TopTaiLieu com slide bai giang mon xac suat thong ke cua truong dai hoc bach khoa TP ho chi minh

Định nghĩa cổ điển về xác suất • Định nghĩa 2.1: giả sử trong mỗi phép thử các kết cục là đồng khả năng và có tất cả n kết cục như vậy.. Định nghĩa hình học về xác suất: Định nghĩa 2

CHƯƠNG 0: BỔ TÚC

$1.Giải tích tổ hợp.

1.Quy tắc cộng và quy tắc nhân:

• Ví dụ1: Có 6 quyển sách toán, 5 quyển lý, 4 quyển hóa có bao nhiêu cách để chọn:

a.Trường hợp chọn toán có 6 cách

lý có 5 cáchhóa có 4 cáchSuy ra: có 6+5+4 cách

Ghi nhớ: các trường hợp thì cộng ; các giai đoạn thì nhân

( )!

k n

3 10

• Ví dụ 3: Có bao nhiêu cách để chọn một đội tuyển gồm 3 học sinh từ 10 học sinh giỏi của một trường để đi thi cấp quận.

C

10 10

A 

• Ví dụ 5: Có bao nhiêu cách để sắp 10 người trong đó có A, B,

C, D ngồi vào một bàn ngang sao cho:

m k

11

k k

1

(1 )

k k

.

(1 )

k k

1

(1 )

k k

x a a

22

Ví dụ 6: Tính

2 5 2

• -hàm mật độ Gauss(hàm chẵn)

- tích phân Laplace (hàm lẻ)

tra xuôi: ( tra ở hàng 1,9;cột 6 bảng tích phân Laplace)

tra ngược: hàng 1,0; cột 4,5

2

2

1 ( )

1 2 0.5, 5

• Hình 3.1 Hình 3.2

CHƯƠNG I ĐẠI CƯƠNG VỀ XÁC SUẤT

§1:Biến cố và quan hệ của giữa các biến cố

1.Phép thử và biến cố.

2.Phân loại biến cố : gồm 3 loại

- Biến cố chắc chắn:

- Biến cố không thể có hay không thể xảy ra:

- Biến cố ngẫu nhiên: A, B, C…

3 So sánh các biến cố.

Định nghĩa 1.1: (A nằm trong B hay A kéo theo B) nếu

A xảy ra thì B xảy ra.Vậy

Định nghĩa 1.2: A được gọi là biến cố sơ cấp

4 Các phép toán trên biến cố.

xảy ra khi và chỉ khi A xảy ra và B xảy ra xảy ra khi và chỉ khi A xảy ra hoặc B xảy ra.

xảy ra khi và chỉ khi A xảy ra và B không xảy ra

xảy ra khi và chỉ khi A không xảy ra

• Hình 1.1 Hình 1.2

• Các phép toán của biến cố có tính chất giống các phép toán

của tập hợp, trong đó có các tính chất đối ngẫu:

Ngôn ngữ biểu diễn: tổng = có ít nhất một ;tích = tất cả đều.

§2: Các định nghĩa xác suất

• 1 Định nghĩa cổ điển về xác suất

• Định nghĩa 2.1: giả sử trong mỗi phép thử các kết cục là đồng khả năng và có tất cả n kết cục như vậy Kí hiệu m là số các kết cục thuận lợi cho biến cố A Khi ấy xác suất của

biến cố A là:

• Ví dụ 2.1: Trong 1 hộp có 6 bi trắng, 4 bi đen.Lấy ngẫu nhiên

ra 5 bi Tính xác suất để lấy được đúng 3 bi trắng

• Giải ( phân phối siêu bội)

.

C C C

 

Chú ý: lấy 1 lúc 5 bi giống lấy lần lượt 5 bi không hoàn lại

• Ví dụ 2.2: Có 10 người lên ngẫu nhiên 5 toa tàu Tính xác suất

để toa thứ nhất không có người lên:

2 Định nghĩa hình học về xác suất:

Định nghĩa 2.2: giả sử trong mỗi phép thử các kết cục là đồng

khả năng và được biểu diễn bằng các điểm hình học trên miền

Kí hiệu D là miền biểu diễn các kết cục thuận lợi cho biến cố

A Khi ấy xác suất của biến cố A là:

P(A)= độ đo D/độ đo (độ đo là độ dài,diện tích hoặc thể tích)

10 10

45

 





• Ví dụ 2.3: Chia đoạn AB cố định ngẫu nhiên thành 3 đoạn

Tính xác suất để 3 đoạn đó lập thành 3 cạnh của 1 tam giác

• Giải: Gọi độ dài đoạn thứ 1,2 là x,y.Khi ấy đoạn thứ 3 là l-x-y

HÌNH 2.1

• Ví dụ 2.4: Ném lên mặt phẳng có kẻ những đường thẳng song

song cách nhau 1 khoảng là 2a một cây kim có độ dài 2t<2a.Tính xác suất để cây kim cắt 1 trong các đường thẳng song song

Giải: Gọi I là điểm giữa cây kim khi quay kim,IH là khoảng cách

từ I tới đường thẳng gần nhất; là góc nghiêng.Khi ấy ta có:

diện tích D =



0

0

HÌNH 2.2

HÌNH 2.3

3 Định nghĩa xác suất theo tiên đề

• Định nghĩa 2.3: Ký hiệu là tập hợp các biến cố trong 1phép thử Ta gọi xác suất là 1 quy tắc đặt mỗi biến cố A với 1

số P(A) thỏa mãn các tiên đề:

§3: Các định lý xác suất

1: Định lý cộng xác suất

Định lý 3.1 P(A+B) = P(A) + P(B) – P(AB)

Ví dụ 3.1: Có k người lên ngẫu nhiên n toa tàu (k<n).Tính xác

suất để tất cả các toa đều có người lên

Bài giải

• A - tất cả các toa đều có người lên

• - có ít nhất 1 toa không có người lên

• Ai - toa thứ i không có người lên, i =1, 2,…n



1

n i i

C n

Ví dụ 3.2: Có n bức thư bỏ ngẫu nhiên vào n phong bì có đề sẵn

địa chỉ Tính xác suất để có ít nhất 1 bức thư đúng địa chỉ

2 Định lý nhân xác suất

• Định nghĩa 3.2: Xác suất của biến cố B khi biết rằng biến cố A

đã xảy ra được gọi là xác suất của B với điều kiện A và kí hiệu

là P(B/A)

• Chú ý: biến cố A có thể xảy ra trước, đồng thời hoặc sau B

• Ngôn ngữ biểu diễn: P(B/A) = xác suất B biết (nếu)A hoặc Cho A… tính xác suất B

HÌNH 3.1

• Định nghĩa 3.3: Hai biến cố A,B được gọi là độc lập với nhau nếu xác suất của biến cố này không thuộc vào việc biến có kia

đã xảy ra hay chưa trong 1 phép thử

• Định nghĩa 3.4: Một hệ các biến cố được gọi là độc lập toàn

phần nếu mỗi biến cố của hệ độc lập với 1 tổ hợp bất kỳ của các biến cố còn lại

• Định lý 3.3: A, B độc lập khi và chỉ khi P(AB)=P(A).P(B)

• Giả sử là độc lập toàn phần Khi ấy ta có:i ,i  1,n

     

      

Chú ý: Trong trường hợp độc lập không nên dùng công thức

cộng xác suất mà nên dùng công thức nhân xác suất.

• Ví dụ 3.3: 1 mạng gồm n chi tiết mắc nối tiếp.Xác suất hỏng

của chi tiết thứ i là Tính xác suất để mạng hỏng

• Giải: - biến cố chi tiết thứ i hỏng

6 5 6 15 6

C C

3 Công thức xác suất đầy đủ và công thức Bayes:

• Định nghĩa 3.5: Hệ được gọi là hệ đầy đủ, nếu

trong mỗi phép thử nhất định 1 và chỉ 1 trong các biến cố Hi

Ví dụ 3.5: Có 2 hộp bi cùng cỡ, hộp 1 chứa 4 bi trắng và 6 bi xanh, hộp 2 chứa 5 bi trắng và 7 bi xanh.Lấy ngẫu nhiên 1 hộp, từ hộp đó lấy ngẫu nhiên 1bi thì được bi trắng Tìm xác suất để viên bi tiếp theo, cũng lấy từ hộp trên ra là bi trắng Giải: Hộp 1: 4t + 6x Lấy ngẫu nhiên 1 hộp:H1lấy được hộp 1

Hộp 2: 5t + 7x H2 lấy được hộp 2

A- biến cố lấy được bi trắng ở lần 1

B- biến cố lấy được bi trắng ở lần 2

    H1 H2 1 / 2

   

//

Chú ý

• Nếu sau lần 1 đã lấy được bi trắng ta trả bi vào hộp rồi mới lấy tiếp lần 2 thì lời giải thay đổi như sau:

• P(B)=P(A), trong cả 2 bài toán

• Giả sử lần 1 đã lấy được bi trắng tính xác suất để bi đó lấy

4 Công thức Bernoulli

• Định lý 3.5: Giả sử trong mỗi phép thử 1 biến cố A có thể xuất hiện với xác suất p (khi A xuất hiện ta quy ước là thành công) Thực hiện n phép thử giống nhau như vậy Khi ấy xác suất để

có đúng k lần thành công là (từ nay trở đi ta ký hiệu p=1-q):

(Phân phối nhị thức)Định nghĩa 3.6: Kí hiệu k0 là số sao cho:

Khi ấy k0 được gọi là số lần thành công có nhiều khả năng xuất hiện nhất(tức là ứng với xác suất lớn nhất)

 n k p , ,  C p qn k. k. n k , k 0,1, , n

n k p, 0  Max n k p, , , 0 k n

Định lý 3.6: hoặc

• Chú ý:

• Ví dụ 3.6: Tung cùng lúc 20 con xúc xắc

1 Tính xác suất để có đúng 4 mặt lục xuất hiện

2 Tính số mặt lục có nhiều khả năng xuất hiện nhất

Ví dụ 3.7:Trong 1 hộp có N bi trong đó có M bi trắng còn lại là

đen Lấy ngẫu nhiên lần lượt từng bi có hoàn lại ra n bi Khi ấy xác suất để lấy được đúng k bi trắng được tính bằng CT

Bernoulli với p = M/N

• Chú ý: Lấy bi : + Không hoàn lại là siêu bội

+ Hoàn lại là nhị thức.

Ví dụ 3.8: Có 1 tin tức điện báo tạo thành từ các tín hiệu(.)và (-)

Qua thống kê cho biết là do tạp âm, bình quân 2/5 tín hiệu(.)

và 1/3 tín hiệu(-) bị méo Biết rằng tỉ số các tín hiệu chấm và vạch trong tin truyền đi là 5:3 Tính xác suất sao cho nhận

đúng tín hiệu truyền đi nếu đã nhận được chấm

• Gọi A là biến cố nhận được chấm.

• H1 là biến cố truyền đi chấm

• H2 là biến cố truyền đi vạch

3 5 8 3 2

5 3

/

1 4 2

Chương 2: Đại lượng ngẫu nhiên, vectơ ngẫu nhiên

§1: Đại lượng ngẫu nhiên

• Khái niệm: Đại lượng ngẫu nhiên là đại lượng có thể ngẫu

nhiên nhân một số giá trị với xác suất tương ứng xác định

• Đại lượng ngẫu nhiên là rời rạc nếu số các giá trị của nó là hữu hạn hoặc vô hạn đếm được

• Đại lượng ngẫu nhiên là liên tục nếu tập hợp tất cả các giá trị

có thể có của nó lấp đầy ít nhất 1 khoảng trên trục số

§2: Các phương pháp mô tả đại lượng ngẫu nhiên

1 Bảng phân phối xác suất (chỉ dùng cho rời rạc)

Định nghĩa 2.1: (…) vô hạn

Chú ý:

• Ví dụ 2.1: 1 người bắn lần lượt từng viên đạn vào bia với xác suất trúng đích của mỗi viên là p, cho đến khi trúng thì dừng Hãy lập bảng phân phối xác suất của số đạn đã bắn ra cho đến khi dừng lại

2 1

k

k

p p

p

x x

xx

ngừng hoặc bắn hết 20 viên thì ngừng

• 2 Hàm phân phối xác suất(rời rạc và liên tục):

• Định nghĩa 2.2: hàm phân phối xác suất của đại lượng ngẫu nhiên X là:

Tính chất: 1.F(x) là hàm không giảm

2 các t/c đặc trưng3

Hệ quả 1: Nếu X là đại lượng ngẫu nhiên liên tục thì

liên tục trên toàn trục số

  x X x

F x

2

20 19

3 2

1

q pq

pq pq

p

• Hệ quả 2: Nếu X liên tục thì

• Hệ quả 3: Giả sử X rời rạc và có bảng phân phối xác suất như trên.Khi ấy

• Ví dụ 2.3:

nếu nếunếunếu

  





x x

i X

i

p x

F

X  x0 0,x0



4 , 0 5 , 0 1 , 0

7 5

1 , 0

0

x

F X

x x x x

5 2

2

Chú ý: Hàm phân phối bên trái miền giá trị của X

và bên phải miền giá trị của X

• 3.Hàm mật độ xác suất(chỉ dùng cho đại lượng ngẫu nhiên liên tục)

• Định nghĩa 2.3: Hàm mật độ xác suất của đại lượng ngẫu nhiên X liên tục là:

P a  X  b   f x dx

Chú ý: 1.Trong trường hợp liên tục sự thay đổi tại 1 điểm

2 Hãy tìm hàm phân phối

• Ví dụ 2.5: Hai cầu thủ bóng rổ lần lượt ném bóng vào rổ cho đến chừng nào 1 người ném lọt rổ thì thôi Lập dãy phân phối của số lần ném của mỗi người nếu xác suất lọt

rổ của người thứ nhất,hai là

• Giải: Gọi là xác suất ném trượt bóng của người 1,2

§3: Véc tơ ngẫu nhiên

I Vectơ ngẫu nhiên

Giả sử là các đại lượng ngẫu nhiên được xácđịnh bởi kết quả của cùng 1 phép thử Khi ấy

được gọi là một vectơ ngẫu nhiên n chiều

II Véctơ ngẫu nhiên rời rạc 2 chiều(X,Y).

1 Bảng phân phối xác suất đồng thời:

Y x

2.Bảng phân phối xác suất lề của X và Y

3.Điều kiện độc lập của X và Y

ij 1

, 1, , 1,

h

j k

p

5.Hàm phân phối xác suất đồng thời(rời rạc và liên tục)

Ví dụ 3.1: Giả sử x,y có bảng phân phối xác suất sau:

(1)Tìm bảng phân phối xác suất lề của X:

(2) Hãy kiểm tra tính độc lập của X và Y

là phụ thuộc (3)Tìm bảng phân phối của X khi Y=5:

(4)Tìm hàm phân phối:

0 2 0,3 0,7

X

X P

 

0, 0.1, , 0.1 0.2,

0.1 0.3, 1,

X Y X

III Véc tơ ngẫu nhiên liên tục 2 chiều (X,Y)

1.Hàm phân phối xác suất đồng thời F(x,y)

HINH 3.1

X Y

.Chú ý : Các hàm phân phối xác suất lề:

4.Điều kiện độc lập của X và Y

X Y

0

,( )

Ví dụ 3.2: Cho

,nếu ,nếu trái lại(1) Xác định tham số a

2 2

x y x

HÌNH 3.2

HÌNH 3.3

4.Hãy tìm hàm mật độ xác suất của X khi Y=2

Tương tự tìm hàm mật độ xác suất của Y khi X=3

nếu y<3nếu y 3

 

2 / 2

HÌNH 3.4

HÌNH 3.5

5.Hãy tìm hàm phân phối xác suất đồng thời F(x,y)

,nếu x<0 hoặc y<0

,nếu,nếu

u v u

u v u

HÌNH 3.6

HÌNH 3.7

HÌNH 3.8

Ví dụ 3.3: P(-2<X<1,-2<Y<2) =

,D1: -2<x<1 , -2<y<2

,D2:-2<Y<2.P(-2<X<1 / -2<Y<2)=

$4.Hàm của một đại lượng ngẩu nhiên

1 Trường hợp rời rạc.

Giả sử:

Ví dụ 4.1 : Cho

-2 -1 0 1 20,1 0,2 0,1 0,2 0,4Suy ra:

0 1 40,1 0,2+0,2 0,5

2 Trường hợp liên tục: Gỉa sử cho X liên tục

Bước 1 Tìm miền giá trị của

đều trên đoạn kí hiệu X~U ,nếu

nếu x<a

Chú ý : Nếu X có phân phối đều thì cũng có

phân phối đều, với là các hằng số

Ví dụ 4.3 : Cho X có phân phối đều trên đoạn [0,1] .

) ln

( )

( )

Y y P Y y P X y P X e F

$4 Hàm của hai đại lượng ngẫu nhiên

Bước 2

Bước 3

Ví dụ 4.2:

,nếu,nếu trái lại

Tìm hàm phân phối của Z=X+Y

• HÌNH 4.1 • HÌNH 4.2

Chương 3.Các đặc trưng của đại lượng ngẫu nhiên và

véctơ ngẫu nhiên.

§1 Kỳ vọng

1 Định nghĩa

Định nghĩa 1.1: Giả sử

Định nghĩa 1.2: Giả sử X là liên tục và có hàm mật độ là

Ý nghĩa:kỳ vọng E(X) là giá trị trung bình của X

2 Tính chất: (1) E(C) = C,(2) E(CX) = C.E(X) ,C là hằng số

(3) E(X+Y) = E(X) + E(Y)(4) X, Y độc lập suy ra E(XY) = E(X).E(Y)

3 Độ lệch:

§3.Các đặc trưng khác của đại lượng ngẫu nhiên

1.Mod X(giá trị của X ứng với xác suất lớn nhất)

Định nghĩa 3.1: Giả sử X rời rạc và

Định nghĩa 3.2: Giả sử X liên tục và có hàm , ta có

2 Med X(medium – trung vị X)

MedX m f x dx



k k

p q

.Ví dụ 3.3 : Cho X có bảng phân phối xác suất sau:

Cách dùng máy tính bỏ túi ES

• Mở tần số(1 lần): Shift Mode Stat On(Off)

• Nhập: Mode Stat 1-var

2 0,4

5 0,3

7 0,3

AC: báo kết thúc nhập dữ liệu

Cách đọc kết quả: Shift Stat Var

Cách dùng máy tính bỏ túi MS :Vào Mode chọn SD

Xóa dữ liệu cũ: SHIFT CLR SCL =

0 0

3 1/ 2

0 0

2 2

sin 1 sin cos

sin 1 sin cos

§6: Các đặc trưng của vectơ ngẫu nhiên

1.Kỳ vọng: E(X,Y) = (E(X),E(Y))

2 Hiệp phương sai (covarian):

Định nghĩa 6.1: cov(X,Y) = E[(X - E(X)).(Y – E(Y))]

Định lý 6.1: cov(X,Y) = E(XY) – E(X).E(Y)

Tính chất: (1) X,Y độc lập thì cov(X,Y) = 0

(2) cov(X,X) = D(X)(3) cov

3 Hệ số tương quan

Định nghĩa 6.2:

Tính chất: (1) X,Y độc lập

(2) (3)

Ý nghĩa: Hệ số đặc trưng cho sự ràng buộc tuyến tính giữa X và Y: càng gần1, thì X,Y càng gần có quan hệ tuyến tính

5 Cách dùng máy tính bỏ túi

a)Loại ES: MODE STAT a+bx

ACCách đọc kết quả:

SHIFT STAT VAR

SHIFT STAT VAR

SHIFT STAT VAR

SHIFT STAT VAR

SHIFT STAT REG

SHIFT STAT SUM

b) Loại MS: MODE REG LIN

Cách xóa dữ liệu cũ : SHIFT CLR SCL =

Chương 4: Các quy luật phân phối xác suất cơ bản

§1 Các quy luật phân phối rời rạc cơ bản

1 Phân phối đều rời rạc:

X x1 x2……xk

P 1/k 1/k…….1/k

2 Phân phối không – một A(p):

Định nghĩa 1.1: X có phân phối A(p) X 0 1

P q p Định lý 1.1: X có phân phối A(P) thì E(X) = P, D(X) = p.q

4 Phân phối siêu bội

Bài toán: Cho 1 hộp có N bi trong đó có M bi trắng còn lại

là đen Lấy ngẫu nhiên từ hộp đó ra n bi (không hoàn

lại), n không lớn hơn M và N-M Hãy lập bảng phân phối xác suất của X là số bi trắng lấy được

Ghi nhớ: lấy bi có hoàn lại: phân phối nhị thức

lấy bi không hoàn lại: phân phối siêu bội

5 Phân phối Poisson P(a),a>0:

Định nghĩa 1.4:

Định lý 1.4: X có phân phối P(a) thì E(X) = D(X) = a

Ví dụ 1.1: Giả sử X có phân phối P(8) Khi ấy:

P(X=6) = 0,122138 (cột 8, hàng 6 bảng phân phối Poisson)

(cột 8, hàng 12 bảng giá trị hàm …)

Chú ý: Nếu gọi X là số người ngẫu nhiên sử dụng 1 dịch

vụ công cộng thì X tuân theo quy luật phân phối Poisson P(a) với a là số người trung bình sử dụng dịch vụ đó

Ví dụ 1.2:

Quan sát trong 20 phút có 10 người vào trạm bưu điện

Tính xác suất trong 10 phút có 4 người vào trạm đó

Giải:

Gọi X là số người ngẫu nhiên vào trạm đó trong 10 phút thì

X có phân phối P(a), a = 5 Khi ấy:

§2: Các quy luật phân phối liên tục

1 Phân phối chuẩn

Định nghĩa 2.1:

Định lý 2.1: X có phân phối thì E(X) = a, D(X) =

Định nghĩa 2.2: Đại lượng ngẫu nhiên U có phân phối chuẩn tắc N(0,1) nếu: (hàm mật độ Gauss)

Định lý 2.3: Giả sử U có phân phối N(0,1) Khi ấy ta có:

Định lý 2.5: Giả sử Khi ấy ta có:

Ví dụ 2.1:Chiều cao X của thanh niên có phân phối chuẩn N(165, ).Một thanh niên bị coi là lùn nếu có chiều cao nhỏ hơn 160 cm.Hãy tính tỷ lệ thanh niên lùn

Ví dụ 2.2: Cho hãy tính kỳ vọng của

• Giải:

nếu m lẻ vì cận đối xứng, hàm dưới dấu tích phân là hàm lẻ

Ví dụ 2.3: Trong 1 hộp bi có 6 trắng, 5 đen, 4 vàng Lấy

ngẫu nhiên lần lượt không hoàn lại gặp vàng thì dừng

.Tính xác suất để lấy được 3 trắng, 2 đen

Giải:Lấy 1 bi cuối cùng là vàng nên:

2 Phân phối đều liên tục: (Xem SGK)

3 Phân phối mũ :(Xem SGK)

4 Phân phối khi bình phương:(Xem SGK)

5 Phân phối Student:(Xem SGK)

3 2

6 5 5 15

10

§3 Các định lý giới hạn.

1 Định lý Chebyshev (Xem SGK)

2 Định lý Bernoulli (Xem SGK)

3 Các định lý giới hạn trung tâm

Định lý 3.1(Lyapounov): Giả sử đôi một độc lập và

E X E X D