất 1 sp tốt , E= bc có tối đa 1 sp xấu

Giải: A= A1.A2.A3.A4

B= A1*.A2.A3.A4+ A1.A2*.A3.A4+A1.A2.A3*.A4+ A1.A2.A3.A4*

C= A1*+A2*+A3*+A4* , C= A*

D= A1+A2+A3+A4 , D*= A1*.A2*.A3*.A4*

Tính chất:

VD2: Có 2 sinh viên đi thi

A= bc sv 1 thi đậu , B= bc sv 2 thi đậuHãy diễn tả các biến cố sau theo A, B :

1) Cả hai sv đều thi đậu

2) Không có ai thi đậu

3) Có ít nhất một người thi đậu

4) Chỉ có sv 1 thi đậu

5) Sinh viên 1 thi đậu

6) Chỉ có một sv thi đậu

7) Có nhiều nhất một người thi đậu

8) Có sv thi đậu

9) Hai sv có cùng kết quả thi

7) A*B*+(A*B+AB*) = (AB)* = A*+B*

(có ít nhất 1 người thi rớt)

8) (AB*+A*B)+AB = A+B (tại sao?)

9) AB+A*B*

78

Bài tập 1:

Có 3 sv đi thi A, B, C lần lượt là bc sv 1, 2, 3 thi đậu

Hãy diễn tả các bc sau theo A, B, C :

1) Cả 3 đều thi đậu

2) Không có ai thi đậu

3) Có 2 người thi đậu

4) Có 1 người thi đậu

5) Có ít nhất 1 người thi đậu

6) Có nhiều nhất 1 người thi đậu

7) Có nhiều nhất 1 người thi rớt

8) Có nhiều nhất 2 người thi rớt

9) Chỉ có sv 1 thi đậu

10) Chỉ có sv 1 thi rớt

11) SV 1 thi đậu

79

BT2:

Hộp có 3 bi T, 2 bi X Lấy lần lượt 2 bi từ hộp

Ti= bc lấy được bi T ở lần lấy thứ i, i=1,2

Biểu diễn các biến cố sau theo các Ti (xét cho 2 bi lấyra):

1) Lấy được 0 bi T

2) Lấy được 1 bi T

3) Lấy được 2 bi T

4) Lấy được ít nhất 1 bi T

5) Lấy được 2 bi cùng màu

6) Lấy được nhiều nhất 1 bi T

BT3:

Hộp 1 có: 2 bi T, 3 bi X Hộp 2 có: 2 bi T, 2 bi X Lấy 1

bi từ hộp 1 bỏ sang hộp 2, rồi sau đó lấy ngẫu nhiên 2 bitừ hộp 2 ra

A= bc lấy được bi T từ hộp 1

Bi= bc lấy được i bi T từ hộp 2, i=0,2

Biểu diễn các biến cố sau theo A, Bi (xét cho 3 bi lấyra):

BT4: Hộp 1 có: 3 bi T, 2 bi X Hộp 2 có: 3 bi T, 3 bi X

Lấy ngẫu nhiên từ mỗi hộp ra 2 bi

Ai= bc lấy được i bi T từ hộp 1, i=0,2

Bi= bc lấy được i bi T từ hộp 2, i=0,2

Hãy diễn tả các bc sau theo Ai, Bi (xét cho 4 bi lấy ra):

6) Lấy được ít nhất 1 bi T

7) Lấy được nhiều nhất 2 bi T

8) Lấy được 3 bi cùng màu9) Lấy được 4 bi cùng màu

Nếu nàng không học XS thì sẽ nói: “anh có hứa yêu

em không” (lúc đó chàng mừng thầm trong bụng!)

Nếu nàng đã học XS thì sẽ nói: “anh có hứa chỉ yêumột mình em không” (lúc đó chàng ôm bụng khócthầm!)

86

IV/ ĐỊNH NGHĨA XÁC SUẤT:

1) Khái niệm: Xác suất của 1 biến cố là 1 con sốđặc trưng cho khả năng xảy ra của biến cố đókhi thực hiện phép thử

2) Đn cổ điển: Thực hiện 1 phép thử NN Giả sửcó n bc sơ cấp xảy ra

Các bcsc này gọi là đồng khả năng xảy ra nếucác bcsc này có khả năng xảy ra như nhau, khithực hiện phép thử (không có bcsc nào ưu tiênhay xảy ra hơn bcsc nào)

Bcsc mà khi nó xảy ra kéo theo bc A xảy ra gọilà bcsc thuận lợi cho bc A

Vd1: Tung 1 con xúc xắc, xét xem mặt nào xuất hiện

 Ai= bc xh mặt có số nút iB= bc xh mặt có số nút chẵnC= bc xh mặt có số nút là: 2 hoặc 3D= bc xh mặt có số nút là: 1,4,5,6E= bc xh mặt có số nút là: 4,5,6

Ta có: Ai là bcsc, = {A1, A2, A3, A4, A5, A6}

P(Ai)= 1/6

P(B)= 3/6= 1/2 , P(C)= 2/6= 1/3 ,P(D)= 4/6= 2/3 , P(E)= 3/6= 1/2

2)ĐNCĐ (NHẬN XÉT VD1)

C,E xung khắc P(C+E)= 5/6C+E= bc xh mặt có số nút là: 2,3,4,5,6Vậy 5/6 = P(C+E) = P(C)+P(E) = 2/6+3/6

C,D đối lập: P(C)+P(D)= 2/6+ 4/6 = 1Vậy P(D) = 1- P(C) hay P(C*)= 1-P(C)

B,C không xung khắcB.C= bc xh mặt có số nút là 2 , P(B.C)= 1/6B+C= bc xh mặt có số nút là: 2,3,4,6

P(B+C)= 4/6Vậy P(B+C)= P(B)+P(C)-P(B.C)4/6 = 3/6 + 2/6 – 1/6

Vậy P(A)= |A| / || = C(2,10) / C(2,14)= 45/91

b) B= bc lấy được 1 bi T, 1 bi XTrong C(2,14) cách lấy trên, ta thấy có C(1,10)*C(1,4)cách lấy được 1 bi T, 1 bi X

|B|= C(1,10)*C(1,4)Vậy P(B)= |B| / || = C(1,10)*C(1,4) / C(2,14)

= 10*4 / 91 = 40/91

2)ĐNCĐ (GIẢI VD2 -TIẾP)

c) C= bc lấy được 2 bi XP(C) = C(2,4) / C(2,14) = 6/91

d) D= bc lấy được 3 bi TP(D)= 0 / C(2,14) = 0

94

2)ĐNCĐ

Nhận xét:

Để tính xs của bc A ta thực hiện 2 bước sau:

b1) Từ giả thiết bài toán (việc thực hiện phép thử) tatính số bcsc đkn xảy ra  ||

b2) Trong các bcsc đkn xảy ra, ta tính số bcsc thuậnlợi cho bc A  |A|

Xác suất của bc A là: P(A)= |A| / ||

1) Tính xác suất lấy được 2 bi T?

2) Đáp số có giống VD3 không? 95

ÍCH LỢI CỦA CÔNG THỨCP(A)= 1-P(A*)

VD4: Hộp có 10 bi T và 8 bi X Lấy ngẫu nhiên ra 7 bi

a) Tính xác suất lấy được ít nhất 1 bi T?

b) Tính xác suất lấy được nhiều nhất 6 bi T?

BT2: Theo bạn lập luận sau đúng hay sai, tại sao?

Xét một gia đình có 2 con

Ta có 3 trường hợp:

A= gia đình có 0 con trai (2 con gái)B= gia đình có 1 con trai

C= gia đình 2 con trai

Ta có 3 trường hợp xảy ra nên :P(A)= P(B)= P(C)= 1/3

98

BT3: Theo bạn lập luận sau đúng hay sai, tại sao?

Hộp có 3 bi T, 2 bi X Lấy ngẫu nhiên từ hộp ra 2 bixem màu

Ta có 3 trường hợp xảy ra:

A= lấy được 0 bi T (2 bi X)B= lấy được 1 bi T (1 bi X)C= lấy được 2 bi T

Ta có 3 trường hợp xảy ra nên:

P(A)= P(B)= P(C)= 1/3

99

BT4: Theo bạn lập luận sau đúng hay sai, tại sao?

Hộp có 3 bi T, 2 bi X Lấy ngẫu nhiên từ hộp ra 1 bixem màu

Ta có 2 trường hợp xảy ra:

A= lấy được bi TB= lấy được bi X

Ta có 2 trường hợp xảy ra nên:

Ví dụ 2: Xét trò chơi: tung đồng xu sấp ngữa ở các nơicờ gian bạc lận Đồng xu không cân đối và đồng chất,hoặc khi tung có để thanh nam châm kế bên! Ta khôngthể nói khả năng được mặt sấp và mặt ngữa là bằngnhau, và bằng ½  Phép thử (tung 1 đồng xu, xem sấphay ngữa) có các kết cục không đồng khả năng xảy ra

VD 3: Một con xúc xắc có 6 mặt, từ mặt 1 đến mặt 4 cósố nút lần lượt từ 1 đến 4 Còn mặt 5 và mặt 6 cùng cósố nút là 5 Tung con xúc xắc

Ai = bc con xúc xắc xuất hiện mặt có số nút là i, i=1,5

Các Ai có đồng khả năng xảy ra?

103

3)ĐNTK

Vd4:

Xét những người đến siêu thị trong 1 ngày nào đó

A= bc có 500 người nữ đến siêu thị trong ngày

Ta có xác định được |A|, ||?

lim fn(A)= p , khi n  

Đn: p gọi là xs của bc A theo thống kê: P(A)= p

Trong thực tế ta hay dùng fn(A) như là xs của bc A khi

n lớn

3)ĐNTK

Vd1: Để xác định xác suất 1 cặp vợ chồng sau khicưới nhau thì sẽ ly dị thực tế là bao nhiêu Người tađiều tra thời gian vừa qua thấy có trong 10000 cặpcưới nhau, có 500 cặp ly dị Vậy có thể xem xác suấtđể 1 cặp sau khi cưới nhau sẽ ly dị là:

500 / 10000 = 0,05 (!)

Nếu điều tra 1000000 và có 51000 cặp ly dị thì xácsuất để 1 cặp sau khi cưới nhau sẽ ly dị là:

51000 / 1000000 = 0,051 (!)

Vậy ta nên chọn con số nào trong 2 con số 0,05 và

Lưu ý: tuy nhiên trong bài tập xác suất người ta vẫnthường giả định xác suất sinh con trai trong 1 lần sinhlà 0,5 (người ta đơn giản cho rằng người phụ nữ khi sinhchỉ có 2 trường hợp: có hoặc không có con trai, màkhông xét đến các yếu tố ảnh hưởng khác Hay vì lý donào đó mà ctmb!)

Xác suất tính theo thống kê thay đổi theothời gian, không gian

107

3)ĐNTK:

Tuy nhiên định nghĩa thống kê vẫn có 1 số hạn chế:

• * Chỉ áp dụng được cho các phép thử NN có thể lặplại nhiều lần 1 cách độc lập trong cách điều kiệngiống hệt nhau

• * Để cho kết quả chính xác thì số lần thực hiện phépthử n phải đủ lớn Điều này trong thực tế không phảilúc nào cũng làm được

108

3)ĐNTK (HẠN CHẾ-TIẾP)

Vd: Khi nghiên cứu 1 con gà đẻ trứng thì ta có thểnghiên cứu n lần được Nhưng khi “nghiên cứu” 1người phụ nữ sinh con thì ta không thể nghiên cứu nlần được (không thể yêu cầu người ta hãy sinh n lầncho tôi để tôi nghiên cứu!!!)