MỘT TÍNH CHẤT về LINH hóa tử của MÔĐUN ARTIN

Tuy nhiên tính chất * này lại không đúng cho tất cả các môđun Artin A, kể cả trờng hợp d m A H M là mụđun đối đồng điều địa phương cấp cao nhất của mụđun hữu hạn sinh M với giỏ là iđờa

Bộ GIáO DụC Và ĐàO TạO

tr ờng đại học vinh

Một tính chất Về linh hóa tử

của môđun artin

luận văn thạc sỹ toán học

Vinh - 2010

Bộ GIáO DụC Và ĐàO TạO

tr ờng đại học vinh

lª thÞ h»ng thu

Mét tÝnh chÊt VÒ linh hãa tö

cña m«®un artin

Chơng 1 Kiến thức chuẩn

bị 6

môđun .6

1.2 Tập các iđêan nguyên tố liên kết

Matlis .11

Chơng 2 Một tính chất về linh hoá tử của môđun ARTIN 15

2.1.Tính chất (*) của môđun Artin 15

2.2 Tính chất (*) của môđun đối đồng điều địa

ph-ơng 22

Kết

luận. .28

khảo 2

9

Mở đầu

cực đại duy nhất m; a là một R-môđun Artin và M là một

R-môđun hữu hạn sinh với chiều Krull dim M   d 0 Trớc hết ta

thấy rằng nếu p là một iđêan nguyên tố của R chứa AnnRM, khi

đó pSuppM nên Mp0 Theo Bổ đề Nakayama ta suy ra

Một cách tự nhiên, đối với lớp môđun Artin A, Nguyễn Tự

C-ờng và Lê Thanh Nhàn [5] đã xột tớnh chất sau và họ gọi tớnh chất này làtớnh chất (*):

AnnR (0: A p)= p với mọi iđờan nguyờn tố p AnnR A

Tuy nhiên tính chất (*) này lại không đúng cho tất cả các

môđun Artin A, kể cả trờng hợp d( )

m

A H M là mụđun đối đồng điều địa

phương cấp cao nhất của mụđun hữu hạn sinh M với giỏ là iđờan cực đại m.

Mục đớch của Luận văn là dựa vào cỏc bài bỏo [5] của Nguyễn Tự Cường,

Lê Thanh Nhàn và [6] của Nguyễn Tự Cường, Nguyễn Thị Dung và Lờ ThanhNhàn để nghiờn cứu tớnh chất (*) của mụđun Artin và tớnh chất (*) của mụđunđối đồng điều địa phương cấp cao nhất d( )

m

Ngoài phần Mở đầu, Kết Luận và Tài liệu tham khảo, Luậnvăn đợc chia làm 2 chơng Chơng 1: Kiến thức chuẩn bị Trongchơng này chúng tôi trình bày một số kiến thức cơ sở của Đại

số giao hoán có sử dụng trong Luận văn Ngoài ra chúng tôi còntrích dẫn một số kết quả đã có nhằm phục vụ cho các chứngminh ở phần sau Chơng 2: Một tính chất về linh hoá tử củamôđun Artin Trong phần này chúng tôi sẽ trình bày về tínhchất (*) của môđun Artin và tính chất (*) của môđun đối

đồng điều địa phơng cấp cao nhất

Luận văn đợc hoàn thành vào tháng 11 năm 2010 tại Trờng

Đại học Vinh dới sự hớng dẫn của cô giáo TS Nguyễn Thị HồngLoan Nhân dịp này tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đếncô, ngời đã hớng dẫn, giúp đỡ tận tình chu đáo và nghiêmkhắc trong suốt quá trình học và nghiên cứu Cũng nhân dịpnày tôi xin trân trọng cảm ơn Ban chủ nhiệm khoa Toán, khoaSau đại học, các thầy cô giáo trong khoa Toán và tổ Đại số đãgiúp đỡ trong suốt quá trình học tập và hoàn thành luận văn.Tôi xin cảm ơn Ban giám hiệu trờng THPT Đông Sơn 2, các đồngnghiệp trong tổ Toán, các anh, các chị và các bạn trong lớp Caohọc 16 Đại số và Lý thuyết số đã giúp đỡ động viên tôi trongsuốt quá trình học tập

Mặc dù đã có nhiều cố gắng, song luận văn không trángkhỏi những thiếu

sót Tôi rất mong nhận đợc những ý kiến đóng góp của cácthầy cô giáo và các bạn để luận văn đợc hoàn thiện hơn

Vinh, tháng 11 năm2010

Chương 1 Kiến thức cơ sở

Trong chương này chỳng tụi trỡnh bày một số khỏi niệm cơ sở của Đại sốgiao hoỏn cú sử dụng trong Luận văn như: Phổ và giá của môđun, sựphân tích nguyên sơ của môđun, vành địa phơng đầy đủtheo tôpô m-adic, chiều Krull của môđun, hệ tham số, đối ngẫuMatlis, biễu diễn thứ cấp của môđun Artin, chiều Noether của

môđun Artin, môđun đối đồng điều địa phơng

1.1 Phổ và giá của môđun

1.1.1 Phổ của vành Iđêan p của vành R đợc gọi là iđêan

Tập tất cả của iđêan nguyên tố của R đợc ký hiệu là SpecR gọi là phổ của vành R

Với mỗi iđêan I của R ta ký hiệu

V I( ) =  p� SpecR p, �I 

1.1.2 Giá của môđun Cho M là một R -mô đun Ta gọi giá

của môđun M là tập hợp đợc ký hiệu

SuppM = p�SpecR M p � 0  �SpecR.

AnnR  x  a R ax� /  0 ;

AnnR M a R aM� /  0  a R ax� /   0, x M� 

Ta có AnnR x và AnnR M là những iđêan của M ; AnnR M đợc gọi

là linh hoá tử của môđun M Hơn nữa nếu M là R- môđun hữu

hạn sinh thì

SuppM = V (AnnR M )

1.2 Tập các iđêan nguyên tố liên kết của môđun

1.2.1 Định nghĩa Cho M là một R-môđun Ta gọi iđêan

nguyên tố p của R là iđêan nguyên tố liên kết của M nếu mộttrong hai điều kiện tơng đơng sau đợc thoả mãn :

(i) Tồn tại phần tử x M� sao cho Ann(x)=p ;

(ii)M chứa một môđun con đẳng cấu với R p/

hoặc AssR M nếu không để ý đến vành R.

1.2.2 Mệnh đề Cho R là vành giao hoán, có đơn vị và một

R-môđun Khi đó các phát biểu sau đây là đúng :

Ass '

M �AssM �AssM'' �AssM'

(iii) Các phần tử tối đại trong tập {Ann R : x x� 0,x M� } đều là

1.2.3 Mệnh đề. AssR M � Supp M và mọi phần tử tối tiểu của

1.2.4 Mệnh đề Nếu M là R -môđun Noether thì Ass M là tập hữu hạn.

1.3 Sự phân tích nguyên sơ của Noether

1.3.1 Định nghĩa Cho vành giao hoán và M là một R môđun

-(i) Iđêan q R� của R đợc gọi là iđêan nguyên sơ nếu với mọi

r R� , phép nhân bởi r trên R q/ là đơn cấu hoặc luỹ linh Trongtrờng hợp này Rad q( )là một iđêan nguyên tố, chẳng hạn p và ta gọi q là p-nguyên sơ.

(ii) Môđun con N �M của M đợc gọi là nguyên sơ nếu tồn tại một iđêan nguyên tố p của Rsao cho Ass(M N/ )= p Khi đó tacũng nói N là p-nguyên sơ

(iii) Cho N là môđuncon của M Một phân tích nguyên sơ của

Nlà một biểu diễn

1 2 n

N M �M � �M ,trong đó M ilà các môđun con p i-nguyên sơ của M Phân tíchtrên đợc gọi là thu gọn nếu các p i là đôi một phân biệt vàkhông có M i nào thừa

1.3.2 Chú ý (i) Nếu M1và M2 là các môđun con p-nguyên sơcủa M thì M1 �M2cũng là môđun con p-nguyên sơ của M Vì

thế mọi phân tích nguyên sơ của môđun con Nđều có thểquy về một phân tích thu gọn.

(ii) Khi M R và Rlà vành Noether thì khái niệm môđun connguyên sơ trùng với khái niệm iđêan nguyên sơ

Định lý sau đây khẳng định sự tồn tại phân tích nguyênsơ của mọi môđun con của môđun Noether và tập các iđêannguyên tố liên kết có thể đợc xác định thông qua một phântích nguyên sơ thu gọn

1.3.3 Định lý Cho M là R - môđun Noether và N là môđun

p p1 , , 2 p n =Ass( M N/ ).

(iii) Cho N N1 �N2 � � N n , trong đó N i là p i -nguyên sơ, i 1, 2, n

1.3.4 Mệnh đề Cho R là vành Noether, M là R - môđun

1.4 Vành địa phơng đầy đủ theo tôpô m-adic

Vành R đợc gọi là vành địa phơng nếu R chỉ có duy nhất một iđêan tối đại m Khi đó vành thơng R/m là một trờng

và gọi là trờng thặng d của vành R Ta thờng kí hiệu vành địa

phơng đó là (R m, ) Vành R đợc gọi là vành nửa địa phơng nếu

R chỉ có hữ hạn iđêan tối đại.

Cho (R m, ) là một vành địa phơng Ta xét Rnh một vànhtôpô với cơ sở lân cận của phần tử 0 là các iđêan m t t,  0,1, 2 .Chú ý cơ sở lân cận của một phần tử tuỳ ý r R� gồm các lớpghép r m t t,  0,1, 2 Khi đó vành đầy đủ theo tôpô m -adic của

Rkí hiệu bởi ˆR, đợc định nghĩa bằng cách thông thờng theongôn ngữ của dãy Cauchy nh sau: Một dãy Cauchy trong Rlà mộtdãy (r n) các phần tử của R sao cho với mọi t 0,tồn tại số tự nhiên0

r  �r m với mọi n m n,  0 Dãy (r n) đợc gọi là hội tụ về dãykhông nếu mọi t 0 tồn tại số tự nhiên n0 để r n- 0 = r n  m t t với

mọi n >n 0 Hai dãy Cauchy ( r n) và ( s n) đợc gọi là tơng đơng,

ký hiệu (r n)  (s n) nếu dãy (r n- s n) là dãy không Khi đó quan

hệ  trên tập các dãy Cauchy là quan hệ tơng tơng Ta kýhiệu ˆR là tập các lớp tơng đơng của các dãy Cauchy

Chú ý rằng nếu (r n) v à (s n) là các dãy Cauchy thì cácdãy (r n + s n), (r n, s n) cũng là các dãy Cauchy và lớp tơng đơngcủa các dãy (r n+ s n), (r n,s n) là không phụ thuộc vào việc chọncác đại diện của các lớp tơng đơng của các dãy Cauchy (r n)

toán 2 ngôi + và ; cùng với 2 phép toán này ˆR lập thành mộtvành Mỗi phần tử r R� có thể đồng nhất với lớp tơng đơng củadãy Cauchy mà tất cả các phần tử trong dãy đều là r Vì thế

ta có một đơn cấu tự nhiên giữa các vành

R  ˆR

)

(r

r 

trong đó ( r) là dãy mà tất cả các phần tử của nó đều là r

1.5 Chiều Krull của môđun

Một dãy giảm các iđêan nguyên tố của vành R:

0 1 n

đợc gọi là một xích nguyên tố có độ dài n Cho p�Spec R Cận

trên của tất cả các độ dài của các xích nguyên tố với p 0 =p đợc

gọi là độ cao của p, ký hiệu là ht( )p , nghĩa là

ht( )p =sup {độ dài các xích nguyên tố với

p0=p}

Cho I là một iđêan của R khi đó độ cao của iđêan I đợc định

nghĩa nh sau

ht I( ) inf  ht p( ) /p�SpecR p, �I 

Cận trên của tất cả các xích nguyên tố trong R đợc gọi là chiều

Krull của vành R, ký hiệu là dimR.

Cho M là một R-môđun khi đó dim(R Ann R M )đợc gọi là

1.6 Hệ tham số

1.6.1 Định nghĩa Cho Rlà một vành giao hoán, địa phơng,Noether với iđêan cực đại duy nhất m; M là một R-môđun hữhạn sinh có chiều Krull dimM  fd 0

(i) Một hệ gồm d phần tử x: ( , , , )  x x1 2 x d của m đợc gọi là một hệ

tham số của M nếu l M( / ( , , , ) )x x1 2 x M d  � (ở đây l(*) là kí hiệuchỉ độ dài của R-môđun)

(ii) Iđêan đợc sinh bởi một hệ tham số đợc gọi là một iđêan

tham số.

(iii) Nếu x: ( , , , )  x x1 2 x d là một hệ tham số của môđun M thì hệ

các phần tử ( , , , )x x1 2 x i đợc gọi là một phần hệ tham số với mọi

1, 2,

i d

1.6.2 Mệnh đề (i) Mọi hoán vị của một hệ tham số của

(ii) Nếu x: ( , , , )  x x1 2 x d là một hệ tham số của môđun M và

(iii).Nếu x: ( , , , )  x x1 2 x d là một hệ tham số của môđun M thì

1

(iv) Nếu x: ( , , , )  x x1 2 x d là một hệ tham số môđun M thì x cũng

.

1.7 Đối ngẫu Matlis

Cho (R m, ) là một vành địa phơng Kí hiệu E R(  )m là baonội xạ của trờng thặng d R m/ của R Xét hàm tử D( )  = HomR( -,

(

E R )m ) từ phạm trù các R-môđun đến chính nó Vì E R(  )m là

môđun nội xạ nên D( )  là hàm tử khớp Hàm tử D( )  đợc gọi là

HomR(M, E R(  )m ) đợc gọi là môđun đối ngẫu Matlis của môđun

M

1.8 Biểu diễn thứ cấp cho môđun Artin

Chúng ta nhắc lại khái niệm biểu diễn thứ cấp theo thuậtngữ của Macdonald

1.8.1 Định nghĩa (i) Một R-môđun M � đợc gọi là thứ cấp

nếu với mọi r R� , phép nhân bởi rtrên M là toàn cấu hoặc luỹlinh Trong trờng hợp này Rad(AnnR M ) là một iđêan nguyên tố,chẳng hạn pvà ta gọi M là p -thứ cấp.

(ii) Cho M là một R-môđun Một biểu diễn thứ cấp của môđun

M là một sự biểu diễn thành tổng các môđun con

1 2 n

M M M  M , trong đó M i là p i-thứ cấp với mọi i 1, 2, n Trongtrờng hợp M  hoặc M có một biểu diễn thứ cấp thì ta nói M

là biểu diễn đợc Biểu diễn thứ cấp này gọi là tối thiểu

nếu các iđêan nguyên tố p i là đôi một khác nhau và không cóhạng tử M i nào thừa

1.8.2 Nhận xét (i) Khái niệm môđun con nguyên sơ theo

một nghĩa nào đó đỗi ngẫu với khái niệm môđun con thứ cấp.(ii) Nếu M1 và M2 là các môđun con p -thứ cấp của R-môđun

M thì M1+M1cũng là môđun con p -thứ cấp Vì thế mọi biểudiễn thứ cấp của M đều có thể quy về một biểu diễn tốithiểu

1.8.3 Mệnh đề Cho M = M1 + + M n , trong đó M i là các p i thứ cấp, i 1, 2, n là một biểu diễn thứ cấp tối thiểu của R -

-môđun M Khi đó tậpp p1, 2 , ,p n là độc lập với việc chọn biểu

Tập  p p1, 2 , ,p n xác định nh trên đợc gọi là các tập iđêannguyên tố gắn kết của M và ký hiệu AttR M Các hạng tử M i,

1, 2,

i ngọi là các thành phần thứ cấp của M Nếu p i là tối thiểutrong AttR M thì M i đợc gọi là thành phần thứ cô lập Chú ýrằng các thành phần thứ cấp tối thiểu của M không phụ thuộcvào biểu diễn thứ cấp tối thiểu của M

1.8.4 Mệnh đề Cho 0� M� M �M��  là dãy khớp các môđun biểu diễn đợc Khi đó

AttM�� AttM � AttM� � AttM �

1.8.5 Định lý Cho A là R -môđun Artin Khi đó A có biểu diển thứ cấp tối thiểu.

1.9 Chiều Noether của môđun Artin

1.9.1 Định nghĩa Chiều Noether của M , ký hiệu bởi

dim

N M , đợc định nghĩa nh sau: Khi M  0 đặt N dimM   1.Bằng qui nạp, cho một số nguyên d �0, ta đặt N dimM d nếu

d M

N dim  là sai và với mỗi dãy tăng M o �M1 � � M n � cácmôđun con của M tồn tại số nguyên n0 sao cho N dim(M n1 /M n) d

, với mọi n n 0

Nh vậy, N dimM  0 khi và chỉ khi M � 0 và M là Noether

1.9.2 Mệnh đề (i) Cho 0 �M' ��f�M ��g�M'' � 0 là dãy khớp

Mọi môđun Artin A đều có một biểu diễn thứ cấp tốithiểu A A  1 A2   A n, trong đó không cóA i nào là thừa Tập hợp

của A và đợc ký hiệu bởi AttR(A) Tập các iđêan nguyên tố tốithiểu của V(AnnR A) là tập tất cả các iđêan nguyên tố chứaAnnR A, chính là tập các iđêan nguyên tố tối thiểu của AttR(A).Chiều Krull của A, ký hiệu dimR A là cận trên của các số dim /R p

khi pchạy trên AttR A Để thuận tiện chúng ta quy ớc dimR A = -1

nếu2 A =0.

Định lý sau đây chỉ ra mối quan hệ giữa N -dimR A và

dimR A

1.9.3 Định lý Các phát biểu sau đây là đúng.

(ii) N-dim R A � dim R A

1.9.4 Hệ quả Nếu ( R m, ) là vành địa phơng đầy đủ thì

N -dimR A = dimR A.

1.10 Môđun đối đồng điều địa phơng

1.10.1 Định nghĩa Cho I là iđêan của vành giao hoán, có

đơn vị Noether R Khi đó hàm tử I -xoắn I( )từ phạm trù các

R-môđun đợc xác định bởi ( ) 1( 0 : n)

M n





  là hàm tử cộng tính,khớp trái ,hiệp biến trong phạm trù các R-môđun với các hàm tửdẫn xuất thứ i là R iI( ),i 1 , 2 , Ta có các hàm tử đối đồng điều

địa phơng i  ,

I

H i�� Môđun đối đồng điều địa phơng thứ i

1.10.2 Nhận xét Từ định nghĩa trên ta ta có thể xác định

môđun đối đồng điều địa phơng i  

m

H M nh sau: Trớc hết talấy lời giải nội xạ I của M

I

H M không phụ thuộcvào việc chọn lời giải nội xạ I của M

1.10.3 Mệnh đề Cho �là tập các số tự nhiên, ta kí hiệu

Noether khi dimR(M)  0

linh hoá tử của môđun ARTIN

cực đại duy nhất m a là một R-môđun Artin và M là một

R-môđun hữu hạn sinh với chiều Krull dim M   d 0 Trớc hết ta

thấy rằng nếu p là một iđêan nguyên tố của R chứa AnnRM, khi

đó pSuppM nên Mp0 Theo Bổ đề Nakayama ta suy ra

Một cách tự nhiên, đối với lớp môđun Artin A, Nguyễn Tự

C-ờng và Lê Thanh Nhàn [5] đã xột tớnh chất sau và họ gọi tớnh chất này làtớnh chất (*):

AnnR (0: A p)= p với mọi iđờan nguyờn tố p AnnR A

Tuy nhiên tính chất (*) lại không đúng cho tất cả các môđun

Artin A, kể cả trờng hợp d( )

m

A H M là mụđun đối đồng điều địa phương

cấp cao nhất của mụđun hữu hạn sinh M với giỏ là iđờan cực đại m

Trong cỏc bài bỏo [5] và [6], cỏc tỏc giả đã nghiờn cứu tớnh chất (*) củamụđun Artin và tớnh chất (*) của mụđun đối đồng điều địa phương cấp cao nhất( )

d

m

H M Trong chương này chỳng tụi trình bày về tính chất (*) củamôđun Artin và tính chất (*) của môđun đối đồng điều địaphơng cấp cao nhất dựa vào [5] và [6]

2.1 Tính chất (*) của môđun Artin

Giả sử R là vành đầy đủ theo tôpô m -adic Khi đó D A( )là

R-môđun hữu hạn sinh Vì AnnR A= AnnR D A( ) nên áp dụng tínhchất linh hoá tử cho môđun D A( ) ta có :

AnnR(0 :A p) = AnnR( (0 :D A p)) = AnnR( ( ) /D A pD A( ))  p

với mọi iđêan nguyên tố p�AnnR A = AnnR D A( ) Vì vậy tínhchất (*) luôn đúng cho mọi môđun Artin trên vành địa phơng

đầy đủ Tuy nhiên tính chất (*) lại không còn đúng khi vành R

không đầy đủ Dới đây chúng tôi trình bày ví dụ về mộtmôđun Artin không thoã mãn tính chất (*) Chú ý rằng với mỗi sốnguyên i, môđun đối đồng điều địa phơng thứ i với giá cực

đại i ( )

m

H M của M luôn là R-môđun Artin

2.1.1 Ví dụ Tồn tại một môđun Artin trên vành Noether địa

phơng không thoã mãn tính chất (*)

xây dựng bởi D Ferrand và M Raynaud thỏa mãn tính chất tồn