Bài giảng môn xác suất thông kê dành cho sinh viên Đại học, Cao đẳng

Bài giảng môn xác suất thông kê dành cho sinh viên Đại học, Cao đẳng là bộ tài liệu hay và rất hữu ích cho các bạn sinh viên và quý bạn đọc quan tâm. Đây là tài liệu hay trong Bộ tài liệu sưu tập gồm nhiều Bài tập THCS, THPT, luyện thi THPT Quốc gia, Giáo án, Luận văn, Khoá luận, Tiểu luận…và nhiều Giáo trình Đại học, cao đẳng của nhiều lĩnh vực: Toán, Lý, Hoá, Sinh…. Đây là nguồn tài liệu quý giá đầy đủ và rất cần thiết đối với các bạn sinh viên, học sinh, quý phụ huynh, quý đồng nghiệp và các giáo sinh tham khảo học tập. Xuất phát từ quá trình tìm tòi, trao đổi tài liệu, chúng tôi nhận thấy rằng để có được tài liệu mình cần và đủ là một điều không dễ, tốn nhiều thời gian, vì vậy, với mong muốn giúp bạn, giúp mình tôi tổng hợp và chuyển tải lên để quý vị tham khảo. Qua đây cũng gởi lời cảm ơn đến tác giả các bài viết liên quan đã tạo điều kiện cho chúng tôi có bộ sưu tập này. Trên tinh thần tôn trọng tác giả, chúng tôi vẫn giữ nguyên bản gốc. Trân trọng. ĐỊA CHỈ DANH MỤC TẠI LIỆU CẦN THAM KHẢO http:123doc.vntrangcanhan348169nguyenductrung.htm hoặc Đường dẫn: google > 123doc > Nguyễn Đức Trung > Tất cả (chọn mục Thành viên)

1

ttt

YăBANăNHỂNăDỂNăT NHăQU NGăNGẩI

BÀIăGI NG XÁCăSU TăTH NGăKểăA

T ăToánăLỦăậ KhoaăC ăB n Thángă12ăn mă2013

2

YăBANăNHỂNăDỂNăT NHăQU NGăNGẩI

BÀIăGI NG XÁCăSU TăTH NGăKểăA

T Toán LỦ ậ Khoa C B n Tháng 12 n m 2013

3

LỦ thuy t xác su t th ng kê lƠ m t b ph n c a toán h c, nghiên c u các

hi n t ng ng u nhiên vƠ ng d ng chúng vƠo th c t Ta có th hi u hi n t ng

ng u nhiên lƠ hi n t ng không th nói tr c nó x y ra hay không x y ra khi th c

hi n m t l n quan sát Tuy nhiên, n u ti n hƠnh quan sát khá nhi u l n m t hi n

t ng ng u nhiên trong các phép th nh nhau, ta có th rút ra đ c nh ng k t lu n khoa h c v hi n t ng nƠy

LỦ thuy t xác su t c ng lƠ c s đ nghiên c u Th ng kê là môn h c nghiên

c u các ph ng pháp thu th p thông tin ch n m u, x lỦ thông tin, nh m rút ra các

k t lu n ho c quy t đ nh c n thi t NgƠy nay, v i s h tr tích c c c a công ngh truy n thông m i, lỦ thuy t xác su t th ng kê ngƠy cƠng đ c ng d ng r ng rƣi vƠ

hi u qu trong m i l nh v c khoa h c t nhiên vƠ xƣ h i Chính vì v y lỦ thuy t xác

su t th ng kê đ c gi ng d y cho h u h t các nhóm ngƠnh cao đ ng vƠ đ i h c

Có nhi u sách giáo khoa vƠ tƠi li u chuyên kh o vi t v lỦ thuy t xác su t

th ng kê Tuy nhiên, v i ph ng th c đƠo t o theo tín ch có nh ng đ c thù riêng, đòi h i sinh viên ph i t h c nhi u h n, vì v y c n ph i có tƠi li u h ng d n h c

t p c a t ng môn h c thích h p cho ph ng th c đƠo t o nƠy T p tƠi li u “Bài

gi ng xác su t th ng kê A” đ c biên so n c ng nh m m c đích trên

BƠi gi ng nƠy đ c biên so n cho h cao đ ng ngƠnh s ph m Toán theo đ

c ng chi ti t h c ph n qui đ nh c a tr ng đ i h c Ph m V n ng N i dung c a bƠi gi ng bám sát các giáo trình c a d án đƠo t o giáo viên trung h c c s và theo kinh nghi m gi ng d y nhi u n m c a b n thơn Vì v y, bƠi gi ng nƠy c ng có th dùng lƠm tƠi li u h c t p, tƠi li u tham kh o cho sinh viên c a các ngành cao đ ng

s ph m, cao đ ng kh i kinh t , k thu t và các ngành c a b c đ i h c

4

Ch ngă6 c l ng tham s

Ch ngă7.ăKi m đ nh gi thi t

Ch ngă8 H i quy vƠ t ng quan

BƠi gi ng đ c trình bƠy theo cách phù h p đ i v i ng i t h c, đ c bi t

ph c v đ c l c cho công tác đƠo t o theo h c ch tín ch Tr c khi nghiên c u các

n i dung chi ti t, sinh viên nên xem ph n gi i thi u c a m i ch ng đ th y đ c

m c đích Ủ ngh a, yêu c u chính c a ch ng đó Trong m i ch ng, m i n i dung, sinh viên có th t đ c vƠ hi u đ c c n k thông qua cách di n đ t và ch d n rõ rƠng c bi t sinh viên nên chú Ủ đ n các nh n xét, bình lu n đ hi u sơu h n ho c

m r ng t ng quát h n các k t qu vƠ h ng ng d ng vƠo th c t H u h t các bƠi toán đ c xơy d ng theo l c đ : đ t bƠi toán, ch ng minh s t n t i l i gi i b ng

lỦ thuy t vƠ cu i cùng nêu thu t toán gi i quy t bƠi toán nƠy Các ví d lƠ đ minh

ho tr c ti p khái ni m, đ nh lỦ ho c các thu t toán, vì v y s giúp sinh viên d dƠng h n khi ti p thu bƠi h c Có kho ng t 10 đ n 20 bƠi t p cho m i ch ng H

th ng bƠi t p nƠy bao trùm toƠn b n i dung v a đ c h c, có nh ng bƠi t p ch v n

d ng tr c ti p các ki n th c v a đ c h c nh ng c ng có nh ng bƠi t p đòi h i sinh viên ph i v n d ng m t cách t ng h p vƠ sáng t o các ki n th c đ gi i quy t Vì

v y, qua vi c gi i các bƠi t p nƠy giúp sinh viên n m ch c h n lỦ thuy t vƠ ki m tra

đ c m c đ ti p thu lỦ thuy t c a mình Cu i m i ch ng đ u có ph n h ng d n

t h c

M c dù chúng tôi đƣ r t c g ng, song do th i gian b h n h p cùng v i yêu

c u c p bách c a khoa vƠ tr ng, vì v y các thi u sót còn t n t i trong bƠi gi ng là

đi u khó tránh kh i Chúng tôi r t mong đ c s đóng góp Ủ ki n c a b n bè đ ng

nghi p, sinh viên đ ti p t c hoƠn ch nh bƠi gi ng t t h n (M i đóng góp Ủ ki n xin

g i v đ a ch mail: tdthinh@pdu.edu.vn, chúng tôi r t c m kích vƠ bi t n)

Cu i cùng chúng tôi bƠy t s cám n đ i v i các th y cô giáo t Toán Lý, Ban ch nhi m khoa C B n tr ng đ i h c Ph m V n ng vƠ b n bè đ ng nghi p đƣ khuy n khích đ ng viên, t o nhi u đi u ki n thu n l i đ chúng tôi hoàn thƠnh t p bƠi gi ng này

ch n r ng m t v t đ c th t trên cao ch c ch n s r i xu ng đ t ó lƠ nh ng

hi n t ng di n ra có tính quy lu t, t t đ nh Trái l i khi tung đ ng xu ta không bi t

m t s p hay m t ng a s xu t hi n Ta không th bi t có bao nhiêu cu c g i đ n

t ng đƠi, có bao nhiêu khách hƠng đ n đi m ph c v trong kho ng th i gian nƠo đó

Ta không th xác đ nh tr c ch s ch ng khoán trên th tr ng ch ng khoán ó lƠ

nh ng hi n t ng ng u nhiên Tuy nhiên, n u ti n hƠnh quan sát khá nhi u l n m t hi n

t ng ng u nhiên trong nh ng hoƠn c nh nh nhau, thì trong nhi u tr ng h p ta có

th rút ra nh ng k t lu n có tính quy lu t v nh ng hi n t ng nƠy LỦ thuy t xác

su t nghiên c u các qui lu t c a các hi n t ng ng u nhiên Vi c n m b t các quy

lu t nƠy s cho phép d báo các hi n t ng ng u nhiên đó s x y ra nh th nƠo Chính vì v y các ph ng pháp c a lỦ thuy t xác su t đ c ng d ng r ng rƣi trong

vi c gi i quy t các bƠi toán thu c nhi u l nh v c khác nhau c a khoa h c t nhiên,

k thu t vƠ kinh t - xƣ h i

Ch ng nƠy ôn l i lỦ thuy t t p h p, gi i tích t h p vƠ trình bƠy m t cách có

h th ng các khái ni m vƠ các k t qu chính v lỦ thuy t xác su t:

- Ọn vƠ h th ng các ki n th c v lỦ thuy t t p h p vƠ gi i tích t h p

6

Khi n m v ng các ki n th c v đ i s t p h p nh h p, giao t p h p, t p con,

ph n bù c a m t t p con  sinh viên s d dàng trong vi c ti p thu, bi u di n ho c mô

t các bi n c tính xác su t các bi n c theo ph ng pháp c đi n đòi h i ph i

tính s các tr ng h p thu n l i đ i v i bi n c vƠ s các tr ng h p có th Vì v y

sinh viên c n n m v ng các ph ng pháp đ m - gi i tích t h p Tuy nhiên đ thu n

l i cho ng i h c chúng tôi s nh c l i các k t qu chính trong m c 1.1

M t trong nh ng khó kh n c a bƠi toán xác su t lƠ xác đ nh đ c bi n c vƠ

s d ng đúng các công th c thích h p B ng cách tham kh o các ví d vƠ gi i nhi u

bƠi t p s rèn luy n t t k n ng nƠy

1.1 B ătúcăv ăgi iătíchăt ăh p

1.1.1 T păh p

1.1.1.1 T p h p vƠ ph n t c a t p h p

a) T p h p con: A  B  (    x A x B)

b) T p h p b ng nhau: A = B  A  B và B  A

c) T p r ng lƠ t p h p không ch a ph n t nƠo KỦ hi u:

d) Không gian: T p l n nh t c đ nh mƠ m i t p h p đ c xét đ u ch a trong nó

a) B n s c a t p h p h u h n A lƠ s ph n t c a t p h p A, kí hi u lƠ n(A)

b) Gi s A vƠ B lƠ hai t p h p h u h n Khi đó:

 A  B c ng h u h n vƠ n(A  B ) = n(A) + n(B) - n( A  B )

 N u A B = thì : n(A  B ) = n(A) + n(B)

 N( A \ B ) = n( A ) - n( A  B )

c bi t: N u A B thì n(A \ B) = n(A) - n(B)

 Gi s U lƠ không gian vƠ AU lƠ t p h p h u h n thì: n(A ) = n(U) - n(A)

 n(A  B) = n(A) + n(B) ậ 2n(A B)

 AB lƠ t p h p h u h n vƠ n(AB) = n(A) n(B)

c) Gi s A1, A2, A3, ầ , Am lƠ nh ng t p h p h u h n Khi đó:

n(A1  A2  A3  ầ  Am ) = n( A1)  n(A2)  n(A3)  ầ  n(Am)

1.1.1.6 Lu th a t p h p, phân ho ch, - đ i s các t p con

8

a) Lu th a t p h p:

T p h p t t c các t p con c a t p S đ c g i lƠ lu th a t p h p c a S vƠ kí hi u

là (S) S các ph n t c a ( (S) là n( (S)) = 2n(S) V i n(S) lƠ s ph n t c a S b) Phơn ho ch c a t p h p:

Cho S lƠ t p khác r ng Ta nói phơn ho ch c a t p h p S lƠ t p h p các t p h p

A1,A2,A3,ầ,An ầ khác t p h p r ng sao cho:

Gi s  lƠ t p khác r ng Kí hi u Α lƠ t p các t p con c a  đ c g i là

đ i s ( - đ i s ) các t p con c a  n u tho mƣn các đi u ki n sau:

c) Ví d

1) Trong m t l p h c có 25 h c sinh H i có bao nhiêu cách ch n m t l n 5 h c sinh b t k ?

9

2) Cho m t đa giác l i có 20 đ nh H i đa giác đó có bao nhiêu đ ng chéo?

Gi i:

1) M i cách ch n (không có s p th t ) 5 h c sinh trong m t l p h c lƠ m t t h p

ch p 5 c a 25 ph n t (h c sinh) nên s cách ch n 5 h c sinh trong l p đó chính

b ng s t h p ch p 5 c a 25 ph n t :

531301

2345

2122232425

!20

!5

!25

12

1920

!18

!2

!20

a) M t ch nh h p không l p ch p k (0  k  n) c a n ph n t đƣ cho lƠ m t t p h p con có th t g m k ph n t trong n ph n t Hai ch nh h p không l p ch p k c a n

ph n t đƣ cho đ c g i lƠ khác nhau n u có ít nh t m t ph n t khác nhau ho c có

th t khác nhau S các ch nh h p không l p ch p k khác nhau c a n ph n t đƣ cho đ c kí hi u Ak

n (ho c A(n,k);nAk) vƠ tính theo công th c:

)1kn) (

1n(

ν!

Ακ ν

+ Chú ý: Ta có Ακ νκ!Χκ ν

b) L y ng u nhiên ra k ph n t t m t t p h p g m n ph n t sao cho hai cách l y

đ c g i lƠ khác nhau n u gi a chúng ho c có ít nh t m t ph n t khác nhau ho c

th t l y ra c a các ph n t lƠ khác nhau S cách l y ra k ph n t nh v y đ c

g i lƠ s ch nh h p không l p ch p k khác nhau c a n ph n t đƣ cho

10

c) T m t t p h p g m n ph n t l y ng u nhiên l n l t t ng ph n t m t không hoƠn l i k l n S cách l y nh v y chính lƠ s ch nh h p không l p ch p k khác nhau c a n ph n t

!5

310(

!10

!9

n (ho c P(n,k)ho c nPkvƠ đ c tính theo công th c: Pk nk

n  b) T m t t p h p g m n ph n t l y ng u nhiên l n l t t ng ph n t m t có hoƠn

l i k l n S cách l y nh v y chính lƠ s ch nh h p l p ch p k khác nhau c a n

ph n t

11

c) Ví d

1) Cho n m ch s 1, 2, 3, 4, 5 Có bao nhiêu s có 3 ch s l y t 5 ch s trên? 2) Có bao nhiêu s t nhiên có 3 ch s ?

3) M t đoƠn tƠu có 3 toa (m i toa còn trên 12 ch ) H i có bao nhiêu cách phân

ng u nhiên 12 hƠnh khách lên 3 toa tƠu?

s có 3 ch s mƠ ch s 0 đ ng tr c lƠ: P102 103100

V y s các s t nhiên có 3 ch s là: 1000 ậ 100 = 900

3) Vì m i hƠnh khách có th phơn ng u nhiên m t trong 3 toa I, II, III Ngh a lƠ m i hành khách có 3 cách ch n, đo đó s cách phơn ng u nhiên 12 hƠnh khách lên 3 toa tƠu chính bƠng s ch nh h p l p 12 c a 3 ph n t (toa tƠu): 12 12

3 3

P  1.1.2.4 Hoán v

a) Gi s ta có n ph n t m i cách s p x p c a n ph n t theo m t th t nƠo đó lƠ

m t hoán v c a n ph n t S các hoán v khác nhau c a n ph n t b ng n!

b) Gi s ta có n ph n t đ c s p x p n v trí Ta đ i ch các ph n t cho nhau

S cách đ i ch c a n ph n t cho nhau đ c g i lƠ s hoán v c a n ph n t đ c

kí hi u Pn vƠ đ c tính theo công th c: Pn = n! = n( n ậ 1 ) ầ 2.1

c) Ta có n ph n t vƠ n v trí, x p n ph n t vƠo n v trí đƣ cho sao cho m i ch ch

có m t ph n t S cách s p x p nƠy b ng s các hoán v khác nhau c a n ph n t d) Ví d

1) Cho n m ch s 1, 2, 3, 4, 5 H i có bao nhiêu s g m 5 ch s khác nhau l y t

5 ch s trên?

ph n t (h c sinh) Do đó s cách s p x p 10 h c sinh đ ng thƠnh m t hƠng ngang:

b) Ví d : M t h p ch a 15 bi đ , 10 bi tr ng vƠ 7 bi xanh L y ng u nhiên 7 bi, h i

có bao nhiêu cách l y đ c 2 bi đ , 3 bi tr ng, 2 bi xanh

k n

n a b)

ba

k n

n C

2 ; N u a + b = 1 thì n an kbk 1

0 k

k n

Trong nhi u tr ng h p vi c l p đi l p l i m t thí nghi m v i nh ng đi u

ki n bên ngoƠi gi ng h t nhau nh ng không d n t i cùng m t k t qu

Hi n t ng khi bi t các đi u ki n ban đ u c a m t thí nghi m không xác

đ nh đ c k t qu c a nó, g i lƠ hi n t ng ng u nhiên

13

Vi c nghiên c u các h th ng nh ng hi n t ng ng u nhiên đ t đó rút ra

đ c các quy lu t ng u nhiên lƠ đ i t ng c a môn xác su t th ng kê toán h c Lý thuy t xác su t vƠ th ng kê toán thu c vƠo lỦ thuy t toán h c hi n đ i Có nhi u

ng d ng trong nhi u ngƠnh khoa h c

1.2.2 Phépăth ăng uănhiên

1.2.2.1 M t s ví d

a) Gieo m t l n đ ng ti n đ c xem nh ti n hƠnh m t phép th “gieo đ ng ti n”

K t qu c a phép th nƠy lƠ “xu t hi n m t s p” ho c “xu t hi n m t ng a” Hai

kh n ng có th nƠy đ c g i lƠ hai bi n c s c p

b) Gieo m t l n con xúc x c đ c xem nh ti n hƠnh m t phép th “gieo con xúc

x c” K t qu c a phép th lƠ “xu t hi n m t i ch m m t trên c a con xúc x c”

6

,

1



i ó lƠ 6 bi n c s c p ng v i phép th đƣ cho, “Xu t hi n m t có s ch m

ch n” c ng lƠ m t bi n c , nh ng không ph i lƠ bi n c s c p c a phép th trên c) M t h c sinh lƠm m t bƠi ki m tra đ c xem nh ti n hƠnh m t phép th K t

qu c a phép th lƠ “đ t” ho c “không đ t” ó lƠ hai bi n c s c p

d) Ta quan sát nhi t đô ngoƠi tr i ó c ng lƠ m t phép th v i k t qu “ nhi t đ ngoƠi tr i lƠ to C” lƠ m t bi n c s c p

Nh v y: th c hi n m t phép th ngh a lƠ lƠm m t thí nghi m, th c hi n m t quan sát, th c hi n m t công vi c, m t hƠnh đ ng nƠo đó

1.2.2.2 Phép th ng u nhiên

Phép th ng u nhiên lƠ phép th mƠ k t qu c a nó ta không th đoán đ nh

đ c tr c Kí hi u phép th ng u nhiên là G

+ Các k t qu có th x y ra c a phép th G g i lƠ các bi n c (s ki n)

+ Các bi n c không th phơn tích đ c n a g i lƠ bi n c s c p vƠ kí hi u  i

1.2.2.3 Không gian các bi n c s c p (không gian m u)

T p h p t t c các bi n c s c p c a phép th G đ c g i là không gian các

bi n c s c p vƠ kí hi u , khi đó ta có: = {i/ i = 1, 2, 3 }

 Bi n c chính lƠ m t t p con c a không gian các bi n c s c p

 Bi n c ch c ch n lƠ bi n c nh t đ nh x y ra khi phép th đ c th c hi n vƠ

kí hi u 

14

 Bi n c không th có lƠ bi n c không x y ra khi phép th đ c th c hi n vƠ

kí hi u

1.2.3 Bi năc ăng uănhiên

Bi n c ng u nhiên lƠ bi n c mƠ nó có th x y ra ho c không x y ra khi phép th đ c th c hi n, kí hi u các bi n c ng u nhiên b ng ch in hoa A, B, C, khi đó v m t lỦ thuy t t p h p thì A lƠ m t t p h p con c a không gian các bi n c

s c p 

1.2.4 Qu anăh ăgi aăcácăbi năc

1.2.4.1 Bi n c A đ c g i lƠ kéo theo bi n c B, kí hi u A  B n u vƠ ch n u A

x y ra thì suy ra B x y ra

1.2.4.2 Bi n c A vƠ bi n c B đ c g i lƠ b ng nhau (t ng đ ng v i nhau), kỦ

hi u A = B khi vƠ ch khi bi n c A kéo theo bi n c B vƠ ng c l i

(A = B A B và B  A)

1.2.5 Cácăphépătoánătrênăbi năc

1.2.5.1 Cho hai bi n c A vƠ B, ta có các phép toán:

a) Phép c ng: T ng c a hai bi n c A vƠ B, kí hi u lƠ A  B, lƠ bi n c ch x y ra

n u ít nh t m t trong hai bi n c A, B x y ra

b) Phép nhân: Tích c a hai bi n c A vƠ B, kí hi u lƠ A  B (ho c A.B), lƠ bi n c

ch x y ra n u hai bi n c A vƠ B đ ng th i x y ra

c) Phép tr : Hi u c a bi n c A tr bi n c B, kí hi u là A\ B, lƠ bi n c ch x y ra

n u bi n c A x y ra vƠ bi n c B không x y ra

d) Bi n c xung kh c: Hai bi n c A vƠ B đ c g i lƠ xung kh c n u A  B =

a) L y ng u nhiên m t con bƠi trong b bƠi Tơy, g i A lƠ bi n c l y đ c con bƠi

15

mƠu đ , B lƠ bi n c l y đ c con bƠi mang s nh h n 4, khi đó bi n c AB là

bi n c l y đ c con bƠi mƠu đ mang s nh h n 4

b) Ch n ng u nhiên 2 viên bi trong m t cái h p có 3 viên bi xanh, 4 viên bi đ G i

AX lƠ bi n c ch n đ c 2 bi xanh, A lƠ bi n c ch n đ c 2 bi đ , AC lƠ bi n c

ch n đ c 2 bi cùng mƠu, AKlƠ bi n c ch n đ c 2 bi khác mƠu Khi đó các bi n

c AX, A , AKxung kh c t ng đôi m t; AC = AX A ; AC và AKđ i l p v i nhau

c) Gieo m t l n m t con xúc x c, g i BilƠ bi n c m t trên con xúc x c xu t hi n i

ch m, khi đó bi n c B1và B2 xung kh c v i nhau, nh ng B1 không ph i lƠ bi n c

đ i l p c a B2 mà bi n c đ i l p c a B1 là:B1= {B2, B3, B4, B5, B6}

d) Ba x th cùng b n vƠo m t m c tiêu trong cùng m t th i đi m G i AilƠ bi n c

x th i b n trúng m c tiêu, A lƠ bi n c c 3 x th đ u b n trúng, B lƠ bi n c ch

có 1 x th b n trúng, C lƠ bi n c có ít nh t 1 x th b n trúng, D lƠ bi n c không

có x th nƠo b n trúng Hƣy bi u di n các bi n c A, B, C, D theo các bi n c Ai

a) Gieo m t đ ng ti n G i A vƠ A lƠ bi n c xu t hi n m t s p vƠ m t ng a Khi

đó A vƠA l p thƠnh h đ y đ

b) Gieo m t l n m t con xúc x c cơn đ i vƠ đ ng ch t

G i BilƠ bi n c m t trên con xúc x c xu t hi n i ch m, i = 1, 2 ầ, 6 Khi đó B1,

B2, B3, B4, B5, B6l p thƠnh h đ y đ các bi n c

1.3 Kháiăni măxácăsu tă

1.3.1 nhăngh aă(c ăđi n)

đ n s x y ra bi n c A Ta g i m lƠ s kh n ng thu n l i cho A, còn n bi n c B1

, B2 , B3 , ,Bn lƠ s kh n ng có th Khi đó, ta có th vi t l i đ nh ngh a nh sau: Π(Α) = Σο〈 κηα νανγ τηυαν λι χηο Α

Σο〈 κηα νανγ χο τηε∑

1.3.1.2 Ví d

a) M t đ t x s phát hƠnh 106 vé s , trong đó có 1 gi i nh t, 3 gi i nhì, 10 gi i ba

và 20 gi i khuy n khích M t ng i mua ng u nhiên m t vé.Tìm xác su t đ đ c

gi i nh t, gi i nhì, gi i ba, gi i khuy n khích vƠ đ c gi i

ng i cho m t gen N u c hai ng i đ u lƠ d h p t , ngh a lƠ c hai đ u lƠ h p t

Aa thì các h p t c a con s lƠ m t trong 4 lo i sau: AA, Aa, aA, aa Tìm xác su t

đ con có ki u gen: [ aa ]; [ Aa ]; [ AA ]

Gi i:

Xác su t đ con có ki u gen [aa] là: P([ aa ]) = 1

4 Xác su t đ con có ki u gen [Aa] lƠ: P([ Aa ]) = 1

2 Xác su t đ con có ki u gen [AA] lƠ: P([ AA ]) = 1

4

c) M t lô s n ph m g m N s n ph m, trong đó có M s n ph m t t vƠ (NậM) s n

ph m x u.L y ng u nhiên s s n ph m t lô hƠng Tìm xác su t đ trong s s n ph m

d) Gieo đ ng th i hai con xúc x c cơn đ i vƠ đ ng ch t Tìm xác su t đ :

1) T ng s ch m m t trên hai con xúc x c b ng 8

2) Hi u s ch m m t trên hai con xúc x c có giá tr tuy t đ i b ng 2

3) S ch m m t trên hai con xúc x c b ng nhau

4) S ch m m t trên con xúc x c th nh t b ng 4 vƠ s ch m m t trên con xúc

x c th hai n m trong kho ng [3;5]

Ta có P(B) = 8 2

36  93) G i C lƠ bi n c s ch m m t trên hai con xúc x c b ng nhau

36  6 4) G i D lƠ bi n c s ch m m t trên con xúc x c th nh t b ng 4 vƠ s ch m

m t trên con xúc x c th hai n m trong kho ng [3;5]

Ta có P(D) = 3 1

36 12 e) L y ng u nhiên l n l t 3 ch s t t p g m 5 ch s {0, 1, 2, 3, 4} x p thƠnh hàng ngang t trái sang ph i Tìm xác su t đ nh n đ c m t s g m 3 ch s (không k ch s 0 đ ng đ u)

Gi i:

Ta có s tr ng h p có th có c a phép th lƠ A35 54360

G i A lƠ bi n c đ nh n đ c m t s g m 3 ch s (không k ch s 0 đ ng đ u)

S các tr ng h p x y ra đ A x y ra là A14A24 44348

19

(Chia s ki n A thƠnh hai s ki n liên ti p lƠ ch n ch s hƠng tr m trong 4 ch s

1, 2, 3, 4 và ch n l n l t 2 trong 4 ch s còn l i cho ch s hƠng ch c vƠ hƠng

đ n v )

Xác su t đ nh n đ c m t s g m 3 ch s (không k ch s 0 đ ng đ u):

8,05

460

48A

AA)A(

5

2 4

Các nhƠ toán h c Pearson vƠ Buffon đƣ lƠm th c nghi m gieo nhi u l n m t

đ ng ti n cơn đ i vƠ đ ng ch t K t qu cho b ng 1.1

2 đ c g i lƠ xác su t c a bi n c “xu t hi n m t ng a”

1.3.3.1 nh ngh a

Cho mi n đo đ c  (trong m t ph ng, đ ng th ng, không gian) vƠ mi n con

đo đ c S c a  L y ng u nhiên m t đi m M c a  t A = {M / M  S}

Xác su t đ đi m M r i vƠo mi n S (bi n c A) đ c xác đ nh:

1.3.3.2 L u ý: Mi n chính lƠ không gian các bi n c s c p Khái ni m “đ đo” c a

 ta hi u nh sau: n u lƠ đ ng cong hay đo n th ng thì “đ đo” c a lƠ đ dƠi

c a nó, n u lƠ hình ph ng (kh i) thì “đ đo” c a  lƠ di n tích (th tích) c a nó

1 ) (   22  

A

P 2m

Hình 1.1

b) Hai c u bé h n g p nhau m t đ a đi m xác đ nh vƠo kho ng t 8 gi đ n 9 gi

Ng i đ n tr c s đ i ng i đ n sau 10 phút; sau đó n u không g p thì s đi Hãy tìm xác su t đ hai c u bé g p nhau Bi t r ng m i c u bé đ n ch h n trong kho ng

th i gian qui đ nh m t cách ng u nhiên vƠ không tu thu c vƠo ng i kia đ n vƠo lúc nào

Gi i:

Kí hi u x lƠ th i đi m mƠ c u bé th nh t đ n đi m h n, y lƠ th i đi m c u

bé th hai đ n đi m h n Hai c u bé g p nhau khi vƠ ch khi x  y 10

Ta bi u di n x, y nh to đ các đi m trên m t ph ng to đ Descartes vuông

góc, đ n v tr c lƠ phút Không gian bi n c s c p đơy lƠ hình vuông c nh 60, còn bi n c s c p thu n l i cho vi c g p nhau lƠ mi n mƠu xanh, xem hình 1.2

c) Trên đo n th mg OA ta l y m t cách ng u nhiên hai đi m B, C có to đ t ng

ng OB = x, OC = y (y > x) Tìm xác su t sao cho đ dƠi c a đo n BC bé h n đ dƠi

2

ΟΜΛ ΟΜΘ

HƠm P xác đ nh trên  - đ i s Α các t p con c a vƠ l y giá tr trong R đ c

g i lƠ xác su t n u tho mƣn các đi u ki n sau:

 ) = 

 

1 1

) ( Ai

P P(A1) + P(A2 ) + P(A3 ) + + P(An ) +ầ

Khi đó: P(A) đ c g i lƠ xác su t c a bi n c A, và (,Α,P) đ c g i lƠ không gian xác su t

1.3.4.2 L u ý

Các đ nh ngh a trên lƠ tr ng h p riêng c a đ nh ngh a xác su t theo tiên

đ , vƠ lƠ đ nh ngh a đ c dùng đ ch ng minh các tính ch t c a xác su t

23

T (1) vƠ (2) suy ra P( A  B ) = P(A) + P(B) - P(A.B) (đpcm)

1.4.5  A, B  Α, Ta có: P(A\ B) = P(A) ậ P(AB)

Ch ng minh:

Ta có A\ B = A B , suy ra P(A\ B) = P(A B )

M t khác A = AB  A B và AB, A Bxung kh c, suy ra P(A) = P(AB) + P(A B )

T (3) và (4) suy ra P(A\ B) = P(A) ậ P(AB) (đpcm)

)AAA(P)

AA(P)

A(P)

A

(

n k j i

n n j i

i i

n 2

1 n

1

i i

)AA(P)A(P)A(P))A(A(P)A

AA(P)1(

)AAAA(P

)AAA(P)

AA(P)

AA(

P

n 2 1 2 n n

n k j i

2 1 i j k

n n j i

2 1 i j

n 2

i 1 i

n 2

a) Gieo m t l n con xúc x c cơn đ i vƠ đ ng ch t KỦ hi u: A lƠ bi n c {1,2,4}; B

lƠ bi n c {2,5,6}; C lƠ bi n c {1,2,6} Tính các xác su t P(A); P(B); P(C);

P(A B); P(AB); P(AC); P(BC); P(ABC); P(A B C)

Gi i:

3)(B  

2

16

3)(C  

6

1)(AB 

P

6

56

12

12

1)()()()

(AB  P A P B P AB    

P

3

16

2)(BC  

6

1)(ABC 

P

6

56

13

13

16

12

12

121

)()()()()()()()(

(

)

Trong ba bì th có ghi đ a ch s n thì có m t cái có đ a ch c a b c th g i đi

Nên P(A1) = P(A2) = P(A3) =

3

1 (do tính đ i x ng)

Ta ti p t c tính P(A1A2) S kh n ng có th trong tr ng h p cho hai th vƠo ba bì

Ta ti p t c tính P(A1A2A3) S kh n ng có th trong tr ng h p cho ba th vƠo ba

bì th lƠ 3! = 321 = 6, s kh n ng thu n l i cho bi n c tích A1A2A3 là1

V y P(A1A2A3) =

6

1 T đó ta suy ra đ c P(A) =

3

26

16

16

16

13

13

13

1.5 Xácăsu tăcóăđi uăki n,ătínhăch t,ăquyăt cănhơnăxácăsu t

Tr c h t ta xét ví d : Gieo đ ng th i hai con xúc x c cơn đ i vƠ đ ng ch t

25

KỦ hi u A lƠ bi n c {t ng s ch m m t trên hai con xúc x c b ng 8}vƠ B

lƠ bi n c {t ng s ch m m t trên hai con xúc x c lƠ s ch n} Tính xác su t c a

S tr ng h p thu n l i cho B lƠ 18 V y P(B) =

2

136

+ Bơy gi ta có nh n xét sau: n u bi n c B x y ra có ngh a lƠ s các c p s có th

x y ra mƠ t ng c a chúng lƠ s ch n b ng 18 N u kí hi u xác su t c a bi n c A

v i đi u ki n bi n c B đƣ x y ra là P(A/B) thì xác su t nƠy lƠ P(A/B) =

18

5

H n n a ta c ng có:

1852136

5)

B(P

)BA(P

)BA(P)B/A(

)BA

)BA(P)B/A(

+ N u P(A) > 0 thì

)A(P

)BA(P)A/B(

26

a) 0  P(B/A)  1 ; P(/A) = 0 ; P(/A) = 1

b) P(BC/A ) = P(B/A) + P(C/A) - P(B C/A)

N u B, C xung kh c thì P(BC/A) = P(B/A) + P(C/A)

c) P(B/A)1P(B/A)

1.5.2.2 L u Ủ

Trong th c hƠnh xác su t có đi u ki n th ng đ c xác đ nh m t cách tr c

ti p thông qua các đi u ki n c a phép th vƠ ít khi xác đ nh theo công th c trên 1.5.2.3 Ví d

Trong m t h p ch a 5 bi đ , 4 bi tr ng hoƠn toƠn gi ng nhau v hình d ng, kích th c vƠ tr ng l ng Ch n ng u nhiên l n l t không hoƠn l i 2 bi t h p

Gi s l n th nh t ch n đ c bi tr ng Tính xác su t đ l n th hai ch n đ c: 1) Bi tr ng

2 Xác su t đ l n th hai ch n đ c bi đ lƠ:

7

5)A/C(

1.5.3 Quyăt cănhơnăxácăsu t

+ T đ nh ngh a xác su t có đi u ki n, ta suy ra công th c xác su t c a bi n c tích:

P(AB) = P(B)P(A / B) = P(A)P(B / A)

+ Công th c n y có th m r ng cho tích c a n bi n c

P(A1A2A3 An) = P (A1)P(A2 / A1)P(A3 / A1A2)ầP(An / A1A2A3 An ậ1 )

1.5.4 Víăd ă

B = {viên bi l y ra l n th hai lƠ bi đ }

1) Xác su t đ hai viên bi l y ra đ u lƠ bi mƠu đ :

P(A.B) = P(A)P(B/A) =

22

711

612

712

511

612

s n ph m ki m tra thì không nh n lô hƠng Tìm xác su t đ nh n lô hƠng

ki m tra l n l t không hoƠn l i t ng s n ph m t h p đó cho đ n khi l y ra đ c 2

ph ph m thì thôi

1) Tính xác su t đ vi c ki m tra ch có 2 l n

2) Tính xác su t đ vi c ki m tra d ng l i l n th ba

2)A/A(P)A(P)AA(P)A(

P  1 2  1 2 1    2) G i B lƠ bi n c đ vi c ki m tra d ng l i l n th ba

Ta có: B A1A2A3A1A2A3 V y xác su t đ vi c ki m tra d ng l i l n th ba:

) A A A A A

115

14

15

26

44

15

3) Vi c ki m tra d ng l i sau khi ki m tra đ c 3 s n ph m, ngh a lƠ bi n c B đƣ

x y ra nên xác su t đ s n ph m ki m tra l n th nh t lƠ chính ph m:

)B(P

)BA(P)B/A(

15

46

2)(

)

P

ς y xác su t đ s n ph m ki m tra l n th nh t lƠ chính ph m khi vi c ki m tra

d ng l i sau khi ki m tra 3 s n ph m là

2115215

1)

B(P

)BA(P)B/A(

Các bi n c A1 ,A2 ,A3 , ,An đ cg i lƠ đ c l p v i nhau n u: k (1 < k  n) bi n

c b t k t n bi n c đƣ cho đ u đ c l p v i nhau, t c lƠ

P(Ai1 .Ai2 Ai3 Aik ) = P(Ai1)P(Ai2 )P(Ai3 ) P(Aik ) 1.5.4.4 Ví d

a) Gieo 2 con xúc x c cơn đ i vƠ đ ng ch t G i A lƠ bi n c “con xúc x c th nh t

xu t hi n m t có ch m lƠ s ch n”, B lƠ bi n c “con xúc x c th hai xu t hi n m t

có ch m lƠ s l ” vƠ C lƠ bi n c “ c 2 con xúc x c xu t hi n m t có ch m lƠ s

ch n ho c l ” Xét xem ba bi n c A, B, C có đ c l p trong t ng đôi vƠ đ c l p trong toƠn th không ?

12

12

12

1)B(P)A(P)B(P)A(P)

P(AC) =

4

12

12

1)B(P)A(P)BA(P]BA[P)]

BABA(A[

P(BC) =

4

12

12

1)B(P)A(P)BA(P]BA[P)]

BABA(B[

+ T các k t qu trên ta k t lu n:

b) Gieo đ ng th i 2 đ ng ti n cơn đ i vƠ đ ng ch t.G i A lƠ bi n c đ ng ti n th

nh t xu t hi n m t s p, B lƠ bi n c đ ng ti n th hai xu t hi n m t ng a, C lƠ bi n

G i C1= {c hai đ ng ti n s p} vƠ C2= {c hai đ ng ti n ng a}

Và P(A.B) = P(A).P(B); P(A.C) = P(A).P(C) ; P(BC) = P(B).P(C)

Các bi n c A, B, C đ c l p t ng đôi m t, nh ng không đ c l p trong toƠn th vì P(ABC) = P( ) = 0 mà P(A)P(B)P(C) = 1

Ngh a lƠ: P(ABC)  P(A)P(B)P(C)

k k

k

)B/A(P)B(P

)B/A(P)B(P)

A(P

)B/A(P)B(P)A/B(P

k k

k

)B/A(P)B(P

)B/A(P)B(P)

A(P

)B/A(P)B(P)A/B

(

P

1.6.2 Víăd ă

a) Cho hai lô s n ph m.Lô I có 50 s n ph m, trong đó có 20 ph ph m.Lô II có 40

s n ph m, trong đó có 15 ph ph m L y ng u nhiên m t lô vƠ t lô đó l y hú ho 1

B1 = {s n ph m l y ra t lô I} ; B2 = { s n ph m l y ra t lô II}

Ta suy ra dãy B1, B2 l p thƠnh h đ y đ các bi n c Theo công th c xác su t toƠn

ph n ta có : P(A) = P(B1)PA/ B1) + P(B2)PA/ B2 )

Theo đ bƠi ta có : P(B1) = P(B2) = 0,5 ; P(A/ B1) = 0,6 ; P(A/ B2) = 0,625

V y: P(A) = 0,5  0,6 + 0,5  0,625 = 0,6125

2) Xác su t đ s n ph m t t l y lô II là:

6125,0

625,05,0)

A(P

)B/A(P)B(P)A/B(

b) Hai máy cùng s n xu t ra m t lo i linh ki n.Các linh ki n nƠy đ c đóng chung

vƠo m t lô hƠng.N ng sumáy th II g p đôi n ng su t c a máy th I Máy th I s n

32

xu t trung bình đ c 64% linh ki n lo i t t, còn máy th II đ c 80% linh ki n lo i

t t L y ng u nhiên t lô hƠng m t linh ki n thì đ c linh ki n lo i t t

Ta suy ra dãy B1, B2 l p thƠnh h đ y đ các bi n c

Theo công th c xác su t toƠn ph n ta có: P(A) = P(B1)PA/ B1) + P(B2)PA/ B2 ) Theo đ bƠi ta có: P(B1) = 1

7

256165

43

225

163

163

1)

A/B(

43

225

163

43

2)

A/B(

2

c) Ng i ta bi t r ng m t c p tr sinh đôi có th lƠ m t c p sinh đôi th t ho c sinh đôi gi (không th t) M t c p sinh đôi th t chúng có cùng m t tr ng sinh ra, trong

tr ng h p đó chúng bao gi c ng cùng gi ng Còn sinh đôi gi thì chúng do hai

tr ng khác nhau sinh ra Xác su t đ cùng gi ng b ng 1/ 2 Gi s xác su t đ c p

tr sinh đôi th t b ng p (0 < p < 1) Tìm xác su t đ c p tr sinh đôi cùng gi ng lƠ sinh đôi th t

Gi i:

G i A = {C p tr sinh đôi cùng gi ng}

33

B1 = {C p tr sinh đôi lƠ sinh đôi th t}

B2= {C p tr sinh đôi lƠ sinh đôi gi }

Ta suy ra dãy B1, B2 l p thƠnh h đ y đ các bi n c

Theo công th c xác su t toƠn ph n ta có: P(A) = P(B1)PA/ B1) + P(B2)PA/ B2 )

Theo gi thi t ta có: P(B1) = p ; P(B2) = 1 - p ; P(A/ B1) = 1 ; P(A/ B2) = 1

2

V y: P(A) = p  1 + ( 1 ậ p ) 

2

1 = 2

p1 Xác su t đ c p tr sinh đôi cùng gi ng lƠ c p sinh đôi th t lƠ:

p1

p22

p1

p1)A/B(

d) M t nhƠ máy s n xu t đ h p xu t kh u có ba phơn x ng.S n ph m c a phơn

x ng I chi m 40%, phơn x ng II chi m 25%, phơn x ng III chi m 35% t ng s

s n ph m c a nhƠ máy đó Trong s s n ph m xu t x ng, t l ph ph m c a phơn

x ng I chi m 0,5%, phơn x ng II chi m 1,15% vƠ phơn x ng III chi m 0,7%

1) Tìm xác su t đ khi l y ng u nhiên 1 s n ph m c a nhƠ máy ta đ c chính ph m

T đó suy ra dƣy các bi n c B1, B2, B3 l p thƠnh h đ y đ các bi n c

Khi đó ta có: P(A) = P(B1)PA/ B1) + P(B2)PA/ B2 ) + P(B3)PA/ B3)

34

1.7.1 nhăngh a

n phép th đ c l p đ c g i lƠ n phép th Bernoulli (dƣy phép th Bernoulli)

n u tho mƣn hai đi u ki n sau:

1) M i phép th x y ra m t trong hai bi n c A ho c Α

2) Xác su t đ bi n c A x y ra trong m i phép th lƠ không đ i vƠ b ng p

1.7.2 Xácăsu tănh ăth c

Tìm xác su t sao cho trong n phép th Bernoulli bi n c A xu t hi n k l n KỦ hi u

βιε〈ν κ)

− (ν ϖα

Α χο〈

βιε〈ν κ (γο◊µ

(**)

M i bi n c (**) l y t các phép th khác nhau trong n phép th

Ta có: P(AA A AAầA A A) = P(A)P(A)P( A )P( A )P(A)ầP(A)P( A )P(A) =

= P(A)k P( A )n ậ k = P(A)k (1 - P(A))n ậ k = pk(1 ậ p)n - k

Ta nh n th y r ng: Bi n c “Trong dƣy n phép th Bernoulli, bi n c A xu t

N u np + p lƠ s nguyên thì s có kh n ng nh t lƠ np + p vƠ np + p - 1

N u np + p không ph i lƠ s nguyên thì s có kh n ng nh t lƠ νπ π 

(Ph n nguyên c a x, kỦ hi u: [x] lƠ s nguyên l n nh t không v t quá x)

1.7.4 Víăd

1) đơy ta xem vi c gieo 10 l n m t đ ng ti n nh lƠ 10 phép th Bernoulli v i

bi n c A = {xu t hi n m t s p} vƠ P(A) = 0,5

π10(κ  1) 1 π10(κ1) 1 π10(κ  0) 1 χ100 0,510  1 0,510

b) M t lô hƠng ch a r t nhi u s n ph m v i t l ph ph m p = 0,02 C n ph i l y

m u c bao nhiêu, sao cho xác su t đ có ít nh t m t ph ph m trong m u đó không

05,0ln

36

.8,02,0)

k(

d) M t bƠ m sinh 2 ng i con, m i l n sinh m t con Gi s xác su t sinh con trai

là 0,51 Tìm xác su t đ trong hai ng i con đó:

1) Có đúng 1 con trai

2) Có đúng 2 con trai

3) Không có con trai T các k t qu đó rút ra nh n xét gì ?

Gi i:

V m t sinh h c, trong th ng kê ng i ta ch ng minh đ c gi i tính c a tr

em trong các l n sinh lƠ đ c l p vƠ xác su t sinh con trai lƠ 0,51 Vì v y có th xem

2 l n sinh nh lƠ ti n hƠnh 2 phép th Bernoulli, xác su t sinh con trai trong m i l n sinh lƠ không đ i vƠ b ng 0,51.Theo công th c xác su t nh th c ta có: Xác su t đ trong 2 l n sinh đó (m i l n sinh m t con) có k con trai lƠ:

2,1,0

;)49,0()51,0()

2

k k

1) Xác su t có đúng m t con trai: P2(k 1) C12(0,51)(0,49)0,4998

2) Xác su t có 2 con trai: P2(k 2) C22(0,51)2(0,49)0 0,2401

3) Xác su t không có con trai: P2(k 0)C02(0,51)0(0,49)2 0,2601

T các k t qu trên ta th y xác su t đ trong hai ng i con có m t con trai vƠ

m t con gái lƠ l n nh t (0,4998), đi u đó có ngh a lƠ trong s nh ng gia đình có hai con thì s gia đình có m t con trai vƠ m t con gái lƠ đông h n c

e) N i h i có 4 van b o hi m ho t đ ng đ c l p, xác su t b h ng c a m i van trong kho ng th i gian t lƠ 0,4 N i h i ho t đ ng không an toƠn khi có ít nh t 2 van

h ng, n u có 1 van h ng thì n i h i ho t đ ng không an toƠn v i xác su t 0,1

37

1) Tìm xác su t đ n i h i ho t đông không an toàn

2) N i h i ho t đ ng an toƠn Tìm xác su t không có n i h i nƠo b h ng

Gi i:

G i Hi l bi n c i van h ng trong kho ng th i gian t; i = 0,1,2,3,4 Dƣy bi n

c Hith a mƣn dƣy phép th Bernoulli v i xác su t van h ng: p = 0,4

Ta có công th c xác su t nh th c:P4(k;0,4) Ck4(0,4)k(0,6)4 k v i k = 40 ,

P(H0) = P4(k0;0,4)C04(0,4)0(0,6)4 0,1296P(H1) = P4(k1;0,4)C14(0,4)1(0,6)3 0,3456P(H2) = P4(k2;0,4)C24(0,4)2(0,6)2 0,3456P(H3) = P4(k3;0,4)C34(0,4)3(0,6)1 0,1536P(H4) = P4(k4;0,4)C44(0,4)4(0,6)0 0,0256

Ta có các bi n c Hi, i = 0,1,2,3,4 l p thƠnh m t h đ y đ

G i A lƠ bi n c n i h i ho t đ ng không an toƠn

Ta có : P(A/H0) = 0 ; P(A/H1) = 0,1 ; P(A/H2) = 1 ; P(A/H3 ) = 1 ; P(A/H4) = 1 1) Xác su t đ n i h i ho t đ ng không an toƠn

P(A) = P(H0)P(A/H0)+P(H1)P(A/H1)+P(H2)P(A/H2) +P(H3)P(A/H3)+P(H4)P(A/H4) = 0,1296 x 0 + 0,3456 x 0,1 + 0,3456 x 1 + 0,1536 x 1 + 0,0256 x 1 = 0,55936 2) Xác su t n i h i ho t đ ng an toƠn không có n i h i nƠo b h ng

44064

1296055936

,01

11296,0)

A(P1

)H/A(P)H(P)A/H

f) Theo th ng kê cho bi t xác su t anh A b n m t m i tên trúng vòng 10 đi m lƠ 0,4

H i v i xác su t không bé h n 0,9 anh A c n b n đ c l p bao nhiêu l n đ có ít nh t

m t l n anh A b n trúng vòng 10 đi m?

Gi i:

G i n lƠ s l n anh A b n đ c l p m i tên trúng vòng 10 đi m

VƠ g i B lƠ bi n c “Trong n l n anh A b n có ít nh t m t l n m i tên trúng vòng

10 đi m”, khi đó B lƠ bi n c “Trong n l n anh A b n không có l n nƠo m i tên trúng vòng 10 đi m ”

38

T công th c xác su t nh th c: Pn(k) Ckn0,4k0,6n k , v i k = 0, 1, 2,ầ, n

Ta có: P( B ) = Pn(k 0) C0n0,400,6n 0,6n => P(B) = 1 - P( B ) = 1 ậ 0,6n (1) Theo gi thi t ta có: P(B) 0,9, nên t (1) suy ra 1 ậ 0,6n

0,9 => 0,6n

V i 0,6n  0,1 => n  4,5

)6,0ln(

)1,0ln(  n  5

V y anh A c n b n ít nh t lƠ 5 l n

B 1.1 BƠiăt păv ăgi iătíchăt ăh p

B 1.1.1: M t ng i tr ng hoa có 6 cơy hoa mai d đ nh tr ng trong 6 ch u hoa H i

ng i đó có th có bao nhiêu cách tr ng hoa mai

B 1.1.2: M t h c k sinh viên ph i thi 8 môn, m i ngƠy ch thi nhi u nh t m t môn H i có bao nhiêu cách x p l ch thi n u:

a) Th i gian có th x p l ch đ thi có đúng 8 ngƠy

b) Th i gian có th x p l ch đ thi có đúng 12 ngƠy

B 1.1.3: Có 16 sinh viên đ c phơn công lƠm 4 lo i công vi c khác nhau H i có bao nhiêu cách phân công sao cho:

b) Có bao nhiêu cách l y ra 10 s n ph m trong đó có 8 s n ph m t t

c) Có bao nhiêu cách l y ra 10 s n ph m trong đó có ít nh t m t s n ph m x u d) Có bao nhiêu cách l y ra 10 s n ph m trong đó có nhi u nh t 9 s n ph m x u

B 1.1.5: Trên m t ph ng có 20 đi m (không có 3 đi m nƠo cùng n m trên m t

đ ng th ng) Qua m i c p đi m ta v đ c m t đ ng th ng H i có bao nhiêu

đ ng th ng nh v y?

a) M i ng i đ u có th tham gia trong nhóm?

b) Trong nhóm ph i có hai n , m t nam?

c) Trong nhóm ph i có ít nh t m t n ?

d) Trong nhóm đ u lƠ nh ng ng i cùng phái?

B 1.1.8: Các s 1, 2, 3, ầ, n l p thƠnh m t hƠng ngang H i có bao nhiêu cách s p

x p sao cho:

a) Hai ch s 1 vƠ 2 đ ng c nh nhau

b) Ba ch s 1, 2 vƠ 3 đ ng c nh nhau theo th t l n d n?

B 1.1.9: Có 15 hƠnh khách lên 3 toa m t cách ng u nhiên H i:

a) Có bao nhiêu cách đ toa th nh t có đúng 3 hƠnh khách

b) Có bao nhiêu cách đ các toa đ u có s hƠnh khách lên b ng nhau

c) A vƠ B cùng lên m t toa

d) Có m t toa ch có A và B

B 1.1.10: Trên m t vòng tròn có 12 đi m Có m y cách v dơy cung có các mút lƠ các đi m đƣ cho Có m y tam giác nh n các đi m lƠ các đ nh?

B 1.2 BƠiăt păv ăbi năc

B 1.2.1: Ki m tra phơn lo i theo th t m t lô hƠng g m n s n ph m thƠnh 2 lo i

t t ho c x u, kỦ hi u Ak(k = 1, 2, 3, , n) lƠ bi n c ki m tra s n ph m th k thu c

40

B 1.2.2: M t sinh viên lƠm thí nghi m cho đ n khi thƠnh công thì thôi, kỦ hi u A lƠ

bi n c lƠm thí nghi m thƠnh công Hƣy mô t các bi n c s c p vƠ nêu m t h đ y

đ các bi n c

B 1.2.3: M t thi t b g m 2 lo i linh ki n, lo i I có 3 linh ki n, lo i II có 4 linh

ki n, g i Ak lƠ bi n c ch linh ki n th k lo i I lƠ t t vƠ ak lƠ bi n c ch linh ki n

th k lo i I lƠ x u, Bi là bi n c ch linh ki n th i lo i II lƠ t t vƠ bi lƠ bi n c ch linh ki n th i lo i II lƠ x u Thi t b v n ho t đ ng đ c n u có ít nh t 1 linh ki n

lo i I t t vƠ không ít h n 3 linh ki n lo i II t t

i) Không có bi n c nƠo trong 3 bi n c A, B, C x y ra

k) Có không quá 2 bi n c trong 3 bi n c A, B, C x y ra

B 1.3 BƠiăt păvơnăd ngăcácăđ nhăngh aăxácăsu t

B 1.3.1: M t l p có 14 sinh viên nam vƠ 18 sinh viên n , G i ng u nhiên ra 12 sinh viên Tính xác su t đ trong 12 sinh viên đ c ch n ra:

a) Có 5 sinh viên nam

b) Có 12 sinh viên n

c) Có ít nh t 1 sinh viên nam

d) Có nhi u nh t 10 sinh viên nam

B 1.3.2: M t ng i tr ng đ c 9 cơy cam, 7 cơy quít vƠ 6 cơy xoƠi, m t ng i khác

tr ng đ c 8 cơy cam, 10 cơy quít vƠ 5 cơy xoƠi