SỰ PHÂN TÍCH của các MÔĐUN tựa LIÊN tục THÀNH TỔNG TRỰC

MỤC LỤC..........................................................................................1 LỜI NÓI ĐẦU...................................................................................2 Chương 1. Nửa nhóm các phép biến đổi đầy đủ............................4 1.1. Nửa nhóm các phép biến đổi đầy đủ............................................4 1.2. Các quan hệ Green trên nửa nhóm...............................................5 1.3. Các quan hệ Green trên nửa nhóm các phép biến đổi đầy đủ......8 Chương 2. Hạng của nửa nhóm các phép biến đổi bảo toàn thứ tự.......................................................................................................11 2.1. Nửa nhóm các phép biến đổi bảo toàn thứ tự.............................11 2.2. Nửa nhóm các phép biến đổi bộ phận bảo toàn thứ tự...............13 2.3. Nửa nhóm các phép biến đổi bộ phận bảo toàn thứ tự chặt.......16 KẾT LUẬN......................................................................................17 TÀI LIỆU THAM KHẢO .............................................................18

NGUYỄN XUÂN TIẾN

SỰ PHÂN TÍCH CỦA CÁC MÔĐUN TỰA LIÊN

TỤC THÀNH TỔNG TRỰC

TÓM TẮT luËn v¨n th¹c sÜ to¸n häc

Chuyªn ngµnh: §¹i Sè VÀ Lý thuyÕt sè

M· sè: 60.46.05

Ngêi híng dÉn khoa häc

PGS.TS Lª Quèc H¸n

Vinh 2010

Luận văn được hoàn thành tại trường Đại học Vinh

Phản biện 1: PGS TS Nguyễn Thành Quang Phản biện 2: PGS TS Ngô sĩ Tùng

Luận văn được bảo vệ tại Hội đồng chầm luận văn thạc sỹ tại Đại học Vinh lúc giờ, ngày tháng năm 2010

Có thể tìm hiểu Luận văn tại thư viện trường Đại học Vinh

MỤC LỤC

Trang

MỤC LỤC 1

LỜI NÓI ĐẦU 2

Chương 1 Nửa nhóm các phép biến đổi đầy đủ 4

1.1 Nửa nhóm các phép biến đổi đầy đủ 4

1.2 Các quan hệ Green trên nửa nhóm 5

1.3 Các quan hệ Green trên nửa nhóm các phép biến đổi đầy đủ 8

Chương 2 Hạng của nửa nhóm các phép biến đổi bảo toàn thứ tự 11

2.1 Nửa nhóm các phép biến đổi bảo toàn thứ tự 11

2.2 Nửa nhóm các phép biến đổi bộ phận bảo toàn thứ tự 13

2.3 Nửa nhóm các phép biến đổi bộ phận bảo toàn thứ tự chặt 16

KẾT LUẬN 17

TÀI LIỆU THAM KHẢO 18

LỜI NÓI ĐẦU

Giả sử X n1, 2, ,n , giả sử Tn là nửa nhóm các phép biến đổi

đầy đủ trên Xn, và giả sử Sing nT n: im  n 1 là nửa nhóm tất cả các tự ánh xạ suy biến của Xn

Giả sử O n Sing n:x y X x,  n  y xy là nửa nhóm con của Singn gồm tất cả các tự ánh xạ suy biến bảo toàn thứ

tự của Xn Nửa nhóm này đã được nghiên cứu trong [6], trong đó đã

chứng minh rằng

1 1

n

n O

n





!( )!

k n

C

 

 



 

Năm 1976, Howie và M.John đã chứng tỏ rằng, tập hợp tất cả các luỹ đẳng của On có lực lượng f 2n 1, trong đó f2n là số Fibônaxi

thứ 2n Họ đã chứng minh được rằng : On được sinh bởi tập hợp E1

các luỹ đẳng với số khuyết 1 (Số khuyết của một phần tử  của Tn

được xác định bởi n im   )

Giả sử S là nửa nhóm hữu hạn, khi đó hạng của S xác định bởi

rank S min A AS A S Nếu S được sinh bởi tập hợp các luỹ đẳng E của nó, thì hạng luỹ đẳng của S được xác định bởi :

idrank S min A A E A S

Mục đích của luận văn này là dựa trên bài báo On the ranks of certain semigroups of order-preserving transformations của các tác

giả Gomes và Howie đăng trên tạp chí Semigroup Forum năm 1992,

để tìm hiểu hạng và hạng luỹ đẳng của On và nửa nhóm

PO O   domX x y dom    xy của tất cả các phép biến đổi bảo toàn thứ tự bộ phận của Xn(loại trừ ánh

xạ đồng nhất), và nhận được các giá trị hạng và hạng luỹ đẳng của

nó Đồng thời cũng quan tâm đến nửa nhóm SPOn  PO On \ n các

ánh xạ bảo toàn thứ tự bộ phận chặt của Xn và hạng của nó bằng

2n  2 Nửa nhóm này không được sinh bởi các luỹ đẳng và do đó vấn đề về hạng luỹ đẳng không được đặt ra

Luận văn được trình bày thành hai chương:

Chương 1 Nửa nhóm các phép biến đổi đầy đủ Trình bày các

khái niệm và tính chất cơ bản của nửa nhóm các phép biến đổi đầy

đủ và các quan hệ Green trên nửa nhóm, nửa nhóm các phép biến đổi đầy đủ

Chương 2 Hạng của nửa nhóm các phép biến đổi bảo toàn thứ

tự Chỉ ra hạng, hạng luỹ đẳng của nửa nhóm các phép biến đổi bảo

toàn thứ tự On, POn và SPOn.

Luận văn này được thực hiện và hoàn thành tại trường Đại học Vinh, dưới sự hướng dẫn của PGS.TS Lê Quốc Hán Nhân dịp này tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc tới PGS.TS Lê Quốc Hán, người đã định hướng nghiên cứu, thường xuyên quan tâm, tạo mọi điều kiện thuận lợi, cùng với những lời động viên khích

lệ tác giả trong suốt quá trình học tập nghiên cứu

Tác giả xin chân thành cảm ơn Ban chủ nhiệm khoa Toán, khoa Sau Đại học, các thầy giáo, cô giáo trong tổ Đại số và nhóm Seminar chuyên ngành đã động viên, giúp đỡ tôi trong quá trình viết và chỉnh sửa luận văn này

Mặc dù đã rất cố gắng, song luận văn không thể tránh khỏi những hạn chế và thiếu sót, chúng tôi rất mong nhận được những sự đóng góp quý báu từ các thầy giáo, cô giáo và các bạn để luận văn được hoàn thiện hơn

Chúng tôi xin chân thành cảm ơn

Vinh, tháng 10 năm 2010

Tác giả

CHƯƠNG 1 NỬA NHÓM CÁC PHÉP BIẾN ĐỔI ĐẦY ĐỦ

Trong chương này chúng tôi nhắc lại các khái niệm và các tính chất cơ bản trong Lý thuyết nửa nhóm liên quan đến chương sau

1.1 Nửa nhóm các phép biến đổi đầy đủ

Giả sử S là một tập hợp tuỳ ý Khi đó mỗi ánh xạ f S S :   S

được gọi là một phép toán hai ngôi trên miền xác định S Với mỗi cặp thứ tự  x y ,    S S, ảnh f x y ( , ) được gọi là tích của hai phần

tử x và y Chúng ta ký hiệu đơn giản xy thay cho f x y ( , )

1.1.1.Định nghĩa Cặp ( , ) S f ( hay ( ,.) S , hoặc chỉ đơn giản S nếu không gây nhầm lẫn ) được gọi là một phỏng nhóm Một phỏng

nhóm S được gọi là một nửa nhóm, nếu phép toán có tính chất kết

hợp, nghĩa là với mọi x y z S , ,  có ( ) xy z x yz  ( )

1.1.2 Định nghĩa Một nửa nhóm S được gọi là vị nhóm, nếu S có đơn vị Đơn vị của một vị nhóm S thường được ký hiệu là 1s hay đơn giản 1

Đối với một nửa nhóm S chúng ta xác định một vị nhóm S1

bằng cách bổ sung một đơn vị cho S, nếu S không có đơn vị

 

1 ,

1 ,

S S

S







 trong đó 1 là một phần tử đơn vị ( mới ), 1 S

Giả sử S là một nửa nhóm tuỳ ý Phần tử z S được gọi là

phần tử không bên trái nếu zy z y S    , Tương tự, z S được

gọi là phần tử không bên phải nếu yz z y S    , và được gọi là

phần tử không nếu nó vừa là phần tử không bên trái vừa là phần tử

không bên phải của S

nếu S là vị nhóm nếu S không phải vị nhóm

Phần tử e S được gọi là một luỹ đẳng nếu e2  e Tập tất cả các luỹ đẳng của S được ký hiệu là E E  S

1.1.3 Định nghĩa Giả sử S là một nửa nhóm và A là tập con không rỗng của S Khi đó A được gọi là nửa nhóm con của S nếu

A đóng kín dưới phép lấy tích, nghĩa là với mọi x y A ,  có

xy A 

1.1.4 Bổ đề Giả sử  A i Ii|   là một họ các nửa nhóm con tuỳ ý của S sao cho i

i I



  không rỗng Khi đó A là một nửa nhóm con của S

Đối với mỗi tập con không rỗng X của nửa nhóm S, ký hiệu

S

X là giao của tất cả các nhóm con của S chứa X Theo Bổ đề 1.1.4, X S là một nửa nhóm con của S gọi là nửa nhóm con sinh bởi X , và nó là nửa nhóm con bé nhất của S chứa X Trong trường hợp nửa nhóm S đã được xác định rõ ràng trong ngữ cảnh đang xét, thì ta sẽ viết X thay cho X S.

Nếu X   x x1, , 2  là một tập hữu hạn hay vô hạn đếm được, thì ta sẽ ký hiệu x x1, , 2 thay cho x x1, , 2 s Nói riêng, nếu X

là tập đơn tử, X    x thì ta sẽ viết X thay cho X S.

1.1.5 Định lý Giả sử X là tập con không rỗng của nửa nhóm con

1

| 1,

n

S n



1.1.6 Định nghĩa Giả sử S là nửa nhóm hữu hạn Khi đó hạng của

S xác định bởi : rank S min A A   :  S A ,  S 

Nếu S được sinh bởi tập hợp các luỹ đẳng E của nó, thì hạng luỹ đẳng của S được xác định bởi:

idrank S min A A   E A  S

1.2 Các quan hệ Green trên nửa nhóm

1.2.1 Định nghĩa Giả sử S là một nửa nhóm ta định nghĩa các quan hệ L, R, J sau đây trên S:

aLb  S a S b1  1

aRb  aS1 bS1

aJ b  S aS1 1  S bS1 1

trong đó S a aS1 , 1 và S aS1 1 là các iđêan chính trái, chính phải và iđêan chính của S được sinh bởi a

Theo định nghĩa, aLb   s s , '  S a sb :  và b s a '

aRb   r r , '  S a br :  và b ar '

Từ định nghĩa trực tiếp suy ra các quan hệ L, R và J là các quan hệ tương đương trên S Thực ra, L là một tương đẳng phải và R là một tương đẳng trái trên S

Với mỗi x S , ta ký hiệu Lx là L - lớp tương đương chứa x:

x

L {y S  |xLy}.

Tương tự, Rx và Jx là các ký hiệu lớp tương đương theo R và J

tương ứng chứa x.

1.2.2 Định lý Các quan hệ L và R giao hoán: L R = R L

1.2.3 Định nghĩa Giả sử L và R là các quan hệ tương đương đã

được xác định theo Định nghĩa 1.2.1 Ta xác định các quan hệ trên

S bởi: D =L R = R L và H = RL

Khi đó H là quan hệ tương đương lớn nhất của S được chức trong L và R theo Lý thuyết tập hợp Ta chứng minh D là quan hệ

tương đương bé nhất chứa L và R.

Thật vậy, vì L và R là các quan hệ tương đương nên D =L R là

các quan hệ tương đương Hơn nữa, xLx và xRx với mọi x S  1

nên L D và RL Nếu C là một quan hệ tương đương trên S

chứa L R thì DC, nên D là quan hệ tương đương bé nhất chứa

L và R

Biểu đồ bao hàm của các quan hệ Green được cho bởi hình sau với chú ý DJ.

Ký hiệu Dx và Hx là các D - lớp và H - lớp tương ứng chứa

x S Khi đó với mọi x, có Lx Rx  Hx

1.2.4 Bổ đề Đối với mỗi nửa nhóm S , ta có

x D y  Lx Ry   Ly Rx .

Hơn nữa

y D y D

Bây giờ, ta nêu bổ đề Green và các hệ quả của nó

Giả sử S là một nửa nhóm với mỗi s S chúng ta xác định một ánh xạ: s: S1 S1, s  z  sz z S ,   1

1.2.5 Bổ đề Giả sử S là một nửa nhóm, xL y và giả sử s s , '  S1

sao cho sxy và s y x '  Thế thì

(i) s: Rx  Ry và s': Ry Rx là các song ánh.

(ii) s'  s1 là hàm ngược của s hạn chế trên Rx .

(iii) s bảo toàn các H - lớp, nghĩa là đối với mọi:

u v R u ,  x: Hv  s  u Hs  v

Nói riêng, s ánh xạ mỗi H - lớp Hz (với z R  x) song ánh vào

H - lớp Hs( ) x .

Dạng đối ngẫu của Bổ đề 1.2.5 được chứng minh tương tự Ở đây

:

r S S

  được xác định bởi r( ) z  zr z S ,  

1.2.6 Bổ đề Giả sử S là một nửa nhóm, yRx và giả sử r r , '  S1

sao cho yr z và zr '  y Thế thì

J

D

L

H

R

(i) r: Ly  Lz và r': Lz  Ly là các song ánh.

(ii) r' r1

 là hàm ngược của r được hạn chế trên Ly . (iii) r bảo toàn các R- lớp, nghĩa là wRy(w) đối với mọi y

w L  .

1.2.7 Hệ quả (i) Giả sử e E  S là một lũy đẳng Nếu x L e thì

xe x Nếu xRe thì ex x .

(ii) Mỗi H - lớp chứa không quá một luỹ đẳng.

1.2.8 Hệ quả Các H - lớp nằm trong một D - lớp có cùng lực lượng, nghĩa là tồn tại một song ánh giữa Hx và Hy nếu x D y

Kết quả sau đây là Định lý định vị của Miller và Clifford (1956)

1.2.9 Định lý Giả sử x y S ,  Thế thì xy R  x Ly  Ry Lx chứa một luỹ đẳng duy nhất.

Trong Định lý Green sau đây, G được gọi là một nhóm con của

nửa nhóm S nếu G là một nửa nhóm con mà bản thân G là một nhóm

1.2.10 Bổ đề Giả sử e f ,  ES Thế thì với mọi x R  e Lf tồn tại y R  f  Le sao cho xy e và yx  f .

1.2.11 Định lý Giả sử H là một H - lớp của nửa nhóm S Thế thì các điều kiện sau đây là tương đương

(i) H chứa một luỹ đẳng.

(ii) Tồn tại x y H ,  sao cho xy H  .

(iii) H là một nhóm con của S

1.3 Các quan hệ Green trên nửa nhóm các phép biến đổi đầy đủ 1.3.1 Định nghĩa Giả sử X là một tập hợp tuỳ ý Ký hiệu TX là

tập hợp tất cả các ánh xạ từ X lên X Khi đó TX cùng với phép nhân ánh xạ là nửa nhóm Nửa nhóm TX được gọi là nửa nhóm các phép biến đổi đầy đủ của X

1.3.2 Định nghĩa Giả sử TX là nửa nhóm các phép biến đổi đầy đủ

của X Ta gắn mỗi phần tử  thuộc TX với hai khái niệm:

  1 Miền giá trị X của phép biến đổi 

  2 Phân hoạch 1



     của tập X liên kết với , tức là quan hệ tương đương trên X xác định như sau: x y x y X ,    nếu x y

Giả sử  

là một ánh xạ tự nhiên từ X lên tập X /  các lớp tương đương của X theo mod  Khi đó ánh xạ x  x  là ánh xạ một - một từ X /  lên X Từ đó suy ra rằng

/

X   X Bản số đó được gọi là hạng của phép biến đổi  Nếu y X  và   TX thì ta định nghĩa y1

là tập tất cả các

x X mà x y

1.3.3 Bổ đề Với    , TX tồn tại phép biến đổi   TX sao cho

   khi và chỉ khi X   X  Do đó  L khi và chỉ khi

X   X 

1.3.4 Bổ đề Với    , TX tồn tại   TX sao cho    khi và chỉ khi    Do đó R khi và chỉ khi   .

1.3.5 Bổ đề Giả sử  là một phân hoạch của tập X và giả sử Y

là một tập con của X sao cho X /   Y Khi đó tồn tại phép biến đổi   TX sao cho    và X Y

1.3.6 Bổ đề Hai phần tử thuộc nửa nhóm TX là D -lớp tương

đương khi và chỉ khi chúng có cùng một hạng

1.3.7 Định lý Giả sử TX là nửa nhóm toàn thế các phép biến đổi trên tập X

  i Trong TX các quan hệ D và L trùng nhau.

  ii Tồn tại tương ứng một - một giữa tập hợp tất cả các iđêan chính của TX và tập tất cả các bản số r  X sao cho iđêan chính

tương ứng với r gồm tất cả các phần tử thuộc TX mà hạng không vượt quá r .

  iii Tồn tại tương ứng một - một giữa tập tất cả các D - lớp của

X

T và tập tất cả các bản số r  X sao cho D - lớp Dr ứng với r

gồm tất cả các phần tử thuộc TX mà hạng bằng r .

  iv Giả sử r là một bản số  X Tồn tại tương ứng một - một giữa tập tất cả các L- lớp chứa trong Dr và tập tất cả các tập con

Y của X lực lượng r , sao cho L- lớp tương ứng với tập Y gồm tất

cả các phần tử thuộc TX mà Y là miền giá trị.

  v Giả sử r là một bản số  X Tồn tại tương ứng một - một giữa tập tất cả các R- lớp chứa trong Dr và tập tất cả các phân hoạch  của tập X mà X /   r, sao cho R- lớp tương ứng với

 gồm tất cả các phần tử thuộc TX mà các phân hoạch với chúng trùng với .

  vi Giả sử r là một bản số  X Tồn tại tương ứng một - một giữa tập tất cả các H - lớp chứa trong Dr và tập tất cả các cặp

  ,Y , trong đó  là phân hoạch của tập X còn Y là tập con của

X mà X /   Y  r sao cho H - lớp ứng với cặp   ,Y , gồm tất cả các phần tử thuộc TX mà các phân hoạch liên kết với chúng trùng với  còn các miền giá trị trùng với Y

1.3.8 Định lý Giả sử Y là một tập con của tập X và giả sử  là một phân hoạch của X sao cho Y  X  / Giả sử H là H -lớp của TX ứng với cặp   ,Y .

  i H chứa luỹ đẳng khi và chỉ khi Y giao với mỗi lớp tương đương của X mod  theo đúng một phần tử

  ii H chứa luỹ đẳng thì H là một nhóm đẳng cấu với nhóm đối xứng GY trên tập Y .

CHƯƠNG 2 HẠNG CỦA NỬA NHÓM CÁC PHÉP BIẾN ĐỔI BẢO TOÀN THỨ TỰ

2.1 Nửa nhóm các phép biến đổi bảo toàn thứ tự

2.1.1 Định nghĩa và ký hiệu Giả sử Xn   1, 2, , n 

Ký hiệu Tn là nửa nhóm các phép biến đổi đầy đủ trên Xn.

Ký hiệu Singn     T imn:    n 1  là nửa nhóm tất cả các

tự ánh xạ suy biến của Xn

Ký hiệu On     Singn:   x y X x y ,  n   x   y   là nửa nhóm con của Singn gồm tất cả các tự ánh xạ suy biến bảo toàn

thứ tự của Xn.

Rõ ràng On là nửa nhóm chính quy của Tn,chúng ta có trong On:

 L nếu và chỉ nếu im   im 

R nếu và chỉ nếu ker   k er 

 J nếu và chỉ nếu | im | |   im |  Như vậy On, giống như bản thân Tn, là hợp của các J -lớp

1, , ,2 n 1

J J J  trong đó Jr     O imn:   r  Chúng tôi dành

sự quan tâm đặc biệt đối với J- lớp Jn1 tại chóp đỉnh của nửa nhóm

này

Đối lập với Singn, nửa nhóm On không tuần hoàn (nghĩa là các

H - lớp tầm thường); chỉ trong lần này thôi chúng ta cố định im

và ker  có đúng một ánh xạ bảo toàn thứ tự với ảnh và hạt nhân cho trước Dễ dàng thấy rằng các  k  er -lớp là các tập con lồi C

của Xn, theo nghĩa nếu x y C x z ,  ,   y kéo theo z C Như vậy, bằng cách ký hiệu , i j là tương đương trên Xn mà lớp

không chứa thì một phần tử duy nhất là  , i j  , chúng ta thấy rằng các R- lớp trong J -lớp Jn1 được đánh số bởi n 1 tương đương

1, 2 ,| 2,3|, ,| n  1, | n Các L - lớp tương ứng với n ảnh có thể