Sang Kien Kinh Nghiem Hay

Đặc biệt là các bài toán hình học Môn Toán là một môn khoa học, những tri thức, kỹ năng toán học cùng với phương pháp làm việc trong toán học trở thành công cụ để học tập những môn khoa [r]

PHẦN 1:

MỞ ĐẦU

LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI:

Qua quá trình dạy Toán nhiều năm, tôi nhận thấy rằng: “Có nhiều em học

thuộc lòng lý thuyết (định nghĩa, định lý, tính chất, quy tắc, nhưng vẫn không giải được bài tập; đặc biệt là phần hình học”

Trong toán học bao gồm nhiều nội dung, dạng toán khác nhau Các dạng toán có thể không liên quan, ít liên quan, cũng có thể liên quan mật thiết với nhau Song học sinh rất khó nhận ra điều này Đặc biệt là các bài toán hình học Môn Toán là một môn khoa học, những tri thức, kỹ năng toán học cùng với phương pháp làm việc trong toán học trở thành công cụ để học tập những môn khoa học khác, môn Toán là công cụ của nhiều ngành khoa học

Môn Toán giúp cho học sinh hình thành và phát triển những phương pháp, phương thức tư duy và hoạt động như toán học hoá tình huống thực tế, thực hiện và xây dựng thuật toán, phát hiện và giải quyết vấn đề Những kỹ năng này rất cần cho người lao động trong thời đại mới

Môn Toán góp phần phát triển nhân cách con người, ngoài việc cung cấp những kiến thức, kỹ năng toán học, môn Toán góp phần phát triển năng lực trí tuệ chung như phân tích, tổng hợp, trừu tượng hoá, khái quát hoá

Ta thấy được môn Toán có vai trò rất quan trọng trong đời sống và trong

kỹ thuật Vì vậy người thầy phải có phương pháp dạy học để phát huy được tính tích cực học tập của học sinh ,nhất là học sinh giỏi

Theo như yêu cầu của bộ môn Toán nói chung , môn toán 8 nói riêng mỗi tiết học phải hạn chế lý thuyết kinh viện mà chủ yếu khai thác sâu bài tập và thực hành Trong mỗi bài tập , người thầy phải giúp hoc sinh phân tích từng khía cạnh của bài toán , rồi khai thác phát triển bài toán đó , thậm chí phải lật ngược lại vấn đề Nếu làm được việc đó thì học sinh càng hiểu sâu sắc bài

toỏn, dạng toỏn Từ đú sẽ kớch thớch được tớnh tũ mũ, khơi dậy cho học sinh tớnh sỏng tạo, khai thỏc được tiềm năng về mụn toỏn của học sinh

Với lý do đú tụi chọn viết sỏng kiến kinh nghiệm “Khai thỏc kết quả từ

một bài toỏn hỡnh học 8’’

Nội dung đề tài được trỡnh bày trờn cơ sở:

- Thụng qua việc giải cỏc bài tập trong sỏch giỏo khoa hỡnh thành cỏc bài tập cú nội dung phong phỳ và đa dạng hơn

- Bằng cỏc thao tỏc tư duy: phõn tớch, so sỏnh, tương tự, khỏi quỏt hoỏ, đặc biệt hoỏ, trừu tượng hoỏ hỡnh thành cỏc bài tập cú nội dung tương tự, tổng quỏt,… từ cỏc bài tập trong sỏch giỏo khoa, sỏch bài tập

- Thụng qua việc phỏt triển cỏc bài toỏn, hỡnh thành chuỗi cỏc bài tập cú nội dung liờn quan, lấy bài tập này làm cơ sở để phỏt triển cỏc bài kế tiếp

- Ngoài ra bằng cách thay đổi, thêm, bớt một số yếu tố trong đề bài của các bài toán, hoặc thay đổi cách hỏi ta cũng có các bài toán thú vị và khá độc đáo Trong hoạt động dạy và học Toỏn núi chung, đối với bộ mụn hỡnh học núi riờng thỡ vấn đề khai thỏc, nhỡn nhận một bài toỏn cơ bản dưới nhiều gúc độ khỏc nhau nhiều khi cho ta những kết quả khỏ thỳ vị Ta biết rằng ở trường phổ thụng, việc dạy toỏn học cho học sinh thực chất là việc dạy cỏc hoạt động toỏn học cho họ Cụ thể như khi truyền thụ cho học sinh một đơn vị kiến thức thỡ ngoài việc cho học sinh tiếp cận, nắm vững đơn vị kiến thức đú thỡ một việc khụng kộm phần quan trọng là vận dụng đơn vị kiến thức đó học vào cỏc hoạt động toỏn học Đõy là một hoạt động mà theo tụi, thụng qua đú dạy cho học sinh phương phỏp tự học - Một nhiệm vụ quan trọng của người giỏo viờn đứng lớp

Xuất phỏt từ quan điểm trờn, vấn đề khai thỏc và cựng học sinh khai thỏc một bài toỏn cơ bản trong sỏch giỏo khoa để từ đú xõy dựng được một hệ thống bài tập từ cơ bản đến nõng cao đến bài toỏn khú là một hoạt động khụng thể thiếu đối với người giỏo viờn

PHẦN 2:

NỘI DUNG 2.1 CƠ SỞ LÍ LUẬN.

Trong mục tiêu môn Toán THCS đã nêu lên rằng: “Rèn luyện khả năng suy luận lôgic; khả năng quan sát và dự đoán, phát triển trí tưởng tượng không gian Rèn luyện kỹ năng sử dụng ngôn ngữ chính xác Bồi dưỡng các phẩm chất tư duy như: linh hoạt, độc lập, sáng tạo”

Chúng ta đã biết hệ thống kiến thức trong chương trình đã được biên soạn lôgíc Hệ thống bài tập trong SGK và SBT đã được biên soạn công phu, chọn lọc, sắp xếp một cách khoa học, phù hợp với khả năng nhận thức của học sinh

Để đạt được mục tiêu đó, mỗi thầy cô giáo chúng ta cần trang bị cho HS không chỉ kiến thức, kỹ năng làm bài tập Toán mà còn phải khơi dậy ở các em lòng say mê , tính tích cực, tự giác trong học tập Đây không chỉ là vấn đề của riêng ai! Nhưng làm thế nào để đạt được mục đích đó thì quả là không dễ chút nào

2.2 THỰC TRẠNG CỦA VẤN ĐỀ.

2.2.1 Đối với học sinh :

Đa số học sinh kể cả là học sinh giỏi khi giải xong bài toán là đã bằng lòng với kết quả đó Chính vì lý do đó nếu thay đổi một vài dữ kiện thì học sinh lúng túng

Trong thực tế nếu biết khai thác và phát triển bài toán này thì ta thấy bài toán rất hay, kích thích được sự tìm tòi khám phá kiến thức của học sinh

2.2.2 Đối với người thầy:

Năm học 2013 – 2014, tôi được phân công dạy Toán khối 8 Thực trạng cho thấy phần nhiều học sinh hiện nay vẫn còn tình trạng thụ động tiếp thu

kiến thức, hoặc chỉ là vận dụng máy móc kiến thức, chưa có tính sáng tạo, chưa phát huy được năng lực tự học, tự nghiên cứu của bản thân

Bên cạnh đó yêu cầu đặt ra cho mỗi con người trong thời đại mới phải thực sự tích cực, năng động và thích ứng với những thay đổi của điều kiện ngoại cảnh Đây cũng là yêu cầu mà Đảng và nhà nước ta đang đặt ra cho ngành giáo dục chúng ta

Có một thực tế mà ai đã từng cắp sách tới trường, đã từng tham dự các kỳ thi như KSCL, thi chọn HSG (trường, huyện, tỉnh ), đều nhận thấy: “Nếu chỉ dừng lại ở việc học thuộc và làm các bài tập ở SGK và SBT thôi thì vẫn có những câu, những ý không làm được” Đặc biệt là các kỳ thi chọn HSG, thi vào trường chuyên, lớp chọn Sở dĩ như vậy là vì trong các kỳ thi đó; các đề toán luôn đòi hỏi sự vận dụng linh hoạt, sáng tạo các kiến thức đã học, sự uyển chuyển trong các phương pháp giải, sự kết hợp giữa các bài tập tương tự

Để áp dụng chuyên đề này tôi thấy cần phải đảm bảo những điều kiện sau:

- Đối với học sinh :

+ Phải nắm chắc kiến thức cơ bản và vận dụng linh hoạt vào các bài toán khác

+ Phải có lòng say mê học tập không ngại khó không ngại khổ, được đầu tư thời gian, thường xuyên đọc các tài liệu tham khảo

- Đối với giáo viên :

+ Cần có nhiều thời gian và các tài liệu tham khảo để nghiên cứu và áp dụng vào các bài toán dạng toán cụ thể

+ Phải có trình độ chuyên môn vững vàng để không những có những lời giải hay mà còn khai thác và phát triển các bài toán thành những bài toán hay hơn, đa dạng hơn

2.3 PHẠM VI SỬ DỤNG:

Đề tài này được áp dụng cho tất cả học sinh và thầy cô tham khảo,tuy

nhiên đắc dụng nhất vẫn là học sinh lớp 8

Vì các lí do trên mà tôi chọn đề tài: “Khai thác kết quả từ một bài toán

hình học 8’’

2.4 CÁC BIỆN PHÁP GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ:

Khi dạy bài " Đối xứng trục" - Toán 8 tập 1 Tiết luyện tập tôi đã đưa ra bài toán cơ bản sau:

Bài toán 1: Cho hai điểm A và B nằm về hai phía của đường thẳng a Hãy

tìm trên a một điểm M sao cho AM + MB là ngắn nhất

Giải: Nối A với B cắt a tại điểm M

Dễ dàng chứng minh điểm đó thỏa mãn bài toán

Thật vậy, trên a lấy một điểm M' khác điểm M

Ta thấy rằng AM' +M'B  AB =AM+MB

Dấu "=" xảy ra khi M'M

Khai thác bài toán 1 tôi đưa ra câu hỏi:

Nếu hai điểm A,B nằm trong một nữa mặt phẳng bờ a thì cách tìm điểm M như thế nào?

Bài toán 2: (Đó là bài toán 39 b (trang 88 SGK)) Bạn Tú đang ở vị trí A

cần đến bờ sông để lấy nước rồi đi đến vị trí B (Hình 2)

Con đường ngắn nhất mà bạn Tú nên đi là

con đường nào?

Hướng dẫn giải: (Hình 2)

* Lấy A' đối xứng với A qua a

* Nối A'B cắt a tại M là điểm cần tìm

CM: Theo tính chất đỗi xứng trục ta có MA = MA'

 AM + MB bé nhất khi AM' + MB bé nhất khi và

chỉ khi A', M, B thẳng hàng

Tiếp tục khai thác bài toán 2 ta có bài toán 2.1

Bài toán 2.1:

Trên một nữa mắt phẳng bờ là đường thẳng a cho trước hai điểm A,B, trên

a hẵy tìm hai điểm M,N ( MN=d cho trước) sao cho AM + MN + NB bé nhất

A

M a

B Hình 1

B A

M a A'

Hình 2

Hướng dẫn giải:

Lấy A' đối xứng với A qua a, Nối A'B cắt a tại M

Trên a lấy MN = d (sao cho BN bé nhất) các điểm

M,N là các điểm cần tìm

Bài toán 3: (Bài toán gốc – Bài 46 trang 84 SGK Toán 8 Tập 2)

Trên hình vẽ, hãy chỉ ra các tam giác đồng dạng

Viết các tam giác này theo thứ tự các đỉnh tương ứng và giải thích vì sao chúng đồng dạng?

a) Phân tích bài toán:

b) Lời giải:

Ta có +) EBH  DCH (g.g) (1)

Vì : BEH=CDH=90   0 (gt)

EHB=DHC  (đối đỉnh)

+) ΔEBH  ΔDBA (g.g) (2)

Vì : B chung

và BEH=BDA=90   0 (gt)

- EBH  ECA (g.g) (3)

Vì :B= C (suy ra từ (1))

và BEH =CEA=900

- DCH  DBA (4)

(bắc cầu từ (1) và (2))

- DCH  ECA (5)

(bắc cầu từ (1) và (3))

-DBA ECA (6)

(bắc cầu từ (2) và (3))

c) Khai thác bài toán:

B

A

a

M N

A' Hình 5

+) Từ kết quả (1) (của bài toán 3): ΔEBH ΔDCH 

Cho ta các bài toán:

Bài toán 1.1: Cho tam giác nhọn ABC BD,CE là hai đường cao cắt nhau tại

H

Chứng minh rằng: HB.HD = HC.HE

( Từ bài này trở đi tôi xin miễn phân tích bài toán mà chỉ

trình bày bài giải và hướng khai thác)

Giải:

Ta có EBH  DCH (g.g) (theo (1) bài toán 1)

(đpcm)

Bài toán 1.2: Cho tam giác nhọn ABC AF, BD, CE là các đường cao cắt

nhau tại H

Chứng minh rằng: HA.HF=HB.HD=HC.HE

(Giải tương tự như bài toán 1.1- HS về nhà tự giải)

Khai thác bài toán:

Bài toán trên đúng cho cả trường hợp tam giác ABC là tam giác vuông, tam giác tù

(Xem như bài tập , HS về nhà tự làm)

Bài toán 1.3: Cho tam giác nhọn ABC BD, CE là hai đường cao cắt nhau tại

H

Chứng minh rằng: HBC HED

Giải:

Ta có EBH  DCH (g.g) (theo (1) của bài toán ( 1))

Xét HBC và HED có

EH DH (chứng minh trên)

BHC=EHD(đối đỉnh)

Suy ra HBC  HED (c.g.c)

+) Từ kết quả (2) (của bài toán 3): EBH  DBA ta có các bài tập sau:

Bài toán 2.1: Cho tam giác nhọn ABC BD và CE là hai đường cao cắt nhau

tại H

Chứng minh rằng: BH.BD = BE.BA

Giải:

Ta có EBH  DBA(g.g) (theo (2) của bài toán ( 1))

Bài toán 2.2: Cho tam giác nhọn ABC.BD và CE là hai đường cao cắt nhau

tại H

Chứng minh rằng: BH BD CH CE  BC2

Giải:

Nối A với H, kéo dài tia AH cắt BC tại F ta được đường cao AF

Ta có: BFH  BDC (g.g) (chứng minh tương tự (2) của bài toán ( 1))

BH BD BC BF

(1) Tương tự ta có: CHF  CBE (g.g)

CH CE CB CF

(2)

Từ (1) và (2) suy ra:

BH BD CH CE BC BF BC CF.  .  .  . BC BF CF(  )BC2

(Vì ABC nhọn nên F nằm giữa B và C)

hay BH BD CH CE  BC2 (đpcm)

Bài toán 2.2.1: Cho tam giác nhọn ABC AF, BD, CE là

các đường cao cắt nhau tại H

Chứng minh rằng:

AH.AF BH.BE CH.CF

2

AB AC BC

Giải:

Từ kết quả bài toán 2.2 ta được

AH.AF + BH.BD = AB 2 (1)

AH.AF + CH.CE = AC 2 (2)

BH BD CH CE BC   2 (3)

Từ (1), (2) và (3) suy ra:

 2(AH.AF + BH.BD + CH.CE ) = AB +AC +BC 2 2 2

AB AC BC AH.AF BH.BD CH.CE

2

(đpcm)

Bài toán 3: Cho hình bình hành ABCO Kẻ CEAB tại E, CFAO tại F,

Kẻ OHAC tại H, kẻ BK AC tại K

a) Tứ giác OHBK là hình gì ? Hãy chứng minh điều đó ?

b) Chứng minh rằng : CE.CO = CB.CF

c) Chứng minh rằng : AB.AE + AO.AF = AC2

( Bài 258 sách Nâng cao và Phát triển Toán 8 tập 2)

Giải :

a) Dễ thấy tứ giác OHBK là hình bình hành

b) Ta có ABC = AOC   nên suy ra CBE = COF 

CBE COF

    (g.g)

CB CO

c) Ta có AOH ACF    (g.g)

(theo (2) của bài toán 1)

AO AH

(1) Tương tự ta có:

ABK ACE (g.g)

AB AK

AC AE

(2)

Từ (1) và (2) suy ra

AO.AF+AB.AE=AC.AH+AC.AK=AC(AH+AK) (3)

Xét AOH và CBK có:

AHO=CKB (= 900)

AO = BC (tính chất hình bình hành)

OAH BCK (so le trong)

Suy ra: AOH =CBK (cạnh huyền-góc nhọn)  AH CK (cạnh tương ứng) thay vào (3) ta có

 AO.AF+AB.AE=AC(CK+AK)=AC.AC=AC2

+) Từ kết quả (6) của bài tập 1 :DBA ECA cho phép ta giải các bài toán sau:

Bài toán 3.1: Cho tam giác nhọn ABC BD, CE là hai

đường cao cắt nhau tại H

Chứng minh rằng: AE.AB =AD.AC

Giải:

Ta có DBA ECA (g.g) (theo (6) bài toán 1)

AE

(đpcm)

Bài toán 3.2: Cho tam giác nhọn ABC AF, BD, CE là các đường cao cắt

nhau tại H

Chứng minh rằng:

1) AD.AC = AH.AF = AE.AB

2) CD.CA = CH.CE = CF.CB

3) BF.BC = BH.BD = BE.BA

Giải:

Từ kết quả bài toán 2.1 ta có

AH.AF = AE.AB (1)

Từ kết quả bài toán 3.1 ta có

AE.AB = AD.AC (2)

Từ (1) và (2) suy ra AD.AC= AH.AF= AE.AB (đpcm) Chứng minh tương tự ta được hai đẳng thức 2) và 3)

Bài toán 3.3: Cho tam giác nhọn ABC AF, BD, CE là các đường cao cắt

nhau tại H

Chứng minh rằng: BE.BA + CD.CA = BC2 và viết hai

hệ thức tương tự

Giải:

Theo kết quả bài 2.2:

BH.BD + CH.CE = BC2 (1)

Mà theo kết quả bài toán 3.2:

BH.BD = BE.BA

CH.CE = CD.CA

Thay vào (1) ta được: BE.BA + CD.CA = BC2 (đpcm)

Hai hệ thức tương tự:

1 AE.AB + CF.CB = AC2

2 AD.AC + BF.BC = AB2

Bài toán 3.4: Cho tam giác nhọn ABC BD, CE là hai đường cao

Chứng minh rằng: ADE ABC

Giải:

Ta có ADB AEC (g.g) (theo (6) bài toán 1)

AC

Xét ADE và ABC có :

AB AC (chứng minh trên)

A chung

Suy ra ADE ABC (c.g.c) (đpcm)

2.5 KẾT QUẢ ĐẠT ĐƯỢC:

2.5.1 Kết quả đạt được:

Sau khi được học xong bài toán này học sinh có kỹ năng làm các bài toán một cách hợp lý , các em nhìn nhận mỗi bài toán dưới nhiều khía cạnh khác nhau

Từ đó kích thích được sự tò mò, sự sáng tạo, ham học hỏi, khám phá cái mới

lạ trong học tập môn Toán nói riêng và các môn khoa học khác nói chung Đặc biệt nhiều em học sinh đã vận dụng phương pháp khai thác bài toán một cách hợp lý nên đã taọ ra được nhiều bài toán hay ,bài toán khó và có những lời giải độc đáo

Sau khi áp dụng sáng kiến trên vào dạy học thì có sự chuyển biến rõ rệt; đặc biệt là các em có học lực từ Tb trở lên; các em đó chịu khó suy nghĩ, tìm tòi, lời giải cũng mạch lạc hơn

Như vậy sau khi áp dụng thì số lượng HS giải theo các mức độ đã có thay đổi đáng kể Đặc biệt là các em đã giải được từ 50% trở lên đã tăng rõ rệt

2.5.2 Những hạn chế:

Ngoài những kết quả đã đạt như nêu ở trên thì trong quá trình thực hiện áp dụng kinh nghiệm này vào việc hướng dẫn giảng dạy cho học sinh tôi thấy những hạn chế sau :

- Số lượng bài toán còn ít nên việc hình thành kỹ năng và vận dụng chuyên

đề còn hạn chế

- Do thời gian có hạn nên nội dung còn sơ sài

- Các bài toán hơi khó nên chuyên đề chỉ áp dụng đối với học sinh khá ,giỏi

2.5.3 Bài học kinh nghiệm:

Để đạt được hiệu quả cao trong dạy học môn Toán, giáo viên phải có

phương pháp dạy học phù hợp với từng đối tượng học sinh Muốn có có được phương pháp tốt đòi hỏi người thầy phải thường xuyên học hỏi , tự bồi dưỡng những kiến thức cho mình Đồng thời phải trang bị cho học sinh những ý tưởng giải toán, sau đó mới rèn luyện những kỹ năng trình bày lời giải

Nội dung các bài tập khi phát triển phải theo một trình tự logic từ dễ đến khó Học sinh phải có thời gian tự học, trao đổi, tự tìm tòi lời giải, tự phân tích và phát triển mỗi bài toán theo nhiều hướng khác nhau